初一下数学培优试卷(八)
初一数学下学期培优训练小专题08 平行与折叠问题
初一数学下学期培优训练小专题08 平行与折叠问题【模型讲解】如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E ，F 分别是边AC ，AB 上的点，连接EF ，将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△，当A EF '△的边A F '与△ABC 的一边平行时，∠AEF 的度数是_____． 解：如图1，若A F BC ∥时，∴A FBB ，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴60B A FB ，∵将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△，∴AFE A FE '∠=∠，∴∠BFE ＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ﹣60°＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ＝120°，∴∠AEF ＝180°﹣120°﹣30°＝30°；如图2，设A F '与AB 交于点H ，若A F BC ∥时，∴∠BCA ＝∠FHA ＝90°，∴∠AFH ＝180°﹣∠AHF ﹣∠A ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴30AFE A FE ；∴∠AEF ＝180°﹣∠A ﹣∠AFE ＝120°；如图3，若A E AF ∥时，∴30A EB A ，∴150A EA ，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴75AEF A EF '∠=∠=︒；综上所述：30°或75°或120°．【模型演练】1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知20DAB ABC ∠-∠=︒，且DF CG ∥，则3DAB ABC ∠+∠=（ ）A ．180︒B ．150︒C ．160︒D ．200︒2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若CD BE ，∠1=42°，则∠2的度数是（ ）A ．48°B ．45°C ．96°D ．40°3．如图所示的四种沿AB 进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a ，b 互相平行的是（ ）A ．如图1，展开后测得∠1=∠2B ．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C ．如图3，测得∠1=∠2D ．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF 折叠，若∠EFB ＝32°，则①32C EF '∠=︒；②∠AEC ＝148°；③∠BGE ＝64°；④∠BFD ＝116°，则下列结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿AB 折叠后，如图，测量得到：①14∠=∠；②BC BA =；③CA CB =；④3=4∠∠．其中能够判定两条边线EF 、GH 互相平行的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则1∠与α∠的关系式是（ ）A ．16012α∠=︒+∠B ．14512α∠=︒+∠C ．11902α∠+∠=︒D ．111202α∠+∠=︒ 7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若CD BE ∥，且266∠=︒，则1∠的度数是______．8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 和CD ．若CD BE ∥，162∠=︒，则2∠的度数为______．9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜12（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．11．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°.若保持△A'DE的一边与BC平行，则∠ADE 的度数____．12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．13．如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C D'平行于△ABC边时，∠CDB的大小为______．14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．16．如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．17．如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是B'、D，并且使HD'与B F'在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行．18．有一条纸带ABCD ，现小强对纸带进行了下列操作：(1)为了检验纸带的两条边线AB 与CD 是否平行，小强如图①所示画了直线l 后，量得∠1=∠2，则AB CD ∥，理由为 ;(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E 在折线AD →DC 上运动，点F 是AB 上的动点，连接EF 将纸带沿着EF 折叠，使点A 的对应点A '落在DC 上，若CA F x '∠=，请用含x 的代数式来表示EAA ∠'的度数为 .（直接写出答案）19．综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探AB GH AH BG，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90︒，将长方形纸条沿直(1)如图1，长方形纸条ABGH中，,线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝70︒，则∠CDE＝；类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．答案与解析【模型讲解】如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E ，F 分别是边AC ，AB 上的点，连接EF ，将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△，当A EF '△的边A F '与△ABC 的一边平行时，∠AEF 的度数是_____． 解：如图1，若A F BC ∥时，∴A FB B ，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴60B A FB ，∵将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△， ∴AFE A FE '∠=∠，∴∠BFE ＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ﹣60°＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ＝120°，∴∠AEF ＝180°﹣120°﹣30°＝30°；如图2，设A F '与AB 交于点H ，若A F BC ∥时，∴∠BCA ＝∠FHA ＝90°，∴∠AFH ＝180°﹣∠AHF ﹣∠A ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴30AFE A FE ；∴∠AEF ＝180°﹣∠A ﹣∠AFE ＝120°；如图3，若A E AF ∥时，∴30A EB A ，∴150A EA ，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴75AEF A EF '∠=∠=︒；综上所述：30°或75°或120°．【模型演练】1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知20DAB ABC ∠-∠=︒，且∠+∠=（）∥，则3DAB ABCDF CGA．180︒B．150︒C．160︒D．200︒【答案】D【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论．【解析】解：如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，则∠DAB=x+20°，∵CD∥AB，∴∠ADM=∠DAB=x+20°=∠ADF，∵DF∥CG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，∴2x+2（x+20°）=180°，解得：x=35°，∴3∠DAB+∠ABC=3（x+20°）+x=4x+60°=200°，故选：D．【点评】此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD BE，∠1=42°，则∠2的度数是（）A．48°B．45°C．96°D．40°【答案】C【分析】根据平行线的性质和折叠性质即可求解．【解析】解：如图，∵AG BE，AD BC，∴∠1=∠5，∠5=∠4∴∠4=∠1=42°，∵CD BE，∴∠4=∠3=42°，由折叠性质得：∠6=∠3＝42°，又∠6+∠3+∠2=180°，∴∠2=96°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．3．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°【答案】C【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．【解析】A 、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以a b ∥；B 、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以a b ∥；C 、∠1=∠2不能判定a ，b 互相平行；D 、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以a b ∥．故选：C ．【点评】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF 折叠，若∠EFB ＝32°，则①32C EF '∠=︒；②∠AEC ＝148°；③∠BGE ＝64°；④∠BFD ＝116°，则下列结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可．【解析】解：①∵AE ∥BG ，∠EFB =32°，∴C EF '∠=∠EFB =32°，故本小题正确；②∵AE ∥BG ，∠EFB =32°，∴∠AEF =180°-∠EFB =180°-32°=148°，∵∠AEF =∠AEC +∠GEF ，∴∠AEC ＜148°，故本小题错误；③∵C EF '∠=32°，∴∠GEF =C EF '∠=32°，∴C EG '∠=C EF '∠+∠GEF =32°+32°=64°，∵AE ∥BG ，∴∠BGE =C EG '∠=64°，故本小题正确；④∵∠BGE =64°，∴∠CGF =∠BGE =64°，∵DF ∥CG ，∴∠BFD =180°-∠CGF =180°-64°=116°，故本小题正确．综上，①③④正确，共3个．故选：C ．【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿AB 折叠后，如图，测量得到：①14∠=∠；②BC BA =；③CA CB =；④3=4∠∠．其中能够判定两条边线EF 、GH 互相平行的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由等腰三角形的性质可得12,∠=∠但是不能判定平行，可判断②，由等腰三角形的性质可得23,∠=∠再结合轴对称的性质可得2,ABH ∠=∠可判断③，由轴对称的性质可得34,ABH ∠=∠=∠但不能判定平行，从而可得答案．