江苏省南通中学2019—2020学年度第二次调研测试高三数学含附加题(教师版详解)(PDF版) (1)
南通市2019届高三第二次调研测试参考答案
南通市2019届高三第二次调研测试参考答案及评分建议数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9． 设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α． 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： ▲ （用序号表示）． 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--． 给出下列不等式：①()()sin cos 6π6πf f <；②(sin1)(cos1)f f >；③()()cos sin 332π2πf f <；④(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的是 ▲ （用序号表示）．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，设()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知()10B ，，点M 为直线220x y -+=上动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是 ▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ． 【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②或②③④⇒① 10. ④ 11. 21- 12. ()312， 13. 15014. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为边P A 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，4AB BC AC ===，PA PC ==．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥， 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，PABCOEFG(第15题)BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边P A 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△P AB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点，作过FG 且与平面EBO 平行的平面证得. 16．（本小题满分14分）已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABC ，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x + (3)分由()π2cos 16x ++=，得()π1co s 62x +=， ………………5分 于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分因为△ABC 1πsin 26ab =，于是ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .PACOE FGQ由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是2a b +=． ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1s i 2A B a b +=+=+． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）试判断直线11A B 与圆C 的位置关系； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦为1313=，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e == …………4分 （2）由e =可设()40a k k =>，c，则b =， 于是11A B的方程为：40x k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =242k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B：20x -+=的对称点为()m n , ，则1,112022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩． …………………………12分解得13m n ==, 所以，圆C 的方程为()(22113x y -+=． …………………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由分别在半径都是2km 的圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧构成，点P 在圆Q 上，点Q 在圆P 上，现在要在公园里建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分（第17题甲）（第17题乙）TQPNMSR甲乙由题意，△RST 在月牙形花园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积的最大值为36（km 2）． …………………16分 19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541）． 【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ， 所以B，N，A三点在一条直线上， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)， 则有()221124MN x x x =-=--+，故|104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )ee mm my m x +-=--， ……………………10分令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，， 于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下： MN =(h x 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0．12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r ；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =； 当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分 （2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ， 它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以他们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++， 整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以1q <因为三项均为整数，所以q为1⎛ ⎝内的既约分数且1n a 含平方因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题中，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线，切点为A ，M 为P A 的中点， 过M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP =100°，∠BPC =40°， 试求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为P A 的中点，所以2MP MB MC =⋅． 因为B M ∠=∠，所以B M∆∆． ………………5分 于是MPB MCP ∠=∠． 在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒得，∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得232， ，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πc o s 24ρθ-=P为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离d =，即d =，其中cos sinϕϕ=…………………8分当()sin 1αϕ+=时，m i n d = ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是BD 的中点，E 是D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）EB 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ．