江苏省扬州2019届高三第一学期开学测试试题

江苏模拟
数学Ⅰ
（时间：120 分钟 满分 160 分）
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.
1.命题“若 lg x < 0 ，则 x < 1 ”的逆否命题是 （填“真” 或“假”）命题.
2.已知一组数据：1,3,7,10,12，则该组数据的平均数是 .
3. {}25140A x x x =--≥，{}3
lo g 1B x x =f ，则A B =I = _. 4.已知复数 z =1
1i -，其中 i 是虚数单位，则z i +=
5.右图是一个算法流程图，若输出的 y 的值为 2，则输入的 x 的
值为 _.
6.若 a = (m ,1), b = (-1,1) ，且 a ⊥ b ，则(a + b )⋅ (a - b ) =
. 7.函数 y =s in c o s s in c o s x x
x x
+-的最小正周期为 . 8.已知曲线 C : 222113x
y m m ++
=-是中心在原点，焦点在 y 轴的 椭圆，则实数 m 的取值范围是 .
9.已知△ABC 满足 4sin A = 5sin B = 6sin C ，则 cos A = .
10.已知 P 是边长为1 的正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 内部的任意一点，则四棱锥 P - ABCD 的体积不小于的
1
4 概率是 .
11.已知等比数列{a n } 满足 a 1 = 1，且 a 2 , a 1 , a 3 是公差不为 0 的等差数列，则{a n } 的前 5 项和为
. 12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是抛物线 C : y 2 = 2x 上一点，F 是抛物线的焦点，l 是抛物线的准线，
过 P 作 l 的垂线，垂足为 Q ，若△PQF 是正三角形，则 P 的坐标是 .
13.已知 f ( x ), g ( x ) 都是定义在 ( -∞, +∞ ) 上的函数，若 f ( x ) 是奇函数，g ( x ) 是偶函数，则下列函数中一
定是偶函数的是 （填序号）
① y = f ( x ) ⋅ g ( x ) ② y = g ⎡⎣ f ( x )⎤⎦ ③ y = f ⎡⎣ g ( x )⎤⎦ ④ y = f ⎡⎣ f ( x )⎤⎦
14.对两个实数对 ( a , b ) 和 (c , d ) 定义运算： (a , b ) ⊗ (c , d ) = ad + bc .若 x > 0, y > 0 ，则
1
2
(2,(z x y
x y =+⊗+的最小值是 .
二．解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 14 分）
已知 f ( x ) = sin x + cos x )
（1）若 x ∈ (0,π ] ，解不等式： f ( x ) > 1 ；
（2）求 f (
x ) 的单调递增区间.
* 16.（本小题满分 14 分）
如图，三棱锥 A - PBC 中， D 是线段 BC 的中点， E 是线段 BP 靠近 P 的三等分点，G 是△ABC 的重心.
（1）证明： GE ∥平面ACP ；
（2）若 BP = BC , AB = AC , cos ∠CBP =
34，证明：平面DEG ⊥ 平面ABC .
17.（本小题满分 14 分）
如图所示，左图上有一个小型水车，右图是该水车的抽象简图。

简图上圆周被16 个点16 等分，每个点都代 表一个水筒，l 代表水面。

水车的原理是利用水流冲击水筒，使水车顺时针匀速转动，水筒浮出左侧水面即 进入盛水状态，而达到点 P 位置的水筒会将筒内的水流入水道，进入无水状态。

图中所示即为水车的初始 状态，该状态下恰有一个水筒处于点 P 位置（注：设初始状态下在水面及水面以上且在 P 点左侧的水筒处 于盛水状态，但恰位于 P 点的水筒处于无水状态）.现水车受到水流冲击，从初始状态开始匀速转动一周（起 始位置在 P 点的水筒再度转到 P 点且其中的水完全流入水道后即意味着水车转完一周）所用时间为t min ，
每个水筒经过一次
P 点能固定流出100 (6t - t 2 - 4)
m L 水，其中t 是正常数且1 ≤ t ≤ 4 ，该数值受水流速度 影响，记水车从初始状态转动一周流入水道的总水量为V mL.
（1）求V 关于 t 的函数表达式；
（2）已知水车转动一周的时间段内，平均每分钟流出的水量越高说明水车效率越高，试求出水车在 t 为何 值时效率最高，并求出在此情况下水车转动一周的时间段内平均每分钟流出的水量.
18.（本小题满分 16 分）
已知{a n } 是各项均不为 0 的等差数列， S n 是{a n } 的前 n 项和，且 2S n = a n ⋅ a n +1 .
（1）求数列{a n } 的通项公式； （2）若{b n } 是首项为1 ，公比为 q (q ∈N )
的等比数列。

当 n ≤ q 时，b n < a n +1 ；当 n > q 时，b n ≥ a n +1 . （i ）求数列{b n } 的通项公式；
（ii ）证明：当 n ≥ 3, n ∈ N * 时，3132n
i i i b a =-∑p
19.（本小题满分16 分）
已知函数f (x )= e x , g (x)= ln x -x +1 .
（1）求曲线y =g (x)在点(1,g (1))处的切线方程；
（2）证明：∀m ∈R ，方程f (x )+g (x )=m 在x ∈(0, +∞)内有且仅有一个实根；
（3）若∀x >0，不等式xg (x)-λf (x)≥ 0 恒成立，求实数λ的最大值.
20.（本小题满分16 分）
在平面直角坐标系xOy 中，P( x0 , y0 ) 是双曲线C :221
x y
-=上一点，过点P 做圆221
x y
+=的两条切线l1 ,l2 ，分别交x 轴的正、负半轴于M , N 两点.
（1）是否存在点P 使l1 ⊥l2 ？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.
（2）求△PMN 面积的最小值.
数学Ⅱ
（时间：30 分钟满分40 分
21. [选做题]
①矩阵与变换：
求矩阵A =
31
11
-
⎡⎤
⎢⎥
-
⎣⎦
的逆矩阵.
②坐标系与参数方程：
已知曲线C 的参数方程为
2
sin
x co s
y
θ
θ
=+
⎧
⎨
=
⎩
(θ为参数) ，直线l 经过原点且与曲线C 相切，求l 的斜率.
[必做题]
22.如图所示，A, B, C, D, E, F 是半径为1的圆周上顺次排列的六个点，且这六个点将圆周等分，从这六个点中任取3个点构成一个三角形，记该三角形的面积为X .
（1）求随机变量X 的分布列；
（2）求随机变量X 的数学期望和方差.
23.若整数a 除以非零整数b ，商为整数，且余数为零，则称a 能被b 整除.
（1）若a = 2n +1, n∈N*，证明：a2 -1能被4 整除；
（2）若一个大于1的自然数只能被1和它本身整除，则称这个自然数为素数。

若a 是大于3 的素数，证明：a2 -1能被12 整除.。