【解析】解：14,∠=∠∴,EF GH ∥ 故①符合题意；∵,BC BA =∴12,∠=∠ 不能得到,EF GH ∥ 故②不符合题意；∵,CA CB =∴23,∠=∠由折叠可得：3,ABH ∠=∠∴2,ABH ∠=∠∴EF GH ∥，故③符合题意； 34,3,ABH ∠=∠∠=∠∴34,ABH ∠=∠=∠ 不能得到,EF GH ∥ 故④不符合题意；故选B【点评】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握“轴对称的性质与等腰三角形的性质及平行线的判定方法”是解本题的关键． 6．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则1∠与α∠的关系式是（ ）A ．16012α∠=︒+∠B ．14512α∠=︒+∠C ．11902α∠+∠=︒D ．111202α∠+∠=︒ 【答案】C【分析】根据折叠性质，先得出3=4∠∠，根据AB CD ，得出12∠=∠，4α∠=∠，得出34α∠=∠=∠，根据234180∠+∠+∠=︒，得出12180α∠+∠=︒，即可得出结论．【解析】解：根据折叠可知，3=4∠∠，∵AB CD ，12∴∠=∠，4α∠=∠，∴34α∠=∠=∠，∵234180∠+∠+∠=︒，12180α∴∠+∠=︒，即11902α∠+∠=︒，故C 正确． 故选：C ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据题意得出12∠=∠，34α∠=∠=∠是解题的关键．7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若CD BE ∥，且266∠=︒，则1∠的度数是______．【答案】57°##57度【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到5431DCF ∠=∠=∠=∠=∠，再根据同旁内角互补可得4∠，进而得出1∠．【解析】解：如图，延长BC 到点F ，纸带对边互相平行，431∴∠=∠=∠，由折叠得，5DCF ∠=∠，∵CD BE ∥，4DCF ∴∠=∠，54∴∠=∠，245180∠+∠+∠=︒，6624180∴︒+∠=︒，即457∠=︒，157∴∠=︒．故答案为：57︒．【点评】本题主要考查了平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键．8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 和CD ．若CD BE ∥，162∠=︒，则2∠的度数为______． 【答案】68°##68度【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到21124BCD EBF ∠=∠=∠=︒，进而得出56CDA ∠=︒，再由折叠的性质得268∠=︒．【解析】解：如图，延长CB 到点F ，由折叠可得， 21124EBF ∠=∠=︒，∵//CD BE ，∴124BCD EBF ∠=∠=︒，纸带对边互相平行，∴//BC AD ，∴18012456CDA ∠=︒-︒=︒，由折叠可得，2=180-268CDA ∠︒∠=︒，故答案为：68︒．【点评】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．【答案】22°##22度【分析】延长CE，交AD与点F，根据平行的性质有∠2=∠DFE，再根据∠1+∠DFE=90°，即可求出∠DFE，则问题得解．【解析】延长CE，交AD与点F，如图，∥，∠DEC=90°，根据题意有：AD BC∴∠2=∠DFE，∠DEF=∠DEC=90°，∴△DEF是直角三角形，即∠1+∠DFE=90°，∵∠1=68°，∴∠DFE=90°-∠1=22°，∴∠2=22°，故答案为：22°．【点评】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握两直线平行内错角相等是解题关键．10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜12（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．【答案】28°或74°或118°【分析】分三种情况，分别画出图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理，三角形外角的性质，即可求解．∥时，【解析】解：当BD EF由折叠得，∠B =∠F =32°，∠BED =∠DEF ，∵BD EF ∥，∴∠B =∠CEF =32°，∴∠BEF =180°-32°=148°，∴111487422BDE BED DEF BEF ∠=∠=∠=∠=⨯︒=︒； 当AC EF ∥时，∵AC EF ∥，∴∠BEF =∠C =60°，∴113022BED FED BEF C ∠=∠=∠=∠=︒， ∴1801803230118BDE B BED ︒∠=-∠-∠=-︒-=︒︒︒；当AC EF ∥时，∴∠CEF =∠C =60°，∴∠BGD =∠CEF +∠F =92°，∴∠BDG =180°-∠B -∠BGD =56°，∴56211228BDG BDE =∠=︒⨯=∠︒； 综上所述，∠BDE 为28°或74°或118°．故答案为：28°或74°或118°【点评】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置，且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知∠C ＝90°，∠A ＝34°.若保持△A 'DE 的一边与BC 平行，则∠ADE 的度数____．【答案】45°或28°【分析】根据题意，分A E BC '∥，∥A D BC '两种情况分析，根据平行线的性质与三角形的内角和定理即可求解．【解析】解：∵将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置， ∴当ED BC ∥时，经过折叠A '在AC 上，不符题意，依题意，,A A ADE A DE ''∠=∠∠=∠，①当A E BC '∥，9090A EB B A A ''∴∠=∠=︒-∠=︒-∠90AFD A EF '∴∠=∠=︒()11902822ADE ADF A ∴∠=∠=︒-∠=︒ ②当∥A D BC '时，90ADF C ∴∠=∠=︒1452ADE ADF ∠=∠=︒ 故答案为：45°或28°【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握三角形的外角的性质，内角和定理，平行线的性质是解题的关键．12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．【答案】75°##75度【分析】由平行线的性质可知∠2=∠1，由折叠的性质可知2α+30=180，列方程求解．【解析】解：∵AD BC ，∴∠2=∠1=30°，∴2α+30=180，∴α=75，故答案为：75°．【点评】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．根据折叠性质及互补关系列出方程是解题的关键． 13．如图，在△ABC 中，∠A ＝56°，∠C ＝46°，D 是线段AC 上一个动点，连接BD ，把△BCD 沿BD 折叠，点C 落在同一平面内的点C '处，当C D '平行于△ABC 边时，∠CDB 的大小为______．【答案】67︒或118︒【分析】先根据折叠的性质可得C DB CDB '∠=∠，设(0)C DB CDB x x '∠=∠=>，再分①C D AB '∥和C D BC '两种情况，画出相应的图形，利用平行线的性质、平角的定义建立方程，解方程即可得．【解析】解：由折叠的性质得：C DB CDB '∠=∠，设(0)C DB CDB x x '∠=∠=>，由题意，分以下两种情况：①如图，当C D AB '∥时，56C D A A '∴∠=∠=︒，56ADB C C D DB x A '∴∠=∠-=-'∠︒，180ADB CDB ∠+∠=︒，56180x x ∴-︒+=︒，解得118x =︒，即118CDB ∠=︒；②如图，当C D BC '时，46C D C A '∴∠=∠=︒，180CDB D C C D B A ∠+∠+'=∠︒'，46180x x ∴++︒=︒，解得67x =︒，即67CDB ∠=︒；综上，CDB ∠的大小为67︒或118︒，故答案为：67︒或118︒．【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用，正确分两种情况，并画出图形是解题关键．14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．【答案】90°-12x°32x°-90°【分析】（1）由平行线的性质得∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，折叠和三角形的外角得∠D'EF=∠EFB，∠EFB=12∠EHB，最后计算出∠EFB=90°-12x°；（2）由折叠和平角的定义求出∠EFC'=90°+12x°，再次折叠经计算求出∠EFC"=32x°-90°．【解析】解：（1）如图1所示，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，又∵∠DEF=∠D'EF，∴∠D'EF=∠EFB，又∵∠EHB=∠D'EF+∠EFB，∴∠EFB=12∠EHB，又∵∠AED'=x°，∴∠EHB=180°-x°∴∠EFB=12（180°-2）=90°-12x°故答案为：90°-12x°；(2)如图2所示，∵∠EFB+∠EFC'=180°，∴∠EFC=∠EFC'=180°-（90°-12x°）=90°+12x°，又∵∠EFC'=2∠EFB+∠EFC"，∴∠EFC"=∠EFC'-2∠EFB=90°+12x°-2（90°-12x°）=32x°-90°，故答案为：32x°-90°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．【答案】130【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根据平行线的性质得到∠B′DC=80°，进而得到∠BD B′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．【解析】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，∵EB′∥BC，∴∠B′=∠B′DC=80°，∴∠BD B′=180°-∠B′DC=100°，∴∠BDE =∠B ′DE =50°，∴∠CDE ＝180°-∠BDE =130°．故答案为：130【点评】本题考查了折叠的定义，平行线的性质，邻补角的定义等知识，熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．16．如图，将一张上、下两边平行（即AB ∥CD ）的纸带沿直线MN 折叠，EF 为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF 的度数． 【答案】(1)见解析(2)117︒【分析】（1）连续两次利用定理“两直线平行，内错角相等”即可求证；（2）先利用12∠=∠求出1∠，再利用AEF OEF ∠=∠求出OEF ∠，最后利用关系式1BEF OEF ∠=∠+∠求解即可．（1）解：证明：∵ABCD ， ∴1EOF ∠=∠．∵A E C F ''∥，∴2EOF ∠=∠，∴12∠=∠．（2）∵12∠=∠，∠2＝54°∴154∠=︒．根据折叠的性质知：AEF OEF ∠=∠，∴2AEO OEF ∠=∠．又∵1180AEO ∠+∠=︒，即21180OEF ∠+∠=︒，∴()11801632OEF ∠=︒-∠=︒， ∴1117BEF OEF ∠=∠+∠=︒．【点评】本题考查平行的性质，折叠的性质，掌握平行的性质和折叠前后对应的角相等是解题的关键． 17．如图，把长方形ABCD 的两角折叠，折痕分别为EF 、HG ，点B 、D 折叠后的对应点分别是B '、D ，并且使HD '与B F '在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF 、GH 也相互平行．【答案】见解析【分析】先根据折叠得出DHG D HG '∠=∠，BFE B FE '∠=∠，再根据平行线的性质得出DHF BFH ∠=∠，即可得出D HG B FE ''∠=∠，最后根据平行线的判定得出结论．