2017-2018年浙江省杭州市萧山区八年级(上)数学期中试卷及参考答案
2018届浙江杭州萧山八年级上数学期中试题
2017学年第一学期8年级期中质量检测数学 试题卷考试时间：90分钟 满分：120分 命题人：鲍平花 审核人：谭波考生注意：请将学校、考号、姓名、班级依次写在答题卷的左上角一、仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)1、下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ▲ ）A ．20 cm ，15cm ，5 cmB ．3.8 cm ，7.2 cm ，3.2cmC ．32cm ，42cm ，52cm D ．4.3 cm ，9.5 cm ，5.4 cm 2、如图所示，已知在△ABC 中，AB=AC ，BC=BD ，AD=DB ，则∠A 的度数是（ ▲ ） A ．30° B ．36°C ．45°D ．54°3、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ▲ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 4、如图，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD=AE ．下列方法中，可以直接判断△ADB ≌△AEC 的是（ ▲ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS5、如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ， 连结AA ′，若∠1＝20°，则∠B 的度数是 ( ▲ ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55°6、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D ′、C ′位置，若∠EFB=65°，则∠AED ′等于（ ▲ ） A. 65° B. 60° C. 55° D. 50°7、用10根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（ ▲ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 8、工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合，过角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种作法的道理是（ ▲ ）9、下列命题是真命题的有（ ▲ ）①一条直线截另外两条直线所得的同位角相等②垂直于同一条直线的两条直线平行③有两对角和一组边相等的两个三角形全等④对于不为零的实数c ，关于x 的方程x+xc=c+1的解是x=c ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等。
浙江省杭州市2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题(含解析)
2．下列判断正确的是（
） ． B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
A．有一直角边相等的两个直角三角形全等 C．腰相等的两个等腰三角形全等 【答案】 B
【解析】 A 选项应为一直角边和斜边相等的直角三角形全等；
C 选项应有一角相等才能使两个三角形全等；
D 选项还缺少边的对应关系才能使三个三角形全等．
10．已知 △ ABC 中， AC BC ， C 90 ，如图，将 △ ABC 进行折叠，使点 A 落在线段 BC 上， （包括点 B 和点 C ） ，设点 A 的落点为 D ，折痕为 EF ，当 △DEF 是等腰三角形时，点 D 可能的位 置共有（ ） ．
A F E C
A． 2 种 【答案】B 【解析】依题意将 ∥ ABC 折叠，使 A 落在 BC 上，落点为 D ，使 ∥ DEF 为等腰三角形， 点 D 可能的位置共有： ①点 A 与 D 点重合时， ∵ AC BC ， AE DE ， ∴ EF DE ．
C．
5 x5 2
5 D． ≤ x ≤ 5 2
10 5， 2
又∵三角两边之和大于第三边， 有 2 x 10 2 x ， ∴x ∴
10 5 ， 4 2
5 x5． 2
x 1 8．已知不等式组 只有一个整数解，则 a 的取值范围一定只能为（ x a
） ． D． 0 a 1
故选 B ．
3．已知 △ ABC 中， A A． 1:1: 2 【答案】B
1 1 B C ，则它的三条边之比为（ 2 3
B． 1: 3 : 2 C． 1: 2 : 3
） ． D． 1: 4 :1
1 1 【解析】已知 A B C ， 2 3
浙江省杭州市 八年级(上)期中数学试卷(含答案)
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案中，是轴对称图形的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.下列语句是命题的是（）A. 作直线AB的垂线B. 在线段AB上取点CC. 同旁内角互补D. 垂线段最短吗？3.已知等腰△两条边的长分别是3和6，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 12或15D. 15或184.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）A. SSSB. ASAC. SSAD. HL5.若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A. a−1<b−1B. a3>b3C. −a<−bD. ac<bc6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A. 5B. 2C. 4D. 87.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（）A. P为∠A、∠B两角平分线的交点B. P为AC、AB两边上的高的交点C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（）A. ①②④B. ①②③C. ②③D. ①③9.△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 510.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A. 23B. 10C. 22D. 6二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______ ．12.写出“对顶角相等”的逆命题______ ．13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．14.不等式组x＞−1x＜m有3个整数解，则m的取值范围是______ ．15.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．16.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解不等式1−7x−18＞3x−24，并把它的解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）18.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？21.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．22. 阅读下列材料：解答“已知x -y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法：解：∵x -y =2，x ＞1，∴y +2＞1，即y ＞-1，又y ＜0，∴-1＜y ＜0．…①同理得：1＜x ＜2．…②由①+②得-1+1＜y +x ＜0+2，∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2．请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组 x +2y =5a −82x−y =−1的解都为非负数．（1）求a 的取值范围；（2）已知2a -b =1，求a +b 的取值范围；（3）已知a -b =m （m 是大于1的常数），且b ≤1，求2a +b 最大值．（用含m 的代数式表示）23. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ，若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求△ABP 的周长．（2）问t 满足什么条件时，△BCP 为直角三角形？（3）另有一点Q ，从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，若P 、Q 两点同时出发，当P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ把△ABC 的周长分成相等的两部分？答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据轴对称图形的定义，可知第2个，第4个是轴对称图形，而第1个、第3个、第5个都不是轴对称图形．故选B．判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．本题考查轴对称图形的识别，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C、符合命题的定义，是命题；D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．故选C．根据命题的定义作答．一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于仸何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．3.【答案】B【解析】解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选B．由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴△ADO和△APO是直角三角形，又∵OD=OP，AO=AO，∴Rt△AOD≌△Rt△AOP（HL）.故选D．根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．本题考查直角三角形全等的判定方法HL．5.【答案】A【解析】解：根据不等式的性质可得：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．A、a-1＜b-1，故A选项是正确的；B、a＞b，不成立，故B选项是错误的；C、a＞-b，不一定成立，故C选项是错误的；D、c的值不确定，故D选项是错误的．故选A．根据不等式的性质分析判断．主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.【答案】B【解析】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“仸何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.【答案】C【解析】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．8.【答案】B【解析】解：∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AEF中，，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；CH=CE=EF＞HD，故④错误．故正确的结论为①②③．故选B．根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．9.【答案】A【解析】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．10.【答案】C【解析】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．11.【答案】80°或50°【解析】解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故填50°或80°等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．12.【答案】相等的角是对顶角【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．13.