求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅＝. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为. ……………………5分 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏，规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和期望E ξ； （2）求恰好得到n 分的概率． 【解】(1)所抛5次得分ξ的分布列为(或P (ξ＝i )= ()5551C 2i - (i =5，6，7，8，9，10) . Eξ=()5105551C2i i i -=⋅∑=152(分) . ……………………5分 (2)令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1，……………………7分即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. ……………………10分。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()2x x e f x x =的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可．【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x==，当0x →，()0f x →，排除B ， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．2．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．【详解】如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 36OG =， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+= ∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=． 故选A ．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．3．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( )A ．1B ．2C ．3D ．6 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ．【详解】∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩， 解得1a ＝﹣10，d ＝3，∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【解析】【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<. 【详解】12()111e e x x xf x e -==-++Q 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<.故选：B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.5．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．6．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）. A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A【解析】【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可.【详解】 由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥，所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.8．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ） A ．212 B ．9 C ．172 D ．7【答案】A【解析】【分析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ．【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列，1239a a a ++=Q ，48a =，1339a d ∴+=，138a d +=， 52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 3B ．36C 3D ．33【答案】C【解析】【分析】 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积11(11)12S =⨯⨯+=，高3h = 故体积133V Sh == 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】13X =表示取出的为一个白球，所以()14116233C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，()12116123C P X C ===，所以()121832333E X =⨯+⨯=. 23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11422268315C C P X C ===，22X =表示取出两个球为黑球，()22226115C P X C ==，24X =表示取出两个球为白球，()242266415C P X C ===，所以()2816103241515153E X =⨯+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=，12EX EX <. 故选：C【点睛】 本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.11．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π 【答案】B【解析】函数23353sin (3sin 4cos )3sin 4sin cos 2sin 2cos 2sin(2)2222y x x x x x x x x x θ=+=+=-+=-+（θ为辅助角）∴函数的最大值为4M =，最小正周期为22T ππ== 故选B12．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考点：程序框图． 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i ＜5时退出，故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【2019南通二模】江苏省南通市2019届高三第二次调研数学试卷(解析版)
2019届江苏南通高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{13}=A a ，，，{45}=B ，．若A B =I {4}，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】4 2． 复数2i2i z =+（i 为虚数单位）的实部为 ▲ ． 【答案】23． 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为 49，则该单位行政人员的人数为 ▲ ． 【答案】354. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为 ▲ ． 【答案】235． 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．【答案】306.函数y 的定义域为 ▲ ．【答案】[2)+∞，7. 将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f 的值为 ▲ ．【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 b 的值为 ▲ ． 【答案】29． 在△ABC 中，已知C = 120°，sin B = 2 sin A ，且△ABC 的面积为，则AB 的长为 ▲ ．【答案】10．设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2 m ，PB = 3 m ，PC = 4 m ，则球O 的表面积为 ▲ m 2． 