【解析】证明：根据折叠可知，DHG D HG '∠=∠，BFE B FE '∠=∠，∵长方形的两组对边分别平行，即AD BC ∥∴DHF BFH ∠=∠，∵12D HG DHF '∠=∠，12B FE BFH '∠=∠， ∴D HG B FE ''∠=∠，∴EF GH ∥．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等和内错角相等两直线平行，是解题的关键．18．有一条纸带ABCD ，现小强对纸带进行了下列操作：(1)为了检验纸带的两条边线AB 与CD 是否平行，小强如图①所示画了直线l 后，量得∠1=∠2，则AB CD ∥，理由为 ;(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E 在折线AD →DC 上运动，点F 是AB 上的动点，连接EF 将纸带沿着EF 折叠，使点A 的对应点A '落在DC 上，若CA F x '∠=，请用含x 的代数式来表示EAA ∠'的度数为 .（直接写出答案）【答案】(1)同位角相等，两直线平行(2)=α∠︒55(3)12x 或1902x ︒- 【分析】(1)根据平行线的判定方法即可解决问题；(2)如图②−1中，证明∠α=∠4即可解决问题；(3)分两种情形：如图③−1中，证明∠DEA ′=2∠EAA ′，∠DEA ′=∠CA ′F 即可；如图③−2中，证明∠EA ′F =2∠EAA ′即可解决问题．（1）解：如图①中，∵∠1=∠2，∴AB CD ∥(同位角相等两直线平行)，故答案为：同位角相等，两直线平行；（2）解：如图②−1中，由翻折的性质可知，∠3=∠4，∵CD AB∥，∴∠α=∠3，∴∠α=∠4，∵∠1=∠2=70°，∴1(18070)552α∠=⨯︒-︒=︒；（3）解：如图③−1中，由翻折可知，EA=EA′，∠EA′F=∠DAB=90°，∴∠EAA′=∠EA′A，∴∠DEA′=∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵∠DEA′+∠DA′E=90°，∠DA′E+∠CA′F=90°，∴∠DEA′=∠CA′F，∴∠CA′F=2∠DAA′，∴1122 EAA CA F x ∠'=∠'=；如图③−2中，由翻折可知，EA=EA′，F A=F A′，∴∠EAA′=∠EA′A，∠F AA′=∠F A′A，∵AB CD∥，∴∠EA′A=∠F AA′，∴∠EAA′=∠AA′F，∴∠EA′F=2∠EAA′，∵∠CA′F+∠EA′F=180°，∴2∠EAA′=180°−x，∴1902 EAA x ∠'=︒-，故答案为：12x或1902x︒-．【点评】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理及外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．19．综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探(1)如图1，长方形纸条ABGH 中，,AB GH AH BG ，∠A ＝∠B ＝∠G ＝∠H ＝90︒，将长方形纸条沿直线CD 折上，点A 落在A '处，点B 落在B '处，B 'C 交AH 于点E ，若∠ECG ＝70︒，则∠CDE ＝ ； 类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC 对折，点H 落在直线EC 上的H '处，点G 落在G '处得到折痕EF ，则折痕EF 与CD 有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G '作BG 的平行线MN ，请你猜想∠ECF 和∠H 'G 'M 的数量关系，并说明理由． EF CD ，理由见解析ECF H G '+∠【分析】（1）先根据折叠的性质可得线的性质即可得；先根据折叠的性质可得O MN 于O O BG ，根据平行线的性质可得90EH O G ''∠+∠=︒，最后根据等量代换即可得出结论．）解：由折叠的性质得：BCD ∠70ECG ∠=︒BCD ∴∠=AH BG ，CDE BCD ∴∠=∠故答案为：55︒．（2）解：EF CD ，理由如下：由折叠的性质得：AH BG ，BCE HEC ∠=∠∴，ECD CEF ∴∠=∠，EF CD ∴．（3）解：90ECF H G M ''∠+∠=︒，理由如下：如图，过点H '作H O MN '于O ，H G M OH G ''''∴∠=∠，又MN BG ，H O BG '∴，ECF EH O '∴∠=∠，由折叠的性质得：90EH G H ''∠=∠=︒，90EH O OH G '''∴∠+∠=︒，90ECF H G M ''∴∠+∠=︒．【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键．。
七年级下数学培优试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各组数中，有理数中最小的是（）A. -1.5B. -2C. 0D. 1.52. 下列各式中，正确的是（）A. 3a + 2b = 3(a + b)B. 3a - 2b = 3(a - b)C. 3a + 2b = 3(a + 2b)D. 3a - 2b = 3(a - 2b)3. 下列各式中，绝对值最大的是（）A. |a| = -2B. |a| = 2C. |a| = 0D. |a| = -34. 已知x + y = 5，x - y = 1，则x的值为（）A. 3B. 4C. 2D. 15. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 18，则a的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知x = 3，则x² - 2x + 1的值为__________。
7. 若a² = 9，则a的值为__________。
8. 在直角坐标系中，点P（-3，4）关于原点的对称点坐标为__________。
9. 若等腰三角形的底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长为__________。
10. 若一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式Δ = 0，则该方程有两个__________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知数列{an}中，a1 = 3，an = an-1 + 2（n ≥ 2），求该数列的前5项。
12. 已知一元二次方程x² - 3x + 2 = 0，求该方程的解，并说明该方程的根与系数的关系。
13. 已知正方形ABCD的边长为a，求对角线AC的长度。
四、证明题（15分）14. 证明：若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 18，则ab + bc + ca = 54。
五、应用题（15分）15. 小明骑自行车从A地到B地，全程为30千米。
(完整版)七年级数学(下)培优试题
七年级数学（下）培优竞赛试题1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=20度，求∠DOE 的度数。
2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=13∠BOC,OC是∠AOD 的平分线。
①求∠COD 的度数；②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。
3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。
4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800）5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。
6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=80，∠CDE=1400，则∠BCD= .321OFED CB AODCBAABCDOEF6 3 2 １9 8 75 47、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A=60°。
求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？ （3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三解形的内角和等于180°）8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由．9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用）（1） （2） （3）10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图）A B CD E F G HPQ11、如图，已知点E 在AB 上，且CE 平分∠BCD ，DE 平分∠ADC ，∠DEC ＝90°，证明：AD ∥BC12、如图，已知AB ∥CD ，∠1与∠D 、∠B 之间存在怎样的数量关系？13，如图，已知∠1+∠2=180，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系。
初一数学培优经典试题及答案
初一数学培优经典试题及答案试题一：有理数的加减法题目：计算下列有理数的和：\[ 3 + (-2) + 4 + (-1) \]答案：首先，我们可以将正数和负数分别相加：\[ 3 + 4 = 7 \]\[ -2 + (-1) = -3 \]然后，将两个结果相加：\[ 7 + (-3) = 4 \]所以，最终结果是4。
试题二：绝对值的计算题目：求下列数的绝对值：\[ |-5|, |-(-3)|, |0| \]答案：绝对值表示一个数距离0的距离，不考虑正负号。
因此：\[ |-5| = 5 \]\[ |-(-3)| = |3| = 3 \]\[ |0| = 0 \]所以，这三个数的绝对值分别是5, 3, 和0。
试题三：一元一次方程的解法题目：解下列方程：\[ 2x - 3 = 7 \]答案：首先，将方程中的常数项移到等号的另一边：\[ 2x = 7 + 3 \]\[ 2x = 10 \]然后，将等式两边同时除以2，得到x的值：\[ x = \frac{10}{2} \]\[ x = 5 \]所以，方程的解是x = 5。
试题四：代数式的值题目：当a=3，b=-2时，求代数式\( ab + a - b \)的值。
答案：将给定的a和b的值代入代数式中：\[ ab + a - b = 3 \times (-2) + 3 - (-2) \]\[ = -6 + 3 + 2 \]\[ = -1 \]所以，代数式的值是-1。
试题五：几何图形的周长和面积题目：一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，求这个长方形的周长和面积。
答案：长方形的周长是长和宽的两倍之和：\[ 周长 = 2 \times (长 + 宽) \]\[ 周长 = 2 \times (10 + 5) \]\[ 周长 = 2 \times 15 \]\[ 周长 = 30 \] 厘米长方形的面积是长乘以宽：\[ 面积 = 长 \times 宽 \]\[ 面积 = 10 \times 5 \]\[ 面积 = 50 \] 平方厘米结束语：以上是初一数学培优的经典试题及答案，希望同学们能够通过这些题目加深对数学概念的理解和应用。
人教版数学七年级下册 第八章 《二元一次方程组 》培优测试题(word版)
