求解非线性方程组的非单调滤子算法
非线性方程组的求解(汇编)
非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。
求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。
传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。
另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。
进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。
关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。
n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。
若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。
西南交大数值分析非线性方程组的五种解法
西南交⼤数值分析⾮线性⽅程组的五种解法⽬录摘要 (2)1 绪论 (3)2 五种解法 (3)2.1 ⼆分法 (3)2.1.1 ⼆分法简介 (3)2.1.2⼆分法的MATLAB程序 (3)2.2 不动点迭代法（简单迭代法） (4)2.2.1 不动点迭代法简介 (4)2.2.2 不动点迭代法的MATLAB程序 (5)2.3 ⽜顿法 (5)2.3.1 ⽜顿法简介 (5)2.3.2 ⽜顿法的MATLAB程序 (5)2.4 简易⽜顿法 (6)2.4.1 简易⽜顿法简介 (6)2.4.2 简易⽜顿法的MATLAB程序 (6)2.5 割线法 (6)2.5.1 割线法简介 (6)2.5.2 割线法的MATLAB程序 (7)3 例⼦计算及⽐较分析 (7)4 结论 (11)参考⽂献 (12)摘要本论⽂介绍了⼆分法、不动点迭代法、⽜顿法、简易⽜顿法、割线法五种算法原理，然后进⾏了MATLAB编程，得到能求解⾮线性⽅程的根的程序。
本⽂分别⽤这五种⽅法的MATLAB程序对五个例⼦进⾏了计算，得到各种⽅法所需的迭代次数，迭代精度，迭代时间等，从⽽分析⽐较五种⽅法的优缺点。
关键词：⾮线性⽅程⼆分法简单迭代法⽜顿法简易⽜顿法割线法1 绪论在科学⼯作中经常出现这类问题，即求解⾮线性⽅程或⾮线性⽅程组—求x 使得f(x)=0或求X=(x1,x2,?,x n)T使得F(x)=0。
本论⽂采⽤5种⽅法即⼆分法、不动点迭代法（简单迭代法）、⽜顿法、简易⽜顿法、割线法，通过对原理的理解进⾏了MATLAB 编程，然后对⼏个例⼦进⾏各种解法计算，进⾏⽐较分析，从⽽发现各种算法的优势与不⾜，增加对各种算法的理解。
作者所使⽤的计算机配置如表1-1所⽰。
表1-1 计算平台简介2 五种解法2.1 ⼆分法2.1.1 ⼆分法简介若f是区间[a,b]的连续函数，且f (a) f (b) < 0，则f在[a,b]内必有⼀个零点。
因为f (a) f (b) < 0，所以函数f在区间[a,b]上改变符号，因此它在这个区间内⾄少存在⼀个零点。
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。
求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。
传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。
另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。
进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。
关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。