【答案】29π11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，， 则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ． 【答案】512．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>( a ，b ，c ∈R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则25c a b++的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =，点P （3，-1），()16PO PA PB ⋅+=uu u r uu r uu r，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ▲ ．【答案】115， 14．已知集合{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T ．若967S T +≤，则n m 2+的 最大值为 ▲ ． 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =(cos sin )αα，，b = ()ππsin()cos()66αα++，，其中π02α<<．（1）若a ∥b ，求α的值； （2）若1tan 27α=-，求⋅a b 的值．【解】（1）因为a ∥b ，所以ππcos cos()sin sin()0αααα+-+=，……………………………………………2分所以πcos(2)06α+=． …………………………………………………………………4分。
2019-2020学年江苏省南通市海安高中高三下学期第二次检测数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市海安高中高三（下）第二次检测数学试卷（5月份）一、填空题（共14小题）.1．（5分）已知集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝．2．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z＝1（i为虚数单位），则z的模为．4．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．5．（5分）现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．6．（5分）在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，，则的值是．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为．8．（5分）已知sin（15°﹣α）＝，则cos（30°﹣2α）的值为．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8＝2a3a6，S5＝﹣62，则a1的值是．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3＝0平行，则离心率e ＝．11．（5分）一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍．12．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）＜（2﹣x）的解集为．13．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．14．（5分）已知直线x﹣y+3＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于M，N两点，若，则圆的半径r＝．二、解答题（共6小题）.15．（14分）设函数x．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x∈（0，4），求y＝f（x）的值域．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．17．（14分）如图，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），离心率为．过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB．（1）求椭圆C的右准线方程为：x＝4．求椭圆C的方程；（2）设直线BD、AB的斜率分别为k1，k2，求的值．18．（16分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC＝2，OA＝3，单位：百米．已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l （宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y＝﹣x2+2（）的图象．若点M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．已知函数f（x）＝ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n都有．（Ⅰ）求证：a n+1+a n＝4n+2；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（共14小题）.1．（5分）已知集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝1．【分析】根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，从而得到x的值．解：∵集合M＝{2，0，x}，N＝{0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，故答案为：1．2．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为＝，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×＝60，故答案为：60．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z＝1（i为虚数单位），则z的模为．【分析】复数方程两边求模推出结果即可．解：复数z满足（3+4i）z＝1（i为虚数单位），可得：|（3+4i）z|＝1，可得5|z|＝8．故答案为：．4．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为55．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+4+5+…+10的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：由于：S＝1+2+3+4+5+…+10＝55，故答案为：55；5．（5分）现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．【分析】利用组合的方法求出甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题的方法，全是甲类试题，有1种方法，利用对立事件的概率公式求出至少有1道试题是乙类试题的概率．解：甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题，共有＝10种方法，全是甲类试题，有7种方法，故答案为：．6．（5分）在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，，则的值是﹣5．【分析】由已知可得△ABC为直角三角形，以B为坐标原点建系，求出向量的坐标运算．解：由AB＝1，BC＝2，，可知△ABC为直角三角形，如图，∴＝0﹣3﹣1＝﹣5．故答案为：﹣5．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，由，解得，故答案为：18．（5分）已知sin（15°﹣α）＝，则cos（30°﹣2α）的值为．【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可．解：，则cos（30°﹣2α）＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1﹣2×＝．故答案为：．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8＝2a3a6，S5＝﹣62，则a1的值是﹣2．【分析】由题意可知，q≠1，结合等比数列的通项公式及求和公式可得，解方程可求解：∵a2a8＝2a3a6，S5＝﹣62∴q≠1解方程可得，q＝2，a1＝﹣2故答案为：﹣210．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3＝0平行，则离心率e＝．【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解离心率．解：双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3＝7平行，可得，解得a＝，双曲线的离心率为：＝．