第八章《二元一次方程组》培优测试题一．选择题（每小题 3 分，共 10 小题）1.下列方程组中是二元一次方程组的是（）A． B．C． D．2.下列各组数值中，是方程2x﹣y=8 的解的是（）A.B．C． D．3.若方程组的解x和y相等，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 4．解二元一次方程组时，用代入消元法整体消去4x，得到的方程是A．2y=﹣2 B．2y=﹣36 C．12y=﹣36 D．12y=﹣25.为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买 2个排球和3个实心球共需95 元，若购买5个排球和7个实心球共需230 元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（）A.B．C．D．6.已知关于x，y 的二元一次方程4ax﹣3y=﹣1 的一组解为，则a的值是A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．27.用加减法解方程组下列解法错误的是（）A．①×2﹣②×（﹣3），消去y B．①×（﹣3）+②×2，消去xC．①×2﹣②×3，消去y D．①×3﹣②×2，消去 x 8．如图，在长为15，宽为12 的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（）A．35 B．45 C．55 D．659.解下面的方程组时，要使解法较为简便，应（）A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数10.鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，大约在1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 只脚．求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（）A．鸡20 只，兔15 只B．鸡12 只，兔23 只C．鸡15 只，兔20 只D．鸡23 只，兔12 只二．填空题（每小题 3 分，共 8 小题）11.若方程m x﹣2y=3x+4 是关于x、y 的二元一次方程，则m的取值范围是．12.为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品都购买），其中甲种体育用品每件 20 元，乙种体育用品每件 30 元，共用去150 元，请你设计一下，共有种购买方案．13.已知已知是方程组的解，则（m﹣n）2= ．14.小明去文具店购买了 5 只黑色碳素笔和 3 个修正带，一共花费 74 元，其中黑色碳素笔的单价比修正带的单价多 2 元，求黑色碳素笔的单价和修正带的单价．设黑色碳素笔的单价为x元，修正带的单价为y 元，依题意可列方程组为．15.方程组的解是．16.已知关于x，y 的二元一次方程组，则x﹣y 的值是17.对于X、Y 定义一种新运算“¤”：X¤Y=aX+bY，其中a、b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．已知：5¤2=27，3¤4=19，那么2¤3= ．18.“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知 2套文具和3套图书需104 元，3 套文具和2套图书需116 元，则1套文具和1套图书需元．三．解答题（共 66 分，共 7 小题）19．（8 分）解下列方程组（1）（2）20．（9 分）某超市将某种碳酸饮料每瓶的价格上调 10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调 5%，调价后买上述碳酸饮料 3 瓶和果汁饮料 2 瓶共花费 17.5 元．已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7 元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？21．（9 分）如图，用 10 块相同的小长方形地砖拼成一个宽是 75 厘米的大长方形，用列方程或方程组的方法，求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少厘米？22．（10 分）小张用 6000 元购进 A，B 两种服装，按标价售出后可获得毛利 3800元（毛利=售价﹣进价）．现已知 A 种服装的进价是 60 元/件，标价是 100 元/件；B 种服装的进价是 100 元/件，标价是 160 元/件．（1）这两种服装各购进了多少件？（2）如果 A 种服装按标价的 8 折出售，B 种服装按标价的 7 折出售，那么这批服装全部售完后，小张比按标价出售少收入多少元？23．（10 分）为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300 元购进甲、乙两种节能灯共计100 只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表：同折以后，某人买 100 件 A 商品和 200 件B 商品一共比不打折少花 640 元，计算打了多少折？25．（11 分）中雅七年级（1）班想买一些运动器材供班上同学阳光体育课件使用，班主任安排班长去商店买篮球和排球，下面是班长与售货员的对话：班长：阿姨，您好！售货员：同学，你好，想买点什么？（1）根据这段对话，你能算出篮球和排球的单价各是多少吗？（2）六一儿童节店里搞活动有两种套餐，1、套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折：2、满减活动：999 减 100，2019 减 200；两种活动不重复参与，学校打算买15 个篮球，13 个排球作为奖品，请问如何安排更划算？参考答案一．选择题（共 10 小题）1.解：A、，是二元二次方程组，故此选项错误；B、，含有分式方程，故此选项错误；C、，是三元一次方程组，故此选项错误；D、，是二元一次方程组，故此选项正确．故选：D．2.解：A、把代入方程左边得：2+2=4，右边=8，左边≠右边，故不是方程的解；B、把代入方程左边得：4﹣0=4，右边=8，左边≠右边，故不是方程的解；C、把代入方程左边得：1+7=8，右边=8，左边=右边，是方程的解；D、把代入方程左边得：1 0+2=12，右边=8，左边≠右边，故不是方程的解，故选：C．3.解：把y=x 代入方程组得：，解得：，则a 的值为 3，故选：C．4．解：，②﹣①得：12y=﹣36，故选：C．5．解：设每个排球 x 元，每个实心球 y 元，则根据题意列二元一次方程组得：，故选：B．6．解：把代入方程4ax﹣3y=﹣1 中得：8a﹣9=﹣1，解得：a=1．故选：C．7．解：A、①×2﹣②×（﹣3）得 13x﹣12y=21，此选项错误；B、①×（﹣3）+②×2 得：5y=1，此选项正确；C、①×2﹣②×3 得﹣5x=﹣9，此选项正确；D、①×3﹣②×2 得：﹣5y=﹣1，此选项正确；故选：A．8.解：设小矩形的长为 x，宽为 y，根据题意得：，解得：，=15×12﹣∴S阴影5xy=45．故选：B．9.解：由方程组知①中没有未知数 z，只需利用加减法消去②、③中的 z 求解较为简便，故选：C．10.解：设笼中有x只鸡，y 只兔，根据题意得：，解得：．故选：D．二．填空题（共 8 小题）11．解：方程移项，得mx﹣2y﹣3x﹣4=0，整理，得（m﹣3）x﹣2y﹣4=0．因为方程是关于 x、y 的二元一次方程，，故答案为：15．解：， 所以 m ﹣3≠0， 所以 m≠3． 故答案为：m≠3．12.解：设购买甲种体育用品 x 件，购买乙种体育用品 y 件， 依题意得：20x+30y=150， 即 2x+3y=15， 当 x=3 时，y=3． 当 x=6 时，y=1． 即有两种购买方案． 故答案是：两．13.解：把代入方程组得：，解得： ，则原式=4，故答案为：414. 解：由题意可得， ． ①﹣②，得3x=﹣3， 解这个方程，得x=﹣1，把 x=﹣1 代入①，得 ﹣1+y=3， 解得 x=4， 这个方程组的解为 ，故答案为：．16．解：，①﹣②×2 得：3y=3k﹣3，解得：y=k﹣1，把 y=k﹣1 代入②得：x﹣2（k﹣1）=﹣k+2，解得：x=k， x﹣y=k﹣（k﹣1）=1，故答案为：117.解：根据题中的新定义得：，①×2﹣②得：7a=35，解得：a=5，把a=5 代入①得：b=1，则原式=2×5+3×1=13，故答案为：1318.解：设 1 套文具 x 元，1 套图书 y 元，根据题意得：，①+②，得：5x+5y=220，∴x+y=44．故答案为：44．三．解答题（共 7 小题）19．解：（1），①+②得：4x=16，解得：x=4 ，把x=4 代入①得：y=2，则方程组的解为；（2），①+②×4 得：9x=54，解得：x=6，把 x=6 代入②得：y=﹣1，则方程组的解为．20.解：设调价前碳酸饮料每瓶 x 元，果汁饮料每瓶 y 元，根据题意得：，解得：，答：调价前碳酸饮料每瓶 3 元，果汁饮料每瓶 4 元．21.解：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，根据题意得：，解得：．答：小长方形地砖的长为 45 厘米，宽为 15 厘米．22.解：（1）设A种服装购进x件，B 种服装购进y件，由题意，得，解得：．答：A 种服装购进 50 件，B 种服装购进 30 件；（2）由题意，得： 3800﹣50（100×0.8﹣60）﹣30（160×0.7﹣100）=3800﹣ 1000﹣360=2440（元）．答：服装店比按标价售出少收入 2440 元．23.解：（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，根据题意得：，解得：．答：商场购进甲种节能灯 40 只，购进乙种节能灯 60 只．（2）4 0×（40﹣30）+60×（50﹣35）=1300（元）．答：商场共计获利 1300 元．24.解：设打折前A商品的单价为x元/件，B 商品的单价为y元/件，根据题意得：，解得：．打折前，购买 100 件A 商品和 200 件B 商品一共要用 100×16+200×8=320（0元），打折后，购买 100 件A商品和 200 件B商品一共要用 3200﹣640=2560（元），∴=．答：打了八折．25.解：（1）设篮球的单价为x元/个，排球的单价为y元/个，根据题意得：，解得：．答：篮球的单价为 90 元/个，排球的单价为 60 元/个．（2）按套装打折购买需付费用为：10×（90+60）×0.8+5×90+3×60=1830（元），按满减活动购买需付费用为：15×90+13×60﹣200=1930（元）．∵1830＜1930，∴按套装打折购买更划算．。
人教版中学七年级下册数学期末解答题培优卷(附答案)
人教版中学七年级下册数学期末解答题培优卷（附答案）一、解答题1．（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为12dm2的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是．（2）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；（3）在（2）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上方案就没达到目的，因此建议用如图的设计方案：正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm2，请你根据此方案求出各小路的宽度（π取整数）．2．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．3．观察下图，每个小正方形的边长均为1，（1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？（2）估计边长的值在哪两个整数之间．4．求下图44的方格中阴影部分正方形面积与边长．5．有一块正方形钢板，面积为16平方米．（1）求正方形钢板的边长．（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为3:2，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由．（参考数据：2 1.414≈）．≈，3 1.732二、解答题6．如图，∠EBF＝50°，点C是∠EBF的边BF上一点．动点A从点B出发在∠EBF的边BE 上，沿BE方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线AD∥BC．（1）在动点A运动的过程中，（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD平分∠EAC？（2）假设存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之间有何数量关系？并请说明理由；（3）当AC⊥BC时，直接写出∠BAC的度数和此时AD与AC之间的位置关系．7．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．8．