用一次函数图象解二元一次方程组
一次函数与二元一次方程(组)
一次函数的图像和性质
图像
一次函数的图像是一条直线，可 以通过斜率和截距来确定。
斜率
斜率表示了函数的增长速率，可 以通过两点坐标计算得出。
截距
截距表示了函数与y轴的交点， 可以通过x=0来求解。
一元一次方程的定义和解法
1 定义
一元一次方程是一个只包含一个变量的一次 方程，形如ax + b = 0，其中a和b为常数，且a ≠ 0。
2 解法
通过移项和化简，可以逐步求解未知数x的值， 得到方程的解。
二元一次方程组的定义和解法
1 定义
二元一次方程组是一个包含两个变量的一次方程组，形如 ax + by = c dx + ey = f 其中a、b、c、d、e、f是已知的常数，且a、b、d、e不全为0。
2 解法
通过比较系数、消元和代入法，可以求解方程组的未知数x和y的值，得到方程组的解。
一次函数与一元一次方程的关系
1
函数转方程
可以通过将函数转化为方程的形式，找到函数的解。
2
方程转函数
可以通过将方程转化为函数的形式，得到函数的解析式。
3
二者的等价性
在某些情况下，函数与方程是等价的，它们可以互相转化而不改变问题的解。
一次函数与二元一次方程组的关系
线性表示
一次函数可以用于表示二元一 次方程组的每个方程，其中x为 自变量，y为因变量。
解析式
二元一次方程组的解可以转化 为一次函数的解析式。
图像
一次函数的图像可以在坐标平 面上表示二元一次方程组的解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题和练习
通过一些设计精巧的例题和练习题，巩固对一次函数与二元一次方程(组)的理 解和应用。
怎样用图象法解方程组呢
1、一次函数 y=5-x与y=2x-1图象的交点坐标为（2，
x2 y 5 x 3），则方程组 的解为 _________. y3 y 2x 1 x2 2、若方程组 2 x y 1的解为 ，则一次函数 y 5 3x y 1
x（分）
(2)30分钟时水箱有多少升水？
当x=30时，y=2.5 × 30+25 = 100 答： 30分钟时水箱有100升水。
新年快要到了，和平小学准备到水果批发市场购买 水果，慰问敬老院的爷爷奶奶们 市场对购买量在300千克以上（含300千克）有两种销售 方案：方案一，每千克9元，由市场送货上门；方案二， 每千克8元，由学校自己租车运回 ，已知租车运输费为 500元。 （1）分别写出两种购买方案的付款y（元）与购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式。 （2）选择哪种购买方案 付款最少呢？
y=2x-4
y 2x 4
y=-2
解得
解得
用图象可以 解决方程问题
说一说，怎样用图象法解方程组呢？
1、把两个方程都化成一次函数的形式。 2、画出两个函数的图象。 3、观察交点坐标，交点坐标的值即为方程组的解。
二元一次方程组的解法
• 1、代入消元法
• 2、加减消元法
• 3、图像法
x 2 y 2 解方程组 2 x y 2
y
5 4 3 2 1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5
x
y=2-x y=5-x
你能从中“悟”出些什么吗？
噢！用函数图像可 以解决方程的问题 O(∩_∩)O哈哈~。
那么用方程的方法 可以解决函数的问 题吗？
课堂小结：
二元一次方程 和一次函数图 象的关系 以二元一次方程的解 为坐标的点都在对应 的函数图象上. 一次函数图象上的点 的坐标都适合对应的 二元一次方程.
一次函数与二元一次方程组的关系
3 0 x
y
2 y 0 y 2 0
x
-4
x
x
-3
1.已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-2，1）， 且k<0，当x<-2时，y的取值范围是 y＞1 ， 当y<1时，x的取值范围是_________ 。 x>-2
y
2. 如图,直线 l1:y=k1x+b1与直线 l2:y2=k2x+b2相交于点P(-2,3) ,当 y1＞y2时，x的取值范是 x＜-2 .
