江苏省南通中学2018届高三上学期开学考试数学试题(附答案)

江苏省南通中学数学练习班级__________ 姓名_________I 卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答．卷．相应位置上．．．．．．） 1. 已知集合A ＝{－2，－1，3，4}，B ＝{－1，2，3}，则A∩B ＝_ ▲ ． 【答案】{－1，3}2.命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是_ ▲ ． 【答案】∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －13.若复数z 满足(z －1)i ＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是_ ▲ ． 【答案】 54.执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为_ ▲ ． 【答案】45. 一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型300450600类轿车10辆．则z 的值为_ ▲ ． 【答案】4006.已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan(π4－α)＝_ ▲ ． 【答案】177.已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋m(m 为常数)，则f(－1)的值为_ ▲ ． 【答案】－38.在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为_ ▲ ．【答案】1－π6 解析：半径为1的球的体积是43π，正方体的体积是8，故所求的概率是1－4π38＝1－π69. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x ＜0），（a －3）x ＋4a （x≥0）满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是_ ▲【答案】0<a ≤14 解析：由题意知，f(x)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0≥（a －3）×0＋4a.解得0<a≤14. 10如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若各条棱长均为2，且M 为A 1C 1的中点，则三棱锥MAB 1C 的体积是_ ▲ ．【答案】233 解析：在正三棱锥中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，则AA 1⊥B 1M.因为B 1M 是正三角形的中线，所以B 1M ⊥A 1C 1.所以B 1M ⊥平面ACC 1A 1，则VM AB 1C ＝VB 1ACM ＝13×⎝⎛⎭⎫12×AC×AA 1×B 1M ＝13×12×2×2×3＝233.11.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是_ ▲ ．【答案】(1，2) 解析：由题意易得点F 的坐标为(－c ，0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，E(a ，0)．∵ △ABE 是锐角三角形，∴ EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝⎝⎛⎭⎫－c －a ，b 2a ·⎝⎛⎭⎫－c －a ，－b 2a ＞0.整理，得3e 2＋2e>e 4.∴ e(e 3－3e －3＋1)<0.∴ e(e ＋1)2(e －2)<0.解得e ∈(0，2)．又e>1，∴ e ∈(1，2)．12. 已知三次函数f(x)＝a 3x 3＋b2x 2＋cx ＋d(a<b)在R 上单调递增，则a ＋b ＋c b －a 的最小值为_ ▲ ．【答案】3 解析：由题意，f ′(x)＝ax 2＋bx ＋c≥0在R 上恒成立，则a>0，Δ＝b 2－4ac≤0.∴ a ＋b ＋c b －a ≥a ＋b ＋b 24a b －a ＝1＋b a ＋14⎝⎛⎭⎫b a 2ba －1. 令t ＝b a (t>1)，则a ＋b ＋c b －a ≥1＋t ＋14t 2t －1＝14·（t ＋2）2t －1＝14·（t －1＋3）2t －1＝14(t －1＋9t －1＋6)≥3(当且仅当t ＝4，即b ＝4a 时，等号成立)．13. 已知函数 ，若函数有 个不同的零点，则实数 的取值范围是_ ▲ ．【答案】 【解析】当 时，，此时 ，当 时，，此时 ，当时，，此时，函数 ，函数 的图象如下：结合图象可得若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是．14. 已知，是非零不共线的向量，设，定义点集．(K不在是直线AB上)当时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为_ ▲．【答案】,解析由知三点共线，且．由知，即．由角平分线性质知，设，，，则，化简得，即，所以的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．由已知，，在圆上，所以，又，所以，因为，在上单调递增，所以，所以，故实数的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答．卷．指．定区域内作答．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. (本小题满分14分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1＝AB.求证：(1) AB∥平面D1DCC1；(2) AB1⊥平面A1BC.【答案】证明：(1) 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊄平面D1DCC1，CD⊂平面D 1DCC 1，所以AB ∥平面D 1DCC 1.(2) 在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，四边形A 1ABB 1为平行四边形，又AA 1＝AB ，故四边形A 1ABB 1为菱形．从而AB 1⊥A 1B.又AB 1⊥BC ，而A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC.16. 已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n.(1) 求cos 2α的值；(2) 若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β.【答案】解：(1) (解法1)由m ⊥n 得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，(2分)代入cos 2α＋sin 2α＝1，5cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255，(4分)则cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.(6分)(解法2)由m ⊥n 得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2，(2分)故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35.