已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系：；②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）AB CD．点M在AB上，点N在CD上．9．已知，//（1）如图1中，BME ∠、E ∠、END ∠的数量关系为： ；（不需要证明）；如图2中，BMF ∠、F ∠、FND ∠的数量关系为： ；（不需要证明）（2）如图 3中，NE 平分FND ∠，MB 平分FME ∠，且2180E F ∠+∠=，求FME ∠的度数；（3）如图4中，60BME ∠=，EF 平分MEN ∠，NP 平分END ∠，且//EQ NP ，则FEQ ∠的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么FEQ ∠的度数． 10．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，求证：90A C ∠+∠=︒；（2）如图2，过点B 作BD MA ⊥的延长线于点D ，求证：ABD C ∠=∠；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，且BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若AFC BCF ∠=∠，3BFC DBE ∠=∠，求EBC ∠的度数．三、解答题11．如图1，由线段,,,AB AM CM CD 组成的图形像英文字母M ，称为“M 形BAMCD ”．（1）如图1，M 形BAMCD 中，若//,50AB CD A C ∠+∠=︒，则M ∠=______； （2）如图2，连接M 形BAMCD 中,B D 两点，若150,B D AMC α∠+∠=︒∠=，试探求A ∠与C ∠的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，且AC 的延长线与BD 的延长线有交点，当点M 在线段BD 的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出A ∠与C ∠所有可能的数量关系．12．已知//PQ MN ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，90ACB EDF ∠=∠=︒，45ABC BAC ∠=∠=︒，30DFE ∠=︒，60DEF ∠=︒．（1）若三角板如图1摆放时，则α∠=______，β∠=______．（2）现固定ABC 的位置不变，将DEF 沿AC 方向平移至点E 正好落在PQ 上，如图2所示，DF 与PQ 交于点G ，作FGQ ∠和GFA ∠的角平分线交于点H ，求GHF ∠的度数； （3）现固定DEF ，将ABC 绕点A 顺时针旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF 的一条边平行时，请直接写出BAM ∠的度数．13．如图，已知//AB CD P ，是直线AB CD ，间的一点，PF CD ⊥于点F PE ，交AB 于点120E FPE ∠=︒，．（1）求AEP ∠的度数；（2）如图2，射线PN 从PF 出发，以每秒40︒的速度绕P 点按逆时针方向旋转，当PN 垂直AB 时，立刻按原速返回至PF 后停止运动：射线EM 从EA 出发，以每秒15︒的速度绕E 点按逆时针方向旋转至EB 后停止运动，若射线PN ，射线EM 同时开始运动，设运动间为t 秒．①当20MEP ∠=︒时，求EPN ∠的度数； ②当 //EM PN 时，求t 的值．14．已知点A ，B ，O 在一条直线上，以点O 为端点在直线AB 的同一侧作射线OC ，OD ，OE 使60BOC EOD ∠=∠=．（1）如图①，若OD 平分BOC ∠，求AOE ∠的度数；（2）如图②，将EOD ∠绕点O 按逆时针方向转动到某个位置时，使得OD 所在射线把BOC ∠分成两个角．①若:1:2COD BOD ∠∠=，求AOE ∠的度数；②若:1:COD BOD n ∠∠=（n 为正整数），直接用含n 的代数式表示AOE ∠． 15．如图1，//AB CD ，在AB 、CD 内有一条折线EPF ．（1）求证：AEP CFP EPF ∠+∠=∠；（2）在图2中，画BEP ∠的平分线与DFP ∠的平分线，两条角平分线交于点Q ，请你补全图形，试探索EQF ∠与EPF ∠之间的关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，已知BEP ∠和DFP ∠均为钝角，点G 在直线AB 、CD 之间，且满足1BEG BEP n ∠=∠，1DFG DFP n∠=∠，（其中n 为常数且1n >），直接写出EGF ∠与EPF ∠的数量关系．四、解答题16．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由． 17．解读基础：（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由；（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由：应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题（3）①如图3，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，请直接写出A ∠和D ∠的关系 ；②如图4，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．（4）如图5，BAC ∠与BDC ∠的角平分线相交于点F ，GDC ∠与CAF ∠的角平分线相交于点E ，已知26B ∠=︒，54C ∠=︒，求F ∠和E ∠的度数．18．如图，直线//PQ MN ，一副直角三角板,ABC DEF ∆∆中，90,45,30,60ACB EDF ABC BAC DFE DEF ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=．（1）若DEF ∆如图1摆放，当ED 平分PEF ∠时，证明：FD 平分EFM ∠．（2）若,ABC DEF ∆∆如图2摆放时，则PDE ∠=（3）若图2中ABC ∆固定，将DEF ∆沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH FH 、相交于点H （如图3），求GHF ∠的度数．（4）若图2中DEF ∆的周长35,5cm AF cm =，现将ABC ∆固定，将DEF ∆沿着CA 方向平移至点F 与A 重合，平移后的得到''D E A ∆，点D E 、的对应点分别是''D E 、，请直接写出四边形'DEAD 的周长．（5）若图2中DEF ∆固定，（如图4）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF ∆的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．19．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；（1）如图1，求BAN ∠的度数；（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数； （3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．20．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ． （1）若点E 的位置如图1所示．①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °； ②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是 ．（3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为 ．【参考答案】一、解答题1．（1）dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据此方案求出小路的宽度为【分析】（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可；（2）根据正方形的周解析：（1）2dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据此方案求出小路的宽度为3m【分析】（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可；（2）根据正方形的周长公式以及圆形的周长公式即可求出答案；（3）根据图形的平移求解．【详解】解：（1）∵正方体有6个面且每个面都相等，∴正方体的一个面的面积=2 dm2．∴正方形的棱长=2dm；故答案为：2dm；（2）甲方案：设正方形的边长为xm，则x2 =121π∴x =11π∴正方形的周长为：4x=44πm乙方案: 设圆的半径rm为，则πr2==121π∴r =11∴圆的周长为：2rπ= 22πm∴ 44π-22π=22π(2-)π∵ 4＞π∴ 2π＞∴20π-＞∴正方形的周长比圆的周长大故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym ,则（π–y）2=121π-21π∴π–yπ∴ y∵ π取整数 ∴ y； 【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握正方形的性质以及平移的性质是解题的关键；2．正方形纸板的边长是18厘米 【分析】根据正方形的面积公式进行解答． 【详解】解：设小长方形的宽为x 厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，根据题意得： ， ∴，取正值，可得，解析：正方形纸板的边长是18厘米 【分析】根据正方形的面积公式进行解答． 【详解】解：设小长方形的宽为x 厘米，则小长方形的长为2x 厘米，即得正方形纸板的边长是2x 厘米，根据题意得：2162x x ⋅=，∴281x =，取正值9x =，可得218x =， ∴答：正方形纸板的边长是18厘米． 【点评】本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式．3．（1）图中阴影部分的面积17，边长是；（2）边长的值在4与5之间 【分析】（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可解析：（1）图中阴影部分的面积17；（2）边长的值在4与5之间 【分析】（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长； （2【详解】（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：5×5−1442=17答：图中阴影部分的面积17（2）∵所以45∴边长的值在4与5之间；【点睛】本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算．4．8；【分析】用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．【详解】解：正方形面积=4×4-4××2×2=8；正方形的边解析：8；【分析】用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．【详解】解：正方形面积=4×4-4×12×2×2=8；正方形的边长【点睛】本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a5．（1）4米（2）见解析【分析】（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；（2）设长方形的长宽分别为米、米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论.【详解】解解析：（1）4米（2）见解析【分析】（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；（2）设长方形的长宽分别为3x 米、2x 米，由其面积可得x 值，比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论.【详解】解：（1）正方形的面积是16平方米，∴4=米；（2）设长方形的长宽分别为3x 米、2x 米，则3212x x •=，22x =，x34x =，24x =<，∴长方形长是4米，所以李师傅不能办到.