【全国百强校】江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试理数(解析版)
2017届江西省吉安一中高三上学期期中考试理科数学试题及答案 精品
江西省吉安一中2017届高三上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 复数iiz +-=12在复平面内对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合{}x y x A 2log |==，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y B )21(|，则=B A A. {}10|<<x xB. {}0|>x xC. {}1|≥x xD. ∅3. 若“10<<x ”是“0)]2()[(≤+--a x a x ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 A. ]0,1[-B. )0,1(-C. ),1[]0,(+∞⋃-∞D. ),0()1,(+∞⋃--∞4. 设4)(-+=x e x f x ，则函数)(x f 的零点位于区间 A. )0,1(-B. )1,0(C. )2,1(D. )3,2(5. 已知)2,0(π∈a 33cos =a ，则)6cos(π+a 等于A.6621-B. 661-C. 6621+-D. 661+- 6. 一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等比数列，则这个数可能为 A. 3B. 31C. 10D. 07. 已知向量、满足1=3=的取值范围为A. [1,2]B. [0,4]C. [1,3]D. [2,4]8. 将函数)sin()(ϕω+=x x f ，（R x ∈）的图象向左平移2π个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于 A. 4B. 6C. 8D. 129. 数列{}n a 满足121==a a ，*)(32cos21N n n a a a n n n ∈=++++π，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20S 的值为A. －4B. －1C. 8D. 510. 已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当)2,2(ππ-∈x 时，x e x f x sin )(+=，则 A. )3()2()1(f f f << B. )1()3()2(f f f << C. )1()2()3(f f f << D. )2()1()3(f f f <<二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.⎰-=-+112)1(sin x x ____________。
江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第四次周考(12.29)理数试题(附答案)
江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第四次周考（12.29）理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若()121ai i bi +=-，其中 a b R ∈，，i 是虚数单位，则a bi +=（ ）A ．12i +BCD ．542.已知{}2M y R y x =∈=，{}222N x R x y =∈+=，则M N = （ ）A ．()(){}1 1 1 1-，，，B ．{}1C ．[]0 1，D ．0 ⎡⎣3.下列说法中正确的是（ ）A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --<C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”4.若0 2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且23cos cos 2210παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．12 B ．13 C.14 D ．155.执行如图所示的程序框图，输出20152016s =，那么判断框内应填（ ）A ．2015?k ≤B ．2016?k ≤ C.2015?k ≥ D ．2016?k ≥ 6.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．32 BC.12D7.已知变量 x y ，满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则32x y x +++的取值范围是（ ） A ．52 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．55 42⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.45 52⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．5 24⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 8.在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC S =△，6a b +=，cos cos 2cos a B b AC c+=，则c =（ ）A． B． C.4 D． 9.已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A ．1 4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，B ．1 4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， C.()0 +∞， D ．() 0-∞， 10.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，且n a ，1n a +是函数()22n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ）A ．24B ．32 C.48 D ．6411.如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．6π B ．3πD12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()()()5sin 01421114xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()20 f x af x b a b R ++=∈⎡⎤⎣⎦，有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．59 24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．9 14⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C.599 1244⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， D ．5 12⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知0sin a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．14.如果满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的三角形ABC 有且只有一个，那么k 的取值范围是 ．15.设α为锐角，向量()cos sin a αα= ，，()1 1b =-，，且a b ⋅=，则5sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．16.如图，已知2F ，1F 是双曲线()222210 0y x a b a b-=>>，的上、下焦点，过点2F 作以1F 为圆心，1OF 为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足2632n n n S a a =++，且2a 是1a 和6a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]2log 31=，[]2log 52=，记25log 3n n a b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}22n n b ⋅的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A B AC ⊥，且15A B AC ==，113AA BC ==，且12AB =.（1）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ； （2）求二面角1A BB C --的正切值的大小. 19. （本小题满分12分）语文成绩服从正态分布()2100 17.5N ，，数学成绩的频率分布直方图如图所示，如果成绩大于135的则认为特别优秀.（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.附：若()2 X N μσ～，()0.68P X μσμσ-<≤+=.()220.96P X μσμσ-<≤+=.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：()220x py p =>，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且16MN =.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点()0 4D ，，若动圆P 与x 轴交于A ，B 两点，且DA DB <，求DA DB的最小值.21. （本小题满分12分）已知函数()()()2ln 10f x x ax a =++≤.（1）若函数()f x 在0x =处取得极值，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）证明：2111111983n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…*n N ∈，e 为自然对数的底数）. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0ϕπ≤≤），以O 为极点，x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求半圆C 的极坐标方程（2）直线的极坐标方程是()sin ρθθ+=射线:3OM πθ=与半圆C 的交点为O ，P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()124f x f x +++<；（2）已知2a >，求证：x R ∀∈，()()2f ax af x +>恒成立.高三数学周考（四）参考答案（理科）一、选择题1-5:CDDBA 6-10:BBBAD 11、12：AC 二、填空题13.80- 14.k =012k <≤ 16.2 三、解答题17.（1）由2632n n n S a a =++，①当1n =时，2111632a a a =++，∴11a =或12a =，∴{}n a 是公差为3的等差数列，当12a =时，25a =，617a =，不满足2a 是6a 的等比中项， 当11a =时，24a =，616a =，满足2a 是1a 和6a 的等比中项， ∴()11332n a n n =+-⨯=-.…………………………6分 （2）由32n a n =-，得()22325log log 13n n b n -+⎡⎤==+⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦，∴()22log 21n nb ⎡⎤=+⎣⎦.由符号[]x 的定义知，[]22log 31b ==，[]42log 52b ==，…，∴()22log 21n nb n ⎡⎤=+=⎣⎦，∴1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯…①234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯…②①－②得()()12311121222222212212n nn n n n T n n n +-+--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…，()1122n n T n +=-⨯-.………………12分18.（1）在ABC △中，∵222AB AC BC +=，∴AC AB ⊥， ∵1A B AC ⊥，且1A B ，AB 是平面11ABB A 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面11ABB A ，又AC ⊂平面11ACC A ，∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A ………………5分 (2)在1ABA △中，∵22211A B AB AA +=，∴1A B AB ⊥， 又∵1A B AC ⊥且AB ，AC 是面ABC 内的两条相交直线， ∴1A B ⊥面ABC ，……………………………………7分因而，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0 0 0B ，，，()12 0 0A ，，，()12 5 0C ，，，()10 0 5A ，，，由11BB AA =得()112 0 5B -，，.……………………8分 取平面11ABB A 的一个法向量()10 1 0n =，，， 设平面11BCC B 的一个法向量()2 n x y z =，，，由21200n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得12501250x z x y -+=⎧⎨+=⎩， 取5x =，则()2 5 12 12n =-，，，……………………10分∴121212cos n n n n n n ⋅<>==⋅，，设二面角1A BB C --的大小为θ，则cos θ=13tan 12θ=. ∴二面角1A BB C --的正切值的大小为1312.………………………………12分19.（1）语文特别优秀的同学有10人，数学特别优秀的同学有12人.…………………………4分 （2）……………………………………9分()98E X =.………………………………12分 20.（1）设抛物线的焦点为0 2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线l ：2p y x =+， 由222p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x px p --=.……………………………………2分 ∴122x x p +=，∴123y y p +=， ∴12416MN y y p p =++==，∴4p =.∴抛物线C 的方程为28x y =.…………………………5分（2）设动圆圆心()00 P x y ，，()1 0A x ，，()2 0B x ，，则2008x y =且圆P ：()()()222200004x x y y x y -+-=+-，令0y =，整理得22002160x x x x -+-=，解得104x x =-，204x x =+， (7)分DA DB=当00x =时，1DA DB =，当00x ≠时，DA DB=∵00x >，∴0032x x +≥1DA DB≥.11<，所以DA DB1.………………………………12分21.（1）∵()22'1xf x x=-，∵0x =是()f x 的一个极值点，则 ()'00f =，∴0a =，验证知0a =符合条件.