P l1 0 x
l2
探究新知
探究一次函数与二元一次方程的关系
(1)对于方程3x+5y =8如何用x表示y? 3 8 y = 5 x 5 . (2)是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？
2x - y =0
y = 2x
结 论：任意一个二元一次方程都可以转化
为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对 应一个一次函数，于是对应一条直线。
x/分
小结
从数的角度看
解二元一次方程组
当自变量为何值时两 个函数的值相等，以 及这个函数值是何值。
从形的角度看
解二元一次方程组
确定两条直线 交点的坐标
数形结合思想。
x 2 y 0 x y 3
1 3 y x 转化为 2 2 一变 y 3 x 5 在同一坐标系分别画 二画 y 出 y=0.5x+1.5 1 3
x 2 y 3 利用函数图象解二元一次方程组 3x y 5
探究一次函数与二元一次方程组的关系
把这个方程组的每一个方程转化成y=kx+b的形式。
3x 5 y 8 2 x y 1
北师大版八年级上册数学《二元一次方程与一次函数》二元一次方程组PPT课件
平均数 众数 中位数
课堂小测
1.如下图所示的是某市5月份某一周的最高气温统计图，则这 组数据(最高气温)的众数与中位数分别是( A )
A.28 ℃,29 ℃ C.28 ℃,30 ℃
B.28 ℃,29.5 ℃ D.29 ℃,29 ℃
天数
最高气温/℃
课堂小测
2．如图是某射击选手5次射击成绩的折线图，根据图示信息，这5
八年级数学北师版·上册
第六章 数据的分析
从统计图分析数据的集中趋势
新课引入
如何确定一组数 据的平均数？
平均数
x
1 n
( x1 x 2 ... x n )
新知探究
如何确定中位数？
确定中位数，应先把这组数据按大小顺 序排列，最中间位置的一个数据或最中 间两个数据的平均数即为中位数.
新知探究
什么时候中位数取最中间位 置的一个数据,什么时候取最
课堂小测
(3)在(2)的条件下，把每个学生的捐款数额(以元为单位)一一记录 下来，则在这组数据中，众数是多少？
(3)因为初中生最多， 所以众数为10元．
新知探究
(3)在上面的问题中，如果不知道调查的总人数，你 还能求平均数吗？如果把算式中的小括号去掉，你 有什么发现？
约去20后可以写成 100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%，其中的百 分比就是扇形统计图中各项对应的百分比.事实上，这些百 分比就是“权”，所以平均数也可以直接这样算： 100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%=57(元).
(1)变函数：把方程组 k1 x y b1
k2 x y b2
用一次函数图象解二元一次方程组
用一次函数图象解二元一次方程组山东 于秀坤一次函数的表达式就是一个二元一次方程，任何一个二元一次方程都可以化为一次函数表达式的形式.如y=2x+3是一函数表达式，也是二元一次方程；而2x-y=-3是一个二元一次方程，不是函数表达式.但可以将其化为y=2x+3，就是一个函数不表达式.一般来说，一个二元一次方程有无数多个解.以这些解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象.如以方程2x-y=-3的解为坐标所有的点组成的图形就是y=2x+3的图象.一个一次函数图象上的任意一点，它的坐标一定能适合相应的二元一次方程.如一次函数y=21x-1图象上的一点(2,0),它适合方程x-2y=2,即⎩⎨⎧==0,2y x 是方程x-2y=2的一个解. 由于二元一次方程可以转化为一次函数,在平面直角坐标系中可以画出函数的图象,所以将方程组中的两个方程都化为一次函数,在同一平面直角坐标系中就可以画出两个函数的图象(即两条直线),这两条直线的相交于一点,交点的坐标既是满足第一个方程,又满足第二个方程,所以交点的坐标就是方程组的解.这种将二元一次方程组转化为一次函数,通过画函数的图象确定交点坐标解二元一次方程组的方法,我们称为二元一次方程组的图象解法.用一次函数的图象解二元一次方程组，一般分为以下几个步骤：（1）将方程组中的每个方程分别转化一次函数表达式；（2）在同一坐标系内分别画出转化后的两个一次函数的图象；（3）根据两个函数图象交点的坐标写出方程组的解.例1 利用图象法解方程组⎩⎨⎧=+=-3,5y x y x 解：方程x-y=5，变形为y=x-5，过两点(0,-5)和(5,0)画函数y=x-5的图象;方程x+y=3变形为y=-x+3,过两点(03,)和(3,0)画函数y=-x+3的图象,这两个函数图象的交点坐标是(4,-1)(如图1).所以方程组的解为⎩⎨⎧-==.1,4y x 评注:由于一次函数的图象是一条直线,所以只要取两个适当的点,画直线即可.利用图象法求出的解与利用代入法或加减法解得到的解是相同的,但画图象时,难免有一些误差,所作图象要准确. 图1例2 利用函数图象解方程组⎩⎨⎧-=+=-.5,22y x y x 解：方程2x-y=2变形为y=2x-2，方程x+y=5变形为y=-x-5，画出直线y=2x-2与直线y=-x-5，可以看出它们交点的横坐标为-1，交点的纵坐标为-4（如图2），于是方程组⎩⎨⎧-=+=-.5,22y x y x 的解为⎩⎨⎧-=-=.4,1y x图2练一练;利用图象法解方程组:(1)⎩⎨⎧=-=-.1483,3y x y x (2)⎩⎨⎧=-=+.23,532y x y x。
2017-2018学年北师大版八年级数学上册教师用书(pdf版)：5.6二元一次方程与一次函数
{
{
ｘ＝２
ｙ ＝ －ｘ ＋１
的解是
ｙ ＝ －１
.