【答案】4【解析】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．根据角平分线的性质定理，解答出即可；本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】2＜m≤3【解析】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．故答案是：2＜m≤3．首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15.【答案】9【解析】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．16.【答案】2【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=2×=，∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．故答案为：．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．17.【答案】解：去分母得，8-（7x-1）＞2（3x-2），去括号得，8-7x+1＞6x-4，移项得，-7x-6x＞-4-8-1，合并同类项得，-13x＞-13，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示如下：【解析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．18.【答案】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°-37°=16°．【解析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D 点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．19.【答案】①证明：在△ABE 和△CBD 中，AB =CB∠ABC =∠CBD =90°BE =BD，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；②解：∵在△ABC 中，AB =CB ，∠ABC =90°，∴∠BAC =∠ACB =45°，由①得：△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB =∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB =∠ACB +∠CAE =30°+45°=75°，则∠BDC =75°．【解析】①利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB ，利用外角的性质求出∠AEB 的度数，即可确定出∠BDC 的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．20.【答案】解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得： 50x +20y =88060x +30y =1080，解得 y =4x =16．答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m -4）件，由题意得：16m +4(2m −4)≤296m +2m−4≥32，解得：12≤m ≤13，∵m 是整数，∴m =12或13，故有如下两种方案：方案（1）：m =12，2m -4=20 即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m-4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．21.【答案】解：（1）AP=CQ．理由如下：∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，∴∠CBQ=∠ABP，在△ABP和△CBQ中，AB=CB∠ABP=∠CBQ，BP=BQ∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ；（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，PB=PQ=4，PA=QC=3，∵PQ2+CQ2=PC2，∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．【解析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP ≌△CBQ 是解题的关键．22.【答案】解：（1）解方程组 x +2y =5a −82x−y =−1得：y =2a −3x =a−2， ∴ 2a −3≥0a−2≥0，解得：a ≥2； （2）由2a -b =1，a ≥2，可得：1+b 2≥2，解得：b ≥3，∴a +b ≥5；（3）由a -b =m ，a ≥2，可得m +b ≥2，∴b ≥2-m ，∴2-m ≤b ≤1，同理可得：2≤a ≤1+m ，∴6-m ≤2a +b ≤3+2m ，∴最大值为3+2m ．【解析】（1）先把a 当作已知求出x 、y 的值，再根据x 、y 的取值范围得到关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求a+b 的取值范围；（3）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求2a+b 的取值范围，即可得到最大值．本题考查了一元一次不等式（组）的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．23.【答案】解：（1）∵∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ， ∴AC =4cm ，动点P 从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，速度为每秒1cm ， ∴出发2秒后，则CP =2cm ，∵∠C =90°，∴PB = 22+32= 13cm ，∴△ABP 的周长为：AP +PB +AB =2+5+ 13=7+ 13（cm ）；（2）∵AC =4，动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ， ∴P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，∴0＜t ≤4，当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，∵12×AB ×CP =12×AC ×BC ，∴1 2×5×CP=12×3×4，解得：CP=125cm，∴AP= AC2−CP2=165cm，∴AC+AP=365cm，∵速度为每秒1cm，∴t=365，综上所述：当0＜t≤4或t=365，△BCP为直角三角形；（3）当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t-3=3，∴t=2；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t-4+2t-8=6，∴t=6，∴当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．【解析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，首先计算出CP的长，然后再利用勾股定理计算出AP长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=3；当P 点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．。
浙江省杭州市萧山区临浦片2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题
第4题图第5题图2017学年第一学期八年级数学期中质量检测卷命题人：楼杭飞 审核人：顾春兰考生须知：1. 全卷共4页，有三大题，23小题. 满分为120分.考试时间90分钟.2. 本卷答案必须做在答题纸的对应位置上，做在试题卷上无效. 一、 选择题（每小题3分,共30分）1.下列学习用具中，假如不考虑刻度文字，不是．．轴对称图形的是（ ▲ ）A. B. C. D. 2．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C =3：4：5，则△ABC 是( ▲ ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 3.若a <b ，则下列式子正确的是（ ▲ ） A ．-2017a <-2017b B ．2017-a <2017-bC ．2017+a ＜2017+bD ．a -2017＞b -2017 4.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ▲ ） A ．165°B ．150°C ．135°D ．145°5．为了测量河两岸相对点A 、B 的距离，小明先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上（如图5所示），可以证明△EDC ≌△ABC ，得ED ＝AB ，因此测得ED 的长度就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ▲ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL6．下列命题中，真命题有( ▲ ) ①有一个角为60°的三角形是等边三角形；②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； ③有一个角是50°，腰相等的两个等腰三角形全等； ④一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ▲ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝68.用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（ ▲ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 49.如图9，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ▲ ）A ．20B ．12C ．14D ．1310.如图10，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ，过点G 作EF //BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD ⊥AC 于D ，下列四个结论： ①EF ＝BE ＋CF ； ②∠BGC ＝＋12 错误！未找到引用源。
2018学年浙江省杭州市人教版八年级数学上学期期中考试试卷(有答案和详细解析)