【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是解题的关键.二、解答题6．（1）是；（2）∠B ＝∠ACB ，证明见解析；（3）∠BAC ＝40°，AC ⊥AD ．【分析】（1）要使AD 平分∠EAC ，则要求∠EAD ＝∠CAD ，由平行线的性质可得∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD解析：（1）是；（2）∠B ＝∠ACB ，证明见解析；（3）∠BAC ＝40°，AC ⊥AD ．【分析】（1）要使AD 平分∠EAC ，则要求∠EAD ＝∠CAD ，由平行线的性质可得∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD ，则当∠ACB ＝∠B 时，有AD 平分∠EAC ；（2）根据角平分线可得∠EAD ＝∠CAD ，由平行线的性质可得∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD ，则有∠ACB ＝∠B ；（3）由AC ⊥BC ，有∠ACB ＝90°，则可求∠BAC ＝40°，由平行线的性质可得AC ⊥AD ．【详解】解：（1）是，理由如下：要使AD 平分∠EAC ，则要求∠EAD ＝∠CAD ，由平行线的性质可得∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD ，则当∠ACB ＝∠B 时，有AD 平分∠EAC ；故答案为：是；（2）∠B ＝∠ACB ，理由如下：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，∴∠B＝∠ACB．（3）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠EBF＝50°，∴∠BAC＝40°，∵AD∥BC，∴AD⊥AC．【点睛】此题考查了角平分线和平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关键．7．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．8．（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°【分析】（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即解析：（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°【分析】（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．（2）①过点H作GI∥AB，利用（1）中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣（∠BMH＋∠HND），进而用等量代换得出2∠MEN＋∠MHN＝360°．②过点H作HT∥MP，由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°，由角平分线性质及邻补角可得∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣12（180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．【详解】解：（1）证明：过点E作EP∥AB交MH于点Q．如答图1∵EP∥AB且ME平分∠BMH，∴∠MEQ＝∠BME＝12∠BMH．∵EP∥AB，AB∥CD，∴EP∥CD，又NE平分∠GND，∴∠QEN＝∠DNE＝12∠GND．（两直线平行，内错角相等）∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝12∠BMH＋12∠GND＝12（∠BMH＋∠GND）．∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND．∵∠GND＋∠DNH＝180°，∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°，即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．（2）①：过点H作GI∥AB．如答图2由（1）可得∠MEN＝12（∠BMH＋∠HND），由图可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI，∵GI∥AB，∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，∵GI∥AB，AB∥CD，∴GI∥CD．∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH＋∠HND）．又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN，∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN．即2∠MEN＋∠MHN＝360°．故答案为：2∠MEN＋∠MHN＝360°．②：由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∵∠H＝∠MHN＝140°，∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．∴∠MEN＝110°．过点H作HT∥MP．如答图2∵MP∥NQ，∴HT∥NQ．∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵MP平分∠AMH，∴∠PMH＝12∠AMH＝12（180°﹣∠BMH）．∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣12（180°﹣∠BMH）＝180°．∵∠ENH＝12∠HND．∴∠ENQ＋12∠HND＋140°﹣90°＋12∠BMH＝180°．∴∠ENQ＋12（HND＋∠BMH）＝130°．∴∠ENQ＋12∠MEN＝130°．∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强．9．（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．【分析】（1）过E作EHAB，易得EHABCD，根据平行线的性质解析：（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．【分析】（1）过E作EH//AB，易得EH//AB//CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH//AB，易得FH//AB//CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝12∠BME，进而可求解．【详解】解：（1）过E作EH//AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB//CD，∴HE//CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN−∠END．如图2，过F作FH//AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB//CD，∴FH//CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK−∠KFN＝∠BMF−∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF−∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF−∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∠END，∵EQ//NP，∴∠NEQ ＝∠ENP ，∴∠FEQ ＝∠FEN −∠NEQ ＝12（∠BME ＋∠END ）−12∠END ＝12∠BME ，∵∠BME ＝60°，∴∠FEQ ＝12×60°＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键． 10．（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可； （3）设∠DBE=a ，则∠BFC=3解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）︒=∠105EBC ．【分析】（1）先根据平行线的性质得到C BDA ∠=∠,然后结合AB BC ⊥即可证明；（2）过B 作//BH DM ，先说明ABD CBH ∠=∠，然后再说明//BH NC 得到CBH C ∠=∠，最后运用等量代换解答即可；（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠C =2a ，∠FBC =12∠DBC =a +45°，根据三角形内角和可得∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，可得∠AFC =∠BCF 的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC +∠NCF =180°，代入即可算出a 的度数，进而完成解答．【详解】（1）证明：∵//AM CN ，∴C BDA ∠=∠，∵AB BC ⊥于B ，∴90B ∠=︒，∴90A BDA ∠+∠=︒，∴90A C ∠+∠=︒；（2）证明：过B 作//BH DM ，∵BD MA ⊥，∴90ABD ABH ∠+∠=︒，又∵AB BC ⊥，∴90ABH CBH ∠+∠=︒，∴ABD CBH ∠=∠，∵//BH DM ，//AM CN∴//BH NC ，∴CBH C ∠=∠，∴ABD C ∠=∠；（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=∠C=2a，又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，∠DBC=a+45°∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=12又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°∴∠BCF=135°-4a，∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，又∵AM//CN，∴∠AFC+∠NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．三、解答题11．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．（2）延长BA，DC交于E，解析：（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可；【详解】解：（1）过M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案为：50°；（2）∠A+∠C=30°+α，延长BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°，∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α；（3）①如下图所示：延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°由三角形的内外角之间的关系得：∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α．②如图所示，210-∠A=（180°-∠D CM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．【点睛】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．12．