……………………2分（2）∵()22222'11x ax x af x a x x ++=+=++， ①若0a =时，∴()f x 在()0 +∞，单调递增，在() 0-∞，单调递减； ②若00a <⎧⎨∆≤⎩得，当1a ≤-时，()'0f x ≤对x R ∈恒成立，∴()f x 在R 上单调递减；………………………………4分 ③若10a -<<时，由()'0f x >得220ax x a ++>，x <<， 再令()'0f x <，可得x>或x <，∴()f x在⎝⎭上单调递增，在 ⎛-∞ ⎝⎭和 ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上单调递减.……………………6分 综上所述，若1a ≤-时，()f x 在() -∞+∞，上单调递减， 若10a -<<时，()f x在⎝⎭上单调递增， ⎛-∞ ⎝⎭和 ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上单调递减；若0a =时，()f x 在()0 +∞，上单调递增，在() 0-∞，上单调递减.…………………………………………7分 （3）由（2）知，当1a =-时，()f x 在() -∞+∞，单调递减， 当()0 x ∈+∞，时，由()()00f x f <=， ∴()2ln 1x x +<， ∴2221111111111111133ln 111ln 1ln 1ln 111981398133332313n n n n n ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++=++++++<+++==-<⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-………∴1221111119813n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…分 22.（1）半圆C 的普通方程为()()221101x y y -+=≤≤， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以半圆C 的极坐标方程是=2cos ρθ，0 2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.…………………………5分 （2）设()11 ρθ，为点P 的极坐标， 则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()22 ρθ，为点Q 的极坐标，则有()2222sin 3ρθθπθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以124PQ ρρ=-=，所以PQ 的长为4.……………………………………10分23.（1）()()124f x f x +++<，即14x x -+<，①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-， ∴302x -<≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立， ∴01x <≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <， ∴512x <<是不等式的解. 综上所述，不等式的解集为35 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，.……………………5分 （2）∵2a >，∴()()22f ax af x ax a x +=-+-22ax ax a =-+-22ax a ax =-+-22222ax a ax a ≥-+-=->. ∴x R ∀∈，()()2f ax af x +>恒成立.………………………………10分。
【全国百强校】江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第一次段考试理数试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22|4,,|log 2,A x x x R B x x x Z =≤∈=≤∈，则A B = （ ） A ．()0,2 B ．[]0,2 C ．{}0,1,2 D ．{}1,2 【答案】D考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．45-B ．45C ．725-D ．725【答案】D 【解析】试题分析：3187cos cos sin 1sin 2sin 2452525πααααα⎛⎫+=⇒-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭，选D. 考点：同角三角函数关系【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。
3.执行如图所示的程序框图，若输入的{}1,2,3n ∈，则输出的s 属于（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,3,9 【答案】A考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 4.给出下列三个命题：①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题； ②若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20xp x R ⌝∃∈≤，其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可. 5.函数()1ln f x x x=+的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：()()11,22,f f -=-≠所以不选A,C; ()110,f e e-=->所以不选D ，选B. 考点：函数图像6.已知变量,x y 满足条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点()3,0处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.7.已知圆22:1C x y +=，点(),2M t 若C 上存在两点,A B 满足MA AB =，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]3,3-C ．⎡⎣D ．[]5,5-【答案】C 【解析】试题分析：设圆心C 到直线ABM 距离为d ，2298OM d ==-，因为201d ≤≤，所以2219149OM t t ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤，选C.考点：直线与圆位置关系 8.已知函数()cos6xf x π=，集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =，现在从M 中任取两个不同的元素,m n ，则()()0f m f n = 的概率为（ ）A ．512 B ．712 C ．718 D ．79【答案】A 【解析】试题分析：从M 中任取两个不同的元素共有2972A =种方法，()cos03,96xf x x π==⇒=，所以使()()0f m f n = 有2822=30⨯⨯-种方法，所求概率为305=7212，选A. 考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9.在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =则正三棱锥S ABC -的外接球的体积为（ ）A B ． C ． D ．6π 【答案】B考点：正三棱锥的外接球【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 10.已知函数()f x 与()g x 满足：()()()()22,11f x f x g x g x +=-+=-，且()f x 在区间[)2,+∞上为减函数，令()()()h x f x g x = ，则下列不等式正确的是（ ）A ．()()24h h -≥B ．()()24h h -≤C ．()()04h h >D ．()()04h h < 【答案】B 【解析】试题分析：()()()22f x f x f x +=-⇒关于2x =对称，()f x 在区间[)2,+∞上为减函数，所以()f x 在区间(,2]-∞上为增函数，而()()112g x g x T +=-⇒=，所以()()2=(2)|(2)|(6)|(4)|,4(4)|(4)|(2)h f g f g h f g h ---==≥-，()()04h h =，选B.考点：函数性质综合应用11.已知数列{}n a 满足()*11n a n N +=+∈，则使不等式20162016a >成立的所有正整数1a 的集合为（ ）A ．{}*111|2016,a a a N ≥∈B ．{}*111|2015,a a a N ≥∈ C ．{}*111|2014,a a a N ≥∈ D ．{}*111|2013,a a a N ≥∈ 【答案】A考点：等差数列定义【方法点睛】证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn12.在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且2,1,2AB AD CD x ===，其中()0,1x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，则t 的最大值是（ ）A B ．2 D 【答案】B 【解析】试题分析：由平几知识可得1BD =，所以12121e e e e ==⇒=，因为12111e e e e +=+在()0,1x ∈上单调递减，所以12e e +>=12t e e <+恒成立，得t ≤，即tB. 考点：椭圆与双曲线离心率【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2) 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的定义及几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是____________．【答案】(考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi14.如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点,P Q ，若060PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线的离心率为____________．【解析】试题分析：因为060PAQ ∠=，所以PAQ ∆为正三角形，设AP m =,则,OB AB m ==，其中B 为PQ的中点，所以PQb kc e a ===⇒=⇒=考点：双曲线渐近线15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为_____________．考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．16.对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩仿此，若3m 的“分裂”数中有一个是73，则m 的值为_____________． 【答案】9【解析】试题分析：732361=⨯+，23835+++= ，所以m 的值为9 考点：归纳三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23C π=，且()(222a b c bc --=． （1）求角B 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1cos 21a B = ，且248,,a a a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）6B π=（2）1n nS n =+11111122311n nS n n n =-+-++-=++试题解析：（1）由()(222a b c bc --=得222a b c --=，所以222cos 2b c a A bc +-==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴6A π=，由23C π=，得6B π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设数列{}n a 的公差为d ，由（1）得112cos3a π==，且2425a a a =，∴()()()211137a d a d a d +=++，又0d ≠，∴2d =，∴2n a n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴14111n n a a n n +=-+，∴11111122311n nS n n n =-+-++-=++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：余弦定理，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n ≥2)或1n （n ＋2）.18.（本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，点P 在平面ABCD 内的射影H 在棱AD 上， PA PD ⊥，底面ABCD 是梯形，//,BC AD AB AD ⊥，且1,2AB BC AD ===．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若直线AC 与PD 所成角为60°，求二面角A PC D --的余弦值． 【答案】（1）详见解析（2）13-∵,,,AB AD AD PH H AD PH ⊥=⊂ 平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵AC 与PD 所成角为60°， ∴1cos ,2AC = ， ∴()222a h -=，∴()()210a a --=，∵02a <<，∴1a =，∵0h >，∴1h =，∴()0,1,1P ．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0AP AC PC DC ===-=-，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =， 由00n AP y z n AC x y ⎧=+=⎨=+=⎩ ，得平面APC 的一个法向量为()1,1,1n =-．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面DPC 的法向量为(),,m x y z =，由00m PC x z m DC x y ⎧=-=⎨=-=⎩ ，得平面DPC 的一个法向量为()1,1,1．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴1cos ,3m n m n m n == ， ∵二面角A PC D --的平面角为钝角， ∴二面角A PC D --的余弦值为13-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：面面垂直判定定理，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.（本小题满分12分）某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A B、两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B队的平均分比A队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．