故答案为：．11．（5分）一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的2倍．【分析】根据几何体的性质，公式转化为用r表示的式子判断．解：∵一个圆柱和一个圆锥同底等高∴设底面半径为r，高为h，∴πrl＝2πr2，l＝2r∴圆柱的侧面积＝2πrh＝2πr2，∴圆柱的侧面积是其底面积的2倍，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）＜（2﹣x）的解集为（1，+∞）．【分析】判断函数f（x）的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．解：当x≥0时，f（x）＝e x为增函数，且f（x）≥1，当x＜0时，f（x）＝x+1为增函数，且f（x）＜7，则不等式f（x）＜f（2﹣x）等价为x＜2﹣x，即不等式的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．13．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．【分析】函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3＝a+b，a＞1，b＞0．即（a﹣1）+b＝2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：∵函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3＝a+b，a＞1，b＞4．∴（a﹣1）+b＝2．故答案为：．14．（5分）已知直线x﹣y+3＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于M，N两点，若，则圆的半径r＝．【分析】本题可以利用方程组得到交点间的坐标关系，然后将向量条件坐标化，得到关于半径的方程，求出半径的值．解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线x﹣y+5＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）联立，∴x1+x2＝﹣3，x1x5＝（9﹣r6）．∵，∴（9﹣r3）+（9﹣r2）＝3，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数x．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x∈（0，4），求y＝f（x）的值域．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x），再根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间；（2）利用x的取值范围求出x﹣的取值范围，从而得出sin（x﹣）的取值范围，即是f（x）的值域．解：（1）函数f（x）＝sin（x﹣）﹣cos x＝sin x﹣cos x令﹣+8kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z；∴函数f（x）的单调增区间为：[﹣+8k，+8k]，k∈Z；…6分∴0＜x＜π，∴﹣＜sin（x﹣）≤1；即函数f（x）的值域为：（﹣，]．…14分．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【分析】（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）（8）∵BF＝CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…（14分）17．（14分）如图，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），离心率为．过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB．（1）求椭圆C的右准线方程为：x＝4．求椭圆C的方程；（2）设直线BD、AB的斜率分别为k1，k2，求的值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和准线方程，及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），运用直线的斜率公式，由两直线垂直的条件，可得AD的斜率，设直线AD的方程为y＝kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，由韦达定理，结合直线的斜率公式可得BD的斜率，进而得到所求值．解：（1）离心率为，即为e＝＝，右准线方程为：x＝4，即为＝4，则椭圆的方程为+＝1；∵k AB＝，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k＝﹣，消去y整理得：（b2+a2k2）x6+2ma2k2x+a7m2﹣a2b2＝0，∴y1+y2＝k（x2+x2）+2m＝，即有的值为．则＝，，即的值．18．（16分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC＝2，OA＝3，单位：百米．已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l （宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y＝﹣x2+2（）的图象．若点M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【分析】（1）求当时，代入函数y＝﹣x2+2，得M（，），利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x＝t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜2）上的极值，进而得出地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大值．解：（1）把代入函数y＝﹣x2+2，得M（，），∵y'＝﹣2x，∴直线方程为y＝﹣x+；令y＝0，x＝（t+），令x＝0，y＝t2+6，∴2﹣≤t≤1，令g（t）＝（t3+4t+），当t＝时，g'（t）＝7，当t∈（，1）时，g'（t）＞0，所以所求面积的最大值为6﹣．19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．已知函数f（x）＝ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝0时，化简函数f（x）＝3xlnx﹣1并求定义域，再求导数f′（x）＝3lnx+3＝3（lnx+1），从而由导数确定函数的极值；（2）函数f（x）＝ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）＝3（ax2+lnx+1），再令g（x）＝ax2+lnx+1，再求导g′（x）＝2ax+＝，从而由导数的正负性分类讨论以确定函数是否有极值点及极值点的个数．解：（1）当a＝0时，f（x）＝3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），f′（x）＝3lnx+8＝3（lnx+1），故f（x）在x＝时取得极小值f（）＝﹣7﹣1；f′（x）＝3（ax8+lnx+1），当a＞0时，g′（x）＞0在（8，+∞）恒成立，而f′（）＝3[a（）8+ln+1]＝3a（）2＞0，故f（x）在区间（，e）上单调递增，当a＝0时，由（5）知，f（x）在区间（，e）上没有极值点；故g（x）＝ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，①当g（e）•g（）＜0，即﹣＜a＜0时，g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令g（）＝0得＝0，不可能；③令g（e）＝6得a＝﹣，所以∈（，e），又g（）＜6，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，0）．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n都有．（Ⅰ）求证：a n+1+a n＝4n+2；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）由，知，由此能够导出．（II）在中，令n＝1，得a1＝2，代入（I）得a2＝4．由a n+1+a n ＝4n+2，知a n+2+a n+1＝4n+6，故a n+2﹣a n＝4，由此能导出数列{a n}的通项公式是a n＝2n．（III）＜等价于，令f（n）＝，则f（n）＞0，由此能够导出存在实数a，符合题意，并能求出其取值范围．解：（I）∵，∴∴，（II）在中，∵a n+1+a n＝4n+4，∴a n+2+a n+1＝4n+6，∴数列{a n}的偶数项a2，a8，a6，…，a26，…依次构成一个等差数列，∴当n为偶数时，＝，a n＝4n+2﹣a n+1＝4n+8﹣2（n+1）＝2n，（III）＜，令f（n）＝，∴＝＝．∴n∈N*时，f（n）的最大值为，若存在实数a，符合题意，即，解得，或，其取值范围为．。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题. 2．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．3．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先解A 、B 集合，再取交集。