n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。
若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
求解非线性方程组的几种方法及程序实现
求解非线性方程组的几种方法及程序实现
求解非线性方程组一直是理论数学和应用数学研究的重点，并采用不同的方法得到准确的结果。
它们可以分为几种类型：
1. 用以绘图的方法解非线性方程组：该方法充分利用结合几何和数理的原理，给出非线性方程组的解，而不用对系数的解的表达式求解手段。
主要是利用可绘图的几何空间分析，它可以帮助理解问题本身，还可以很容易看出非线性方程组的解。
2. 用迭代法求解非线性方程组：这是一种常用的方法，它通过不断迭代收敛求解非线性方程组。
基本思想是通过构造一个迭代函数，其初始值和原始非线性方程组尽可能接近，然后不断迭代收敛求解非线性方程组。
3. 用强调法求解非线性方程系统：这是基于梯度的一种方法，它利用一个概念，即局部线性化，可以降低维数、转化为一个拐点，最后强化搜索全局解。
4. 用牛顿-拉夫逊方法求解非线性方程组：这是一种准确、快速的非线性方程组求解方法，主要利用牛顿迭代法搜索解的收敛性，加上一些拉夫逊的加速策略得到最终的结果。
5. 用幂法求解非线性方程组：幂法也称为指数序列，是一种重要的求解非线性方程组的方法，基本原理是利用指数的累加和误差的减少，从而最终得到非线性方程组的解。
6. 用逐步逼近法求解非线性方程组：逐步逼近法也称为分步变程法，是一种用于求解非线性方程组的简单方法，其基本思想是用不同的参数，在给定的范围内，逐步逼近目标解。
这些方法的程序实现略有不同，可以利用编程语言比如C、Fortran、Python等，编写程序完成求解。
可以采用函数求解、循环求解、行列式求解或者混合的算法等不同的方式实现，甚至可以用深度学习方法求解有些复杂的非线性方程组。
非线性方程组求解
非线性方程组求解非线性方程组在科学、经济等领域中应用广泛，然而，由于非线性方程组的求解困难性，这使得许多问题存在困扰。
非线性方程组求解是一个复杂的过程，在此过程中需要对多种数学技术和算法有深入的了解。
本文就非线性方程组求解这个话题进行了探讨。
一、非线性方程组的定义非线性方程组是指一组包含至少一个非线性方程的方程组。
非线性方程组是一种数据的数学模型，它描述了在特定条件下各个因素之间的相互依赖关系。
非线性方程组的解通常用来预测一个系统的行为，并且是许多数学和科学领域的重要工具。
二、非线性方程组求解的困难性非线性方程组求解的困难性是因为它们存在着多个未知数和多个方程之间的相互依赖关系。
这使得非线性方程组的求解无法通过简单的代数运算来获得，而且通常需要更高级的数学知识和算法。
在许多情况下，非线性方程组可能无法解析地求解，这时需要采用数值方法来求解。
三、非线性方程组求解的方法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是最常用的求解非线性方程组的方法之一。
它将非线性方程组看作一组关于未知量的函数，并利用泰勒公式将其逼近为线性表达式。
由于直接求解非线性方程组比较难，牛顿迭代法通常将其转化为求解一系列线性方程组的问题。
2. 非线性迭代法非线性迭代法是一种通过递推计算的方式求解非线性方程组的方法。
具体地说，非线性迭代法会将非线性方程组转化为一组迭代公式，然后通过不断迭代来逼近方程组的解。
3. 二分法二分法是一种通过对非线性方程组的解进行区间逼近来求解的方法。
二分法的基本思路是通过每次将原来的区间对半分来寻找解所在的范围。
四、结语非线性方程组求解是一个重要的数学问题，应用广泛且具有挑战性。
本文主要介绍了三种很常用的求解方法，即牛顿迭代法、非线性迭代法和二分法。
在实际运用中，这些方法可以单独或者联合使用，以求得更准确的解。