探求二元一次方程组与一次函数的对应 ʌ 例 ２ɔ 已知一次函数 ｙ ＝ ａｘ ＋ ２ 与 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 的 图 像 如 图 所 示ꎬ 且 方 程 组 关系
{
７
ｙ ＝ ａｘ ＋ ２ ｘ＝２ 的解为 ꎬ 点 Ｂ 的坐标 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ ｙ＝１ 为(０ꎬ － １) ꎬ你能确定这两个一次函
( 第 １ 题)
一. 选择题
Ａ 组㊀ 夯实基础
１. 下面四条直线ꎬ其中直线上每个点的坐标都是二元一 次方程 ｘ － ２ｙ ＝ ２ 的解的是 ( ㊀ Ｃ㊀ )
２. 小亮用作图像的方法解二元一次方程组时ꎬ 在同一直 如图所示ꎬ他解的这个方程组是 ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ２ ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ２ Ａ. Ｂ. １ ＝ － ｙ ｘ １ ｙ ＝ －ｘ ２ ｙ ＝ ３ｘ － ８ ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ２ Ｃ. ( ㊀ Ｄ㊀ )
ʑ ４ｋ －６ ＝ ０ꎬ即 ｋ ＝ ３ ꎻ ２
三. 解答题
若这一交点坐标适合方程 ａｘ ＋ ｙ ＝ ６ꎬ则 ａ ＝ ㊀ －２３㊀ .
( 第 ２ 题) ( －２ꎬ４) ㊀ .
二. 填空题
３. 如图ꎬ已知函数 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ 和 ｙ ＝ ｃｘ ＋ ｄ 的图像交于点 Ｍ ꎬ 则根 据 图 像 可 知ꎬ 关 于 ｘꎬ ｙ 的 二 元 一 次 方 程 组 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ ｘ ＝ －２ 的解为㊀ ㊀ . ｙ＝３ ｙ ＝ ｃｘ ＋ ｄ ４ｘ ＋ｙ ＝ ７ ｘ＝２ ４. 二元一次方程组 的解是 ꎬ则一次函数 ｙ ｘ ＋ｙ ＝ １ ｙ ＝ －１ ＝ １ － ｘ 和 ｙ ＝ ７ － ４ｘ 的图像的交点为㊀ ( ２ꎬ－１) ㊀ .
人教版八年级数学下《一次函数与二元一次方程(组)》知识全解
《一次函数与二元一次方程（组）》知识全解课标要求理解一次函数与二元一次方程组的联系，用一次函数的观点认识二元一次方程组，会应用它们解决实际的问题。
知识结构一次函数与二元一次方程的关系任何一个关于x,y的二元一次方程ax+by=c，都可以化为一个一次函数一般形式y=kx+m 的形式。
我们也可以理解为二元一次方程就是一个一次函数，只不过不是一次函数的一般形式。
既然每个二元一次方程都对应着一个一次函数，那么也就对应着一条直线，直线上每个点地横、纵坐标都是方程的一组解。
一次函数与二元一次方程组的关系明白了一次函数与二元一次方程的关系，我们很容易知道，二元一次方程组中的两个方程对应着两条直线，这两条直线的交点既在第一条直线上，又在第二条直线上，那么点的坐标应该满足两个解析式都成立，即为方程组的解。
内容解析一次函数和二元一次方程式互相统一的，二者的关系较之一次函数与一元一次方程及一元一次不等式更为密切。
每一个二元一次方程都是一个一次函数，所以每一个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这个值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
用函数观点看方程（组）与不等式是数形结合思想的又一体现，它教给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合思想的重要性。
重点难点本节的重点是：用一次函数的观点重新认识二元一次方程（组），将二者统一运用到解决有关问题中。
难点是：能把它们统一起来．解决有关问题时，又能根据具体情况灵活地应用这些方法。
教法引导通过举例，让学生体会一次函数与二元一次方程（组）的统一关系。
通过让学生动手画函数图象，掌握用图象来解决二元一次方程（组）的方法。
学法建议学习时要积极动手动脑，通过自己动手画图象，总结体会怎样用一次函数的图象来解决二元一次方程（组）的问题；加强小组间的交流，在不断交流、探讨中发现问题、解决问题。
一次函数与二元一次方程组
2x－y＋3=0 x－2y－3=0
的解有关 系吗?