2018学年浙江省杭州市人教版八年级数学上学期期中考试试卷(有答案和详细解析)一、单选题（共10题；共20分）1. ( 2分) 下面4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. ( 2分) 下列长度的三条线段首尾连接不能组成三角形的是( )A. 2，3，5B. 5，5，5C. 6，6，8D. 7，8，93. ( 2分) 某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A. 4种B. 3种C. 2种 D. 1种4. ( 2分) 如图，工人师傅安装门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的依据是（）A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.垂线段最短D.三角形的稳定性5. ( 2分) 如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（）A. 六边形B. 五边形C. 四边形 D. 三角形6. ( 2分) 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A. 6 个B. 7 个C. 8个 D. 9个7. ( 2分) 点M（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（）A. （﹣3，2）B. （﹣3，﹣2）C. （3，﹣2）D. （2，﹣3）8. ( 2分) 如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（）A. 1B. 2C. 3 D . 49. ( 2分) 如图，AB=AC，添加下列条件，不能使△ABE≌△ACD的是（）A. ∠B=∠CB. ∠AEB=∠ADCC. AE=AD D . BE=DC10. ( 2分) 如果AD是△ABC的中线，那么下列结论一定成立的有（）①BD=CD；②AB=AC；③S△ABD= S△ABC．A.3个B.2个C.1个D.0个二、填空题（共6题；共6分）11. ( 1分) 如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为________．12. ( 1分) 已知△ABC的两条边的长度分别为3cm，6cm，若△ABC的周长为偶数，则第三条边的长度是________ cm．13. ( 1分) 如果点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于y轴对称，则a+b=________．14. ( 1分) 一个n边形的每一个外角都是60°，则这个n边形的内角和是________15. ( 1分) 如图，DE是三角形ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=30度，则∠C=________ 度．16. ( 1分) 如图，已知△ABC的周长为27cm，AC=9cm，BC边上中线AD=6cm，△ABD 周长为19cm，AB=________．三、解答题（共10题；共65分）17. ( 5分) 先化简，再求值，其中．18. ( 5分) 已知等腰三角形的周长是14cm．若其中一边长为4cm，求另外两边长．19. ( 5分) 如图，在△ABC中，D是BC的中点,，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.20. ( 5分) 如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠1+ ∠2=90°．求证：BC ⊥ AB．21. ( 5分) 如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．22. ( 5分) 如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线。
浙江省杭州市--八年级(上)期中数学试卷(含答案)
八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案中，是轴对称图形的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.下列语句是命题的是（）A. 作直线AB的垂线B. 在线段AB上取点CC. 同旁内角互补D. 垂线段最短吗？3.已知等腰△两条边的长分别是3和6，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 12或15D. 15或184.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）A.SSSB. ASAC. SSAD. HL5.若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A. a−1<b−1B. a3>b3C. −a<−bD. ac<bc6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A. 5B. 2C. 4D. 87.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（）A. P为∠A、∠B两角平分线的交点B. P为AC、AB两边上的高的交点C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（）A. ①②④B. ①②③C. ②③D. ①③9.△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC 于点E，则PD+PE的长是（）A.4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 510.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A.2√3B. √10C. 2√2D. √6二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______ ．12.写出“对顶角相等”的逆命题______ ．13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．14.不等式组{x＞−1x＜m有3个整数解，则m的取值范围是______ ．15.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．16.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解不等式1−7x−18＞3x−24，并把它的解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）18.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20.某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．（1）A 、B 两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B 商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A 、B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A 、B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？21.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BP =BQ ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并说明理由． （2）若PA =3，PB =4，PC =5，连结PQ ，判断△PQC 的形状并说明理由．22.阅读下列材料：解答“已知x -y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法： 解：∵x -y =2，x ＞1，∴y +2＞1，即y ＞-1， 又y ＜0，∴-1＜y ＜0．…① 同理得：1＜x ＜2．…②由①+②得-1+1＜y +x ＜0+2，∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2． 请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组{x +2y =5a −82x−y=−1的解都为非负数．（1）求a 的取值范围；（2）已知2a -b =1，求a +b 的取值范围；（3）已知a -b =m （m 是大于1的常数），且b ≤1，求2a +b 最大值．（用含m 的代数式表示）23.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据轴对称图形的定义，可知第2个，第4个是轴对称图形，而第1个、第3个、第5个都不是轴对称图形．故选B．判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．本题考查轴对称图形的识别，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C、符合命题的定义，是命题；D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．故选C．根据命题的定义作答．一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．3.【答案】B【解析】解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选B．由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴△ADO和△APO是直角三角形，又∵OD=OP，AO=AO，∴Rt△AOD≌△Rt△AOP（HL）.故选D．根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．本题考查直角三角形全等的判定方法HL．5.【答案】A【解析】解：根据不等式的性质可得：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．A、a-1＜b-1，故A选项是正确的；B、a＞b，不成立，故B选项是错误的；C、a＞-b，不一定成立，故C选项是错误的；D、c的值不确定，故D选项是错误的．故选A．根据不等式的性质分析判断．主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.【答案】B【解析】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.【答案】C【解析】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．8.【答案】B【解析】解：∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AEF中，，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；CH=CE=EF＞HD，故④错误．故正确的结论为①②③．故选B．根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．9.【答案】A【解析】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．10.【答案】C【解析】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．11.【答案】80°或50°【解析】解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故填50°或80°等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．12.【答案】相等的角是对顶角【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．13.【答案】4【解析】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．根据角平分线的性质定理，解答出即可；本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】2＜m≤3【解析】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．故答案是：2＜m≤3．首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15.【答案】9【解析】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．16.【答案】√2【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=2×=，∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．故答案为：．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．17.【答案】解：去分母得，8-（7x-1）＞2（3x-2），去括号得，8-7x+1＞6x-4，移项得，-7x-6x＞-4-8-1，合并同类项得，-13x＞-13，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示如下：【解析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．18.【答案】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°-37°=16°．【解析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D 点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．19.【答案】①证明：在△ABE 和△CBD 中，{AB =CB ∠ABC =∠CBD =90°BE =BD，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；②解：∵在△ABC 中，AB =CB ，∠ABC =90°，∴∠BAC =∠ACB =45°，由①得：△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB =∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB =∠ACB +∠CAE =30°+45°=75°，则∠BDC =75°．