江苏省南通中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷(含答案和解析)
2019-2020学年高二下学期期中数学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟 总分:150分)一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f (x ）＝x 2﹣sin x 在［0，π］上的平均变化率为( ）A ．1B ．2C ．πD ．π2 2．复数z 满足z =2i 1−i ，则复数z 的虚部为( )A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．已知随机变量X 服从正态分布N （1，4），若P （X ≥2）＝0。
2，则P （0≤X ≤1）为（ ）A ．0。
2B ．0.3C ．0。
4D ．0.6 4．已知C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N ＊）,则n 等于（ )A ．14B ．12C ．13D ．155．已知f （x ）＝x •sin2x ,则)2(πf '为（ ） A ．﹣πB ．−π2C ．π2D ．π 6．二项式（√x +2x 2）10展开式中的常数项是（ )A ．180B ．90C ．45D ．3607．从1,2，3，4，5,6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则P （B ｜A ）＝（ ）A．38B．1340C．1345D．348．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A．48种B．72种C．96种D．144种9．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x）,且函数f(x）在x＝﹣1处取得极大值,则函数y＝xf′(x）的图象可能是（)A．B．C．D．10．已知（x﹣1)9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8＝（）A．﹣45 B．27 C．﹣27 D．4511．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是（）A．每人都安排一项工作的不同方法数为54B．每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A3312．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈［1，e］的最小值为3，若存在x1，x2,…，x n∈[1，e］，使得f（x1)+f(x2)+…+f（x n﹣1）＝f(x n），则正整数n的最大值为（)A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为．14．若(1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝．15．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________16．若存在a＞0,使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为．三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分,其他每题12分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z是复数,z+2i与z2−i均为实数．（1）求复数z；(2）复数（z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数（结果用数字作答)．（1）选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起;（5）全体排成一排，男生互不相邻。
江苏南通中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题(含答案)
南通中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1.设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出11x -<的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<。
故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。
故选B 。
【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．2.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A. 64 B. 31C. 30D. 15【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的等和性即可.【详解】因为{}n a 是等差数列,所以79124a a a a =++, 所以1279416115a a a a =+-=-=． 故选：D ．【点睛】若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 本题考查了等差数列的性质,属于基础题．3.己知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,8 B. (),0-∞C. ()8,+∞D. ()3,+∞【答案】A 【解析】 【分析】二次函数恒成立问题利用判别式小于0列式求解即可．【详解】不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,2420(8)0a a a a ∆=-⨯<⇒-< 即()0,8a ∈, 故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数恒成立问题,属于基础题．4.椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为（ ）A. -21B. 21C. 1925-或21 D.1925或21 【答案】C 【解析】试题分析：当焦点在x 轴时222516199,4592525k a b k c k k -==+∴=-∴=∴=-，当焦点在y 轴时2225164,9521425k a k b c k k k -=+=∴=-∴=∴=+，故选C 考点：椭圆方程及性质5.已知双曲线22132x y a a+=--的焦点在y 轴上，若焦距为4，则a =（ ）A.32B. 5C. 7D.12【答案】D 【解析】因为双曲线22132x y a a +=--的焦点在y 轴上，所以该双曲线的标准方程为22123y xa a-=--（其中2a <）.又因为焦距为4，所以24322a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.所以12a =.故本题正确答案为D.6.不等式220ax bx ++>的解集是22a x a+=，则+a b 等于 （ ） A. 14 B. -14C. -10D. 10【答案】B 【解析】 【分析】先根据不等式的解集得到方程的解为12-或13，进而求出a 与b 的数值，即可得到答案． 【详解】由题意可得：不等式ax 2+bx+2＞0的解集11{|}23x x -<<，所以方程ax 2+bx+2=0的解为12-或13，所以a-2b+8=0且a+3b+18=0， 所以a=-12，b=-2， 所以a b +值是-14． 故选B ．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．7.已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a = A. 31123n （）- B. 131123n --（） C. 21133n-（） D.121133n --（） 【答案】A 【解析】分析：累加法求解。
江苏省南通中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
江苏省南通中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线y =的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∴tanθ= ∴θ＝60°， 故选：B ．【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，则sin B 的值为（ ）B. 2C.12D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sin B 的值．【详解】△ABC a ＝2b sin A ，sin A ＝2sin B sin A ， 又A ∈（0，π），所以sin A ≠0，=2sin B ，解得sin B 2=．故选：B【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．3.若直线过点)3-和点()0,4-，则该直线的方程为( )A. 4y x =- B. 4y x =+C. 6y =-D. 23y x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】（法一）利用直线的两点式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．【详解】解：（法一）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的方程为()()344y ---=--，整理得4y x =-；（法二）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的斜率为k =，所以直线的方程为4y x +=，整理得4y x =-； 故选：A ．【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题． 4.已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2），则sin sin cos θθθ+的值为（ ）A. 13- B.13C. 23-D. 23【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【详解】∵角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2）， ∴tan θ＝2， 则sin tan 22sin cos tan 1213θθθθθ===+++.故选：D【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 5.已知圆()()22:684,C x y -+-=O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程( ) A. ()()2234100x y -++= B. ()()2234100x y ++-= C .()()223425x y -+-= D. ()()22+3425x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，即得圆的方程. 【详解】由题得OC 中点坐标为（3,4）， ，所以圆的方程为()()223425x y -+-=. 故选C【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.函数22sin 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，即可得解．【详解】函数22sin 1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数的最小正周期22T ππ==，且该函数为奇函数. 故选：A.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，考查了正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．7.一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A. 6海里 B. 12海里C. 6海里或12海里D. 63海里 【答案】A 【解析】 【分析】根据方位角可知120CAB ∠=，利用余弦定理构造方程可解得结果.【详解】记轮船最初位置为A ，灯塔位置为B ，20分钟后轮船位置为C ，如下图所示：由题意得：11863AC =⨯=，1804020120CAB ∠=--=，63BC =则222cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠=⋅，即：2361081122AB AB +-=-，解得：6AB =即灯塔与轮船原来的距离为6海里本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.8.已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线2y x =上，若点A 在直线40x y --=，则圆C 的标准方程为（ ） A. 22(2)(4)4x y -++= B. 22(2)(4)16x y +++= C. 22(2)4)(4x y -+-= D. 22(2)(4)16x y -+-=【答案】D 【解析】 【分析】设圆心(),2C a a ，利用点到直线距离可构造方程求得a ，根据点A 的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程. 【详解】圆C 的圆心在直线2y x =上，∴可设(),2C a a ，圆C 与x 轴正半轴相切与点A ，0a ∴>且圆C 的半径2r a =，(),0A a .A 到直线40x y --=的距离d =d ∴==6a =或2a =，()2,0A ∴或()6,0A ，A 在直线40x y --=的左上方，()2,0A ∴，()2,4C ∴，4r =， ∴圆C 的标准方程为：()()222416x y -+-=.