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
ex76.m
14
弦截法与抛物线法
弦截法与抛物线法
目的：避免计算 Newton 法中的导数，且具有较 高的收敛性（超线性收敛） 弦截法（割线法）：用差商代替微商 抛物线法：用二次多项式近似 f(x)
2
x
k
C
2
2
xk 1 C xk C xk 1 C xk C 2k xk C x0 C xk C x0 C k q2 xk C 2 C 2k 1 q
q
2k
对任意 x0>0， 总有 |q|<1， 即牛顿法收敛
8
牛顿法
牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点 充分靠近精确解时。
牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿的缺点
对重根收敛Βιβλιοθήκη 度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 先用其它算法获取一个近似解，然后使用牛顿法
需要求导数！
9
简化的Newton法
f ( xk ) f '( xk ) 迭代格式： xk 1 xk [ f '( xk )]2 f ( xk ) f ''( xk )
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
简化的 Newton 法
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云南 民族 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌｏ Ｙ ｎａ ｎｖｒｔ ｏ ａ ｏａ ｔｓ Ｎ ｔｒｌＳｉ ｃｓＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｆ ｕｎｎ Ｕ ｉ ｓｙ ｆＮ ｔ ｎｌｉ （ ａ ａ ｃ ｎｅ ｄｔ ｎ ｅ ｉ ｉ ｉｅ ｕ ｅ ｉ
问题 ：
ｍｎ∑ ｃ、） ｉ ＿ ， 一‘ （
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ｓ． ．
ｃ ）＝０ ｊ （ ，
令ｍ ＝∑ｃ ，（） Ｉ （） ． 传统 算法中 －， 被滤 受当 仅当 （） ） ＝Ｉ２ Ｉ 在 滤子 （ ｃ Ｉ ｓ ¨５点 ］ 子接 且
ｍ（ ）≤ ｍ（ ）一ｙ （ Ｏ ｘ）或 ｏ ｘ 卢 ），Ｖ（ （ ｆ ， ） （） ｍ（ ０ ｘ） ｍ（ ）∈ Ｆ ．
不 同于传 统 的滤 子 准 则 ， 们 在 这 里 利 用 非 单 调 技 术 我 ｍ（ ） ）当且仅 当
收 稿 日期 ：０ ９—１ —３ ． ２ … ， ． ，， ｍ
其 中 ∈ Ｒ 且 Ｃ： ， Ｒ
Ｒ， １２ … ， ． ｉ＝ ， ， ｍ
将指标 集合 分解 为 ２个 集合 Ｓ 和 ｓ 其 中 ． ， ｓ ：＝｛ ，， ， ／ 将上 述 问题转 化为求 解 等式约 束优化 １２ … ｍ｝Ｓ ．
Ｖｏ ．１ Ｎｏ ４ １ ９ ．
Ｊ １２ ０ ｕ ． ０１
ｄｉ１ ． ９ ９ ｊｉ ｎ １ ７ ｏ：０ ３ ６ ／．ｓ ． ６ ２—８ １ ．０ ０ ０ ．０ ｓ ５ ３ ２ １ ．４ ０ ５
求解 非线 性 方 程 组 的 非 单调 滤 子 算 法
黎 维 清 ， 定 国 濮
（ 同济大学 数 学系 ， 上海 ２０ ９ ） ００ ２
， 得 数 组 （ ） ｍ（ ） 使 （ ， ｘ ）控 制 （ ） （ ，
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 （０ ７ １２ ． １７ １６ ）
作者简介 ： 黎维清 （９ ７一）男 ， １８ ， 硕士研究生． 主要研究方 向 ： 运筹学．