（1）15°；150°；（2）67.5°；（3）30°或90°或120°【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；（3）分当B解析：（1）15°；150°；（2）67.5°；（3）30°或90°或120°【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；（3）分当BC∥DE时，当BC∥EF时，当BC∥DF时，三种情况进行解答即可．【详解】解：（1）作EI∥PQ，如图，∵PQ∥MN，则PQ∥EI∥MN，∴∠α=∠DEI，∠IEA=∠BAC，∴∠DEA=∠α+∠BAC，∴α= DEA -∠BAC=60°-45°=15°，∵E、C、A三点共线，∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°；故答案为：15°；150°；（2）∵PQ∥MN，∴∠GEF=∠CAB=45°，∴∠FGQ=45°+30°=75°，∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，∴∠FHG=180°-37.5°-75°=67.5°；（3）当BC∥DE时，如图1，∵∠D=∠C=90 ，∴AC∥DF，∴∠CAE=∠DFE=30°，∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE，∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°；当BC∥EF时，如图2，此时∠BAE =∠ABC =45°，∴∠BAM =∠BAE +∠EAM =45°+45°=90°；当BC ∥DF 时，如图3，此时，AC ∥DE ，∠CAN =∠DEG =15°，∴∠BAM =∠MAN -∠CAN -∠BAC =180°-15°-45°=120°．综上所述，∠BAM 的度数为30°或90°或120°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．13．（1）；（2）①或；②秒或或秒【分析】（1）通过延长作辅助线，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果；（2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间解析：（1）30；（2）①2803︒或403︒；②185秒或5411或9011秒 【分析】（1）通过延长PG 作辅助线，根据平行线的性质，得到90∠=︒PGE ，再根据外角的性质可计算得到结果；（2）①当20MEP ∠=︒时，分两种情况，Ⅰ当ME 在AE 和EP 之间，Ⅱ当ME 在EP 和EB 之间，由20MEP ∠=︒，计算出EM 的运动时间t ，根据运动时间可计算出FPN ∠，由已知120FPE ∠=︒可计算出EPN ∠的度数；②根据题意可知，当//EM PN 时，分三种情况，Ⅰ射线PN 由PF 逆时针转动，//EM PN ，根据题意可知15AEM t ∠=︒，40FPN t ∠=︒，再平行线的性质可得AEM AHP ∠=∠，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；Ⅱ射线PN 垂直AB 时，再顺时针向PF 运动时，//EM PN ，根据题意可知，15AEM t ∠=︒，//ME PN ，15GHP t ∠=︒，可计算射线PN 的转动度数1809015t ︒+︒-︒，再根据PN 转动可列等量关系，即可求出答案；Ⅲ射线PN 垂直AB 时，再顺时针向PF 运动时，//EM PN ，根据题意可知，15AEM t ∠=︒，940()2GPN t ∠=-︒，根据（1）中结论，30PEG ∠=︒，60PGE ∠=，可计算出PEM ∠与EPN ∠代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．【详解】解：（1）延长FP 与AB 相交于点G ，如图1，PF CD ⊥，90PFD PGE ∴∠=∠=︒，EPF PGE AEP ∠=∠+∠，1209030AEP EPF PGE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）①Ⅰ如图2，30AEP ∠=︒，20MEP ∠=︒，10AEM ∴∠=︒，∴射线ME 运动的时间102153t ==（秒)， ∴射线PN 旋转的角度2804033FPN ︒∠=⨯︒=， 又120EPF ∠=︒，8028012033EPN EPF EPN ︒︒∴∠=∠-∠=︒-=；Ⅱ如图3所示，30AEP ∠=︒，20MEP ∠=︒，50AEM ∴∠=︒，∴射线ME 运动的时间5010153t ==（秒)， ∴射线PN 旋转的角度104004033FPN ︒∠=⨯︒=， 又120EPF ∠=︒，4004012033EPN FPN EPF ︒︒∴∠=∠-∠=-︒=； EPN ∴∠的度数为2803︒或403︒；②Ⅰ当PN 由PF 运动如图4时//EM PN ，PN 与AB 相交于点H ，根据题意可知，经过t 秒，15AEM t ∠=︒，40FPN t ∠=︒，//EM PN ，15AEM AHP t ∴∠=∠=︒，又=FPN PGH PHA ∠∠+∠，409015t t ∴︒=︒+︒，解得185t =（秒)；Ⅱ当PN 运动到PG ，再由PG 运动到如图5时//EM PN ，PN 与AB 相交于点H ，根据题意可知，经过t 秒，15AEM t ∠=︒，//EM PN ，15GHP t ∴∠=︒，9015GPH t ∠=︒-︒，PN ∴运动的度数可得，18040GPH t ︒+∠=︒， 解得5411t =；Ⅲ当PN 由PG 运动如图6时，//EM PN ，根据题意可知，经过t 秒，15AEM t ∠=︒，40180GPN t ∠=-︒，30AEP ∠=︒，60EPG ∠=︒，1530PEM t ∴∠=︒-︒，24040EPN t ∠=︒-，又//EM PN ，180PEM EPN ∴∠+∠=︒，153040240180t t ∴︒-︒+-︒=︒，解得9011t =（秒）， 当t 的值为185秒或5411或9011秒时，//EM PN ．【点睛】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键．14．（1）；（2）①；②．【分析】（1）依据角平分线的定义可求得，再依据角的和差依次可求得和，根据邻补角的性质可求得结论；（2）①根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD ，再根据比例关系可得，最 解析：（1）90AOE ∠=︒；（2）①80AOE ∠=︒；②60(120)1n AOE n -+∠=︒． 【分析】（1）依据角平分线的定义可求得30COD ∠=︒，再依据角的和差依次可求得EOC ∠和∠BOE ，根据邻补角的性质可求得结论；（2）①根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD ，再根据比例关系可得BOD ∠，最后依据角的和差和邻补角的性质可求得结论；②根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD ，再根据比例关系可得BOD ∠，最后依据角的和差和邻补角的性质可求得结论．【详解】解：（1）∵OD 平分BOC ∠，60BOC EOD ∠=∠=︒， ∴1302COD BOC ∠=∠=︒， ∴30EOC EOD COD ∠=∠-∠=︒，∴90BOE EOC BOC ∠=∠+∠=︒，∴18090AOE BOE ∠=︒-∠=︒；（2）①∵BOC EOD ∠=∠，∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD ，∴∠EOC=∠BOD ，∵60BOC ∠=︒，:1:2COD BOD ∠∠=， ∴260403BOD ∠=︒⨯=︒， ∴40EOC BOD ∠=∠=︒，∴100BOE EOC BOC ∠=∠+∠=︒，∴18080AOE BOE ∠=︒-∠=︒；②∵BOC EOD ∠=∠，∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD ，∴∠EOC=∠BOD ，∵60BOC ∠=︒，:1:COD BOD n ∠∠=， ∴6060()11n n BOD n n ∠=︒⨯=︒++， ∴60()1n EOC BOD n ∠=∠=︒+， ∴60(60)1BOE EOC BOC n n ∠=∠+∠+=︒+， ∴18060(120)1AOE BO n E n ∠=︒-∠=-︒+． 【点睛】本题考查邻补角的计算，角的和差，角平分线的有关计算．能正确识图，利用角的和差求得相应角的度数是解题关键．15．（1）见解析；（2）；见解析；（3）【分析】（1）过点作，根据平行线性质可得；（2）由（1）结论可得：，，再根据角平分线性质可得；（3）由（２）结论可得：．【详解】（1）证明：如图1，过解析：（1）见解析；（2）2360EPF EQF ∠+∠=︒；见解析；（3）360EPF n EGF ∠+∠=︒【分析】（1）过点P 作//PG AB ，根据平行线性质可得；（2）由（1）结论可得：EPF AEP CFP ∠=∠+∠，EQF BEQ DFQ ∠=∠+∠，再根据角平分线性质可得EQF BEQ DFQ ∠=∠+∠()13602EPF =︒-∠； （3）由（２）结论可得：()1EGF BEG DFG BEP DFP n ∠=∠+∠=∠+∠()1360EPF n =︒-∠． 【详解】（1）证明：如图1，过点P 作//PG AB ，∵//AB CD ，∴//PG CD ，∴1AEP ∠=∠，2CFP ∠=∠，又∵12EPF ∠+∠=∠，∴AEP CFP EPF ∠+∠=∠；（2）如图2，由（1）可得：EPF AEP CFP ∠=∠+∠，EQF BEQ DFQ ∠=∠+∠，∵BEP ∠的平分线与DFP ∠的平分线相交于点Q ， ∴1()2EQF BEQ DFQ BEP DFP ∠=∠+∠=∠+∠ []()11360()36022AEP CFP EPF =︒-∠+∠=︒-∠， ∴2360EPF EQF ∠+∠=︒；（3）由（２）可得：EPF AEP CFP ∠=∠+，EGF BEG DFG ∠=∠+∠，∵1BEG BEP n ∠=∠，1DFG DFP n∠=∠， ∴1()EGF BEG DF nG BEP DFP ∠=∠+∠=∠+∠ []()11360()360AEP CFP EPF n n=︒-∠+∠=︒-∠， ∴360EPF n EGF ∠+∠=︒；【点睛】考核知识点：平行线性质和判定的综合运用．熟练运用平行线性质和判定是关键．四、解答题16．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得，解析：(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．【详解】（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠DFE ＝90°，∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，∴∠C ＝∠FDE ，∴AC ∥DE ，∴∠CAF ＝∠E ，∴∠CAF ＝∠E ＝∠B故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°∴∠BAF ＝∠C又AC ∥DE ，∴∠C ＝∠CDE ，∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；（2）①∵90BAC ∠=︒∴90B C ∠+∠=︒又∵50C B ∠∠︒-=，∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）； 当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）；综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．17．（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； .【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结解析：（1）D A B C ∠=∠+∠+∠，理由详见解析；（2）A D B C ∠+∠=∠+∠，理由详见解析：（3）①1902D A ∠=︒+∠；②360°；（4）124E ∠=︒； =14F ∠︒.【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；②连结BE ，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论；（4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论．【详解】（1）D A B C ∠=∠+∠+∠．理由如下：如图1，BDE B BAD ∠=∠+∠，CDE C CAD ∠=∠+∠，BDC B BAD C CAD B BAC C ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，D A B C ∴∠=∠+∠+∠； （2）A D B C ∠+∠=∠+∠．理由如下：在ADE ∆中，180AED A D ∠=︒-∠-∠，在BCE ∆中，180BEC B C ∠=︒-∠-∠，AED BEC ∠=∠，A D B C ∴∠+∠=∠+∠；（3）①180A ABC ACB ∠=︒-∠-∠，180D DBC DCB ∠=︒-∠-∠，BD 、CD 分别平分ABC∠和ACB ∠，∴1122ABC ACB DBC DCB ∠+∠=∠+∠，1111180()180(180)902222D ABC ACB A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠． 故答案为：1902D A ∠=︒+∠．②连结BE ．∵C D CBE DEB ∠+∠=∠+∠，360A B C D E F A ABE F BEF ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒． 故答案为：360︒；。