故选：D【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量. 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分）9.点P 是直线x +y ﹣3＝0上的动点，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4作切线，则切线长可能为（ ）A.2B.12C. 1D.2【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，设T 为切点，分析圆的圆心与半径，可得|PT |222||||4PO r PO =-=-，进而可得|PT |的最小值，分析选项即可得解．【详解】根据题意，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4做切线，设T 为切点，连接OP 、OT ，如图：圆O ：x 2+y 2＝4，其圆心为（0,0），半径r ＝2； 则切线长222||||4PT PO r PO =-=- 当PO 最小时，PT 最小，当PO 与直线垂直时，PO 取最小值，则min 33211PO -==+， 所以min1222PT==， 分析选项：A 、C 、D 都满足22PT ≥. 故选：ACD ．【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题．10.在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ） A. a ＝50，b ＝30，A ＝60°B. a ＝30，b ＝65，A ＝30°C. a ＝30，b ＝50，A ＝30°D. a ＝30，b ＝60，A ＝30°【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理求解sin B ，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案． 【详解】对于A ，由a ＝50，b ＝30，A ＝60°， 利用正弦定理可得：503060sin sinB=︒则sin B 10=， ∵a ＞b ，且A 为锐角，∴B 有一解，故三角形只有一解； 对于B ，由a ＝30，b ＝65，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306530sin sinB=︒则sin B 13112=>，此三角形无解； 对于C ，由a ＝30，b ＝50，A ＝30°， 利用正弦定理可得：305030sin sinB=︒则sin B 56=， ∵b ＞a ，且A 为锐角，则角B 有两解，故三角形有两解； 对于D ，由a ＝30，b ＝60，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306030sin sinB=︒，则sin B ＝1，B ＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解． 故选：AD【点睛】本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．11.在ABC ∆中,若cos cos a A b B =,则ABC ∆的形状可能为( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【答案】ABCD 【解析】【分析】 根据正弦定理sin sin a b A B=,将cos cos a A b B =化简为:sin cos sin cos A A B B =,故sin 2sin 2A B =,即可求得答案.【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =∴ sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,∴ 22A B =或22A B π+=.即A B =或2A B π+=,∴ABC ∆可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选:ABCD.【点睛】本题考查了判断三角形的形状,解题关键是掌握正弦定理和正弦的二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12.已知圆M ：22(1cos )(2sin )1x y θθ--+--=，直线l ：20kx y k --+=，下列四个选项，其中正确的是（ ）A .对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点 B. 存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离C. 对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D. 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切 【答案】AC 【解析】 【分析】先确定圆的圆心坐标、直线所过的定点，根据直线与圆的位置关系，结合两点的距离公式、点到直线的距离公式、辅助角公式进行判断即可.【详解】根据题意知圆M 的圆心坐标为M （1+cos θ，2+sin θ），半径为1，202(1)kx y k y k x--+=⇒-=-，直线l恒过定点N（1，2），||1MN=，所以定点N（1，2）在圆M上，无论θ取何值，都由（1﹣1﹣cosθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，因此直线l和圆M有公共点，所以选项A正确，选项B错误；圆心M到直线l的距离d===sin()βθ=-，（其中sinβ=，cosβ=，tanβ＝k）当()2n n Zπβθπ-=+∈时，1d=，所以对任意实数k，tanβ＝k，所以必存在实数θ，使得直线l与圆M相切，所以C正确．当θ＝0°时，()2n n Zπβπ=+∈，tanβ不存在，所以D不正确．故选：AC【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分）13.化简：()2cossinπαπα-=⎛⎫+⎪⎝⎭_____．【答案】-1【解析】【分析】由诱导公式即可求解．【详解】()12cos coscossinπααπαα--==-⎛⎫+⎪⎝⎭．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.已知点（1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为1，则a 的值为_____． 【答案】21+ 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式，代入计算即可得到a 的值．【详解】由题可知，点 （1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为:221211211a a d +--===+，解得：21a =+．故答案：21+．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 15.若tan(2)2αβ+=，tan 3β=-，则tan()αβ+=__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据()2αβαββ+=+-,利用两角差的正切公式计算即可得结果. 【详解】()()tan tan 2αβαββ⎡⎤+=+-⎣⎦ ()()231123--==-+⨯-.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目.16.在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 y 2＝8与圆C 2 : x 2y 22xy a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.【答案】{}8,825,825-+ 【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d ,因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想四、解答题（本小题共6小题，共70分）17.已知函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期（2）求函数f （x ）单调增区间．【答案】（1）T =π；（2）[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【解析】【分析】（1）利用辅助角二倍角公式化简，即可求函数f （x ）的最小正周期（2）根据三角函数的性质即可求出函数f （x ）单调增区间．【详解】函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．化简可得：f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2xsin x cos x ＝cos2xx 12cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭＝2sin （2x 6π+）， （1）∵ω＝2，∴f （x ）的最小正周期为T 2πω==π； （2）令2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）， 解得：k π3π-≤x ≤π6π+，k ∈Z ， 则f （x ）的单调增区间为[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．18.已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //．（1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．【答案】（12）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l的距离d ===． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C的半径为5，所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．19.如图，在一条海防警戒线上的点A B C 、、处各有一个水声监测点，B C 、两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值；（2）求P 到海防警戒线AC 的距离．【答案】（1）31x =；（2）21【解析】试题分析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-，根据余弦定理，列出方程，即可求解x 的值；（2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由cos PAD ∠，得sin PAD ∠，即可求解点P 到海防警戒线AC 的距离．试题解析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-．在PAB △中，20AB =，22222220(12)332cos 22205PA AB PB x x x PAB PA AB x x+-+--+∠===⋅⋅， 同理在PAC ∆中，50AC =，2222225025cos 2250PA AC PC x x PAC PA AC x x+-+-∠===⋅⋅． ∵cos cos PAB PAC ∠=∠，∴332255x x x+=，解得：31x =． （2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由25cos 31PAD ∠=， 得221sin 1cos 31PAD PAD ∠=-∠=，∴421sin 3142131PD PA PAD =∠=⨯=千米．故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为21考点：解三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径．20.已知圆E 经过M （﹣1，0），N （0，1），P （12，2-）三点． （1）求圆E 的方程；（2）若过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程．【答案】（1）x 2+y 2＝1；（2）2x +2y ﹣1＝0．【解析】【分析】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ，结合题意可得222222222(1)(1)1()(22a b r a b ra b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得a 、b 、r 的值，由圆的标准方程的形式分析可得答案. （2）设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，由切线长公式计算可得R 的值，分析可得圆C 的方程，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，变形分析可得答案．【详解】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ， 则有222222222(1)(1)1()()22a b r a b r a b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得001a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为x 2+y 2＝1；（2）根据题意，过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，则有R ＝|CA|==则圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝7，即x 2+y 2﹣4x ﹣4y +1＝0，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线， 则有222214410x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 解可得2x +2y ﹣1＝0，则AB 的方程为：2x +2y ﹣1＝0．