【解析】①利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB ，利用外角的性质求出∠AEB 的度数，即可确定出∠BDC 的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．20.【答案】解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得： {50x +20y =88060x+30y=1080，解得{y =4x=16．答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m -4）件，由题意得： {16m +4(2m −4)≤296m+2m−4≥32，解得：12≤m ≤13，∵m 是整数，∴m =12或13，故有如下两种方案：方案（1）：m =12，2m -4=20 即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m-4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．21.【答案】解：（1）AP=CQ．理由如下：∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，∴∠CBQ=∠ABP，在△ABP和△CBQ中，{AB=CB∠ABP=∠CBQ BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ；（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，PB=PQ=4，PA=QC=3，∵PQ2+CQ2=PC2，∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．【解析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP ≌△CBQ 是解题的关键． 22.【答案】解：（1）解方程组{x +2y =5a −82x−y=−1得：{y =2a −3x=a−2，∴{2a −3≥0a−2≥0，解得：a ≥2；（2）由2a -b =1，a ≥2，可得：1+b 2≥2，解得：b ≥3，∴a +b ≥5；（3）由a -b =m ，a ≥2，可得m +b ≥2，∴b ≥2-m ，∴2-m ≤b ≤1，同理可得：2≤a ≤1+m ，∴6-m ≤2a +b ≤3+2m ，∴最大值为3+2m ．【解析】（1）先把a 当作已知求出x 、y 的值，再根据x 、y 的取值范围得到关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求a+b 的取值范围；（3）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求2a+b 的取值范围，即可得到最大值．本题考查了一元一次不等式（组）的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．23.【答案】解：（1）∵∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ， ∴AC =4cm ，动点P 从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，速度为每秒1cm ， ∴出发2秒后，则CP =2cm ，∵∠C =90°，∴PB =√22+32=√13cm ，∴△ABP 的周长为：AP +PB +AB =2+5+√13=7+√13（cm ）；（2）∵AC =4，动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ， ∴P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，∴0＜t ≤4，当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，∵12×AB ×CP =12×AC ×BC ，∴12×5×CP =12×3×4， 解得：CP =125cm ，∴AP =√AC 2−CP 2=165cm ，∴AC +AP =365cm ，∵速度为每秒1cm ，∴t =365，综上所述：当0＜t ≤4或t =365，△BCP 为直角三角形；（3）当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则PC =t ，BQ =2t -3，∵直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分，∴t +2t -3=3，∴t =2；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AC =t -4，AQ =2t -8，∵直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分，∴t -4+2t -8=6，∴t =6，∴当t =2或6秒时，直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分．【解析】 （1）首先利用勾股定理计算出AC 长，根据题意可得CP=2cm ，再利用勾股定理计算出PB 的长，进而可得△ABP 的周长；（2）当P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，首先计算出CP 的长，然后再利用勾股定理计算出AP 长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则PC=t ，BQ=2t-3，t+2t-3=3；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．。
2017-2018年浙江省杭州市萧山区八年级(上)期末数学试卷及参考答案
2017-2018学年浙江省杭州市萧山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列微信、QQ、网易C、易信四个聊天软件的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）用不等号连接“（a﹣b）2（）0”，应选用（）A．＞B．＜C．≥D．≤3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E是BC上两点，连接AD，AE，则图中钝角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（3分）正比例函数y=kx的图象经过二、四象限，则比例系数k的值可以为（）A．﹣3B．0C．1D．35．（3分）点（6，3）先向下平移5个单位，再向左平移3个单位后的坐标为（）A．（1，0）B．（3，8）C．（9，﹣2）D．（3，﹣2）6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（t，2﹣t）在第二象限，则t的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠B等于（）A．18°B．20°C．25°D．28°8．（3分）给出下列命题：①两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；②腰上的高线和底边对应相等的两个等腰三角形全等；③斜边上的中线及一锐角对应相等的两个直角三角形全等．其中属于真命题的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，在△ADC中，∠ADC=90°，∠DAC=45°，连接BD，则∠ADB等于（）A．60°B．70°C．75°D．80°10．（3分）已知a+b=2，b≤2a，那么对于一次函数y=ax+b，给出下列结论：①函数y一定随x的增大而增大；②此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为，则下列判断正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都正确D．①，②都错误二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，规定列号写在前面，行号写在后面，如用数对的方法，棋盘中“帅”与“卒”的位置可分别表示为（e，4）和（g，3），则“炮”的位置可表示为．12．（3分）已知x＞y，且（m﹣2）x＜（m﹣2）y，则m的取值范围是．13．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC三条边的中点，设△ABC的面积为S，则四边形CDEF的面积为．14．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y=（a+1）x﹣2图象上不同的两点，记m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＜0时，a的取值范围是．15．（3分）已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）相交于点M，且直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0）．（1）若点M的坐标为（1，2），则k的值为；（2）若点M在第一象限，则k的取值范围是．16．（3分）在△ABC中，AB=11，AC=13，（1）若△ABC是以AC为底边的等腰三角形，则△ABC的周长为；（2）若△ABC的面积为66，则△ABC的周长为．三、解答题（本大题共7小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（6分）解不等式（组）：，并写出它的整数解．18．（6分）已知y是关于x的一次函数，下列表列出了部分对应值：求此一次函数的表达式及a，m的值．19．（7分）如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作等腰△ABC，使底角∠B=∠α，底边BC=a，（不写作法，保留作图痕迹）20．（7分）已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．（1）当a=3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．21．（8分）如图，平面直角坐标系内有一△ABC，且点A（2，4），B（1，1），C （4，2）．（1）画出△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1先向左平移5个单位再作关于x轴对称的△A2B2C2，并直接写出点A2，B2的坐标．22．（8分）如图①，公路上有A，B，C三个车站，一辆汽车从A站以速度v1匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度v2匀速驶向C站，汽车行驶路程y （千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图②所示．（1）求v1，v2的值；（2）若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，求这段路程开始时x的值；（3）设汽车距离B的路程为S（千米），请直接写出S关于x之间的函数表达式．23．（10分）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，M，N分别是BE，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN为等边三角形．（1）当△ADE绕点A旋转至如图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）若AB=2AE，且当△ADE绕点A旋转至图3位置时，即点E恰好在AC上时，试求△ADE，△ABC，△AMN的面积之比．2017-2018学年浙江省杭州市萧山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列微信、QQ、网易C、易信四个聊天软件的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2．（3分）用不等号连接“（a﹣b）2（）0”，应选用（）A．＞B．＜C．≥D．≤【解答】解：（a﹣b）2≥0．故选：C．3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E是BC上两点，连接AD，AE，则图中钝角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵∠AED是△ACE的外角，∠ACB=90°，∴∠AED＞90°，∠AEB＞90°，∵∠ADB是△ACD的外角，∴∠ADB＞90°，∴图中钝角三角形共有3个：△ADE，△ABD，△ABE．