【详解】()2002x x x -<⇒<<,所以B 集合与A 集合的交集为{}1，故选A【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
【全国百强校】江苏省南通中学2020届高三上学期第二次调研测试数学试题(含附加题,解答题含解析)
江苏省南通中学2019—2020学年度高三第二次调研测试高三数学试卷一、填空题：本大题共14小题．1．已知集合A ＝{－2，－1}，B ＝{－1，2，3}，则A ∪B ＝ ▲ ． 2．若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则复数z 的共轭复数为 ▲ ．3．如果数据x 1，x 2，x 3，...，x n 的方差是a ，若数据3x 1－2，3x 2－2，3x 3－2，...，3x n －2的方差为36，则实数a 的值为 ▲ ．4．在数字1，2，3，4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 ▲ ． 5．如图所示的算法中，输出的结果是 ▲ ．6．若函数f(x)＝cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于直线12x π=对称，则θ的值为 ▲ ．7．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为 ▲ ．8．设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ▲ ．9．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，已知四棱锥B 1－ACMA 1的体积为3，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为 ▲ ．10．若函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝2x－4，则不等式xf(x ＋1)＜0的解集为 ▲ ．11．若a ＞0，b ＜0，且11a b -=，则14b a-的最小值为 ▲ ． 12．已知点A(0，2)，斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于B ，C 两点．设△ABC 与△OBC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1＝2S 2，∠BAC ＝60°，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，已知2AB AC BC BA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，且13BC =，则△ABC 面积的最大值为 ▲ ．14．已知函数f(x)＝x 2－(a ＋1)x －2有两个零点x 1，x 2，函数g(x)＝lnx －2x －a 有两个零点x 3，x 4，且x 1＜x 3＜x 2＜x 4，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，26b =，B ＝2A ． (1)求cosA 的值； (2)求c 的值． 16．如图，四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．(1)求证：VA ∥平面BDE ；(2)求证：平面VAC ⊥平面BDE ．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，且椭圆经过点A(2，0)和点(1，3e)，其中e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)过点F 2的直线l 交椭圆于x 轴上方一点B ，过点F 1作直线l 的垂线交AB 于点M ，若MF 2与x 轴垂直，求直线l 的斜率．18．如图，半圆AOB 是某个旅游景点的平面示意图，为了保护景点和方便游客观赏，管理部门规划从公路l 上某点C 起修建游览线路C-D-E-F ，CD 、DE 、EF 分别与半圆相切，且四边形CDEF 是等腰梯形．已知半圆半径OA ＝1百米，每修建1百米游览道路需要费用为20万元，设EF 与圆的切点为P ，∠POB ＝θ(单位：弧度)．(1)试将修建游览道路所需费用y 表示为θ的函数；(2)试求修建游览道路所需最少费用为多少万元?(精确到0.1，参考数据：3 1.732≈)19．已知函数()a f x ax x =-，函数g(x)＝clnx 与直线2y x e=相切，其中a ，c ∈R ，e 是自然对数的底数．(1)求实数c 的值；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间1()e e，内有两个极值点．①求a 的取值范围；②设函数h(x)的极大值和极小值的差为M ，求实数M 的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项的和为S n，记1nnSbn+ =．(1)若{a n}是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．①当3b1，2b2，b3成等差数列时，求ad的值；②求证：存在唯一的正整数n，使得a n＋1≤b n＜a n＋2．(2)设数列{a n}是公比为q(q＞2)的等比数列，若存在r，t(r，t∈N*，r＜t)使得22trb tb r+=+，求q的值．参考答案 1．【答案】{－2，－1，2，3} 2．【答案】1－i 3．【答案】44．【答案】125．【答案】3 6．【答案】56π7．【答案】110 8．【答案】59．【答案】6 10．【答案】(－3，－1)∪(0，1) 11．【答案】9 12．【答案】3±13．【答案】11214．【答案】(－∞，－2) 【方法1】函数f(x)有两个零点即方程21a x x=--有两个根x 1，x 2，同理方程a ＝lnx －2x 有两个根x 3，x 4，即直线y ＝a 与曲线12:1C y x x=--，C 2：y ＝lnx －2x 的交点横坐标分别为x 1，x 2和x 3，x 4，要使x 1＜x 3＜x 2＜x 4，只需直线y ＝a 在曲线C 1与C 2的交点A(1，－2)的下方即可，故有a ∈(－∞，－2)(如图1)．【方法2】对于函数f(x)＝x 2－(a ＋1)x －2，由x 1·x 2＝－2，知两个零点x 1，x 2异号，而函数g(x)＝lnx －2x －a 的两个零点x 3，x 4均为正，要使x 1＜x 3＜x 2＜x 4，只需g(x 2)＝lnx 2－2x 2－a ＞0①，又2222()(1)20f x x a x =-+-=，所以2221a x x =--②，将其代入①式，得2222ln 310x x x -++>，解得0＜x 2＜1，再由②式求得a ∈(－∞，－2)．(如图2)15．【解】(1)在△ABC 中，因为a ＝3，26b =B ＝2A ， 故由正弦定理得326sin A ，于是2sin cos 26sin A A A ． 所以6cos A =(2)由(1)知6cos A =23sin 1cos A A -． 又因为B ＝2A ，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=,从而222sin 1cos 3B B =-=． 在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以53sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 因此由正弦定理得sin 5sin a Cc C==． 16．【证明】(1)连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点， 又因为E 是棱VC 的中点，所以VA ∥OE ． 又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊄平面BDE ， 所以VA ∥平面BDE ． (2)因为VO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以VO ⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ， 又VO ∩AC ＝O ，VO ，AC ⊂平面VAC ， 所以BD ⊥平面VAC ．又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面VAC ⊥平面BDE ． 17．【解】(1)因为椭圆经过点A(2，0)和点(1，3e)， 所以22222219144a cb bc a =⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，解得a ＝2，b =c ＝1，所以椭圆的方程为22143x y +=．