（1）根据茎叶图中的数据，求出A队第六位选手的成绩；（2）主持人从A队所有选手成绩中随机抽取2个，求至少有一个为“晋级”的概率；（3）主持人从A B、两队所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）20（2）35（3）ξ的分布列见解析，数学期望为2列，根据公式求数学期望()()()()22422266112211242442226611112222244222442266111112242244226660;225561;2251012;225563;225C C P C C C C C C C C P C C C C C C C C C C P C C C C C C C C P C C ξξξξ===+===++===+===()1224226664225C C P C C ξ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴ξ的分布列为∴()566012342225225225225225E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：古典概型概率，分布列与数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝，点A B 、分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 是椭圆C 上不同于顶点的两点，且OMN ∆．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 作//AP OM 交椭圆C 于点P ，求证：//BP ON ．【答案】（1）22142x y +=（2）详见解析+20M N N M x x y y =，即12OM ON k k =-试题解析：解：（1）由题意得22222211a b c e a a b c ⎧⎪⎪⎝⎭+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆C 的方程为22142x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分同理可得N ⎛ ⎝，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 作MM x '⊥轴，NN x '⊥轴，点,N M ''是垂足，OMN OMM ONN MM N N S S S S ''∆∆∆''=--梯形()()12M N M N M M N N y y x x x y x y =+--+⎡⎤⎣⎦ ()1122M N N M x y x y =-==， 已知OMN S ∆=，化简可得12OM ON k k =- ，考点：直线与椭圆位置关系【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.（本小题满分12分）设函数()()()2,ln 0f x x g x m x m ==>，已知()(),f x g x 在0x x =处的切线l 相同． （1）求m 的值及切线l 的方程；（2）设函数()h x ax b =+，若存在实数,a b 使得关于x 的不等式()()()1g x h x f x ≤≤+对()0,+∞上的任意实数x 恒成立，求a 的最小值及对应的()h x 的解析式．【答案】（1）2m e =，y e =-（2）a 的最小值为2，()2h x x =【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得()()00f x g x ''=，又切点相同，所以()()00f x g x =，从而可列方程组002m x x =且200ln x m x =，解得001ln ,2x x ==，2022m x e ==，再根据点斜式得切线方程：y e x -=-（2）由题意可得()h x ax b =+为函数()()21,2ln s x x g x e x =+=的一条公切线，先求公切线，易得：22112212ln 122e x x e x x x x --==-，解得21,1,x e x ==公切线为2y x =，再证22ln 21e x x x ≤≤+恒成立试题解析：解：（1）()()2,m f x x g x x''==，①由()()1h x f x ≤+对()0,x ∈+∞恒成立，即210x ax b --+≥对()0,x ∈+∞恒成立，所以()()2410a b ∆=---+≤，解得214a b ≤-+① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 ②由()()g x h x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，即设()()2ln ,0,G x e x ax b x =--∈+∞，则()22e a x e a G x a x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-=，令()0G x '=，得2e x a =， 当20,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,G G x x '>单调递增； 当2,e x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,G G x x '>单调递减， 故()max 2222ln 22ln e e G x G e e b e b a a e ⎛⎫==--=-⎪⎝⎭， 则22ln 0e b a -≤，故得22ln e b a≤，② 由①②得222ln 14a eb a ≤≤-+，③)e内存在一个零点0t，故不等式22ln10t e t-++≥的解为01t t≤≤即12at≤≤，得22a t≤≤，因此a的最小值为2，代入③中得00b≤≤，故0b=，此时对应的()h x的解析式为()2h x x=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：导数几何意义【思路点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知D为ABC∆的BC边上一点，1O经过点,B D，交AB于另一点E，2O经过点,C D，交AC于另一点1,F O与2O交于点G．（1）求证：EAG EFG∠=∠；（2）若2O 的半径为5，圆心2O 到直线AC 的距离为3，10,AC AG =切2O 于点G ，求线段AG 的长．【答案】（1）详见解析（2）AG =∴,AEG BDG AFG CDG ∠=∠∠=∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又0180BDG CDG ∠+∠=，∴0180AEG AFG ∠+∠=，即,,G,F A E 四点共圆，∴EAG EFG ∠=∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵2O 的半径为5，圆心2O 到直线AC 的距离为3，∴由垂径定理知8FC ==，又10AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴2AF =，∵AG 切2O 于点G ，∴221020AG AF AC ==⨯= ，∴AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：四点共圆，切割线定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程设点A 的极坐标为()1111,0,02πρθρθ⎛⎫≠<< ⎪⎝⎭，直线l 经过A 点，且倾斜角为α． （1）证明：l 的极坐标方程是()()11sin sin ρθαρθα-=-；（2）若O 点到l 的最短距离1d ρ=，求1θ与α间的关系．【答案】（1）详见解析（2）12παθ-=在OAP ∆ 中，由正弦定理得()()11sin sin ρρπθααθ=+--， 得直线l 的极坐标方程()()11sin sin ραθραθ-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）依题意OA l ⊥，所以12παθ-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：直线极坐标方程24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知适合不等式2435x x p x -++-≤的x 的最大值为3．（1）求p 的值；（2）求x 的范围．【答案】（1）p 8=（2）{}|23x x ≤≤【解析】试题分析：（1）由不等式解集与方程根的关系得234333=5p -⨯++-，解得82p p ==-或；当8p =时，根据绝对值定义可解得不等式解集为{}|23x x ≤≤，当2p =-时，根据绝对值定义可解得不等式解集为|03x x x ⎧⎪≤≤≤≤⎨⎪⎩或，不满足题意（2）由（1）可得x 的范围考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．：。
【全国百强校】江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试物理(解析版)
一、选择题：1-7题为单选题，8-10为多选题1、质点在一恒力作用下从静止开始运动，恒力所做的功与力的作用时间关系图线可能是：A ．直线AB ．曲线BC ．曲线CD ．直线D 【答案】B 【解析】考点：功；匀变速直线运动【名师点睛】对于图象问题，根据物理规律得到解析式，再运用数学知识分析选择图象，是常用的方法和思路。
2、如图所示，一个质点做匀加速直线运动，依次经过a 、b 、c 、d 四点，已知经过ab 、bc 和cd 三段所用时间之比为3：2：1，通过ab 和cd 位移分别为x 1和x 2，则bc 位移为（ ）A ．122x x + B ．1254x x + C ．122129x x + D ．条件不足，无法求解 【答案】B 【解析】试题分析：设质点经过ab 、bc 和cd 三段所用时间分别为3t 、2t 和t ，设各段时间t 内的位移分别为：s 1、s 2、s 3、s 4、s 5和s 6，由题可得：x 1=s 1+s 2+s 3；x 2=s 6…① 设bc 段的位移为x ，则：x=s 4+s 5…②根据公式：△x=aT 2，则：（x+x 2）-x 1=(s 4+s 5+s 6)−(s 1+s 2+s 3)＝9at 2…③ 同时，由于：s 2-s 1=s 3-s 2， 所以得：s 1+s 3=2s 2…④结合①④可得：x 1=s 1+s 2+s 3=3s 2…⑤而：s 6−s 2＝4at 2，即：x 2−13x ＝4at 2…⑥ 联立③⑥可得：x=1254x x 故选B.考点：匀变速直线运动的规律的应用【名师点睛】本题是多种解法，也可以设出初速度及加速度根据匀变速直线运动的公式求解，但过程较为复杂，应注意此种解法的灵活应用.3、如图所示的电路中，A 1和A 2为理想电流表，示数分别为I 1和I 2，R 1：R 2：R 3=1：2：3；当ab 两点间加以恒定的电压U 后，下列结论正确的是（ ）A ．I 1：I2=3：4B ．I 1：I 2=4：9C ．将A 1、A 2换成理想电压表，其示数之比为3：5D ．将A 1、A 2换成理想电压表，其示数之比为1：1 【答案】C 【解析】故C正确，D错误；故选C.考点：串、并联电路的特点；欧姆定律【名师点睛】本题考查了串、并联电路的特点和欧姆定律的应用，画出两种情况的等效电路图和电路连接方式、电流表、电压表所测电路元件的判断是关键.4、如图所示，平行金属板中带电质点P处于静止状态，不考虑电流表和电压表对电路的影响，当滑动变阻器R4滑片向b端移动时（）A．质点P将向上运动B．电流表读数减小C．电压表读数减小D．R3上消耗的电功率增大【答案】C【解析】考点：电路的动态分析【名师点睛】本题考查闭合电路的欧姆定律，一般可以先将分析电路结构，电容器看作开路；再按部分-整体-部分的分析思路进行分析。
数学---江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试(文)
江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试（文）一、选择题（每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．2－i B ．－2－i C ．－2＋i D ．2＋i2．“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A ．33x y >B. sin sin x y >C. 22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 4.已知命题:P x x R x 32,<∈∀；命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ）A. p ∧qB.￢p ∧qC.p ∧￢qD.￢p ∧￢q5.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞- 6.不等式|2x －log 2x |<2x ＋|log 2x |成立，则( )A ．1<x <2B ．0<x <1C ．x >1D ．x >2 7. 曲线y ＝3x －x 3上切点为P (2，－2)的切线方程是( )A ．y ＝－9x ＋16B ．y ＝9x －20C ．y ＝－2D ．y ＝－9x ＋16或y ＝－28．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C的焦距等于（ ）A ．2 B． C ．4 D．9. 不等式|对任意实数x 恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 设a,b ∈R ,定义运算“∧”和“∨”如下:2x+3|-|x-1|3a a ≤-a (,1][4,)-∞-⋃+∞(,1)(4,)-∞-⋃+∞(,4](1,)-∞-⋃+∞(,1](1,)-∞-⋃+∞,, , ,, , a a b b a ba ba b b a b a a b祆＃镲镲??眄镲>>镲铑若正数a,b,c,d 满足ab ≥4,c+d ≤4,则 ( )A. a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B. a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C. a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D. a ∨b ≥2,c ∨d ≥211.设R a ∈，若函数x a x y ln +=在区间) , 1(e e有极值点，则a 取值范围为( )A ．) , 1(e eB ．)1 , (ee --C ． ) , ()1 , (∞+-∞e e UD ．) , 1() , (∞+---∞ee U12．动圆C 经过点)0,1(F 并且与直线1-=x 相切，若动圆C 与直线122++=x y 总有公共点，则圆C 的面积 （ ）A ．有最大值π8B ．有最小值π2C ．有最小值π3D ．有最小值π4二、填空题（每小题5分，共20分）.13.设复数z 满足(1)3i z i +=-+（i 为虚数单位），则||z = ．14.已知322322=+，833833=+，15441544=+，….，类比这些等式，若=,a b 均为正实数），则a b += ． 15.已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的两个焦点为21,F F ,以21F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且421=F F ，则a 等于________. 16.设正实数,,x y z 满足22390x xy y z -+-=，当xyz 取得最大值时，x y的值为 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，6小题，共70分） 17. (本小题10分)已知：方程有两个不相等的负实根；：方程无实根，如果或为真，且为假，求的取值范围。
2017届江西吉安市一中高三(上)段考二数学(理)试题(解析版)