(6分)(2) 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2得，α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因sin (α－β)＝1010，则cos (α－β)＝31010.(9分)则sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝255×31010－55×1010＝22.(12分)因β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得β＝π4.(14分)17.如图所示，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛到地面的距离为3米． (1) 求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．【答案】解：(1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝π6，∠ASB ＝π3.又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝π6，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝ 3. 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米．(2) 如图，连结SM ，SN.设SN ＝a ，SM ＝b.由(1)知SO ＝23，在△SOM 和△SON 中，cos ∠SOM ＝－cos ∠SON ，即（23）2＋1－b 22×23×1＝－（23）2＋1－a 22×23×1，可得a 2＋b 2＝26.在△MSN 中，cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113>12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．又∠MSN ∈(0，π)，则0<∠MSN<π3. 故摄影爱好者S 可以将彩杆全部摄入画面．18.已知函数 ．（1）若曲线 在点 处的切线的斜率为，求实数 ；（2）若 ，求的极值；（3）当 时，在上的最小值为在该区间上的最大值．【答案】（1） 因为 ，曲线 在点处的切线的斜率，（2） 当时，，．所以 的极大值为 的极小值为（3） ，．令 ，得，，），（）上单调递减，在（）上单调递增．当 时，有，所以在上的最大值为． 又因为，所以在上的最小值为． 所以 ，所以 在 上的最大值为19.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F 2(1，0)，点H ⎝⎛⎭⎫2，2103在椭圆上． (1) 求椭圆的方程；(2) 点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且点M 在第一象限，过点M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．【答案】解：(1) 设椭圆的左焦点为F 1.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，c ＝1，∵ H ⎝⎛⎭⎫2，2103在椭圆上，∴ 2a ＝|HF 1|＋|HF 2|＝（2＋1）2＋⎝⎛⎭⎫21032＋（2－1）2＋⎝⎛⎭⎫21032＝6.∴ a ＝3，b ＝2 2.故椭圆的方程是x 29＋y 28＝1.(2) 证明：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 219＋y 218＝1，|PF 2|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋8⎝⎛⎭⎫1－x 219＝⎝⎛⎭⎫x 13－32.∵ 0<x 1<3，∴ |PF 2|＝3－13x 1.在圆中，M 是切点，∴ |PM|＝|OP|2－|OM|2＝x 21＋y 21－8＝x 21＋8⎝⎛⎭⎫1－x 219－8＝13x 1.∴ |PF 2|＋|PM|＝3－13x 1＋13x 1＝3. 同理，|QF 2|＋|QM|＝3， ∴ |F 2P|＋|F 2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6. 因此，△PF 2Q 的周长是定值6.20 . 设数列是各项均为正数的等比数列，其前 项和为，若，．（1）求数列 的通项公式；（2）对于正整数，求证：“且” 是“ 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列 满足：对任意的正整数 ，都有 ，且集合中有且仅有 个元素，试求 的取值范围． 【答案】（1） 数列 是各项均为正数的等比数列，，，又，，，（2） （i ）必要性：设 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若 ，则 ，，，，．②若 ，则，，左边为偶数，等式不成立， ③若，同理也不成立，综合①②③，得，所以必要性成立．（ii）充分性：设，，则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以充分性也成立．综合（i）（ii），充要性得证．（3）因为，即，当时，，则式两边同乘以，得，，得，即，又当时，，即，适合，．，，时，，即；时，，此时单调递减，又，，，(法二：两边同除以2n+1)II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答．卷．指定区域内作答．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21(B).已知矩阵，若，求矩阵的特征值．【答案】因为，所以解得，．所以矩阵的特征多项式为令，解得矩阵的特征值为．21(D). 在平面直角坐标系中，已知直线为参数）与曲线（为参数）相交于，两点，求线段的长．【答案】方法一：将曲线（为参数）化为普通方程为．将直线为参数）代入得，，解得，．则．所以线段的长为．方法二：将曲线（为参数）化为普通方程为．将直线为参数）化为普通方程为，由得，或所以的长为．22. 某乐队参加一户外音乐节，准备从首原创新曲和首经典歌曲中随机选择首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为（为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为．求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望．【答案】（1）设“至少演唱首原创新曲”为事件，则事件的对立事件为：“没有首原创新曲被演唱”．所以．答：该乐队至少演唱首原创新曲的概率为．（2）设随机变量表示被演唱的原创新曲的首数，则的所有可能值为，，，．依题意，，故的所有可能值依次为，，，．则，，，．从而的概率分布为：所以的数学期望．23. 已知函数，设数列满足：，．（1）用数学归纳法证明：，都有（2）求证：【答案】（1）①当时，，有.所以时，不等式成立．②假设当时，不等式成立，即.则当时，，于是.因为，所以.所以当时，不等式也成立．由①②，可知，对任意的正整数，都有.（2）由（1）可得.两边同时取为底的对数，可得，化简为.所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，化简求得：，所以.因为时，，时，.所以时，，所以.，所以.。