(2)解法一：由(1)可得F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设B(x 0，y 0)(－2＜x 0＜2，y 0＞0)，则22003412x y += ①， 直线AB 的方程为：00(2)2y y x x =--， 由MF 2与x 轴垂直，知点M 的横坐标为1， 所以M 点坐标为0012y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，．所以01022y F M x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭u u u u r ，,200(1)F B x y =-u u u u r，,若MF 1⊥BF 2，则220000120002(1)(2)2(1)022y x x y F M F B x x x ---⋅=--==--u u u u r u u u u r， 所以2002(1)(2)y x x =-- ②， 由①②可得20112440x x -+=，即(11x 0－2)(x 0－2)＝0， 所以0211x =或x 0＝2(舍)，0y =所以直线l的斜率为． 解法二：由(1)可得F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 设直线AB 的方程为y ＝k(x －2)．由方程组22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或228643k x k -=+，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． 由MF 2与x 轴垂直，知点M 的横坐标为1，所以M 点坐标为(1，－k)．所以1(2)F M k =-u u u u r ，,22222228612491243434343k k k k F B k k k k ⎛⎫⎛⎫----== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭u u u u r -1，，．若12MF BF ⊥，则222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++u u u u r u u u u r ．解得2910k =．又因为点B 在x 轴上方，所以k ＜0，所以310k =-，所以直线l 的斜率为210-． 18．【解】(1)Rt △POF 中，OP ＝1，所以PF ＝OP ·tan θ＝tan θ， 设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ ⊥l ，且DQ ＝QE ＝EP ，∠QOE ＝∠POE ，Rt △POE 中，11()222POE POQ POF π∠=∠=-∠1()2242ππθθ=-=-，所以tan()tan()4242PE OP πθπθ=⋅-=-，所以20(24)40[tan tan()]42y PF PE πθθ=+=+-，即40[tan 2tan()]42y πθθ=+-，(0)2πθ∈，．(2)设tan (01)x θ=∈，，则222211()40280111xx x x y f x x x x --+⎛⎫==+⋅= ⎪-+-⎝⎭，x ∈(0，1)， 因为22280(41)()(1)x x f x x -+-=-＇，x ∈(0，1)，令f ＇(x)＝0，解得23x =x (023)-，23-(231)-，f ＇(x) － 0＋ f(x)↘极小值(23)f -↗从上表可知，当23x =6θ=时，f(x)取得极小值，这个极小值就是函数f(x)的最小值，值为(23)40369.3f =万元．答：(1)修建游览道路所需费用y 表示为θ的函数为40[tan 2tan()]42y πθθ=+-，(0)2πθ∈，．(2)修建游览道路所需最少费用约为69.3万元． 19．【解】(1)设直线2y x e=与函数g(x)＝clnx 相切与点P(x 0，clnx 0)，函数g(x)＝clnx 在点P(x 0，y 0)处的切线方程为：000ln ()c y c x x x x -=-,02c x e=, 把x ＝0，y ＝0代入上式得x 0＝e ，c ＝2． 所以，实数c 的值为2． (2)①由(1)知()2ln ah x ax x x=--, 设函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间1()e e ，内有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则ax 2－2x ＋a ＝0，设m(x)＝ax 2－2x ＋a因为x 1x 2＝1，故只需020()0a m e ∆>⎧⎪⎪>⎨⎪⎪>⎩，，，所以，2211e a e <<+．②因为x 1x 2＝1，所以12112212()()2ln (2ln )a aM f x f x ax x ax x x x =-=----- 11111112ln (2ln )a a ax x ax x x x =----- 2111222ln aax x x =--． 由21120ax x a -+=，得12121x a x =+，且111x e<<． 122221111112211122211122ln 4(ln )112x x x x M x x x x x x +-=--=-++． 设21x t =，211t e <<，令11()4(ln )12t t t t ϕ-=-+， 222212(1)()4()0(1)2(1)t t t t t t ϕ--=-=<++＇， ()t ϕ在21(1)e ，上单调递减，从而21(1)()()t e ϕϕϕ<<， 所以，实数M 的取值范围是28(0)1e +，．20．【解】(1)①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列， 所以4b 2＝3b 1＋b 3，即334643(2)23a d a da d ++⨯=++， 解得，34a d =． ②由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得(1)(1)2(1)n ndn a a nd a n d n++++≤<++,整理得222020a n n d a n n d ⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩，，n <≤,1=0>． 因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2．(2)因为1111(1)2(1)(1)2(1)t t r r a q b t t q a q b r r q ++-+-==-+-，所以1111(2)(2)t r q q t t r r ++--=++． 设11()(2)n q f n n n +-=+，n ≥2，n ∈N*．则211211[(1)2(2)3]23(1)()(1)(3)(2)(1)(2)(3)n n n q q q q n q n n f n f n n n n n n n n n +++---+--+++-=-=++++++, 因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f(n ＋1)－f(n)＞0，即f(n ＋1)＞f(n)，即f(n)单调递增． 所以当r ≥2时，t ＞r ≥2，则f(t)＞f(r)，即1111(2)(2)t r q q t t r r ++-->++，这与1111(2)(2)t r q q t t r r ++--=++互相矛盾． 所以r ＝1，即1211(2)3t q q t t +--=+． 若t ≥3，则42221111()(3)15353q q q q f t f --+-≥==⋅>, 即1211(2)3t q q t t +-->+，与1211(2)3t q q t t +--=+相矛盾．于是t ＝2，所以321183q q --=，即3q 2－5q －5＝0． 又q ＞2，所以q =。
【精准解析】江苏省南通中学2020届高三上学期第二次调研测试数学试题
2 12
k
，
k
Z
，
k
6
，k
Z
，
Q 0
\=
5 6
，函数
f
(x)
cos
2x
5 6
，
5 故答案为： ．
6
【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7.已知an 为等差数列，其公差为 2 ，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项， Sn 为an 的前 n 项和，
则 S10 的值为__________．
【答案】3
-2-
【解析】 【分析】 由程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程， 分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】该算法运行如下：
S 12 ， x 1， S 11;
x 3， S 8;
x 5，S 3， x 7 ，终止， 输出 S 3，
1 i (1 i)(1 i) z 1i ,
故答案为：1 i 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的共轭复数，属于容易题.