2017届江西吉安市一中高三（上）段考二数学（理）试题一、选择题1．设{}|2A x Z x =∈≤，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则B 的元素个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．无数个 【答案】C【解析】试题分析：依题意有{}2,1,0,1,2A =--，代入21y x =+得到{}0,1,2B =，故B 有3个元素．【考点】绝对值不等式，元素与集合的关系．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是定义域还是值域，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．在求交集时注意区间端点的取舍．熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目． 2．已知i 为虚数单位，若复数2i z i =-，则z =（ ）A ．1 BC ．2 【答案】C【解析】试题分析：)()1iz i i i-==-=-，z =【考点】复数概念及运算． 3．随机变量()0,1N ξ，则()12P ξ≤≤=（ ）A ．0．0215B ．0．1359C ．0．1574D ．0．2718（参考数据：()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=，()330.9974P μσξμσ-≤≤+=）【答案】B【解析】试题分析：根据正态分布的对称性，有()0.95440.6826120.13592P ξ-≤≤==．【考点】正态分布．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得2222c b c a b bc+-<，化简得2220a c b +-<，故为钝角三角形．【考点】解三角形，正弦定理、余弦定理．5．按下图所示的程序框图运算：若输出2k =，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(]20,25B ．(]30,57C ．(]30,32D ．(]28,57 【答案】D【解析】试题分析：运行程序，输入t ，0k =，21,1x t k =+=，判断否，43,2x t k =+=，判断是，输出k ，故43115,28t t +>>，故选D ． 【考点】算法与程序框图．6．已知数列{}n a 满足：当()11,,p q p q N p q *+=∈<时，2pp q a a +=，则{}n a 的前10项和10S =（ ）A ．31B ．62C ．170D ．1023 【答案】B【解析】试题分析：12510110295622262S a a a a a a =++++++=+++=．【考点】递推数列求和．7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()3121f x x x =--B ．()3121f x x x =+- C ．()3121f x x x =-+ D ．()3121f x x x =---【答案】A【解析】试题分析：12x ≠，排除C 选项；0,0x y =<，排除D 选项；100,0x y =->，排除B ，故选A ．【考点】函数图象与解析式．8．已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积23PA PB k k =，则该双曲线的离心率e =（ ）A ．2 B ．3C ．2D 【答案】B【解析】试题分析：设()()()111122,,,,,A x y B x y P x y --，所以222212222123PA PBy y b k k x x a -⋅===-，故22251,3b e e a =+== 【考点】直线与圆锥曲线位置关系．9．平面直角坐标系中，不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）表示的区域面积等于3，则a 的值为（ ）A ．-5B ．-2C ．2D ．5 【答案】D【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，面积为()1113,52a a +⋅==．【考点】线性规划．10．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象限，AOC α∠=，若BC =则2s in c o s 2222ααα-=（ ）A ．5-B ．5-C ．5 D ．5【答案】D【解析】试题分析：由于O B O C B C==所以三角形O B C 为等边三角形．2sincossin sin 2223AOB αααπα⎛⎫=+=∠=⎪⎝⎭． 【考点】三角恒等变换．11．如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点M N Q 、、分别在线段上1AD ，1B C ，11C D 上，当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时，三棱锥Q BMN-的正视图面积等于（ ）A ．212a B ．214aC ．24a D 2【答案】B【解析】试题分析：由俯视图可知1,D Q 重合，且,C N 重合，故主视图如下图所示，面积为214a ．【考点】三视图．【思路点晴】(一)主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥．还有两种特殊的情况：1、是棱锥和半圆锥的组合体．2、就是半圆锥．到底如何如确定就是通过俯视图观察．（1）若俯视图是三角形时，就是三棱锥．（2）若俯视图是多边形时，就是多棱锥．（3）若俯视图是半圆和三角形时，就是是棱锥和半圆锥的组合体．（4）若俯视图是半圆时，就是半圆锥．（5）注意虚线和实线的意义，虚线代表的是看不到的线，实线代表的是能看的见得都是一种平行投影所创造出来的．(二)三视图求体积时候，先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的，并且肯定是立体图形的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑．（1）如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，判定后算出俯视图的面积即可，应用体积公式．（2）如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出面积，应用公式即可．（3）如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可． 12．已知函数()2xf x e=，()1ln 2g x x =+，对a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A ．ln 212+B ．ln 212-C ．1D 1 【答案】A【解析】试题分析：令21ln 2xe x t =+=，解得12ln ,2t t a b e -==，12ln 2t t b a e --=-，令()12ln 2t t h t e-=-，()1'212t h t e t -=-，导函数为增函数，且'102h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，最小值为1ln 2122h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【考点】用导数研究函数图象与性质．【思路点晴】本题主要考查函数导数与单调性，函数导数研究图象与性质等知识．首先画出两个函数的图象，由此来理解题意“对a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使得()()f a g b =”，根据图象，将问题等价变形为对于相同的函数值，两个函数对应的自变量的距离的最小值来求．构造函数后利用导数研究函数的单调性，由此求得最小值．二、填空题 13．设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-…，则12a a a +++=… ．【答案】31【解析】试题分析：令1x =，02a =，令2x =，50151512,31a a a a a +=+++++=．【考点】二项式定理．14．关于x 的方程320x px -+=有三个不同示数解，则实数p 的取值范围为 ． 【答案】3p >【解析】试题分析：0x =不是方程的解，化简为32x p x+=，令()32x f x x +=，()()()2'2211x x x f x x-++=，函数在()(),0,0,1-∞递减，在()1,+∞上递增，在1x =处有极小值()13f =，故3p >． 【考点】函数导数与零点．15．已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，且320O A O B O C ++=，则A O C ∠= ．【答案】23π【解析】试题分析：不妨设外接圆半径为1，32023OA OB OC OA OC OB ++=⇔+=-，两边平方得1443OA OC ++⋅=，即1cos 2AOC ∠=-，故23AOC π∠=． 【考点】向量运算．【思路点晴】本题主要考查两个向量数量积的概念，考查两个向量夹角公式的应用，考查特殊角的三角函数值．由于三角形的边长不固定，所以不妨假设外接圆的半径为1，也可以假设为r ，这个数会在后面运算过程中约掉．三个向量的和为零向量，先将一个移动到另一边，然后两边平方，利用向量运算公式，即可化简出关于AOC ∠余弦值的表达式，由此求得角的大小．16．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是 ． 【答案】[]4,6【解析】试题分析：设圆上任意一点为()3cos ,4sin P θθ++，依题意有0PA PB ⋅=，将点的坐标代入上式，化简得()()()[]2223cos 4sin 2610sin 16,36m θθθϕ=++-=++∈，故[]4,6m ∈．【考点】圆的参数方程．【思路点晴】本题主要考查圆的参数方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查两个向量垂直的概念，考查三角恒等变换等知识．由于题目给定90APB ∠=︒，所以考虑设出点的坐标，然后利用数量积等于零来建立方程，故设出点P 的参数方程，即()3cos ,4sin P θθ++，然后将坐标代入0PA PB ⋅=，化简后利用三角函数的最值来求m 的取值范围．三、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和满足0n a >，2243n n n a a S +=+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（I ）21n a n =+；（II ）11646n -+． 【解析】试题分析：（I ）利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩化简已知条件，求得通项公式为21n a n =+；（II ）由于()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，用裂项求和法求得前n 项和为11646n -+． 试题解析：（Ⅰ）当1n =时，2111124343a a S a +=+=+，因为0n a >，所以13a =， 当2n =时，22111224343n n n n n n a a a a S S ---+--=+--，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 的前n项和为12111111111235572123646n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……． 【考点】数列求通项与求和．18．为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）求出上表中的,,,,x y z s p 的值；（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格． ①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②记高一（2）班在决赛中进入前三位的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（I ）0.18x =，19y =，6z =，0.12s =，50p =；（II ）①710；②分布列见解析，1．【解析】试题分析：（I ）利用第三组数据16/0.3250=求出总人数，然后求得,,,,x y z s p 的值；（II ）①90分以上共6人，“甲不在第一位、乙不在最后一位”的概率为5114544466710A A A A A +=；②随机变量X 的可能值为0,1,2利用古典概型计算出分布列，并求得期望与方差． 试题解析：（Ⅰ）由题已知，由[)80,90上的数据， 根据样本容量，频率和频数之间的关系得到16500.32n ==， 90.1850x ==∴，19y =，6z =，0.12s =，50p = （Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，①设“甲不在第一位，乙不在第六位”为事件A ，则()5114544466710A A A A P A A +==，所以甲不在第一位，乙不在第六位的概率为710． ②随机变量X 的可能值为0,1,2()243466105A A P X A ===，()1114233466315C A A A P X A ===，()243456125A A P X A ===，因为0121555EX =⨯+⨯+⨯=，所以随机变量X 的数字期望为1．【考点】频率分布直方图，分布列．19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，11160ACC CC B ∠=∠=︒，2AC =．（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的余弦值． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）5-． 【解析】试题分析：（I ）连1AC ，1CB ，则1ACC ∆和11B CC ∆皆为正三角形．取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，则1C C O A ⊥，11CC OB ⊥，则11CC OAB ⊥平面，则11CC AB ⊥；（II ）分别以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系，利用平面1ACB 和平面11AA B 的法向量，求得二面角的余弦值，注意到二面角为钝角，所以余弦值为负值．试题解析：（Ⅰ）证明：连1AC ，1CB ，则1ACC ∆和11B CC ∆皆为正三角形． 取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，11CC OB ⊥，则11CC OAB ⊥平面，则11CC AB ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1OA OB ==1AB =所以1OA OB ⊥，如图所示，分别以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系， 则()010C -，，，)0B，，(00A ，设平面1CAB 的法向量为()111,,m x y z =，因为(13,0,AB =，(0,1,AC =-，所以11111100010x y z x y z +⨯-=⨯-⨯-=⎪⎩，取()1,m =．设平面11A AB 的法向量为()222,,n x y z =，因为(13,0,AB =，()10,2,0AA=，所以222111000200x y z x y z +⨯-=⨯+⨯+⨯=⎪⎩，取()1,0,1n =．则cos ,5m n m n m n<>===⨯，因为二面角11C AD A --为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为．【考点】空间向量法与立体几何．20．已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的离心率为，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得3PQAP =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由【答案】（I ）221164x y +=；（II ）不存在，理由见解析．【解析】试题分析：（I ）左顶点(),0a -代入圆的方程，求得4a =，求得2c b ==，故椭圆方程为221164x y +=；（II ）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，直线AP 的方程为()4y k x =+,联立直线的方程和椭圆的方程，求出P 的坐标，进而求得AP 的值，利用圆心到直线AP 的距离求得AQ ，代入13PQ AQ AP AQAP AP AP-==-≠，所以不存在． 