【点睛】本题考查直线与圆的方程，关键是求出圆E 的方程，属于基础题．21.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴； ③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.【答案】（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈； 由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意， 若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.22.如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点.（1）若12,2AM AN k k ==-，求△AMN 的面积； （2）过点P （33-5，）作圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，求PE PF ⋅；（3）若2AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）直线AM 的方程为，直线AN 的方程为，由中位线定理知，，由此能求出的面积．（2）由已知条件推导出，，由此能求出PF PE ⋅．（3）设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，得同理，由此能证明直线过定点．试题解析：（1）由题知，得直线的方程为，直线的方程为 所以，圆心到直线的距离，所以，，由中位线定理知， AN=，由题知，所以⊥，=.（2）22(33)(5)443PE +--=｜｜＝，22(33)(5)213PO =+-=，所以4323cos 21313OPE ∠==. 所以222311cos 2cos 12()11313FPE OPE ∠=∠-=-=， 所以211528||cos (43)1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯= （3）由题知直线和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线的的方程(2)y k x =+，则直线AN 的方程为，所以，联立方程22(2){4y k x x y =++=，所以，22(2)[(1)22]0x k x k +++-=，得2x =-或22221k x k -=+， 所以222224(,)11k k M k k-++， 同理，， 因为轴上存在一点D 2(,0)3-，所以，=，同理，所以，=，所以，直线过定点2(,0)3.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.。
2019-2020学年江苏省南通市通州区高二下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年江苏省南通市通州区高二下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．在复平面内，复数12z i =-+（i 为虚数单位）对应的点所在象限是（）A ．一B ．二C ．三D ．四答案：B根据复数几何意义，即可求得答案.解： Q 12z i =-+∴复数z 对应的点()1,2-故：复数12z i =-+对应的点在二象限故选：B.点评：本题主要考查了求复数点所在象限，解题关键是掌握复数的几何意义，考查了分析能力，属于基础题.2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（）A ． 1.2308ˆ.0yx =+ B ．0.0813ˆ.2y x =+ C ． 1.234ˆyx =+ D ． 1.235ˆyx =+ 答案：A 由题意得在线性回归方程$ˆy bxa =+$中 1.23b =$，然后根据回归方程过样本点的中心得到$a的值，进而可得所求方程． 解：设线性回归方程$ˆy bxa =+$中，由题意得 1.23b =$， ∴$1.23ˆy x a=+． 又回归直线过样本点的中心()4,5，∴$5 1.234a=⨯+， ∴$0.08a=， ∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+． 故选A ．点评：本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．3．已知随机变量X 的分布列为()()1,2,3,410k P X k k ===，则()13P X <≤=（） A ．310 B ．35 C ．12 D ．15答案：C根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出等3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可.解：Q 随机变量X 的分布列为()()1,2,3,410k P X k k === 2(2)10P X ∴==，3(3)10P X == 231(13)10102P X ∴<=+=… 故选：C.点评：本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）A ．36B ．72C ．600D ．480答案：D直接利用插空法计算得到答案.解：根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个. 故选：D .点评：本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A ．0.42B ．0.2016C ．0.1008D ．0.0504答案：B本题是一个相互独立事件同时发生的概率，两人各投两次，两人都投中1次的概率为11220.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯，从而得到答案． 解：Q 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7∴两人都投中1次的概率为11220.60.40.70.30.2016C C ⨯⨯⨯=故选：B.点评：本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，解题关键是掌握相互独立事件概率的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6．设a Z ∈，且016a ≤≤，若20204a +能被17整除，则a 的值为（）A ．1B ．4C ．13D ．16 答案：D由()101020201010416171a a a +=+=-+，按照二项式定理展开，根据它能被17整除，结合所给的选项可得a 的值．解：∵a Z ∈，且016a ≤≤，由()101020201010416171a a a +=+=-+ ()()()()0110091010010101100910091101001010101010101010171171171171C C C C a =-+-++-+-+L ()()()0100910090101011100911010101010101711711711C C C a =-+-++-++L又Q 20204a +能被17整除∴1a +能被17整除，结合016a ≤≤∴16a =故选：D ．点评：本题考查了根据表达式整除来求参数问题，解题关键是掌握二项式定理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布()98,100X N :.已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是（）附：若()2,X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=.A ．1500B ．1700C ．4500D ．8000答案：A利用正态总体密度曲线的性质求出概率,即可得到结论.解： Q 考试的成绩X 服从正态分布(98,100)N98,10μσ==Q ，1089810μσ=+=+Q ， 10.6826(108)2P ξ-∴≥=0.1587= 即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%.945015.87%1500∴⨯≈故选：A.点评：本题考查正态分布曲线的性质的应用,解题的关键是求出108ξ≥的概率.8．函数()23xe f x x x=-，()()3,00,3x ∈-U 的图象大致为（） A ． B ． C ． D ． 答案：A判断函数的奇偶性和对称性，3x →-时，函数值结()f x 值不趋近正无穷，利用排除法，即可求得答案.解：Q ()()3,00,3x ∈-U由()23x e f x x x =-，可得()23xe f x x x--=+∴()()f x f x -≠-，故函数()23xe f x x x=-，不是奇函数，排除B ，D ； Q ()23x e f x x x=-，3x →-时，函数值结()f x 值不趋近正无穷 ∴排除B综上所述，只有A 符合题意故选：A ．点评：本题考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题是掌握奇函数图象特征和灵活使用排除法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多选题9．若382828x x C C -=，则x 的值为（） A ．4B ．6C ．9D ．18 答案：AC由382828x x C C -=，可得38x x -=或3828x x -+=，即可求得答案.解：Q 382828x x C C -= ∴38x x -=或3828x x -+=解得：4x =或9x =故选：AC点评：本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10．直线12y x b =+能作为下列（）函数的图像的切线. A ．1()f x x =B ．4()f x x =C ．()sin f x x =D ．()x f x e = 答案：BCD依次计算每个选项中的导数，计算()1'2f x =是否有解得到答案. 解：。
2019-2020年高二下学期期中联考数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期中联考数学（理）试题含答案王永杰李好敬一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A、B、C、D、2．若，则a的值是（）A、2B、3C、4D、63．已知随机变量服从正态分布则（）A、0.89B、0.78C、0.22D、0.114．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5．用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由n=k到n=k+1时,不等式的左边（）A．增加了一项 B. 增加了两项C. 增加了一项，又减少了一项D. 增加了两项，又减少了一项6．已知随机变量X的分布列如下表（其中为常数）：则下列计算结果错误的是（）A、B、C、D、7．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A.12B.24C.30D.368．直线a//b, a上有5个点，b上有4 个点，以这九个点为顶点的三角形个数为（）A、B、 C、D、9．某种玉米种子，如果每一粒发芽的概率为90%，播下5粒种子，则其中恰有两粒未发芽的概率约是（）A．0．07B．0．27 C．0．30 D．0．3310．展开式中的常数项是（ ）A ．B ．18C ．20D ．011．给出下列命题：(1)已知事件是互斥事件，若，则；(2)已知事件是互相独立事件，若，则(表示事件的对立事件)；(3)的二项展开式中，共有4个有理项． 则其中真命题的序号是（ ）A ．(1)、(2)．B ．(1)、(3)．C ．(2)、(3)．D ．(1)、(2)、(3)．12．函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数在区间上的图像如图所示， 且，那么（ ）A ．是的极大值点B ．=是的极小值点C ．不是极值点D ．是极值点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
江苏省南通中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