3.如果数据 x1 ， x2 ， x3 ，， xn 的方差是 a ，若数据 3x1－2 ， 3x2－2 ， 3x3－2 ，， 3xn－2 的 方差为 36，则实数 a 的值为__________．
解得 a1 20 ，
S10
10 20
1 2
10 9 2
110 ．
故答案为：110．
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．
8.如果双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的渐近线与抛物线
y
x2
【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案
江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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由方程组
x
2
4
y2 3
1，
消去
y
，整理得 (4k 2
3)x 2
16k 2 x
16k 2
12
0，
( ) 解得 x 2 或 x 8k 2 6 ，所以 B 点坐标为 8k2 6，12k ． …………………9 分
4k 2 3
4k2 3 4k2 3
【解】（1）在△ABC 中，因为 a 3，b 2 6 ，B 2A ，
故由正弦定理得
3 sin A
2 sin
6 2A
，于是
2sin Acos sin A
A
26 3
．
所以 cos A 6 ．………………………………………………………………………6 分 3
（2）由（1）知 cos A 6 ，所以 sin A 1 cos2 A 3 ．
8
且 x1 x3 x2 x4 ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
6
【答案】 (， 2)
4
【方法
1】函数
f
(x)
有两个零点即方程
a
x
2 x
1有
2
a
25
20
15
10
两个根 x1 ，x2 ，同理方程 a ln x 2x 有两个根 x3 ，x4 ，
5
C1 2
A
5
10
即直线
y
2(x0
1)
y02 x0 2
2(x0
1)(x0 2) x0 2
y02
0，
所以 y02 2(x0 1)(x0 2) ②，………………………………………………………11 分
由①②可得11x02 24x0 4 0 ，即 (11x0 2)(x0 2) 0 ，
的值为
▲
．
【答案】 5π 6
7． 已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前 n 项和，则 S10 的值 为▲．
【答案】110 8． 设双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 y＝x2＋1 相切，则该双曲线的离心率等于 ▲ ．
E
（2）求证：平面 VAC⊥平面 BDE. 【证明】（1）连结 OE. 因为底面 ABCD 是菱形，所以 O 为 AC 的中点，
D
C
O
A
B
（第 16 题）
又因为 E 是棱 VC 的中点，所以VA ∥OE. 又因为 OE 平面 BDE，VA 平面 BDE， 所以VA ∥平面 BDE. ……………………………………………………………………7 分 （2）因为VO ⊥平面 ABCD， 又 BD 平面 ABCD，所以VO ⊥BD， 因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD⊥AC， 又VO ∩AC=O，VO ，AC 平面 VAC， 所以 BD⊥平面 VAC. 又因为 BD 平面 BDE，所以平面 VAC⊥平面 BDE. ………………………………14 分
10
3
18．（本题满分 16 分）
如图，半圆 AOB 是某个旅游景点的平面示意图，为了保护景点和方便游客观赏，管理部门规划从
公路 l 上某点 C 起修建游览线路 C-D-E-F，CD、DE、EF 分别与半圆相切，且四边形 CDEF 是等腰
梯形.已知半圆半径 OA＝1 百米，每修建 1 百米游览道路需要费用为 20 万元，设 EF 与圆的切点为
F2 B
8k 2 18 4k 2 3
12k 2 4k 2
3
20k 2 4k 2
18 3
0
．
解得 k 2 9 ．…………………………………………………………………………12 分 10
又因为点 B 在 x 轴上方，所以 k 0 ，
所以 k 3 10 ，所以直线 l 的斜率为 2 10 ．……………………………………14 分
（2）解法一：由（1）可得 F1(1，0) ，F2 (1，0) ，设 B(x0 , y0 ) （ 2 x0 2，y0 0 ），