如果有关系，请说明有怎样的关系？如果 没有关系。请说明理由？
一般地，如果两个一次函数的图象有一个交 点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方 程组的一个解。
一次函数与二元一次方程可以相互 转化，从形式到内容它们都是统一的。
二元一次方程组的解与以这两个方 程所对应的一次函数图象的交点坐标 相对应。
解：由①得: y x 1 由②得: y 2x 1
作出图象： 观察图象得：交点(0,-1) ∴方程组的解为 x=0
y=-1
y
y=x+1
O
x
y=-2x+4
巩固练习
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数
_y_=_2_x_-1_的图像上。
2、方程组
x-y=4 3x-y=16
的解是
yx==2，6 由此可知一
解： 由①得: y 2x 4
由②得: y 2 x 4 3
o
作出图象：
观察图象得：交点为(3,-2)
∴方程组的解为 x=3 y=-2
y=2/3x - 4 y
y=-2x+4
你能说一说用图像解二元一次 方程组的一般步骤吗？
写函数，作图象，找交点，下结论
练习：利用图象法解方程组：
x-y=-1 ① 2x+y=1 ②
什么？
1 (0,1)
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
x+y=1
y=-x+1
-x+y=1 y=x+1
1 2 3 4 5x (0,1)
参与讨论
两个一次函数关系式可以写成两个二元一次 方程的形式.一次函数y=2x＋3和y=1/2x－3/2 的图象,与相应的二元一次方程组
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用一次函数图象解二元一次方程组
一次函数的表达式就是一个二元一次方程，任何一个二元一次方程都可以化为一次函数表达式的形式.如y=2x+3是一函数表达式，也是二元一次方程；而2x-y=-3是一个二元一次方程，不是函数表达式.但可以将其化为y=2x+3，就是一个函数不表达式.
一般来说，一个二元一次方程有无数多个解.以这些解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象.如以方程2x-y=-3的解为坐标所有的点组成的图形就是y=2x+3的图象.
一个一次函数图象上的任意一点，它的坐标一定能适合相应的二元一次方程.如一次函数y=
21x-1图象上的一点(2,0),它适合方程x-2y=2,即⎩
⎨⎧==0,2y x 是方程x-2y=2的一个解.
由于二元一次方程可以转化为一次函数,在平面直角坐标系中可以画出函数的图象,所以将方程组中的两个方程都化为一次函数,在同一平面直角坐标系中就可以画出两个函数的图象(即两条直线),这两条直线的相交于一点,交点的坐标既是满足第一个方程,又满足第二个方程,所以交点的坐标就是方程组的解.这种将二元一次方程组转化为一次函数,通过画函数的图象确定交点坐标解二元一次方程组的方法,我们称为二元一次方程组的图象解法.
用一次函数的图象解二元一次方程组，一般分为以下几个步骤：（1）将方程组中的每个方程分别转化一次函数表达式；（2）在同一坐标系内分别画出转化后的两个一次函数的图象；（3）根据两个函数图象交点的坐标写出方程组的解. 例1 利用图象法解方程组⎩⎨⎧=+=-3
,5y x y x 解：方程x-y=5，变形为y=x-5，过两点(0,-5)和(5,0)画函数y=x-5的图象;方程x+y=3变形为y=-x+3,过两点(03,)和(3,0)画函数y=-x+3的图象,这两个函数图象的交点坐标是(4,-1)(如图).
所以方程组的解为⎩⎨⎧-==.
1,4y x
评注:由于一次函数的图象是一条直线,所以只要取两个适当的点,画直线即可.利用图象法求出的解与利用代入法或加减法解得到的解是相同的,但画图象时,难免有一些误差,所作图象要准确.
例2 利用函数图象解方程组
⎩⎨⎧-=+=-.
5,22y x y x 解：方程2x-y=2变形为y=2x-2，方程x+y=5变形为y=-x-5，画出直线y=2x-2与直线y=-x-5，可以看出它们交点的横坐标为-1，交点的纵坐标为-4（如图），于是方程组⎩⎨⎧-=+=-.5,22y x y x 的解为⎩⎨⎧-=-=.
4,1y x
图2
练一练;利用图象法解方程组:
(1)⎩⎨⎧=-=-.1483,3y x y x (2) ⎩⎨⎧=-=+.23,532y x y x。