江苏省南通中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.设x∈R,则“0＜x＜5”是“|x-1|＜1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是（）A. 64B. 31C. 30D. 153.己知关于x的不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立,则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.4.椭圆=1的离心率为,则k的值为（）A. B. 21 C. 或21 D. 或215.已知双曲线+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于（）A. B. 5 C. 7 D.6.不等式ax2+bx+2＞0的解集是（-,）,则a+b的值是（）A. 10B.C. 14D.7.已知数列{a n},如果a1,a2-a1,a3-a2,…,a n-a n-1,…,是首项为1,公比为的等比数列,则a n=（）A. B. C. D.8.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1、a3、a9成等比数列,则的值为（）A. B. C. D.9.已知正项等比数列的公比为3,若,则的最小值等于( )A. 1B.C.D.10.己知数列{a n}的通项公式是．设数列{a n}的前n项和为S n,则使S n＜-4成立的最小自然数n的值是（）A. 13B. 14C. 15D. 1611.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2,a＞b＞c＞0）．如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2是“果圆”与x,y轴的交点,若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为（）A.B.C. 5,3D. 5,412.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S4=___________．14.己知命题p：∃m∈[-1,1],a2-5a-3＜m+2,且p是假命题,则实数a的取值范围是______．15.规定记号“⊙”表示一种运算,定义a⊙b=+a+b（a,b为非负数）,若1⊙k2＜3,则实数k的取值范围是______．16.设F1,F2为椭圆C：的两个焦点,M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________．三、解答题（本大题共6小题）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M（3,2）；（2）c：a=5：13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．18.（1）设函数f（x）=mx2-mx+m-6,若对于m∈[-2,2],f（x）＜0恒成立,求实数x的取值范围；（2）关于x的方程8x2-2（m-1）x+m-6=0的两个根,一个在区间（0,1）内,另一个在区间（1,2）,求实数m的取值范围．19.设{a n}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n,求S n的最小值．20.某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10（a-）万元（a＞0）,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少？21.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A,B,离心率为,点P（1,）为椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图,过点C（0,1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M,N两点,记直线AM 的斜率为k1,直线BN的斜率为k2,若k1=2k2,求直线l斜率的值．22.各项为正的数列{a n}满足,（1）当λ=a n+1时,求证：数列{a n}是等比数列,并求其公比；（2）当λ=2时,令,记数列{b n}的前n项和为S n,数列{b n}的前n项之积为T n, 求证：对任意正整数n,2n+1T n+S n为定值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分必要条件,考查解不等式问题,是一道基础题．解出关于x的不等式,结合充分必要条件的定义,从而求出答案．【解答】解：∵|x-1|＜1,∴0＜x＜2,∵0＜x＜5推不出0＜x＜2,0＜x＜2⇒0＜x＜5,∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件,即0＜x＜5是|x-1|＜1的必要不充分条件.故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质,属于基础题．【解答】解：因为{a n}是等差数列,所以a7+a9=a4+a12,所以．故选D．3.【答案】A【解析】解：不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立,△=a2-8a=a（a-8）＜0,即a∈（0,8）,故选：A．利用判别式法判断即可．考查二次函数恒成立问题,基础题．4.【答案】C【解析】解：若a2=9,b2=4+k,则c=,由=,即=得k=-；若a2=4+k,b2=9,则c=,由=,即=,解得k=21．故选：C．依题意,需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论,从而可求得k的值．本题考查椭圆的简单性质,对椭圆的焦点在x轴,y轴分类讨论是关键,考查推理运算能力,属于中档题．5.【答案】D【解析】解：根据题意,双曲线+=1,焦点在y轴上,则有,解可得a＜2,又由其焦距为4,即c=2,则有c2=（2-a）+（3-a）=4,解可得a=；故选：D．根据题意,由双曲线焦点的位置可得,解可得a的范围,又由其焦距为4,即c=2,由双曲线的几何性质可得c2=（2-a）+（3-a）=4,解可得a的值．本题考查双曲线的几何性质,注意双曲线的焦点在y轴上,先求出a的范围．6.【答案】B【解析】分析：利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出．熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（-,）,∴-,是方程ax2+bx+2=0的两个实数根,且a＜0,∴-=-+,=-×,解得a=-12,b=-2,∴a+b=-14故选：B．7.【答案】A【解析】解：由题意a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=故选：A．因为数列a1,（a2-a1）,（a3-a2）,…,（a n-a n-1）,…,此数列是首项为1,公比为的等比数列,根据等比数列的通项公式可得数列{a n}的通项．考查学生对等比数列性质的掌握能力,属于基础题．8.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因为a1、a3、a9恰好是某等比数列,所以有a32=a1a9,即（a1+2d）2=a1（a1+8d）,解得d=a1,所以该等差数列的通项为a n=nd则的值为=．故选：C．因为{a n}是等差数列,故a1、a3、a9都可用d表达,又因为a1、a3、a9恰好是等比数列,所以有a32=a1a9,即可求出d,从而可求出该等比数列的公比,最后即可求比值．本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比,属基础知识、基本运算的考查．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的应用,函数的最值的求法,考查计算能力,属于较易题.利用等比数列的性质推出m、n的关系,然后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为3,若=a 32,可得m+n=6,m,n∈．=,当且仅当m=2n,即m=4,n=2时,的最小值等于．故选：C．10.【答案】D【解析】解：a n=log2=log2n-log2（n+1）,可得前n项和为S n=a1+a2+…+a n=log21-log22+log22-log23+…+log2n-log2（n+1）=log21-log2（n+1）=-log2（n+1）＜-4,则n+1＞16,即n＞15,使S n＜-4成立的最小自然数n的值是16．故选：D．求得a n=log2=log2n-log2（n+1）,再由数列的裂项相消求和,可得前n项和S n,再由对数不等式的解法可得n的最小值．本题考查数列的裂项相消求和,对数不等式的解法,考查运算能力,属于基础题．11.【答案】A【解析】解：,,∴b=1,∴,得,即,b=1．故选：A．由题意可知求得c,再由求得b,最后由a2=b2+c2求得a．本题主要考查椭圆的性质．属基础题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质,属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=,b=,可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|,∴|AB|=3|BF2|,又|AB|=|BF1|,∴|BF1|=3|BF2|,又|BF1|+|BF2|=2a,∴|BF2|=,∴|AF2|=a,|BF1|=a,则|AF2|=||=a,所以A为椭圆短轴端点,在Rt△AF2O中,cos∠AF2O=,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=,根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0,可得+=0,解得a2=3,∴a=,b2=a2-c2=3-1=2．所以椭圆C的方程为：+=1．故选B．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题,利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知,可求公比,然后再利用等比数列的求和公式即可求解.【解答】解：∵数列{a n}为等比数列,a1=1,S3=,∴q≠1,=,整理可得,解得q=-,故S4===．故答案为.14.【答案】（-∞,-1]∪[6,+∞）【解析】解：∵命题p：∃m∈[-1,1],a2-5a-3＜m+2,且p是假命题,则∴∀m∈[-1,1],a2-5a-3≥m+2恒成立,∴a2-5a-3≥3,∴a≤-1或a≥6,故答案为：（-∞,-1]∪[6,+∞）．命题p是假命题,利用分离m求解．本题考查复合命题真假的关系,参数取值范围,考查转化、逻辑推理、计算能力．15.【答案】（-1,1）【解析】解：由a⊙b=+a+b,∵1⊙k2＜3,∴,化简可得,|k|+1+|k2|＜2,∴（|k|-1）（|k|+2）＜0,∴|k|＜1,∴-1＜k＜1,原不等式的解集为（-1,1）．故答案为：（-1,1）．由已知新定义可转化不等式得,化简后解二次不等式及绝对值不等式即可求解．本题以新定义为载体,主要考查了二次不等式与绝对值不等式的求解,属于基础试题．16.【答案】（3,）【解析】【分析】本题主要考查椭圆的方程和性质,考查分类讨论思想方法,考查方程思想和运算能力,属于中档题．设M（m,n）,m,n＞0,求得椭圆的a,b,c,由于M为C上一点且在第一象限,可得|MF1|＞|MF2|,△MF1F2为等腰三角形,可能|MF1|=2c或|MF2|=2c．分类讨论即可得出M的坐标.【解答】解：设M（m,n）,(m,n＞0),椭圆C：+=1的a=6,b=2,c=4,,由于M为C上一点且在第一象限,可得|MF1|＞|MF2|,△MF1F2为等腰三角形,可能|MF1|=2c或|MF2|=2c,所以解得所以M（3,）．故答案为（3,）．17.【答案】解：（1）由题意可设椭圆的方程为,焦距是4,且经过点M（3,2）；可得,解得a=4,c=2,b2=12．∴椭圆的标准方程是：．（2）由题意可得,解得．故所求的椭圆方程为：或．【解析】（1）由题意可设椭圆的方程,利用已知条件列出方程,求出a,b,即可解出椭圆方程．（2）由题意可得a,b的方程组,求解即可．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键,是中档题．18.【答案】解：（1）对于m∈[-2,2],f（x）＜0恒成立,即mx2-mx+m-6＜0,可得m（x2-x+1）-6＜0,由于x2-x+1＞0恒成立令y=m（x2-x+1）-6,看成关于m与y的一次函数,且在m∈[-2,2]上单调递增,∴m=2时取得最大值为2（x2-x+1）-6,∴2（x2-x+1）-6＜0,解得-1＜x＜2,故得x的取值范围（-1,2）；（2）记f（x）=8x2-2（m-1）x+m-6,∵方程的一根在区间（0,1）上,另一根在区间（1,2）上,∴有f（0）＞0,f（1）＜0,f（2）＞0,即；解得：4＜m＜6；∴实数m的取值范围是（4,6）．【解析】（1）主元换位,即可求解；（2）构造函数,根据方程的一根在区间（0,1）上,另一根在区间（1,2）上,有f（0）＞0,f（1）＜0,f（2）＞0,从而求实数m的取值范围本题考查了变元的思想,通过变元,转化为m的函数,利用函数的单调性求函数最大值；在把恒成立问题转化为求函数的最值问题的过程中,体现了转化的思想方程；还考查了对根的讨论,函数与方程思想,以及学生的计算能力,正确建立不等式是关键；本题属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列．∴（a3+8）2=（a2+10）（a4+6）,∴（-2+2d）2=d（-4+3d）,解得d=2,∴a n=a1+（n-1）d=-10+2n-2=2n-12．（Ⅱ）由a1=-10,d=2,得：S n=-10n+=n2-11n=（n-）2-,∴n=5或n=6时,S n取最小值-30．【解析】本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法,考查等差数列、等比数列的性质等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于基础题．（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质,列出方程求出d=2,由此能求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）由a1=-10,d=2,得S n=-10n+=n2-11n=（n-）2-,由此能求出S n的最小值．20.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000,即x2-500x≤0,又x＞0,所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元,从事原来产业的员工的年总利润为万元,则（1+0.2x%）所以,所以ax≤,即a≤恒成立,因为,当且仅当,即x=500时等号成立．所以a≤5,又a＞0,所以0＜a≤5,即a的取值范围为（0,5]．【解析】（1）根据题意可列出10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000,进而解不等式求得x的范围,确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润,进而根据题意建立不等式,根据均值不等式求得求a的范围．本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识,解决实际问题的能力．