故选：C．4．（3分）正比例函数y=kx的图象经过二、四象限，则比例系数k的值可以为（）A．﹣3B．0C．1D．3【解答】解：∵y=kx的图象经过二、四象限，∴k＜0，故选：A．5．（3分）点（6，3）先向下平移5个单位，再向左平移3个单位后的坐标为（）A．（1，0）B．（3，8）C．（9，﹣2）D．（3，﹣2）【解答】解：点（6，3）先向下平移5个单位，再向左平移3个单位后的坐标为（6﹣3，3﹣5），即（3，﹣2），故选：D．6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（t，2﹣t）在第二象限，则t的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（t，2﹣t）在第二象限，∴，解得：t＜0，表示在数轴上，如图所示：，故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠B等于（）A．18°B．20°C．25°D．28°【解答】解：∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，∴∠C=∠AED，∵BD的垂直平分线交AB于点E，∴BE=DE，∴∠B=∠EDB，∴∠C=∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=∠B+2∠B+120°=180°，解得：∠B=20°，故选：B．8．（3分）给出下列命题：①两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；②腰上的高线和底边对应相等的两个等腰三角形全等；③斜边上的中线及一锐角对应相等的两个直角三角形全等．其中属于真命题的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：①有两边及第三边上的高对应相等，这两边的夹角有可能一个是锐角一个是钝角，所以这两个三角形不一定全等，故为假命题；②腰上的高线和底边对应相等的两个等腰三角形全等是真命题；③斜边上的中线及一锐角对应相等的两个直角三角形全等是真命题，故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，在△ADC中，∠ADC=90°，∠DAC=45°，连接BD，则∠ADB等于（）A．60°B．70°C．75°D．80°【解答】解：作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图，∵∠ADC=90°，∠DAC=45°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD=CD，∵∠ABC=90°，∴∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∴∠ADB=180°﹣45°﹣30°﹣45°=60°．故选：A．10．（3分）已知a+b=2，b≤2a，那么对于一次函数y=ax+b，给出下列结论：①函数y一定随x的增大而增大；②此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为，则下列判断正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都正确D．①，②都错误【解答】解：∵a+b=2，∴b=2﹣a，∵b≤2a，∴2﹣a≤2a，∴a≥，∴y=ax+2﹣a，∵a＞0，∴y随x的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积S=•|2﹣a|•||=•=（+）2﹣4，没有最大值，故②错误，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，规定列号写在前面，行号写在后面，如用数对的方法，棋盘中“帅”与“卒”的位置可分别表示为（e，4）和（g，3），则“炮”的位置可表示为（h，4）．【解答】解：根据题意知“炮”的位置可表示为（h，4），故答案为：（h，4）．12．（3分）已知x＞y，且（m﹣2）x＜（m﹣2）y，则m的取值范围是m＜2．【解答】解：∵若x＞y，且（m﹣2）x＜（m﹣2）y，∴m﹣2＜0，则m＜2；故答案为m＜2．13．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC三条边的中点，设△ABC的面积为S，则四边形CDEF的面积为S．【解答】解：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴EF∥BC，DF∥AC，DE∥AB，EF=BC，∴∠EFD=∠FDB=∠C，∠FED=∠EDC=∠B，∴△DEF∽△ABC，∴S△DEF ：S△ABC=EF2：BC2=1：4，∴S△DEF=S△ABC=S．同理可得S△DCF=S△ABC=S．∴四边形CDEF的面积为，故答案为：S14．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y=（a+1）x﹣2图象上不同的两点，记m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＜0时，a的取值范围是a＜﹣1．【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=（a+1）x﹣2图象上的不同的两点，m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴该函数图象是y随x的增大而减小，∴a+1＜0，解得a＜﹣1．故答案为：a＜﹣115．（3分）已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）相交于点M，且直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0）．（1）若点M的坐标为（1，2），则k的值为；（2）若点M在第一象限，则k的取值范围是0＜k＜2．【解答】解：（1）∵直线l2：y=kx+b（k≠0）经过点M（1，2），且直线l2与x 轴的交点为A（﹣2，0）．∴，解得k=；故答案为；（2）∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），∴﹣2k+b=0，∴，解得，∵直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限，∴，解得0＜k＜2．故答案为0＜k＜2．16．（3分）在△ABC中，AB=11，AC=13，（1）若△ABC是以AC为底边的等腰三角形，则△ABC的周长为35；（2）若△ABC的面积为66，则△ABC的周长为24+6或44．【解答】解：（1）∵△ABC是以AC为底边的等腰三角形，AB=11，AC=13，∴BC=11，则△ABC的周长为11+13+11=35；（2）当△ABC是锐角三角形，如图1，过C点作CD⊥AB于D，∵△ABC的面积为66，∴CD=12，∴AD==5，∴BD=11﹣5=6，∴BC==6，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=11+6+13=24+6．当△ABC是钝角三角形，如图2，过C点作CD⊥AB交BA的延长线于D，∵△ABC的面积为66，∴CD=12，∴AD==5，∴BD=11+5=16，∴BC==20，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=11+20+13=44．综上所述，△ABC的周长为24+6或44．故答案为：35；24+6或44．三、解答题（本大题共7小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（6分）解不等式（组）：，并写出它的整数解．【解答】解：解不等式3（1﹣x）＞2（1﹣2x）得：x＞﹣1，解不等式≥得：x≤3，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，所以不等式组的整数解为0、1、2、3．18．（6分）已知y是关于x的一次函数，下列表列出了部分对应值：求此一次函数的表达式及a，m的值．【解答】解：设y=kx+b，当x=1时，y=3；x=﹣1时，y=﹣1．据此列出方程组，求得，∴一次函数的解析式y=2x+1，然后把x=0代入，得到y=m=1．把y=5代入得出，得出5=2a+1，解得：a=2．19．（7分）如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作等腰△ABC，使底角∠B=∠α，底边BC=a，（不写作法，保留作图痕迹）【解答】解：如图，△ABC为所作．20．（7分）已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．（1）当a=3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．【解答】（1）证明：当a=3时，a+1=4，a+2=5，∵32+42=52，∴这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）解：根据三角形的三边关系，得a+a+1＞a+2，解得a＞1．故a的取值范围是a＞1．21．（8分）如图，平面直角坐标系内有一△ABC，且点A（2，4），B（1，1），C （4，2）．（1）画出△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1先向左平移5个单位再作关于x轴对称的△A2B2C2，并直接写出点A2，B2的坐标．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，1），B2（﹣4，4）．22．（8分）如图①，公路上有A，B，C三个车站，一辆汽车从A站以速度v1匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度v2匀速驶向C站，汽车行驶路程y （千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图②所示．（1）求v1，v2的值；（2）若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，求这段路程开始时x的值；（3）设汽车距离B的路程为S（千米），请直接写出S关于x之间的函数表达式．【解答】解：（1）由题意可得，v1=90÷1.5=60千米/时，180÷60=3，则v2=（260﹣180）÷（4﹣3）=80千米/时；（2）∵在AB段，行驶50分钟的路程为：60×=50＜60，在BC段，行驶50分钟的路程为：80×=66＞60，∴60（3﹣x）+80（）=60，解得，x=答：这段路程开始时x的值是；（3）当0≤x≤3时，S=180﹣60x，当3＜x≤4时，S=80（x﹣3）=80x﹣240，由上可得，S关于x之间的函数表达式是S=．23．（10分）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，M，N分别是BE，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN为等边三角形．（1）当△ADE绕点A旋转至如图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）若AB=2AE，且当△ADE绕点A旋转至图3位置时，即点E恰好在AC上时，试求△ADE，△ABC，△AMN的面积之比．【解答】解：（1）CD=BE．理由如下：∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴CD=BE．（2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点，∴AM=AN，NC=MB．∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN，∴∠MAB=∠NAC，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，∴△AMN是等边三角形，设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，易证BE⊥AC，∴BE===a ， ∴EM=a ，∴AM===a ， ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形，∴S △ADE ：S △ABC ：S △AMN =a 2：（2a ）2：（ a ）2=1：4：=4：16：7．。
八年级上期中数学试卷含答案解析