试题解析：（I ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，令0y =，得4x =±，所以4a =c e a ==c =，所以2224b a c =-=． 所以W 的方程为221164x y +=． （II ）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线AP 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程联立得()2241164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得到()2222143264160kxk x k +++-=，因为-4为方程的一个根，所以()21232414k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+所以214AP k =+因为圆心到直线AP 的距离为2414kd k =+，所以AQ ===． 因为1PQ AQ AP AQAP AP AP-==-，代入得到222222143311311114PQk k AP k k k k +=-=-==-++++，显然23331k -≠+，所以不存在直线AP ，使得3PQ AP=．【考点】直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系．直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．21．已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()1212,x x x x <，是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值．【答案】（I ）1a =；（II ）152ln 28-． 【解析】试题分析：（I ）切线与直线20x y +=垂直，所以切线斜率为2，利用导数等于2，求得1a =；（II ）对()g x 求导后通分，由根与系数关系得到两个极值点的关系12121,1x x b x x +=-=．化简()()12g x g x -的表达式为1122211ln2x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令()1201x t t x =<<，换元后利用导数求得()()12g x g x -的最小值为152ln 28-． 试题解析： （Ⅰ）()ln f x x a x =+，()1af x x=+∴′与直线20x y +=垂直，1|12x k y a ===+=∴，1a =∴．（Ⅱ）()()()21111x b x g x x b x x--+=+--=′，所以令()0g x =′，121x x b +=-∴，121x x =．()()()()221211122211ln 1ln 122g x g x x x b x x x b x ⎡⎤⎡⎤-=+---+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()2211121212222111ln1ln 22x x x x x x b x x x x x x ⎛⎫=+----=-- ⎪⎝⎭． 120x x <<，所以设()1201x t t x =<<，()()11ln 012h t t t t t ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭， ()()22211111022t h t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭∴′，所以()h t 在()0,1单调递减，又72b ≥，()22514b -≥∴， 即()2221212121524x x x x t x x t ⎛⎫++==++≥ ⎪⎝⎭．01t <<，241740t t -+≥∴，104t <≤∴，()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，故所求的最小值是152ln 28-． 【考点】函数导数与不等式． 【方法点晴】本题主要考查导数与切线，导数与极值点、不等式等知识．解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错．解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线11,2:.2x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos ,:sin .x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅰ）设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ； （Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 【答案】（I ）1AB =；（II)1-．【解析】试题分析：（I ）将直线的参数方程消去t得到)1y x =-，圆的参数方程消去参数得221x y +=，联立直线的方程和圆的方程，求得交点坐标，利用两点间的距离公式求得1AB =；（II ）利用1C 的参数方程，进行伸缩变换后，得到2C 点的参数方程为1cos ,2,2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，利用点到直线距离公式，求得距离的表达式，利用三角函数求最值的方法，求得最小值为)14．试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程221x y +=．联立方程组)221,1,y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得l 与1C 的交点为()1,0A，1,2B ⎛ ⎝⎭，则1AB =． （Ⅱ）曲线2C 的参数方程为1cos ,2,x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标是1cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 从而点P 到直线l的距离是244d πθ⎤⎛⎫==-+ ⎪⎥⎝⎭⎦， 由此当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d取得最小值，且最小值为)14-．【考点】坐标系与参数方程．23．选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集； （Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（I ）2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或；（II ）322t ≤≤． 【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤．试题解析：（I ）()4,13,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，当1x <-，42x -->，6x <-，6x <-∴当12x -≤<，32x >，23x >，223x <<∴ 当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ≥∴综上所述2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或． （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述322t ≤≤． 【考点】不等式选讲．。
【全国百强校】江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第三次周考(12.23)文数(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如果复数()21aia R i-∈+为纯虚数，则a =（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D考点：复数运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题.2.若集合{}(){}22|128,|log 1xA xB x x x =≤≤=->，则A B ⋂=（ ） A ． (]2,3 B ．[]2,3C ．()(],00,2-∞D ．()[],10,3-∞-【答案】A 【解析】试题分析：[]0,3A =.()2222log log 2,2x x x x ->->，解得1,2x x <->，所以(]2,3A B ⋂=. 考点：对数不等式，集合交集.3.某流程图如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．()tan f x x x =B ．()xf x xe = C ．()2ln f x x x =+ D ．()sin f x x x =-【答案】D考点：算法与程序框图.4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】B 【解析】试题分析：该数列为等差数列，且725828,15S a a a =++=，即1172128,31215a d a d +=+=，解得1911,1,89a d a a d ===+=.考点：等差数列，数学文化.5.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A．6+ B ．6+．3 D ．83【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由三棱柱和三棱锥组成，故体积为11182212212323⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=． 考点：三视图. 6.已知下列四个关系：①22a b ac bc >⇔>；②11a b a b >⇒<；③0,a b a b c d d c>>>⇒>；④1,0e ea b c a b >><⇒<．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B考点：不等式的性质. 7.若数列{}n a 满足1120n n a a +-=，则称{}n a 为“梦想数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且1231b b b ++=，则678b b b ++=（ ）A ．4B ．16C ．32D ．64 【答案】C【解析】试题分析：依题意有112n n a a +=为等比数列，故1nb 为公比为12的等比数列，所以n b 是公比为2的等比数列，由此()567812332b b b b b b q ++=++⋅=. 考点：递推数列求值.8.过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 与其交于,A B 两点，若4AF =，则BF =（ ）A ．2B ．43C ．23D ．1 【答案】B考点：抛物线.9.已知实数,x y 满足0260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y x ++的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6 【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数()22220y x y x x --++=+-在点()2,2处取得最小值为4.考点：线性规划.10.设函数()()()sin 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】C考点：三角函数图象与性质.11.已知,A B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且0120,AOB MN ∠=是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足()()1OC OA OB R λλλ=+-∈，则CM CN 的最小值为（ ） A ．12-B ．14-C ．34- D ．-1 【答案】C考点：向量运算.【思路点晴】本题主要考查向量的运算，考查点到直线距离最短的几何性质.第一步是分析()()1OC OA OB R λλλ=+-∈，由于两个系数的和11λλ+-=，故,,A B C 三点共线.第二步是划归与转化CM CN ，由于MN 是直径，利用圆心进行转化之后，把原问题转化为圆心到直线AB 的最短距离来求解.利用等腰三角形的特殊角可求得最短距离为12. 12.已知函数()()sin f x x x x R =+∈，且()()2223410f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx +的取值范围是（ ）A ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．3⎡⎤-⎣⎦ D ．1,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】试题分析：由于()()f x f x -=-，所以函数为奇函数，()'1cos 0fx x =-≥为增函数.由()()2223410f y y f x x -++-+≤得到()()()222234141f y y f x x f x x -+≤--+=-+-，根据函数的单调性，有222341y y x x -+≤-+-，即()()22211x y -+-≤，由于1y ≥故点(),x y 表示的是圆心为()2,1半径为1的圆的上半部分，包括圆内.1yx +的几何意义是()(),,1,0x y -两点连线的斜率的取值范围，画出图像如下图所示，由图可知，斜率的最小值为14AD k =，斜率的最大值为AC k ，由于1,23AB k CAx BAx =∠=∠，利用二倍角的正切值得21223311419AB AC AB k k k ⋅===--.考点：函数的奇偶性与单调性，线性规划.【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查线性规划等知识.考查一个函数，一般从单调性和奇偶性来入手，利用奇偶性的定义，判断()()f x f x -=或()()f x f x -=-，由此确定函数的奇偶性，利用函数导数可确定函数的单调性.通过判断奇偶性和单调性后，可化简原不等式为一个圆的内部的形式，由于1y ≥所以仅为圆的上半部分，再结合线性规划的知识，就可以得出取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知两条直线()12:1230,:30l a x y l x ay -++=++=平行，则a =___________． 【答案】1-考点：两直线的位置关系.14.已知向量,a b 满足()1,3,1a b ==，且()00a b λλ+=>，则λ=___________． 【答案】2 【解析】试题分析：由于a b λ=-，两边平方得24λ=，因为0,2λλ>=. 考点：向量运算.15.已知双曲线22:x 13y C -=的右焦点为,F P 是双曲线C 的左支上一点，()0,2M ，则PFM ∆周长最小值为____________．【答案】2+ 【解析】试题分析：1,2a b c ===，右焦点为()2,0F ，设左焦点为()12,0F -，三角形的周长为12PF PM MP a PF PM MP ++=+++当1,,P F M 三点共线时，周长取得最小值为2+．考点：直线与圆锥曲线的位置关系.【思路点晴】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法.对于圆锥曲线的小题，一般先根据圆锥曲线的定义和性质，将,,a b c 求出来，画出曲线的图像，将已知条件标明在图像上.然后结合题目的问题，将文字语言转化为图形，往往是结合原双曲线的定义来解题，如本题中，求周长的最小值，通过定义转化后，利用三点共线来求最小值.16.已知实数()(),0lg ,0xe xf x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________． 