21.【答案】解：（1）根据题意,椭圆的离心率为,即e==,则a=2c．又∵a2=b2+c2,∴．∴椭圆的标准方程为：．又∵点P（1,）为椭圆上一点,∴,解得：c=1．∴椭圆的标准方程为：．（2）由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在,设其方程为y=kx+1．设M（x1,y1）,N（x2,y2）．联列方程组：,消去y可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0．∴由韦达定理可知：,．∵,,且k1=2k2,∴,即．①又∵M（x1,y1）,N（x2,y2）在椭圆上,∴,．②将②代入①可得：,即3x1x2+10（x1+x2）+12=0．∴,即12k2-20k+3=0．解得：或．又由k＞1,则．【解析】本题考查椭圆的几何性质,涉及直线与椭圆的位置关系,关键是求出椭圆的标准方程,属于综合题．（1）根据题意,由椭圆离心率可得a=2c,进而可得,则椭圆的标准方程为,将P的坐标代入计算可得c的值,即可得答案；（2）根据题意,设直线l的方程为y=kx+1,设M（x1,y1）,N（x2,y2）,将直线的方程与椭圆联立,可得（3+4k2）x2+8kx-8=0,由根与系数的关系分析,：,,结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得,即12k2-20k+3=0,解可得k的值,即可得答案．22.【答案】证明：（1）当λ=a n+1时,a n+1=+a n,a n＞0,∴=+1,令=q＞0,则q=+1,化为q2-q-1=0,解得q=．∴数列{a n}是等比数列,其公比q=．（2）当λ=2时,a n+1=+a n,∴2a n+1=a n（a n+2）,∴=．∴T n=b1b2b3…b n=••…•==．又b n====-,∴S n=b1+b2+b3+…+b n=-++…+-=-,∴2n+1T n+S n=+-==2．∴对任意正整数n,2n+1T n+S n为定值2．【解析】（1）递推式两边同除a n,得出关于的方程,求出=,得出结论；（2）化简整理可得b n=,求出S n,T n即可得出结论．本题考查了数列递推关系、等比数列的判断,求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．。
江苏省南通市2019-2020学年高二上学期期初考试数学试题 Word版含解析
第一学期暑期作业抽测高二数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一：填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1.已知集合，，，则集合的真子集的个数为____【答案】【解析】【分析】由与，求出两集合的交集确定，进而可得结果.【详解】,,则集合的真子集的个数为，故答案为7.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的子集，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简答题.2.已知函数，则的值是____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式求出，进而可得结果.【详解】因为函数，所以所以故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.3.函数在区间上的值域为____．【答案】【解析】【分析】先求出取值范围，再由正弦函数的性质即可求出函数在区间上的值域. 【详解】由题意，，得，，故答案为.【点睛】形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.4.已知向量，，其中，若，则____．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算公式求出向量与 ,然后根据平面向量共线（平行）的充要条件建立等式,解之即可.【详解】向量，，，，即，又，故答案为4.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.已知，，则____．【答案】【解析】【分析】利用的取值范围和，求得的值，然后结合两角和与差的余弦函数公式来求的值.【详解】，，，，解得，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.设数列的前的和为，且满足,则____【答案】【解析】【分析】由，得，从而，从而，由此得到是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出的值.【详解】数列的前项和为，满足，，解得，，解得，，解得，，整理，得，是首项为2，公比为2的等比数列，，故答案为4.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.7.一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是____cm3.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面积等于底面面积的倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，设，，解得，圆锥的高，圆锥的，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能力，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.8.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】钝角三角形内角的度数成等差数列，则，可设三个角分别为，故，又，令，且，则，在上是增函数，，故答案为.9.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________.【答案】(x－2)2＋(y＋)2＝【解析】设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为.视频10.在中，，，，，若，则实数____．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的运算法则用表示出和，利用，列方程可求出的值.【详解】如图所示，中，，，，解得，故答案为.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.若正实数满足，则的最小值是____．【答案】8【解析】当y=2x取得等号，所以的最小值是812.在锐角中，内角的对边分别为，且，，则的周长的取值范围为____．【答案】【解析】【分析】由，，可得，由正弦定理可得化简整理为，利用正弦函数的有界性可得出结论.【详解】因为，，所以，由正弦定理可得，sinA=，，，，，故答案为.【点睛】本题主要考查辅助角公式、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.13.已知,且,则的最小值是____．【答案】【解析】【分析】由基本不等式可得，设，，利用函数的单调性可得结果.【详解】因为,且，所以，设，则，，，即，，设，，在上递减，，即的最小值是，故答案为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.14.设是定义在上的奇函数，且，若不等式对区间的两不相等的实数都成立，则不等式的解集是____．【答案】【解析】【分析】由对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，知在上单调递减，由的奇偶性可判断的奇偶性及特殊点，从而可作出草图，由图可解，进而得到结论.【详解】对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，函数在上单调递减，又的奇函数，为偶函数，在上单调递增，且，作出草图如图所示，，即，由图象得，或，解得或，不等式解集是，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，且，，(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．【答案】⑴；⑵的面积为【解析】【分析】⑴由，可得，又为三角形内角，则，在中，由余弦定理可得结果；⑵由题设可得，则，故面积与面积的比值为，求出的面积，即可得结果.【详解】⑴，，又为三角形内角，则在中，由余弦定理可得，即，解得，舍去，⑵由题设可得，则故面积与面积的比值为的面积为的面积为【点睛】本题主要考查余弦定理、三角形面积公式及特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.如图，在三棱锥中，，平面平面，点(与不重合)分别在棱上，且求证：(1)平面(2)【答案】(1)见解析；⑵见解析【解析】【分析】(1)利用三角形中位线定理可得，由线面平行判定定理可得结论；(2)由面面垂直的性质定理可得平面 . 因为平面，所以又，可得平面，从而可得结论.【详解】(1)在平面内，因为，，且在同一平面内，所以又因为平面，平面，所以平面(2)因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面因为平面，所以又，，平面，平面，所以平面又因为平面，所以【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17.在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北50海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【答案】(1)；⑵见解析【解析】【分析】（1）先以点为原点，正东方向为轴正半轴建立坐标系，如图，得出点的坐标，再利用两点距离公式得从而求得小船速度即可；（2）欲判断它是否会进入警戒水域，只须比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小即可.【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，则船的行驶速度为海里∕小时（也可用余弦定理求）（2）直线方程为整理得原点到直线的距离为所以不会进入警戒水域。
江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
第二学期期中考试 高二数学试卷一、选择题.（每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题） 1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}3,4,5D.{}0,1,2,3,4,5【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}1,2,3,4,5A =，{}0,1,2B =，则{}1,2A B =.故选：B.【点睛】本题考查交集的运算，考查了交集定义的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.设复数1z i =-，则复平面内z 表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论. 【详解】1z i =-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，因此，复平面内z 表示的点位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题. 3.向量a =（1，﹣2），b =（2，﹣1），则a b ⋅=（ ） A. 5 B. 3C. 4D. -5【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积公式直接求解.【详解】解：因为向量a =（1，﹣2），b =（2，﹣1）， 所以12(2)(1)4a b ⋅=⨯+-⨯-=， 故选：C【点睛】此题考查平面向量的数量积计算，属于基础题. 4.函数()33xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】设()()33xf x x x =-⋅，判断函数()y f x =的奇偶性、零点，以及函数()y f x =在()0,1x ∈时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设()()33xf x x x =-⋅，该函数的定义域为R ，()()()()()3333x xf x x x x x f x -⎡⎤-=---⋅=--⋅=-⎣⎦，所以，函数()y f x =为奇函数，令()0f x =，得30-=x x ，即()210x x -=，解得0x =或1x =±.所以，函数()y f x =的零点为0、1、1-，排除A 、D 选项；当01x <<时，3x x <，则()()330xf x x x =-⋅<，排除B 选项.故选：C.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题. 5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位【答案】A 【解析】 【分析】根据函数平移变换的方法，由223x x π→-即22()6x x π→-，只需向右平移6π个单位即可.【详解】根据函数平移变换,由sin2y x =变换为sin 2236y x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 只需将sin2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.6.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >>D.c b a >>【答案】C 【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小7.计算：0000sin 21cos9sin 69sin9+的结果为（ ）A. C. 12-D.12【答案】D 【解析】00000001sin21cos9sin69sin9sin21cos9cos21sin9sin302+=+︒=︒=， 故选D8.