通讯作者 ： 濮定 国（９ ８一） 男 ， １４ ， 教授 ， 士生导师 ． 博 主要研究方向 ： 运筹学
摘 要 ：提 出了一 个新 的 求解非 线性 方程 组 的 滤子 算 法 ， 首先 把 非 线性 方程 组 的 求 解转 化成 一 个 非线性 优化 问题 ， 然后借 助 非单调技 术 和滤 子技 术 求解 该 问题 ， 而得 到 了原 方程 组 的解 ． 适 从 在 当的条件 下 ， 明 了该 算法 的全局 收敛性 ， 步 的数 值试 验表 明 了该算 法的有 效性 ． 证 初 关键 词 ： 线性 方程组 ； 非 滤子 ； 单调技 术 ； 非 全局 收敛性 中图分 类号 ： ２ １２ Ｏ ２ ． 文献标 识码 ： 文章 编号 ：６ ２— ５ ３ ２ １ ） — ２ ３— ４ Ａ １７ ８ １ （ ０ ０ ０ ０ ５ ０ ４ Ａ ｎ ｏ ｏ ｏ ｌｅ ｅ ｈｏ ｏ ｎ ｉ ｅ ｒ Ｅｑ ａ ｉ ｎ Ｎｏ ｍ ｎ ｔ ｎｅ Ｆｉｔ ｒ Ｍ ｔ ｄ ｆ ｒ Ｎｏ ｌｎ ａ ｕ ｔｏ ｓ
Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ：ｎ ｎ ｉ ａ ｑ ａ ｉｎ ｏ ｌｎｅ ｒ ｅ ｕ ｔｏ ｓ；ｆｌ ｒ ｏ ｍｏ ｏｏ ｅ ｔ ｃ ｎ ｌｇ ； ｇｏ ｌｃ ｎ ｅ ｇ ｎｃ ｉ ｔ ；ｎ ｎ ｎ ｔ ｎ ｅ ｈ ｏ ｏ ｅ ｙ ｌｂａ ｏ ｖ ｒ ｅ ｅ
０ 引言
非线 性方 程组 的求解 是 很 多 科 学 理论 和工 程 技 术 中经 常 遇 到 的 问题 ． 章 考 虑 如下 的非 线 性 方 程组 文
Ｌ Ｗ ｅ— ｉｇ． Ｕ Ｄｉｇ ｇ ｏ Ｉ ｉ ｎ Ｐ ｎ —ｕ ｑ
（ ｅａｔ ｎ ｏ ｔ ｍａｃ ，ｏｇｉ ｎｖｒｉ ，ｈ ｎｈｉ ０ ０ ２ Ｃ ｉａ Ｄ ｐｒ ｍｅｔ ｆ ｈ ｔ ｓＴ ｎｊＵ ｉｅｓｙＳ ａｇａ ２ ０ ９ ， ｈ ） Ｍａ ｅ ｉ ｔ ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈｓｐ ｐ ｒｐ ｅ ｅ ｔ ｗ ｌｅ ｔ ｏ ｏ ｏ ｖｎ ｏ ｌ ａ ｑ ａｉ ｎ ．Ｆｉｓ ，ｈ ｓｐ ｏ ｌｍ ｓｔａ ｓｏ ｍｅ ｉ ａ ｅ ｒ ｓ ｎ ｓａｎｅ ｆ ｔｒｍｅ ｈ ｄ ｆ ｒｓ ｌｉ ｇ ｎ ｎ ｉ ｒｅ ｕ ｔｏ ｓ ｉ ｎｅ ｒ ｔ ｔ ｉ ｒ ｂ ｅ ｉ ｒ ｎ ｆｒ ｄ ｉｔ ｏ ｌｎ ａ ｐ ｉ ｚ ｔｏ ｎｏ ａ ｎ ｎ ｉｅ ｒ ｏ ｔｍｉａｉｎ．Ｔｈ ｎ．ｉ ｓ ｌｅ ｈ ｓ ｑ ｅ ｔｏ ｔ ｈ ｉ ｆｎ ｎ ｎ ｔｎ ｅ ｈｎ ｌ ｇ ｎ ｌｅ ｅ ｈ ｅ ｔ ｏ ｖ ｓｔ ｉ ｕ ｓｉ ｎ ｗｉ ｔ ｅ ａ ｄ ｏ ｏ ｍｏ ｏ ｏ ｅ ｔ ｃ ｏｏ ｙ ａ ｄ ｆ ｔｒｔ ｃ — ｈ ｉ ｎ ｌｇ ａ ｄ ｔ ｕ ｂ ａｎｓ ａ ｓ ｌｔｏ ｏ ｈ ｒｇｎ ｌｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｅ ａｉ ｎ Ｕｎｄ ｒ ｒ ａ ｏ ａ ｌ ｏ ｄ ｔｏ ｓ，ｔ ｓ ｏ ｈ ｏｏ ｙ， ｎ ｈ ｓ ｏ ｔｉ ｏｕ ｉ ｎ ｆ ｔ ｅ ｏ ｉ ａ ｏ ｌｎ ａ ｑｕ ｔｏ ． ｉ ｅ ｅ ｓ ｎ ｂ ｅ ｃ ｎ ｉｉｎ ｉ ｈ ｗｓ ｔ ｅ ｇ ｏ ａ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｒ ｐ ｒｉｓ ｌｂ ｌｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ．Ｐｒ ｌ ｎ ｒ ｕ ｒｃ ｌｔｓｓｈａ ｅ ｐ ｏ ｅ ｈ ｆ ｃ ｅ ｃ ｆｔ ｅ ａ ｐ ｏ ｃ ｅ ｉ ａｙ ｎ ｍｅ ａ ｅ ｔ ｖ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｅ ｉｎ ｙ ｏ ｈ ｐ ｒ ａ ｈ． ｍｉ ｉ ｉ