高三数学 古典概型考点分类自测试题 理

2015年高考理科数学考点分类自测：古典概型
一、选择题
1．在2011年深圳世界大学生运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( )
A.3
10
B.
5
8
C.7
10
D.
2
5
2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( )
A.1
10
B.
1
8
C.1
6
D.
1
5
3．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是( )
A.11
27
B.
11
24
C.16
27
D.
9
24
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
A.1
3
B.
1
2
C.2
3
D.
3
4
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )
A.1
6
B.
1
3
C.1
2
D.
3
4
6．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的
概率是 ( )
A.2
15
B.29
C.1
5
D.13
二、填空题
7．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加2010年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________．
8．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．
9.在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是
线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F.设G 为满足向量 OG ＝OE ＋OF 的点，则在上
述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为__________．
三、解答题
10．已知集合A ＝{x|－3<x<1}，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
⎪
x ＋2
x －3<0. (1)求A∩B，A ∪B ；
(2)在区间(－4,4)上任取一个实数x ，求“x∈A∩B”的概率；
(3)设(a ，b)为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“b－a ∈A ∪B”的概率．
11．2011年3月11日，日本附近海域发生了9.0级地震，某志愿者协会现派出2名女医生和3名男医生组成一个小组赴日本救援，若从中任选2人前往地震中心救援．
(1)求所选2人中恰有一名男医生的概率； (2)求所选2人中至少有一名女医生的概率．
12.如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中A 1、A 2、A 3、A 4是道
路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M ，N 处的甲、乙两人分别要到N ，M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ，M 处为止．
(1)求甲经过A 2到达N 处的方法有多少种； (2)求甲、乙两人在A 2处相遇的概率； (3)求甲、乙两人相遇的概率．
详解答案
一、选择题
1．解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，
∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝3
10.
答案：A
2．解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选
取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB 与DE)，共有3种，
故所求概率为315＝15.答案：D3．解析：P ＝C 1
2C 6·C 1
3C 9＋C 1
4C 6·C 1
4C 9＝654＋
16
54＝2254＝11
27
. 答案：A
4．解析：记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝39＝1
3
.
答案：A
5．解析：要使△ABC 有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨
⎪⎧
a>bsinA
b>a ，
因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
b<2a
b>a
，满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b
＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝1
6
.
答案：A
6．解析：依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A 6
6＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有C 2
3·C 1
2·C 1
2·A 2
2＝24种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有C 1
2·C 1
2＝4种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于96720＝2
15
.
答案：A 二、填空题
7．解析：依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是C 2
2＋C 23C 25＝25.答案： 2
5
8．解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为1
6
.
答案：16
9. 解析：基本事件的总数是4×4＝16，在 OG ＝ OE ＋ OF 中，当 OG ＝ OP ＋
OQ ， OG ＝ OP ＋ ON ， OG ＝ ON ＋ OM ， OG ＝ OM ＋ OQ 时，点G 分别
为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝3
4
.
答案：3
410．解：(1)由已知B ＝{x|－2<x<3}，
A∩B＝{x|－2<x<1}，A ∪B ＝{x|－3<x<3}．
(2)设事件“x∈A∩B”的概率为P 1，这是一个几何概型，则P 1＝3
8.
(3)因为a ，b ∈Z ，且a ∈A ，b ∈B ，
所以，基本事件共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1, 0)，(－1,1)，(－1, 2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．
设事件E 为“b－a ∈A ∪B”，则事件E 中包含9个基本事件， 事件E 的概率P(E)＝912＝3
4
.
11．解：(1)设事件A ：所选2人中恰有一名男医生，则 P(A)＝C 13C 1
2C 25＝610＝35
.
故所选2人中恰有一名男医生的概率为3
5.
(2)设事件B ：所选2人中至少有一名女医生．则 P(B)＝1－P(B )＝1－C 2
3C 25＝1－310＝7
10.
即所选2人中至少有一名女医生的概率为7
10.
12. 解：(1)甲经过A 2，可分为两步： 第一步，甲从M 到A 2的方法有C 1
3种； 第二步，甲从A 2到N 的方法有C 13种． 所以甲经过A 2到达N 处的方法有(C 13)2＝9种．
(2)由(1)知，甲经过A 2的方法数为9；乙经过A 2的方法数也为9. 所以甲、乙两人在A 2处相遇的方法数为9×9＝81； 甲、乙两人在A 2处相遇的概率为
81C 36C 36＝
81
400
. (3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A 1、A 2、A 3、A 4处相遇，他们在A i (i ＝1,2,3,4)处相遇的走法有(C i －13)4
种方法，
所以(C 03)4
＋(C 13)4
＋(C 23)4
＋(C 33)4
＝164， 故甲、乙两人相遇的概率为164400＝41
100。