2018-2019学年浙江省杭州市萧山区戴村片八年级（上）期中数学试卷一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．下列“表情图”中，不属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．把三角形的面积分为相等的两部分的是（）A．三角形的中线B．三角形的角平分线C．三角形的高D．以上都不对3．已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A．2k B．15 C．24 D．424．下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．1.5cm 3.9cm 2.3cm B．3.5cm 7.1cm 3.6cmC．6cm 1cm 6cm D．4cm 10cm 4cm5．长为9，6，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠ABC=30°，∠DAE=10°，那么∠C的度数为（）A．72°B．60°C．50°D．70°7．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A．49 B．25 C．12 D．18．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（）A．9cm B．5cm C．6cm或5cm D．5cm或9cm9．如图是用直尺和圆规作角平分线的示意图，通过证明△DOP≌△EOP可以说明OC是∠AOB的角平分线，那么△DOP≌△EOP的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS10．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∠EPF=90°，给出四个=S△ABC．其中成立的有（）结论：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的要求和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，AC与BD交于点P，AP=CP，从以下四个论断①∠B=∠D，②BP=DP，③AB=CD，④AB∥CD中选择一个论断作为条件，则不一定能使△APB≌△CPD的论断是．12．将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为．13．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5，AC=12，则△APC的面积是．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为．15．如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是．16．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为．三.全面答一答（本题有8个小题，共66分）17．已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC=EF，AD=BE，BC=DF．求证：∠ABC=∠EDF．18．（1）用直尺和圆规作一个等腰三角形，使得底边长为线段a，底边上的高的长为线段b，要求保留作图痕迹．（不要求写出作法）（2）在（1）中，若a=6，b=4，求等腰三角形的腰长．19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠ABC=60°，∠C=70°，求∠DAC，∠BOA，∠EAD的度数．20．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是什么？是真命题还是假命题？若是真命题请你证明，若是假命题请你举反例说明．21．如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．22．在△ABC中，点D在边AC上，BD=BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点．（1）求证：EF=BC；（2）过点C作CG∥EF，交BE的延长线于G，求证：△BCG是等腰三角形．23．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图①所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、2、的格点△DEF；②计算△DEF的面积．2016-2017学年浙江省杭州市萧山区戴村片八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．下列“表情图”中，不属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．2．把三角形的面积分为相等的两部分的是（）A．三角形的中线B．三角形的角平分线C．三角形的高D．以上都不对【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分．【解答】解：把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线．故选A．3．已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A．2k B．15 C．24 D．42【考点】命题与定理．【分析】证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．【解答】解：42是偶数，但42不是8的倍数．故选：D．4．下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．1.5cm 3.9cm 2.3cm B．3.5cm 7.1cm 3.6cmC．6cm 1cm 6cm D．4cm 10cm 4cm【考点】三角形三边关系．【分析】分别计算两个较小的边的和与大边作比较，判断是否能构成三角形．【解答】解：A、因为1.5+2.3=3.8＜3.9，所以不能构成三角形，所以选项A不正确；B、因为3.5+3.6=7.1，所以不能构成三角形，所以选项B不正确；C、因为1+6=7＞6，所以能构成三角形，所以选项C正确；D、因为4+4=8＜10，所以不能构成三角形，所以选项D不正确；故选C．5．长为9，6，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之和小于第三边进行判断．【解答】解：可以选：①9，6，5；②6，5，3；两种；故选B．6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠ABC=30°，∠DAE=10°，那么∠C的度数为（）A．72°B．60°C．50°D．70°【考点】三角形内角和定理．【分析】直接利用三角形内角和定理结合角平分线的性质得出∠CAE=40°，进而得出答案．【解答】解：∵AE是高，∠DAE=10°，∴∠AED=90°，则∠ADE=80°，∵∠ABC=30°，∴∠BAE=60°，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠BAE﹣∠DAE=50°，∴∠CAE=40°，∴∠C=∠CAD﹣∠DAE=90°﹣50°=40°．故选：C．7．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A．49 B．25 C．12 D．1【考点】勾股定理的证明．【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值．【解答】解：如图，∵大正方形的面积是25，∴c2=25，∴a2+b2=c2=25，∵直角三角形的面积是（25﹣1）÷4=6，又∵直角三角形的面积是ab=6，∴ab=12．故选：C．8．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（）A．9cm B．5cm C．6cm或5cm D．5cm或9cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12和9两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是12，哪个是9，因此，有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，∵BD是腰上的中线，∴AD=DC=x，①若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4，则x+y=9，即4+y=9，解得y=5；②若AB+AD的长为9，则2x+x=9，解得x=3，则x+y=12，即3+y=12，解得y=9；所以等腰三角形的底边为5，等腰三角形的底边为9时，故选D．9．如图是用直尺和圆规作角平分线的示意图，通过证明△DOP≌△EOP可以说明OC是∠AOB的角平分线，那么△DOP≌△EOP的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【考点】全等三角形的判定．【分析】熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键．易知：OD=OE，PD=PE，OP=OP，因此符合SSS的条件，故选择A．【解答】解：由作图知：OD=OE、PD=PE、OP是公共边，即三边分别对应相等（SSS），△DOP≌△EOP，故选A．10．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∠EPF=90°，给出四个=S△ABC．其中成立的有（）结论：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】由等腰直角三角形的性质可知AP=BP，可判断①；由条件可证明△AEP≌△CFP，可求得AE=CF，PE=PF，可判断②③；再利用三角形的面积可判断④，则可求得答案．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵P是BC的中点，∴AP=BP=CP，∴∠BAP=45°，∴∠B=∠BAP，故①正确；∵P是BC中点，且AB=C，∴AP⊥BC，∴∠APC=∠EPF=90°，∴∠APE+∠APF=∠APF+∠FPC，∴∠APE=∠FPC，在△AEP和△CFP中∴△AEP≌△CFP（ASA），∴AE=CF，PE=PF，故②③正确；=S△AEP+S△APF=S△CFP+S△APF=S△APC=S△ABC，故④正确；∴S四边形AEPF综上可知成立的有4个，故选D．二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的要求和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，AC与BD交于点P，AP=CP，从以下四个论断①∠B=∠D，②BP=DP，③AB=CD，④AB∥CD中选择一个论断作为条件，则不一定能使△APB≌△CPD的论断是③．【考点】全等三角形的判定．【分析】①当添加∠B=∠D后可根据全等三角形的判定定理AAS证出△ABD≌△CDB，①可以；②当添加BP=DP后可根据全等三角形的判定定理SAS证出△ABD ≌△CDB，②可以；③当添加AB=CD后，利用SSA不能证出△ABD≌△CDB，③不可以；④根据AB∥CD即可找出∠B=∠C，再根据全等三角形的判定定理ASA 即可证出△ABD≌△CDB，④可以．综上即可得出结论．【解答】解：①在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（AAS）；②在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS）；③∵在△ABD和△CDB中，AP=CP、∠APB=∠CPD、AB=CD不满足全等三角形的判定定理的条件，∴添上AB=CD不能证出△APB≌△CPD；④∵AB∥CD，∴∠A=∠C．在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA）．故答案为：③．12．将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为105°．【考点】三角形的外角性质．【分析】由于∠COD是△BOC的外角，利用三角形外角性质可求∠COD，再根据对顶角性质，可求∠AOB．【解答】解：如右图，∵∠COD=∠B+∠BCO=60°+45°=105°，∴∠AOB=∠COD=105°．故答案是105°．13．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5，AC=12，则△APC的面积是30．【考点】角平分线的性质．【分析】过P作PE⊥AC于E，根据角平分线性质得出PE=PB=5，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过P作PE⊥AC于E，∵点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，PB=5，∴PE=PB=5，∵AC=12，∴△APC的面积为×AC×PE=30，故答案为：30．