七年级(下)数学培优试题(八)含答案
七年级（下）数学培优试题（八）含答案（150分, 120分钟）一、请你精心选一选: （本题共10小题, 每题4分, 共40分）每题给出4个答案, 其中只有一个是正确的, 请把选出的答案编号填在上面的答题表中, 否则不给分.1下列运算正确的是（）A. B. C. D.2．下列各条件中, 不能作出惟一三角形的是（）（A）已知两边和夹角（B）已知两边和其中一边的对角（C）已知两角和夹边（D）已知三边3.若x2+mx+25是完全平方式, 则m的值是（）A 、10或-10 B. C. –１０ D.4.．在“石头、剪刀、布”的猜拳游戏中, 俩人出拳相同的概率的是（）A. B. C. D.5.某人骑自行车沿直线旅行, 先前进了akm,休息了一段时间后又按原路返回bkm(b<a),再前进ckm, 则此人离出发点的距离s与时间t的关系示意图是（）A． A.7cm B.3cm C.7cm或3cm D.5cmB．7. 下列语句正确的是（）C．近似数0.009精确到百分位...D．近似数800精确到个位,有一个有效数字.E．近似数56.7万精确到千位,有三个有效数字.F．近似数510670.3 精确千分位.8. 如图, ⊿ABC中, CD⊥BC于C, D点在AB的延长线上, 则CD是⊿ABC（）A.BC边上的高B.AB边上的高C.AC边上的高D.以上都不对9．如图, 已知AB=AC, E是角平分线AD上任意一点, 则图中全等三角形有（）A.4对B、3对C、2对D、1对10. 有一游泳池注满水, 现按一定的速度将水排尽, 然后进行清扫, 再按相同的速度注满清水, 使用一段时间后,又按相同的速度将水排尽, 则游泳池的存水量V（立方米）随时间t（小时）变化的大致图象可以是（）二、请你耐心填一填: （共10小题, 其中第15.16.18题4分, 第20题5分, 其余每题3分, 共35分, 请将答案填入答题表中）11．已知是关于的一个单项式, 且系数是5, 次数是7, 那么,n。
《第八章二元一次方程组》单元测试培优卷 2021-2022学年人教版数学七年级下册
《第八章二元一次方程组》单元测试培优卷 2021-2022学年人教版数学七年级下册一、相信你的选择1. 某校运动员分组训练,若每组7人,余3人;若每组8人,则缺5人;设运动员人数为x 人,组数为y 组,则列方程组为 ( ) A ､⎩⎨⎧=++=x y x y 5837 B ､⎩⎨⎧=-+=x y x y 5837 C ､⎩⎨⎧+=-=5837x y x y D ､⎩⎨⎧+=+=5837x y x y2. 若方程mx-2y=3x+4是关于x ､y 的二元一次方程,则m 的取值范围是( )A ､m≠0B ､m≠3C ､m≠-3D ､m≠23. 由123=-y x,可以得到用x 表示y 的式子( ) A. 322-=x y B. 3132-=x y C. 232-=x y D. 322x y -= 4. 若二元一次方程123=-y x 有正整数解,则x 的取值应为( ) A ､正奇数 B ､正偶数 C ､正奇数或正偶数 D ､05. 已知 ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==3221y x y x 和都满足方程y=kx-b,则k ､b 的值分别为( ) A.一5,—7 B.—5,—5 C.5,3 D.5,76. 方程组327413x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是( ) A.13x y =-⎧⎨=⎩ B.31x y =⎧⎨=-⎩ C.31x y =-⎧⎨=-⎩ D.13x y =-⎧⎨=-⎩7. 解二元一次方程组的基本思想是( ).A ､代入法B ､加减法C ､消元,化二元为一元D ､由一个未知数的值求另一个未知数的值8. 已知x=3-k,y=k+2,则y 与x 的关系是( )A ､x+y=5B ､x+y=1C ､x-y=1D ､y=x-19. 方程2x-3y=5,x=3,33=+yx ,3x-y+2z=0,62=+y x 中是一元一次方程的有( )个｡A ､0B ､1C ､2D ､310. 将方程31x+2y=1中的x 项的系数化为2,则下列结果中正确的是( ).A ､2x+6y=1B ､2x+2y=6C ､2x+6y=3D ､2x+12y=611. 二元一次方程x+2y=12在正整数解有( )组.A. 3B. 4C. 5D. 无数12. 如图所示的两架天平保持平衡,且每块巧克力的质量相等,•每个果冻的质量也相等,则一块巧克力的质量是( )A.20gB.25gC.15gD.30g二、试试你的身手13. 若一个二元一次方程的一个解为21x y =⎧⎨=-⎩,则这个方程可以是: _____________(只要求写出一个)14. 已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2,当k=______时,方程为一元一次方程;当k=______时,方程为二元一次方程｡15. 已知32111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩和都是ax+by=7的解,则a=_______,b=______. 16. 甲乙两数的和为10,其差为2,若设甲数为x,乙数为y,则可列方程组为___________17. 如果63)2(1||=---a x a 是关于x 的一元一次方程,那么aa 12--=_________｡ 18. 若x 3m-3-2y n-1=5是二元一次方程,则m=_____,n=______.19. 已知方程3x+5y-3=0,用含x 的代数式表示y,则y=________.20. 解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx bx ax 时,一学生把c 看错而得到⎩⎨⎧=-=22y x ,而正确的解是⎩⎨⎧-==23y x ,那么c b a 、、的值分别是____________________________.三、挑战你的技能21. 为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神,有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点,对彩电､冰箱(含冰柜)､手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补.企业数据显示,截至2008年12月底,试点产品已销售350万台(部),销售额达50亿元,与上年同期相比,试点产品家电销售量增长了40%.(1)求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台(部)?(2)如果销售家电的平均价格为:彩电每台1500元,冰箱每台2000元,•手机每部800元,已知销售的冰箱(含冰柜)数量是彩电数量的23倍,求彩电､冰箱､手机三大类产品分别销售多少万台(部),并计算获得的政府补贴分别为多少万元?22. 甲乙两人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y Cx By Ax ｡甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x ､乙因抄错C,解得⎩⎨⎧-==62y x ,求:A ､B ､C 的值｡23. 甲乙二人在上午8时,自A ､B 两地同时相向而行,上午10时相距36km,•二人继续前行,到12时又相距36km,已知甲每小时比乙多走2km,求A,B 两地的距离.24. 某商场按定价销售某种电器时,每台可获利48元,•按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等.求该电器每台的进价､•定价各是多少元?25. 据统计资料,甲乙两种作物的单位面积产量之 比为1:1.5,现要把一块长200 米,宽100米的长方形土地分成两小块长方形土地分别种植这两种 作物,怎样划分这块土地,使甲 ､乙两种 作物的总产量之 比为3:4?﹙结果取整数﹚26. 小刚有20页的练习本和30页的练习本共20本,其中20页的练习本比30页的练习本的2倍少4本,小刚20页､30页的练习本各有多少本?(只列方程组)。
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D
A 2
E
1
B
C
赣州四中初一下学期数学培优试卷（八）
班级： 姓名： 学号： 得分： 一、选择题（每题6分，共18分）
1.平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3
2.已知方程组2342x y ax by -=⎧⎨
+=⎩与356
4
x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩有相同的解，则a 、b 的值为 ( )
A ．12a b =-⎧⎨=-⎩
B ．12a b =⎧⎨=⎩
C ．21a b =-⎧⎨=⎩
D ．12a b =⎧⎨=-⎩
3.为了求2008
3
2
2
221++++ 的值，可令S ＝2008
322
221++++ ，则2S ＝
20094322222++++ ，因此2S-S ＝122009-，所以2008322221++++ ＝122009-．仿
照以上推理计算出2009
3
2
5
5551+++++ 的值是（ ）
A ．152009
- B.152010- C.41
52009- D.41
52010-
二、解方程组（每小题10分，共20分）
4. 234,443;x y x y +=⎧⎨
-=⎩ 5.200520062004,
200420052003.x y x y -=⎧⎨-=⎩
三、解答题（15+15+16+16+20分）
6.如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．
7. （用方程组解答,提示：可列表找关系）学生问老师:“你今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经37岁了”.请问老师今年多少岁，学生今年多少岁？
8.探索：把0.323232……（即0.3·2·
）化成分数． 解：设x=3·2·
=0.32+0.0032+0.000032+…… ① 将方程①两边都乘以100得：
100x=32+0.32+0.0032+0.000032+…… ② ②－①得100x －x=32
99x=32
x= 32
99
所以0.3·2·= 32
99
9. 原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图
形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）
10.如图所示，在直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为正方形，其边长为4，有一动点P ，自O 点
出发，以2个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O 运动，问何时S △PBC ＝4？并求此时P 点的坐标．
请你用同样方法，把0.5·
化成分数.。