【答案】(],2-∞-考点：函数与方程零点.【思路点晴】本题主要考查复合函数零点与单调性的问题.函数()f x 是一个分段函数，先对含有t 的方程进行分离常数()()2fx f x t +=-，变为探究两个函数图像3个交点的问题来研究.分离常数后，由于()f x 是一个分段函数，故分成两个部分来研究，当0x ≥时，函数()()22x x y fx f x e e =+=+为增函数，在0x =时有最小值为2，由此在y 轴右边仅有一个交点.利用复合函数单调性可知函数在y 轴左边先减后增，故要使两个函数有3个交点，则需2t -≥，解得2t ≤-.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. （1）求sin sin CA的值； （2）若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积S .【答案】（1）2；（2试题解析：（1）由正弦定理，得22sinC sinAsin c a b B--=， 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A B B--=， 即()()cos 2cosC sin 2sin sin cos A B C A B -=-， 化简可得()()sin 2sin A B B C +=+，又A B C π++=， 所以sin 2sin C A =，因此sin 2sin CA=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由sin 2sin CA=，得2c a =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-及1cos ,24B b ==，得22214+444a a a =-⨯，解得1a =，从而2c =．又因为1cos 4B =，且0B π<<，所以sin B =．因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：解三角形. 18.（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B 学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示.（1）如果7x =，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果9x =，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率. 【答案】（1）9，72；（2）13.试题解析：（1）当7x =时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为7891294x +++==．．．．．．．．．．．．．．．3分 方差()()()()222221779899912942s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦．．．．．．．．．．．．6分（2）记甲组3名同学为123,,A A A ，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为1234,,,B B B B ．他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中入选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：121311131423212324313334131434,,,,,,,,,,,A ,,B ,,A A A A A B A B A B A A A B A B A B A B B A B B B B B B ………9分用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是：1424232134,,,,A B A B A B A B A B ，故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为()51153P C ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：平均数与方差、标准差，古典概型.19.（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面,ABC ACD ∆与ACB ∆都是边长为2的等边三角形，2,BE BE =与平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证：//DE 平面ABC ；(2)求四面体A CDE -的体积.【答案】（1）字幕见解析；（2）1试题解析：（1）由题意知ABC ACD ∆∆、为边长2的等边∆取AC 的中点O ，连接BO ，则,BO AC DO AC ⊥⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//DO EF ，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成的角为60°，∴060EBF ∠=，∵2BE =，∴EF DO ==DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ．∴DE ⊄平面,ABC OF ⊂平面ABC ，∴//DE 平面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）()113431133A CDE E ACD ACD V V S DE --∆===-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：空间立体几何证明平行与求体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2，y 轴上一点Q 的坐标为（0,3）.（1）求该椭圆的方程；（2）若对于直线:l y x m =+，椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且332QA QB <，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.试题解析：（1）由题意可知：1,c c a ==1a b ==， 所以所求的椭圆的方程为2212x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由题意设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 方程为：y x n =-+．联立2212y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理可得：2234220x nx n ---=， 由()()222412222480n n n ∆=---=->，解得n <<．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 21212423,33n n x x x x -+==， 设直线AB 之中点为()00,P x y ，则120223x x n x +==， 由点P 在直线AB 上得：0233n n y n =-+=， 又点P 在直线l 上，233n n m =+，所以3n m ⎛=-∈ ⎝．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．8分 又()()1122,,3,,,3QA x y QB x y =-=-， ∴()()()()11221212323232,y ,3,,333333QA QB x x y x x y y -=---=+--- ()()222396333110n n m m m m =--=+-=-+< 解得：113m -<<．．．．．．．．．．．．．②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 综合①②，m 的取值范围为13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程的求法. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．21.（本小题满分12分）已知()(),m ,,1p x q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-.（1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数，()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；【答案】（1）2a =-；（2）12m >.试题解析：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+，∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞， 也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞， ∴m 和1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根， 由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-，∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由（1）得()()()2211111f x x x m mg x x x x x -++===-+---， ∴()()()()21ln ln 1,11m m x g x x x x x x x x Γ=-+=-+Γ=---， ∵存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ，∴()()00200011021m x m x x x x Γ=-=⇒=+--．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵0013x x -+>，∴02x >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()()122h x x x x=+->，则()()()221111x x h x x x +-'=-=， 当2x >时，()()()2211110x x h x x x +-'=-=> ， ∴()12h x x x=+-在()2,+∞上为增函数， 从而()()00011222h x x h x =+->=，∴ 12m >……………………………12分 考点：函数导数与不等式.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分离常数法求参数的取值范围，考查利用导数分类讨论函数的单调区间与极值.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．请考生在22、23中任选一题作答.注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈．（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6sin 6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）()2221x y -+=；（2）6π⎫⎪⎭.试题解析：（1）将222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=.（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=划7,06πθρ=>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=将76πθ=代入1C 得ρ=，不合题意，故12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭． 考点：坐标系与参数方程.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．【答案】（1）{}|1t t ≤；（2）6.【解析】试题分析：（1）令()12f x x x =---，利用零点分段法去绝对值，求得函数()11f x -≤≤，故1t ≤；（2）利用基本不等式和（1）的结论，有33log log 2m n +≥≥，即23mn ≥，同理根据基本不等式有6m n +≥≥，3m n ==时取等号.试题解析：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，33log log 2m n +≥≥， 从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥当且仅当3m n ==时取等号， 所以m n +的最小值6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：不等式选讲.。
(新)江西省吉安市2017届高三上学期期中考试数学理试题
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}2|20,,|lg 11,A x x x x R B x x x Z =--≤∈=+<∈，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22. 复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是 （ ）A ．不存在 00,20x x R ∈> B ．对任意的00,20x x R ∈>C ．对任意的 00,20xx R ∈≤ D ．存在 00,20xx R ∈≥4. “2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与()2:2140l x a y -++=互相平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件5. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466-485年间，其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629 B ．1627 C.1113 D ．13296. 阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是 （ ）A．计算数列{}12n-前5项的和B．计算数列{}21n-前5项的和C. 计算数列{}12n-前6项的和D．计算数列{}21n-前6项的和7.已知实数,x y满足2102,22110x yx z x yx y-+≥⎧⎪<=--⎨⎪+->⎩，则z的取值范围是（）A．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．[]0,5 C.[)0,5 D．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.ABC∆的外接圆的圆心为O，半径为1,2AO AB AC=+且OA AB=，则向量AB在向量BC方向上的投影为（）A．12B．32C.32- D．12-9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3 B．243D．2310. 已知点P 是双曲线221169x y -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∠的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为 （ ）A ．58 B ．45 C.43 D ．3411. 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且,ABC BCD ∆∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是 （ ） A ．2 B 22 D 312. 设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数为()'f x ，且有()()3'0f x xf x +>，则不等式()()()3201520152730x f x f +++->的解集 （ ）A ．