某产品正品率为78，次品率为18，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝（ ）A. 2231788C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B. 2237188C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C. 21788⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D.27188⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，由此能求出结果. 【详解】解：因为某产品正品率为78，次品率为18，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，所以“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，所以P(ξ＝3) ＝ 21788⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故选：C【点睛】此题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用，属于基础题.9.若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A. 85 B. 84C. 57D. 56【答案】A 【解析】【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r rrr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.10.某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为( ) A. 9 B. 12C. 18D. 24【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有3226-=种情况， 则他获得奖次的不同情形种数为1863=⨯种； 故选C ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，注意“直到第4次才获奖”的含义．还考查了分类思想，属于中档题.11.如图，1111ABCD-A B C D 为正方体，下列结论中正确的是 （ ）A. 11A C ⊥平面11BB D D ；B. 1BD ⊥平面1ACB ；C. 1BD 与底面11BCC B 2；D. 过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60︒角的直线有2条. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定定理、线面角的定义、异面直线所成角的的定义，即可得答案； 【详解】对A ，11111111111,,AC B D AC DD B D DD D ⊥⊥⋂=，∴11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对B ，1BD ⊥AC ，111B D AB ⊥，1AB AC A =，∴1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；对C ，1BD 与底面11BCC B 2，故C 错误； 对D ，异面直线AD 与1CB 成45，∴过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60︒角的直线有2条，故D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理及空间线面角、异面直线所成角的相关知识，考查空间想象能力、运算求解能力.12.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 2()5P B =B. 15()11P B A =C. 事件B 与事件1A 相互独立D. 1A 、2A 、3A 两两互斥【答案】BD 【解析】 【分析】根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,p A p A p A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断. 【详解】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；因为()()()123523,,101010p A p A p A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误； 故选：BD【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13.已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A. 4p = B. DF FA =C. 2BD BF =D. 4BF =【答案】ABC【解析】 【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360， //AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二．填空题(每小题4分，共16分)14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()321f x x x =++，则()2f -=______.【答案】13- 【解析】 【分析】根据题意求得()2f 的值，然后利用奇函数的定义可得出()2f -的值.【详解】当()0,x ∈+∞时，()321f x x x =++，()32222113f ∴=++=， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以，()()2213f f -=-=-. 故答案为：13-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.15.长方体的长、宽、高分别为4、3、1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为_______. 【答案】26π 【解析】 【分析】设球O 的半径为R ，利用长方体的体对角线为球O 的直径可求得R ，然后再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球O 的半径为R ，由于长方体的体对角线为球O 的直径，则2R ==2R ∴=，因此，球O 的表面积为224426S R πππ==⨯=⎝⎭. 故答案为：26π.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，利用长方体的体对角线为其外接球的直径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 16.满足1212100n nn n n C C C n n n⋅+⋅++⋅<的正整数n 的最大值为_________； 【答案】7 【解析】 【分析】 由11!(1)!!()!(1)!()!k n k n k k n n C n k n C k n k n k ---=⋅==⋅--⋅-⋅，对左边化简，再利用二项式定理可得结果.【详解】解：因为11!(1)!!()!(1)!()!k n k n k k n n C n k n C k n k n k ---=⋅==⋅--⋅-⋅， 所以021112111212n n n n n n n n n n C C C n nC C C n-----=⋅+⋅++++⋅⋅⋅+=⋅， 所以12100n -<，因为67264,2128==，所以16n -≤，即7n ≤， 所以满足1212100n nn n n C C C n n n⋅+⋅++⋅<的正整数n 的最大值为7故答案为：7【点睛】此题考查组合数公式和二项式定理，考查计算能力，属于基础题. 17.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，若()f x y x=在()0,∞+上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若()2f x y x=在()0,∞+上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B .设函数()()()32221f x ax a x a x =--+-()0,x a R >∈.（1）若()f x A ∈，则实数a 的取值范围为 _________;（2）若()f x A ∈且()f x B ∉，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】 (1). []0,2 (2). (]1,2【解析】 【分析】（1）当0a =时，()41f x y x x==-，在()0,∞+上为增函数，当0a ≠时，()2()221f x y ax a x a x==--+-，利用二次函数的单调性得到02a <≤，即可得到答案. （2）首先利用导数求出满足()f x B ∈时a 的范围，再求出满足()f x A ∈且()f x B ∉时a 的范围即可.【详解】（1）当0a =时，()24f x x x =-，()41f x y x x==-，在()0,∞+上为增函数，当0a ≠时，()2()221f x y ax a x a x==--+-， 因为()f x A ∈，所以()2()221f x y ax a x a x==--+-为增函数， 即020a a a>⎧⎪-⎨≤⎪⎩，解得02a <≤.综上：()f x A ∈，则02a ≤≤.（2）()()2122f x a y ax a x x-==--+，21a y a x -'=- 若()f x B ∈，则210a a x --≥在()0,∞+恒成立， 即()0,x ∈+∞，21a x a-≤恒成立， 所以10a a-≤，解得01a ≤≤.因为()f x A ∈且()f x B ∉，所以12a <≤. 故答案为：[]0,2；(]1,2【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，同时考查了二次函数的单调性，属于中档题.三．解答题.(共82分)18.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12、13、13，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）19；（2）分布列见解析，()76E ξ=. 【解析】 【分析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件A ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）由题意可知随机变量ξ可取的值为0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ的值.【详解】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件A ，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：()111112339P A ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭； （2）由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，()21220239P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2121211241232339P C ξ⎛⎫==⨯+⋅⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()21211211522332318P C ξ⎛⎫==⋅⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()211132318P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以，随机变量ξ的分布列如下：因此，随机变量ξ的数学期望为()2451701239918186E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用33+模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了n 名学生进行调查. （1）已知抽取的n 名学生中有女生45名，求n 的值及抽取的男生的人数.（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下22⨯列联表.（i ）请将列联表补充完整，并判断是否有99%以上的把握认为选择科目与性别有关系. （ii ）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1) 100n =，55人 (2) （i ）见解析；（ii ）35【解析】 【分析】 （1）根据题意可得451000450n =求解即可得出n 的值，进而可得抽取的男生人数； （2）（i ）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出2k 的值，结合临界值表即可的结果； （ii ）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A ，B ，4名女生，分别记为a ，b ，c ，d ；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.【详解】解：（1）由题意得451000450n =，解得100n =， 则抽取的男生的人数为100550551000⨯=. （2）（i ）则22100(45202510)8.1289 6.63555457030K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%以上的把握认为送择科目与性别有关系.