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为63°或27°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．【解答】解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=÷2=63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=÷2=27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．15．如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是AC=AD．【考点】直角三角形全等的判定．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD．【解答】解：条件是AC=AD，∵∠C=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC=AD．16．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为32．【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故答案是：32．三.全面答一答（本题有8个小题，共66分）17．已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC=EF，AD=BE，BC=DF．求证：∠ABC=∠EDF．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据等式的性质证得AB=ED，然后利用SSS证明两三角形全等即可．【解答】证明：∵AD=BE，∴AD+DB=BE+DB，即AB=ED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SSS），∴∠ABC=∠EDF．18．（1）用直尺和圆规作一个等腰三角形，使得底边长为线段a，底边上的高的长为线段b，要求保留作图痕迹．（不要求写出作法）（2）在（1）中，若a=6，b=4，求等腰三角形的腰长．【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．【分析】（1）作一底边等于a，作底边的垂直平分线，从a上取高为b的线段，顺次连接三点，就是所画的三角形；（2）根据等腰三角形的性质及勾股定理可得答案．【解答】解：（1）如图，等腰三角形ABC即为所求作三角形，其中AB=a，OC=b；（2）由题意知AC=BC，CO⊥AB，且CO=4、AB=6，∴AO=3，则AC==5，即等腰三角形的腰长为5．19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠ABC=60°，∠C=70°，求∠DAC，∠BOA，∠EAD的度数．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和定理、三角形的高的定义、角平分线的定义计算即可．【解答】解：∵AD是高，∴∠ADC=90°，∵∠C=70°，∴∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣70°=20°，∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠C）=180°﹣（60°+70°）=50°，∵AE、BF是角平分线，∴∠ABF=∠ABC=×60°=30°，∠BAE=∠EAC=∠BAC=×50°=25°，∴∠BOA=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（30°+25°）=125°，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=25°﹣20°=5°．20．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是什么？是真命题还是假命题？若是真命题请你证明，若是假命题请你举反例说明．【考点】命题与定理．【分析】首先交换命题的题设和结论写出该命题的逆命题，然后判断其为真命题，最后写出已知、求证并且证明即可．【解答】解：逆命题：有一边的中线等于该边一半的三角形是直角三角形；为真命题；已知：在△ABC中，AD是BC边的中线，AD=BC，求证：△ABC是Rt△．证明：∵AD是BC边的中线．∴BD=CD=BC，∵AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠1+∠2=∠B+∠C，即∠BAC=∠B+∠C，∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是Rt△．21．如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：△ABD≌△ECB．（2）因为∠DBC=50°，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB，在△ABD和△ECB中，∵∠A=∠CEB，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠BCE，又∵BC=BD∴△ABD≌△ECB；（2）解：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC==65°，又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠DCE=90°﹣∠EDC=90°﹣65°=25°．22．在△ABC中，点D在边AC上，BD=BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点．（1）求证：EF=BC；（2）过点C作CG∥EF，交BE的延长线于G，求证：△BCG是等腰三角形．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）由BD=BA，E是AD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE⊥AD，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可证明EF=BC；（2）先由CG∥EF，根据平行线的性质得出∠G=∠FEB，又EF=BC=BF，根据等边对等角得出∠FEB=∠CBE，等量代换得到∠G=∠CBE，那么GC=BC，即△BCG 是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵BD=BA，E是AD的中点，∴BE⊥AD，∴△EBC为直角三角形．∵F是BC的中点，∴EF是直角三角形斜边上中线∴EF=BC；（2）∵CG∥EF，∴∠G=∠FEB，∵EF=BC=BF，∴∠FEB=∠CBE，∴∠G=∠CBE，∴GC=BC，∴△BCG是等腰三角形．23．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图①所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、2、的格点△DEF；②计算△DEF的面积．【考点】作图—应用与设计作图；二次根式的应用．【分析】（1）根据图①直接写△ABC的面积即可；（2）①利用勾股定理的逆定理进行解答；②利用（1）方法解答就可以解决问题．=3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3=．【解答】解：（1）S△ABC故答案为：；（2）①如下图所示，△DEF即为所求三角形，②S △DEF =5×4﹣×3×2﹣×4×2﹣×5×2=8．2017年2月20日。
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2017-2018学年浙江省杭州市萧山区八年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．20cm，15cm，5cm B．3.8cm，7.2cm，3.2cmC．32cm，42cm，52cm D．4.3cm，9.5cm，5.4cm2．（3分）如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DB，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．54°3．（3分）三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4．（3分）如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD=AE．下列方法中，可以直接判断△ADB≌△AEC的是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）6．（3分）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°7．（3分）用10根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA9．（3分）下列命题是真命题的有（）①一条直线截另外两条直线所得的同位角相等②垂直于同一条直线的两条直线平行③有两对角和一组边相等的两个三角形全等④对于不为零的实数c，关于x 的方程x+=c+1的解是x=c⑤角平分线上的点到角两边的距离相等．A．①③④B．②③C．②③⑤D．⑤10．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC=8，BE=2．则AB2﹣AC2的值为（）二、细心填一填（本题共6题，每题4分，共24分）11．（4分）把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式．12．（4分）等腰三角形的一个内角是20°，则这个等腰三角形底角的度数是．13．（4分）不等式x+1≤4的非负整数解为．14．（4分）如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=42°，则∠2=．15．（4分）如图，折叠长方形（对边相等，每个角都是直角）的一边，使点D 落在BC边上的一点F处．已知AB=8，BC=10，求EC的长．16．（4分）如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC 于H．若∠ABC=60°，则下面的结论：①∠ABP=30°；②∠APC=60°；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC，其中正确的结论是．三、解答题（本题有7个小题，共66分）17．（8分）（1）解不等式5x+4＜3（2+2x），并写出不等式的负整数解（2）解不等式≤+1，并把解表达在数轴上．18．（6分）在下列三角形中画一条线，将其分成两个等腰三角形，并注明角度或线的画法19．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以N、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长BC于点D．过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）AD垂直平分CE．20．（10分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线，已知∠B=2∠C，∠DAE=10°，求∠C的度数．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB 于点D，交AC于点E．（1）若BC=3，AC=5，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．22．（12分）如图，在△ABC中∠ABC=45°，CD⊥BA，BE⊥AC，F为BC中点，∠ABE=∠CBE（1）线段BH与线段AC相等吗？若相等给予证明，若不相等，请说明理由．（2）若AC=12，BC=15，求BG的长．23．（12分）如图，在△ABC中．AB=AC．（l）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=．（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=．（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：．（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，井说明理由．2017-2018学年浙江省杭州市萧山区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．