()2018,2015--B ．(),2016-∞- C. ()2016,2015-- D ．(),2012-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知11eea dx x =⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 __________. 14. 直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点M 的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为 __________.15. 已知函数()cos,3a f x x a π=等于拋掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则()y f x =在[]0,4上有偶数个零点的概率是 _________.16. 在平面直角坐标系中，已知三个点列{}{}{},,n n n A B C ，其中()()(),,,,1,0n n n n n A n a B n b C n -满足向量1n n A A +与向量n n B C 共线，且1116,0n n b b a b +-===，则n a =_________.（用n 表示）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数()22sin cos 23cos 3f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的单调减区间;（2）已知 ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中7a =,若锐角A 满足326A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且133sin sin 14B C +=,求bc 的值. 18. （本小题满分12分）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位: 毫克）规定：当食品中的有害微量元素的含量在[]0,10时为一等品，在(]10,20为二等品，20以上为劣质品.（1） 用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率;（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20 元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率. 若分别从甲、乙食品中各抽取1件, 设这两件食品给该厂带来的盈利为X ,求随机变量X 的频率分布和数学期望.19. （本小题满分12分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且1111,60AB A A A AB A AD =∠=∠=.（1） 求证: 平面1A BD ⊥平面 1A AC ; （2）若122BD A D ==,求平面1A BD 与平面1B BD 所成角的大小.20. （本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点12,F F ,过右焦点2F 的直线l 与C 相交于,P Q 两点，若1PQF ∆的周长为短轴长的23. （1）求C 的离心率;（2）设l 的斜率为1，在C 上是否存在一点M ,使得2OM OP OQ =+？若存在，求出点M 的坐标; 若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()ln (f x x mx m =-为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）当32m ≥时，设()()22g x f x x =+的两个极值点()1212,,x x x x <恰为()2ln h x x cx bx =--的零点，求()1212'2x x y x x h +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 24πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （1） 求1C 与2C 交点的极坐标;（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为33(12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为，参数) 求,a b 的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-. （1）若不等式()12102f x m m ⎛⎫+≤+> ⎪⎝⎭的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值 ;（2） 若不等式()2232y yaf x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值.江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. DDBAA DCB 11-12. BA二、填空题（每小题5分，共20分）13. 80-14.1315.2248y x y x==或16.()2396n n n N*-+∈三、解答题17.解：（1）()22sin cos23cos3sin23cos22sin23f x x x x x x xπ⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭, 由正弦定理可得1332sinsin233a b cR B CA R+===+==,则133133b c+==，由余弦定理知()2222221cos222b c bc ab c aAbc bc+--+-===，整理，得40bc=.18.解：（1）从甲中抽取的5个数据中，一等品有54210⨯=个，非一等品有3个，从乙中抽取5个数据中，一等品有56310⨯=个，非一等品有2个，设“从甲中抽取5个数据中任取2个，一等品的个数为i ” 为事件()0,1,2i A i =,则()()()21123232012222555331,,10510C C C C P A P A P A C C C ======.设“从乙中抽取5个数据中任取2个，一等品的个数为i ” 为事件()0,1,2i B i =,则()()()11222332012222555133,,10510C C C C P B P B P B C C C ======.∴甲的 一等品数与乙 的一等品数相等的概率为:()()()22110013333121101055101050P P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=. （2）由题意，设“从甲中任取一件为一等品” 为事件1C ，则()142105P C ==,设“从甲中任取一件为二等品” 为事件2C ，则()242105P C ==,设“从甲中任取一件为劣质品” 为事件 3C ，则()321105P C ==.设“从乙中任取一件为一等品” 为事件1D ，则()163105P D ==,设“从乙中任取一件为二等品” 为事件2D ，则()221105P D ==,设“从乙中任取一件为劣质品” 为事件 3D ，则()321105P D ==. X 可取40,0,30,40,70,100-()()33111405525P X P C D =-==⨯=.,()()()()3223133111213211310,3055552555555P X P C D C D P X P C D C D ==+=⨯+⨯===+=⨯+⨯=()()()()2212212122123840,705525555525P X P C D P X P C D C D ===⨯===+=⨯+⨯=,()()112361005525P X P C D ===⨯=. X ∴的分布列为()64003040701005425255252525E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）因为111,60AA AB AD A AB A AD ==∠=∠=,所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形，于是11A B A D=，设AC与BD的交点为O，则1AO BD⊥，又ABCD是菱形，所以AC BD⊥，而1AO AC O=，所以BD⊥平面1A AC，而BD⊂平面1A BD，故平面1A BD⊥平面1A AC.（2）由11A B A D=及122BD D==知11A B A D⊥，又由11,,A D AD AB AB BD BD===得1A BD ABD∆≅∆，故90BAD∠=，于是11122AO A O BD AA===，从而1AO AO⊥，结合1AO BD⊥得1A O⊥底面ABCD.如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()()1111,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A B D A BB AA DB-==-=,设平面1B BD的一个法向量为(),,n x y z=，由1n BDn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩得yx z=⎧⎨-+=⎩,令1x=，得()1,0,1n=，设1A BD平面的一个法向量为()2,0,0CA=，设平面1A BD设平与平面1B BD 所成角为θ，则2cos2n CAn CAθ==45θ=.20.解：（1）1PQF∆的周长为4a，依题意知443a b=，即263,1ba b ea⎛⎫==-=⎪⎝⎭. （2）设椭圆方程为222332x y c+=，直线的方程为y x c=-，代入椭圆方程得2234602x cx c -+=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121233,28x x c x x c +==,设()00,M x y ，则22200332x y c += ①由2OM OP OQ =+得0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩,代入① 得()()22222112212123433432x y x y x x y y c +++++=, 因为()2222222112212123333,3,30222x y c x y c c x x y y +=+=∴++= ② 而()()()2121212121212334330x x y y x x x c x c x x c x x c +=+--=-++=,从而 ②式不成立. 故不存在点M ，使2OM OP OQ =+成立. 21.解：（1）()11',0mx f x m x x x -=-=>，当0m >时，由10mx ->解得1x m<,即当10x m <<时，()()'0,f x f x >单调递增， 由10mx -<解得1x m >,即当1x m>时，()()'0,f x f x <单调递减,当0m =时，()1'0f x x=>,即()f x 在()0,+∞上单调递增,当0m <时，10mx ->故()'0f x >，即()f x 在()0,+∞上单调递增,所以当0m >时，()f x 的单调递增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间减区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞.（2）()()2222ln 2g x f x x x mx x =+=-+,则()()221'x mx g x x-+=,所以()'g x 的两根12,x x 即为方程210x mx -+=的两根.因为m ≥,所以2121240,,1m x x m x x ∆=->+==,又因为12x x +为()2ln h x x cx bx =--的零点，所以22111222ln 0,ln 0x cx bx x cx bx --=--=,两式相减得()()()11212122ln 0xc x x x x b x x x --+--=,得()121212lnx x b c x x x x =-+-,而()1'2h x cx b x=--, 所以()()1212122y x x c x x b x x ⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦()()()121212121212ln 2x x x x c x x c x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+-+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()11212111222212ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=-++ 令()12101,2ln 1x t t t y t x t -=<<=-+,由()2212x x m +=得22212122x x x x m++= 因为121x x =,两边同时除以12x x +，得212t m t ++=，因为m ≥，故152t t +≥，解得12t ≤或2t ≥，所以102t <≤，设()12ln 1t G x t t -=-+，所以()()()21'201t G t t t --=<+，则()y G t =在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，所以()min 12ln 223G t G ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，即()1212'2x x y x x h +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值为2ln 23-+. 22.解：（1）圆1C 的直角坐标方程为()2224x y +-=,直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=,联立得()222440x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩得12120242x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩所以1C 与2C 交点的极坐标为4,,24ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由（1）可得,,P Q 的直角坐标为()()0,2,1,3,故PQ 的直角坐标方程为20x y -+=，由参数方程可得122b ab y x =-+，所以1,1222b ab =-+=，解得1,2a b =-=. 23.解：（1）由题意知,不等式()2210x m m ≤+>解集为(][),22,-∞-+∞,由221x m ≤+得,1122m x m --≤≤+,所以 ,由122m +=,解得32m =. （2）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322y y a x x --+≤+，由题意知()max 212322y y a x x --+≤+， 因为()()212321234x x x x --+≤-+=，所以242y y a +≥，即 ()242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意都y R ∈成立，则()max 242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦.而()()224224242y y y y ⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦,当且仅当242y y =-,即1y =时等号成立，故4a ≥,所以实数a 的最小值为4.。