（ii ）由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A ，B ，4名女生，分别记为a ，b ，c ，d .从6名学生中随机抽取2名，有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd共15种情况，其中至少有1名男生的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd 共9种情况，故所求概率为93155=. 【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型. 20.在ABC 中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=.（1）求角B 的大小；（2）若sin 1cos 0A C +=⎭，求b a 的值. 【答案】（1）060B =（2 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理处理()()22222cos a c a b cab C --+=，即可得出答案．（2）展开sin 1cos 0A C ++=⎭，结合0180A B C ++=，和第一问计算出的角B 的大小，即可得出A 的值，结合正弦定理sin sin b B a A=，代入，即可． 【详解】（1）∵角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()22222cos a c a b cabc C --+=∴()()2222cos 2a c a c b b C ac-+-=，∴()2cos cos a c B b C -=∴cos 2cos b Ba c C=-，∵由正弦定理得：2sin sin sin a b c R A B C===， ∴2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， ∴2sin cos 4sin 2sin cos R B BR A R C C=-，∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，∴2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+ ()sin sin C B A =+=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B = ∵()000,180B ∈，∴060B =.（2）∵sin 1cos 0A C +=⎭，∴3sin 102A C +--=，∴1sin 2A C =， ∵060B =，∴0018060C A =--， ∴0120C A =-，∴()1sin 1202A A -=，∴)1sin cos120cos sin120sin 2A A A +=∴131 sin3cos sin222A A A⎛⎫-⨯--=⎪⎝⎭∴311cos sin222A A-=∴()01cos302A+=∵000120A<<，∴0003030150A<+<∴030A=∵由正弦定理得：sin sina bA B=，060B=，030A=，∴3sin sin60231sin sin302b Ba A====.【点睛】本道题考查了正余弦定理，难度较大．21.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，侧面111A AC C⊥底面ABC，四边形11AAC C为菱形，ABC是边长为2的等边三角形，160A AC︒∠=，点O为AC的中点.（1）若平面11A B C与平面ABC交于直线l，求证：//l AB；（2）求二面角11C A B C--的余弦值.【答案】(1) 证明见解析；（210【解析】【分析】（1）由条件有11//A B 平面ABC ，根据线面平行的性质可证.（2）先证明1A O ⊥平面ABC ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1） 证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，11A B ⊄平面ABC . 所以11//A B 平面ABC ，且11A B ⊆平面11A B C 平面11A B C平面=ABC l所以11//l A B ，所以//l AB .（2）由四边形11AAC C 为菱形，且160A AC ︒∠=所以1A BC 为等边三角形且点O 为AC 的中点.. 则1A O AC ⊥，又侧面111A AC C ⊥底面ABC . 面111A A C C底面ABC AC =.所以1A O ⊥平面ABC .又ABC 是等边三角形，且点O 为AC 的中点.. 则BO AC ⊥.所以1||||3OA OB ==. 以1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,所以())()((110,0,0,3,0,0,0,1,0,3,,3O BC C A设面11A BC 的一个法向量为()111,,n x y z =.()()1113,0,3,0,2,0BA AC =-=则11100BA n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11133020x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取()1,0,1n =设面1A BC 的一个法向量为()222,,m x y z =.()()13,0,3,3,1,0BA BC =-=- 则100BA m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即111133030x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩取()1,3,1m = 所以10cos ,25n m n m n m⋅===⨯⋅.所以二面角11C A B C --的余弦值为105. 【点睛】本题考查利用线面平行的性质证明线线平行和利用向量法求二面角，属于中档题.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D . 已知椭圆E 的离心率为53，短轴长为4.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求BCD 面积的最大值.【答案】（1）22194x y +=；（2）证明见解析，直线方程为3x =；（3）274. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆E 的标准方程；（2）设点()00,B x y ，则点()00,C x y -，则2200194x y +=，可知000x y ≠，求出直线AB 、AC 的斜率，进而可求得直线BD 、CD 的方程，联立直线BD 、CD 的方程，求得点D 的横坐标，即可得出结论；（3）由基本不等式可求得00x y 的最大值，进而可求得BCD 面积的最大值.【详解】（1）由题意可得222324c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆E 的标准方程为22194x y +=； （2）设点()00,B x y ，则点()00,C x y -，易知点()30A -,，则2200194x y +=且000x y ≠，直线AB 的斜率为003AB y k x =+，则直线BD 的方程为()00003x y y x x y +-=--， 同理可得直线CD 的方程为()00003x y y x x y --=+， 联立()()0000000033x y y x x y x y y x x y +⎧-=--⎪⎪⎨-⎪-=+⎪⎩，解得3x =，054y y =-，因此，点D 在一条定直线上，且定直线的方程为3x =；（3）由（2）知，点D 的坐标为053,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，02BC x =，000005192244BCD y S x y x y =⨯⨯--=△，由基本不等式可得2200001943x y x y =+≥=，则003x y ≤，当且仅当0032x y =时，等号成立，所以，0099273444BCD S x y =≤⨯=△. 因此，BCD 面积的最大值为274. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明以及三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.23.设常数a R ∈，函数2()2x x af x a+=-（1）当1a =时，判断()y f x =在(0,)+∞上单调性，并加以证明； （2）当0a ≥时，研究()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当0a ≠时，若存在区间[,]()m n m n <使得()y f x =在[,]m n 上的值域为2,2m n⎡⎤⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()y f x =在(0,)+∞上是单调递减.证明见解析（2）见解析；（3）(){}3,01【解析】 【分析】（1）由函数的单调性定义即可证明． （2）由函数的奇偶性定义即可证明．（3）首先证明函数的单调性，当0a <时证明函数()f x 在R 上单调递增，即()2()2mnf m f n ⎧=⎨=⎩，解关于2x 一元二次方程即可；同理当0a >时，求出()f x 单调区间，当函数是单调递减时，则()2()2nmf m f n ⎧=⎨=⎩代入化简即可求解．【详解】解：（1）当1a =时，21()21x x f x +=-任取120x x <<则()()12121221212121x x x x f x f x ++-=--- ()()()()()()122112212121212121x x x x x x +--+-=--()()211211222121x x x x ++-=--∵12x x <∴2111x x +>+∴211122x x ++>∴2111220x x ++->∵1>0x ，20x >∴121x >，221x >∴1210x ->，2210x ->∴()()120f x f x ->即：()()12f x f x >∴()y f x =在(0,)+∞上是单调递减.（2）①当0a =时，2()12xx f x == ∵()1()f x f x -==∴()f x 为偶函数②当0a >时，2()2x x a f x a+=- 20x a -≠，则2log x a ≠01当0a >且1a ≠时，()f x 的定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞定义域不关于原点对称∴()f x 为非奇非偶函数2当1a =时，21()21x x f x +=-，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ 定义域关于原点对称2112()()2112x xx x f x f x --++-===--- ∴()f x 为奇函数.（3）①当0a <时，2()2x x a f x a+=-定义域为R 222()122x x x a a a f x a a-+==+-- ∵2x a -单调递增，∴12x a -单调递减 ∴2()12x af x a =+-R 上单调递增由题意得：()2()2mn f m f n ⎧=⎨=⎩∴222222m m m n nn a a a a⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩222(1)202(1)20m m n n a a a a ⎧-+-=⇒⎨-+-=⎩ ∴12m x =，22n x =是一元二次方程：2(1)0x a x a -+-=的两个不等的正根∴21212(1)40100a a x x a x x a ⎧∆=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩30a ⇒<<②当0a >时，2()2x x a f x a+=-定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞∵当[,]x m n ∈时，()f x 的值域为2,2m n ⎡⎤⎣⎦ ∴2log n m a >>，222()122x x x a a a f x a a-+==+-- 当2log x a >时，()0f x >∵2x a -单调递增，∴22x a a-单调递减 ∴()f x 在()2log ,a +∞上单调递减∴()2()2n m f m f n ⎧=⎨=⎩222222m n m n mn a a a a⎧+=⎪⎪-⇒⎨+⎪=⎪-⎩222222m m n n n m n n a a a a ++⎧+=-⋅⇒⎨+=-⋅⎩ ∴()2222m n m n a -=- ∵m n ≠∴220m n -≠∴1a =综上所述：a的取值范围是(){}3,01.【点睛】本题考查函数的单调性证明、奇偶性证明及利用单调性求值，属于基础题．。
2019-2020学年江苏省南通市通州区高二下学期期中数学试题(解析版)
【详解】
∵ ，且 ，
由
又 能被17整除
能被17整除，结合
故选：D．
【点睛】
本题考查了根据表达式整除来求参数问题，解题关键是掌握二项式定理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布 .已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是（）
二、多选题
9．若 ，则 的值为（）
A．4B．6C．9D．18
【答案】AC
【解析】由 ，可得 或 ，即可求得答案.
【详解】
或
解得： 或
故选：AC
【点睛】
本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
10．直线 能作为下列（）函数的图像的切线.
A． B． C． D．
11．下列说法正确的有（）
A．任意两个复数都不能比大小
B．若 ，则当且仅当 时，
C．若 ，且 ，则
D．若复数 满足 ，则 的最大值为3
【答案】BD
【解析】根据复数定义，复数的几何意义，逐项判断，即可求得答案.
【详解】
A，复数 ,当 时, 为实数,可以比较大小,
A为假命题.