20cm，15cm，5cm B．3.8cm，7.2cm，3.2cmC．32cm，42cm，52cm D．4.3cm，9.5cm，5.4cm【解答】解：根据三角形的三边关系，得A、5+15=20，不能组成三角形，故此选项错误；B、3.8+3.2＜7.2，不能组成三角形，故此选项错误；C、9+16=25，不能够组成三角形，故此选项错误；D、4.3+5.4＞9.5，能组成三角形，故此选项正确．故选：D．2．（3分）如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DB，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．54°【解答】解：∵AB=AC，BC=BD，AD=DB，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有解得x=36°．∴∠A=36°，故选：B．3．（3分）三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解答】解：如图：∵AD是BC边上的高，AD是中线，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，即这个三角形一定是等腰三角形．故选：C．4．（3分）如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD=AE．下列方法中，可以直接判断△ADB≌△AEC的是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：在△ADB与△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（ASA）．故选：C．5．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．6．（3分）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=65°，又由折叠的性质可得∠D′EF=∠DEF=65°，∴∠AED′=180°﹣65°﹣65°=50°，故选：C．7．（3分）用10根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4∴只能有二种答案，即3、3、4；2、4、4．故选：B．8．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA【解答】解：由图可知，CM=CN，又OM=ON，OC为公共边，∴△COM≌△CON，∴∠AOC=∠BOC，即OC即是∠AOB的平分线．故选：B．9．（3分）下列命题是真命题的有（）①一条直线截另外两条直线所得的同位角相等②垂直于同一条直线的两条直线平行③有两对角和一组边相等的两个三角形全等④对于不为零的实数c，关于x 的方程x+=c+1的解是x=c⑤角平分线上的点到角两边的距离相等．A．①③④B．②③C．②③⑤D．⑤【解答】解：一条直线截另外两条平行线所得的同位角相等，①是假命题；垂直于同一条直线的两条直线平行，②是真命题；有两对角和一组边相等的两个三角形全等，③是真命题；对于不为零的实数c，关于x的方程x+=c+1的解是x=c或1，④是假命题；角平分线上的点到角两边的距离相等，⑤是真命题；故选：C．10．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC=8，BE=2．则AB2﹣AC2的值为（）A．4 B．6 C．10 D．16【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，∴AE=AC，DE=CD，AD⊥BC，∴AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，∴AB2﹣AC2=AD2+BD2﹣AD2﹣CD2=BD2﹣CD2=（BD+CD）（BD﹣CD）=BC•BE，∵BC=8，BE=2，∴AB2﹣AC2=8×2=16．故选：D．二、细心填一填（本题共6题，每题4分，共24分）11．（4分）把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．12．（4分）等腰三角形的一个内角是20°，则这个等腰三角形底角的度数是20°或80°．【解答】解：当20°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数==80°；当20°的角为等腰三角形的底角时，其底角为20°，故它的底角的度数是80°或20°．故答案为：20°或80°．13．（4分）不等式x+1≤4的非负整数解为0，1，2，3．移项、合并同类项得x≤3，所以不等式的非负整数解是0，1，2，3，故答案为0，1，2，3．14．（4分）如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=42°，则∠2=159°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠GEB=∠1=42°，∵EF为∠GEB的平分线，∴∠FEB=∠GEB=21°，∴∠2=180°﹣∠FEB=159°．故答案是：159°．15．（4分）如图，折叠长方形（对边相等，每个角都是直角）的一边，使点D 落在BC边上的一点F处．已知AB=8，BC=10，求EC的长3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∠C=∠B=90°，由翻折的性质可知：AF=AD=10．在Rt△ABF中，由勾股定理得；BF2=102﹣82=36，∴BF=6，CF=10﹣6=4．设DE=EF=x，则EC=8﹣x；在Rt△EFC中，由勾股定理可知：EF2=FC2+EC2，即x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5，∴EC=8﹣5=3．故答案为：316．（4分）如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC 于H．若∠ABC=60°，则下面的结论：①∠ABP=30°；②∠APC=60°；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC，其中正确的结论是①②③④．【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．∵∠PAH=∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC，∴PN=PH，同理PM=PH，∴PN=PM，∴PB平分∠ABC，∴∠ABP=∠ABC=30°，故①正确，∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，，∴△PAN≌△PAH，同理可证，△PCM≌△PCH，∴∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，∵∠MPN=180°﹣∠ABC=120°，∴∠APC=∠MPN=60°，故②正确，在Rt△PBN中，∵∠PBN=30°，∴PB=2PN=2PH，故③正确，∵∠BPN=∠CPA=60°，∴∠CPB=∠APN=∠APH，故④正确，故答案为：①②③④．三、解答题（本题有7个小题，共66分）17．（8分）（1）解不等式5x+4＜3（2+2x），并写出不等式的负整数解（2）解不等式≤+1，并把解表达在数轴上．【解答】解：（1）去括号，得5x+4＜6+6x，移项、合并同类项，得﹣x＜2，系数化为1，得x＞﹣2．其负整数解为﹣1．（2）去分母，得：3（x+1）≤（x﹣2）+6，去括号，得：3x+3≤x﹣2+6，移项，得：3x﹣x≤6﹣2﹣2，合并同类项，得：2x≤2，系数化为1，得：x≤1，将不等式解集表示在数轴上如下：．18．（6分）在下列三角形中画一条线，将其分成两个等腰三角形，并注明角度或线的画法【解答】解：答案如图所示，19．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以N、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长BC于点D．过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）AD垂直平分CE．【解答】证明：（1）连接NP，MP，在△ANP与△AMP中，∵，∴△ANP≌△AMP（SSS），∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠BAC；（2）连接CE，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AD=AE，又∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CD，AD平分CE，即AD垂直平分CE．20．（10分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线，已知∠B=2∠C，∠DAE=10°，求∠C的度数．【解答】解：设∠C=x，则∠B=2∠C=2x，∠BAC=180°﹣3x，∵AD是△ABC的高线，∴∠CAD=90°﹣x，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠BAC=（180°﹣3x），∵∠DAE=10°，∴90°﹣x﹣（180°﹣3x）=10°，解得x=20°，∴∠C的度数为20°．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB 于点D，交AC于点E．（1）若BC=3，AC=5，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，∴AB==，∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∴CD=AB=；（2）证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∴DC=DB，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠2，∴∠A+∠2=90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠1=90°，∴∠1=∠2．22．（12分）如图，在△ABC中∠ABC=45°，CD⊥BA，BE⊥AC，F为BC中点，∠ABE=∠CBE（1）线段BH与线段AC相等吗？若相等给予证明，若不相等，请说明理由．（2）若AC=12，BC=15，求BG的长．【解答】解：（1）线段BH与线段AC相等．证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC，∴DB=DC，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD，∵在△DBH和△DCA中，，∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC；（2）如图，连接CG，由（1）知，DB=CD，∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴△ABE≌△CBE，∴EC=EA=6，∵Rt△BCE中，BC=15，CE=6，∴BE=3，设BG=CG=x，则GE=3﹣x，∴Rt△CEH中，62+（3﹣x）2=x2，∴x=，∴BG=．23．（12分）如图，在△ABC中．AB=AC．（l）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=15°．（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=20°．（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC=∠BAD．（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，井说明理由．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°．∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=15°．故答案为15°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°．∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=20°．故答案为20°；（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）．故答案为∠EDC=∠BAD；（4）仍成立，理由如下：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BAD=2∠EDC，∴∠EDC=∠BAD．。