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江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}2|20,,|lg 11,A x x x x R B x x x Z =--≤∈=+<∈，则A B = （ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 【答案】D考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：()11z i i z -=+⇒==，所以z =对应点位于第四象限，选D. 考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.命题“存在00,20xx R ∈≤”的否定是 （ ） A ．不存在 00,20x x R ∈> B ．对任意的00,20x x R ∈>C ．对任意的 00,20xx R ∈≤ D ．存在 00,20xx R ∈≥ 【答案】B考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ， p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.4.“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与()2:2140l x a y -++=互相平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：直线1:30l ax y -+=与()2:2140l x a y -++=互相平行的充要条件为3(1)1224a a a --=-⨯≠且，即2a =-或1a =，因此“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与()2:2140l x a y -++=互相平行”的充分不必要条件 ，选A.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 5.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466-485年间，其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629 B ．1627 C.1113 D ．1329【答案】A考点：等差数列应用6.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是 （ ）A ． 计算数列{}12n -前5项的和 B ．计算数列{}21n -前5项的和 C. 计算数列{}12n -前6项的和 D ．计算数列{}21n -前6项的和 【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环：1,2A i ==；第二次循环：12,3A i =+=；第三次循环：2122,4A i =++=；第四次循环：231222,5A i =+++=；第五次循环：23412222,6A i =++++=；第六次循环：2345122222,7A i =+++++=；结束循环，输出2345122222,A =+++++为数列{}12n -前6项的和，选C.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.已知实数,x y 满足2102,22110x y x z x y x y -+≥⎧⎪<=--⎨⎪+->⎩，则z 的取值范围是 （ ） A ． 5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,5 C. [)0,5 D ． 5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO AB AC =+且OA AB =，则向量AB 在向量BC 方向上的投影为 （ ） A ．12 B．12-【答案】D 【解析】试题分析：2AO AB AC =+⇒O 为BC 中点，又ABC ∆的外接圆的圆心为O ，所以AB AC ⊥，因为OA AB =，所以=60ABC ∠，因此向量AB 在向量BC 方向上的投影为1cos1202AB =-，选D.考点：向量投影【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A B ．2 D ． 【答案】C考点：三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10.已知点P 是双曲线221169x y -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点， I 为12PF F ∠的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为 （ ）A ．58 B ．45 C.43 D ．34【答案】B考点：双曲线定义【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.11.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且,ABC BCD ∆∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是 （ ）A ．B D 【答案】B 【解析】试题分析：取BC 中点M ，则有,AM BC DM BC BC AMD ⊥⊥⇒⊥面,所以三棱锥A BCD -的体积是111113322AMD BC S ∆⨯⨯=⨯⨯⨯=，选B. 考点：三棱锥体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 12.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数为()'f x ，且有()()3'0f x xf x +>，则不等式()()()3201520152730x f x f +++->的解集 （ ）A ．()2018,2015--B ．(),2016-∞- C. ()2016,2015-- D ．(),2012-∞- 【答案】A考点：利用导数解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知11eea dx x =⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 __________. 【答案】80- 【解析】试题分析：11ln 21eeea dx x x e===⎰，所以152()r r r T C x+=-，由3r =得3x -的系数为335(2)80.C -=- 考点：定积分，二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点M 的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为 __________.【答案】2248y x y x ==或 【解析】试题分析：由点差法得222211*********,22()()2422AB AB AB py px y px y y p x x y y k p k p k ==⇒-=-⇒+=⇒=⇒=，而2032AB k p -=-，所以2024232p p p -=⇒=-或，即抛物线C 的方程为2248y x y x ==或 考点：抛物线弦中点 15.已知函数()cos,3a f x x a π=等于拋掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则()y f x =在[]0,4上有偶数个零点的概率是 _________. 【答案】13考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16.在平面直角坐标系中，已知三个点列{}{}{},,n n n A B C ，其中()()(),,,,1,0n n n n n A n a B n b C n -满足向量1n n A A +与向量n n B C 共线，且1116,0n n b b a b +-===，则n a =_________.（用n 表示） 【答案】()2396n n n N*-+∈考点：叠加法求通项，等差数列定义【方法点睛】在利用叠加法求项时，一定要注意使用转化思想.把对应项放缩后成等差数列或等比数列，再进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在放缩时要注意方向以及放缩大小.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数()22sin cos f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的单调减区间;（2）已知 ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中7a =,若锐角A 满足26A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且sin sin B C +=,求bc 的值. 【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）40bc = 【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式、配角公式将三角函数化为基本三角函数：()22sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数性质求单调区间（2）先由26A f π⎛⎫-=⎪⎝⎭以及锐角A ，求出角3A π=，再根据正弦定理将角化为边：sin sin sin 2b c b c B C A R a +++==，即13b c +=，最后根据余弦定理求bc ：()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===，即40bc =试题解析：（1）()22sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭, 由3222232k x k πππππ+≤+≤+，得()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18.（本小题满分12分）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位: 毫克）规定：当食品中的有害微量元素的含量在[]0,10时为一等品，在(]10,20为二等品，20以上为劣质品. （1） 用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率;（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20 元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率. 若分别从甲、乙食品中各抽取1件, 设这两件食品给该厂带来的盈利为X ,求随机变量X 的频率分布和数学期望. 【答案】（1）2150（2）()54E X = 试题解析：（1）从甲中抽取的5个数据中，一等品有54210⨯=个，非一等品有3个，从乙中抽取5个数据中，一等品有56310⨯=个，非一等品有2个，设“从甲中抽取5个数据中任取2个，一等品的个数为i ” 为事件()0,1,2i A i =,则()()()21123232012222555331,,10510C C C C P A P A P A C C C ======. 设“从乙中抽取5个数据中任取2个，一等品的个数为i ” 为事件()0,1,2i B i =,则()()()11222332012222555133,,10510C C C C P B P B P B C C C ======.∴甲的 一等品数与乙 的一等品数相等的概率为:()()()22110013333121101055101050P P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=. （2）由题意，设“从甲中任取一件为一等品” 为事件1C ，则()142105P C ==, 设“从甲中任取一件为二等品” 为事件2C ，则()242105P C ==, 设“从甲中任取一件为劣质品” 为事件 3C ，则()321105P C ==. 设“从乙中任取一件为一等品” 为事件1D ，则()163105P D ==,设“从乙中任取一件为二等品” 为事件2D ，则()221105P D ==, 设“从乙中任取一件为劣质品” 为事件 3D ，则()321105P D ==. X 可取 40,0,30,40,70,100-()()33111405525P X P C D =-==⨯=.,()()()()3223133111213211310,3055552555555P X P C D C D P X P C D C D ==+=⨯+⨯===+=⨯+⨯=()()()()2212212122123840,705525555525P X P C D P X P C D C D ===⨯===+=⨯+⨯=,()()112361005525P X P C D ===⨯=.X ∴的分布列为()64003040701005425255252525E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.考点：分层抽样，分布列与数学期望，古典概型概率 【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 19.（本小题满分12分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且1111,60AB A A A AB A AD =∠=∠=.（1） 求证: 平面1A BD ⊥平面 1A AC ;（2）若12BD D ==,求平面1A BD 与平面1B BD 所成角的大小.【答案】（1）详见解析（2）45试题解析：（1）因为111,60AA AB AD A AB A AD ==∠=∠=,所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形，于是11A B A D =，设AC 与BD 的交点为O ，则1AO BD ⊥，又ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，而1AO AC O =，所以 BD ⊥ 平面1A AC ，而BD ⊂平面1A BD ，故平面1A BD ⊥平面1A AC .考点：面面垂直判定定理，线面垂直判定定理，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点12,F F ,过右焦点2F 的直线l 与C 相交于,P Q 两点，若1PQF ∆的周长为短轴长的倍.（1）求C 的离心率;（2）设l 的斜率为1，在C 上是否存在一点M ,使得2OM OP OQ =+？若存在，求出点M 的坐标; 若不存在，说明理由.【答案】（12）不存在 【解析】试题分析：（1）求椭圆离心率，只需建立一个等量关系即可：因为1PQF ∆的周长为4a ，所以4a =，注意短轴长为2b ，即可得到,c ,c a e a =====2）存在性问题，以算代证，有解就存在，无解就不存在. 设()00,M x y ，()()1122,,,P x y Q x y ，则01201222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入椭圆方程为222332x y c +=化简得()212123302c x x y y ++=，再根据直线方程y x c =-与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得2121233,28x x c x x c +==，计算()()()2121212121212334330x x y y x x x c x c x x c x x c +=+--=-++=，则与()212123302c x x y y ++=矛盾，故不存在考点：椭圆离心率，直线与椭圆位置关系 【思路点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法为先假设存在，以算代探，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中解出参数，若有解就存在，否则就存在．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。