则 3x02 4y02 12 ①， …………………………………………………………… 7 分
直线 AB 的方程为: y y0 (x 2) ， x0 2
3
3
又因为 B=2A，所以 cos B cos 2A 2 cos2 A 1 1 ， 3
从而 sin B 1 cos2 B 2 2 ． 3
在△ABC 中，因为 A B C π ，
所以 sin C sin(A B) sin Acos B cos Asin B 5 3 ． 9
x2 x 1 1 x2
，x∈(0，1)，
( ) 80 x2 4x 1
因为 f ′(x)＝
，x∈(0，1)，令 f ′(x)＝0，解得 x＝ 2 3 .……………11 分
【答案】 1 2
5． 如图所示的算法中，输出的结果是 ▲ ．
【答案】3
开始
S ←12， x ←1
x6 Y
S ←S x
N 输出 S
x←x2
结束
( 第5题 )
C1 M
A1
B1
C
A
B
( 第9题 )
6．
若函数
f (x) cos(2x ) （ 0 ຫໍສະໝຸດ π）的图象关于直线
x
π 12
对称，则
【方法 2】对于函数 f (x) x2 (a 1)x 2 ，由 x1 x2 2 ，
知两个零点
x1
，x2
异号，而函数
g
(
x)
ln
x
2x
10
a
的两个零点 x3 ，x4 均为正，要使 x1 x3 x2 x4 ，
6
8
（图 1） 10 4
12
142
f(x) = x2 (a + 1)∙x 216
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答．解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．
15．（本题满分 14 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 a 3，b 2 6 ，B 2A ． （1）求 cosA 的值； （2）求 c 的值．
由 MF2 与 x 轴垂直，知点 M 的横坐标为 1，
( ) 所以 M 点坐标为 1， y0 ．…………………………………………………………9 分 x0 2
( ) 所以 F1M
2 ， y0 x0 2
， F2B (x0 1，y0 ) ，
若 MF1
BF2 ，则 F1M
F2B
5 a x1
18 x3 x2
x4
5
g(x) = ln(x) 2∙x a
2
只需 g(x2 ) ln x2 2x2 a 0 ①，
4
（图 2）
6
又
f
(x2 )
x22
(a
1)x2
2
0
，所以 a
x2
2 x2
1②，将其代入①式，得 ln x2
3x2
2 x2
1
0
，
解得 0 x2 1，再由②式求得 a (， 2) ．（如图 2）
【答案】 5
9． 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M 为 A1C1 的中点，已知四棱锥 B1-ACMA1 的体积为 3，则三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 ▲ ． 【答案】6
10. 若函数 f (x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f (x) 2x 4 ，则不等式 xf (x 1) 0 的解集
设 DE 与半圆相切于点 Q， 则由四边形 CDEF 是等腰梯形知，
D
Q
E
OQ⊥l，且 DQ＝QE＝EP，∠QOE＝∠POE，
P
Rt△POE 中，∠POE＝12∠POQ＝12(2π－∠POF) l
CA
O
BF
＝12(2π－θ)＝π4－θ2，
所以 PE＝OP·tan(π4－θ2)＝tan(π4－θ2)， …………………………………………………5 分
【答案】 3
13．在△ABC
中，已知
AB
AC
2BC
BA
，且
BC
1 3
，则△ABC
面积的最大值为
▲
．
【答案】 1 12
10
14．已知函数 f (x) x2 (a 1)x 2 有两个零点 x1 ，x2 ，函数 g(x) ln x 2x a 有两个零点 x3 ，x4 ，
垂直，求直线 l 的斜率．
y B
M
【解】（1）因为椭圆经过点 A(2，0) 和点 (1，3e) ，
a 2，
所以
1 4
9c2 4b2
1，
…………………………………………… 2
分
b2 c2 a2，
F1 O
F2 A x
（第 17 题）
解得 a 2，b 3，c 1， 所以椭圆的方程为 x 2 y 2 1 ． ………………… 6 分 43
所以 x0
2 11
或 x0
2
(舍)，
y0
6 10 11
．