B，复数 ,当 时, 且 ,
可得展开式中常数项为： ，
当 展开式是中常数项为：
令 ,得 (舍去)
故 的展开式中常数项为 .故B错误；
对于C，求其展开式系数的绝对值的和与 展开式系数的绝对值的和相等
，令 ，可得：
展开式系数的绝对值的和为： .故C正确；
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ）A ．B ．C ．4D ．3【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =， 因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，413a b +=+. 故选：D.2．3245A C -=（ ）A ．9B ．12C ．14D ．4【答案】C【分析】利用排列数公式可组合数公式可求得结果.【详解】324554A C 432142⨯-=⨯⨯-=. 故选：C.3．对图中的A ，B ，C 三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）A ．22种B ．18种C ．12种D ．6种【答案】C【分析】根据染色的规则排列组合即可. 【详解】先给A 选色，有13C 种方法； 再给B 选色，有12C 种方法；再给C 选色，有12C 种方法；共有111322C C C 12= 种方法；故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【答案】B【分析】利用二项式定理可得()10101a =-，再利用二项式定理展开即可得解.【详解】因为0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅()()201010129101=+==-0101928910101010C 10C 10C 10C 1011(mod10)=⋅-⋅+⋅--⋅+≡,四个选项中，只有2021b =时，除以10余数是1． 故选：B ．5．已知空间中三点()1,0,0A ，()2,1,1B -，()012C -，，，则点C 到直线AB 的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=- 则点C 到直线AB 的距离为22AC AB d AC AB ⎛⎫⋅⎪=-== ⎪⎝⎭故选：A6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．111222a b c -++B ．111222a b c ++C ．122121a b c +-D ．111222a b c -+【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：A7．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A ．115B ．215C ．415D ．1415【答案】A【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为a b c d ,,,，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：12,1,1,1,1,2,2,2,2,,,,,,a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd 共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出， 因此概率为213015P ==． 故选：A ．8．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的既率D ．事件A ､B 同时发生的概率 【答案】A【分析】根据题意结合条件概率的公式，推出阴影部分的面积，可得其含义，即得答案. 【详解】由题意可知：阴影部分面积为：(|)()(|)(1())()(|)()P A B P B P A B P B P AB P A B P B ⋅+⋅-=+⋅ ()()()P AB P AB P A =+= ,故选：A 二、多选题9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：m n mn n C C -=B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122nn nn n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051= 【答案】ABC【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确； 5505142332415555555111011010101010161051C C C C C C ，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.10．已知空间向量(2,1,1)a =--，(3,4,5)b =，则下列结论正确的是（ ） A ．(2)//a b a +B ．5||3||a b =C ．(56)a a b ⊥+D ．a 与b 【答案】BC【分析】根据空间向量平行的坐标表示，模的坐标运算，垂直的坐标表示，数量积的定义计算后判断．【详解】解：因为2(1,2,7)a b +=-，(2,1,1)a =--，而121211≠≠--，故A 不正确； 因为||6a =，||52b =，所以5||3||a b =，故B 正确：因为2(56)565(411)6(645)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+++⨯--+=，故C 正确；又5a b ⋅=-，cos ,6a b <>==，故D 不正确．故选：BC.11．下列说法中，正确的选项是（ ）． A ．所有元素完全相同的两个排列为相同排列．B ．()()()A 121mn n n n n m =---+．C ．若组合式C C x mn n =，则x m =成立．D ．222232341C C C C C n n +++++=．【答案】BD【分析】根据排列的而定义判断A;根据排列数公式判断B;根据组合数的性质判断C ，D.【详解】对于A ，因为排列是有顺序的，因此元素相同顺序可能不同，这样的排列是不同的排列，故A 错误；对于B ，根据排列数的公式()()()A 121mn n n n n m =---+，正确；对于C ，组合式C C x mn n =，则x m =或x m n += ，故C 错误；对于D ，22223222322323234334441C C C C C C C C C C C C C C n n n n n n +++++=++++=+++==+=，故D 正确， 故选：BD12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ） A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B ．任取一个零件是次品的概率为0.053C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为1553D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053【答案】BCD【分析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，再依次求选项中的概率即可．【详解】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件， 则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，对于选项A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为1()6%30%0.018P AB =⨯=，故错误；对于选项B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()6%30%5%30%5%40%0.053P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故正确；对于选项C ，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2222()(|)()5%30%(|)()150.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 对于选项D ，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为3333()(|)()5%40%(|)()200.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 故选：BCD ． 三、填空题13．若()()()()17217012171111x a a x a x a x -=+++++++，则012317a a a a a +++++=_________．【答案】-1【分析】运用赋值法，令x =0即可求解. 【详解】令x =0，则 ()1711x -=- ， ()()()21701217012171111a a x a x a x a a a a +++++++=++++=- ，故答案为：-1.14．若直线l 的方向向量为()2,0,1v =，平面α的一个法向量为()2,2,0n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为_________．【答案】105【分析】利用空间向量的夹角公式，即可求出直线l 与平面α所成角的正弦值． 【详解】直线l 的方向向量为(2,0,1)v =，平面α的一个法向量为(2,2,0)n =-， ∴直线l 与平面α所成的角的正弦值为410cos ,54144v n -==+⋅+, 故答案为：105． 15．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个223⨯⨯的长方体框架（如图），小红欲从A 处行走至B 处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）【答案】210【分析】由题意分析得路线应该是3次向上,2次向右,2次向前，从而得到答案. 【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有3274C C 210=,故答案为：210 四、双空题16．将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答） 【答案】 240 56【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得．【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有2510C =种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共2454240C A ⋅=种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共3856C =种方法．故答案为：240；56． 五、解答题17．如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==，平面ABCD ⊥平面BCEF .(1)求证：AF ∥平面CDE ；(2)平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得()0,2,4AF =-，求出平面CDE 的一个法向量CB ，计算0AF CB ⋅=，即可证明结论；（2）求得平面ADE 的一个法向量，再求得平面BCEF 一个法向量，根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】(1)证明：∵四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形， ∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又∵平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =， ∴DC ⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意可得以下点的坐标：()2,0,4A ，()2,0,0B ，()0,0,0C ，()0,0,4D ，()0,4,0E ，()2,2,0F ，则()0,2,4AF =-，()2,0,0CB =．∵BC CD ⊥，BC CE ⊥，CD CE C =，CD 、CE ⊂平面CDE ， ∴BC ⊥平面CDE ，∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又()0220400AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，且AF ⊂/平面CDE ， ∴AF ∥平面CDE ．(2)设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =， 则()2,0,0AD =-，()0,4,4DE =-，20440AD n x DE n y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩， 令1y =，可取得()0,1,1n =， ∵DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为()0,0,4CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α， 则42cos 42CD n CD nα⋅==⨯⋅ 因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为π4． 18．（1）解方程：2399x x C C x N -=∈（）；（2）解不等式：1996x x A A x N ->∈（）【答案】（1）3x =或4;x =（2）{}2,3．【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于x 的方程，解得x 的值；（2）根据排列数的公式，得到关于x 的分式不等式，解出x 的范围，再结合x ∈N ，得到答案【详解】解：()1因为2399x x C C -=,所以23x x =-或239x x +-=, 解得3x =或4;x =()19926x x A A ->,解原不等式即()()9!69!9!91!x x ⨯>--+，整理得106x ->，即4x <119x x -≥⎧⎨≤⎩，所以92x ≤≤ 所以得到24x ≤<， 而x ∈N 故2x =或3．∴原不等式的解集为{}2,3．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.19．已知在()12nx +的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．(1)求n 的值；(2)求含2x 的项的系数；(3)求()()6121n x x +⨯+展开式中含2x 的项的系数. 【答案】(1)6n = (2)60 (3)147【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n ；（2）在第一问求出的n 的基础上，写出展开式的通项公式，求出含2x 的项的系数；（3）利用通项公式分别写出()612x +与()61x +的符合题意得项，相乘再相加即可.【详解】(1)∵211C :C =5:22n n n -=， ∴6n =．(2)设()12nx +的展开式的通项为1r T +，则16C 2r r r r T x +=⋅⋅，令2r =． ∴含2x 的项的系数为226C 260⋅=； (3)由（1）知：()()()()666121121n x x x x +⨯+=+⨯+展开式中含2x 项的系数为：220111002666666C 2C 1C 2C 1C 2C 1147⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 所以展开式中含2x 项的系数为14720．今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．(1)求所选3人中恰有1名女医生的概率；(2)设“男医生甲被选中”为事件A ，“女医生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()P B A ． 【答案】(1)35 (2)()12P B =，()25P B A = 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出．【详解】(1)设所选3人中恰有1名女医生为事件M ，()214236C C 3C 5P M ==， 故所选3人中恰有1名女医生的概率为35. (2)()()2536C 1C 2P B P A ===，()1436C 1C 5P AB ==，()()()125|152P AB P B A P A ===． 21．如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=︒，M 是AB 的中点．(1)求证：EM AD ⊥；(2)求点B 到平面EAC 的距离；(3)已知点P 在线段EC 上，且直线AP 与平面ABE 所成的角为45°，求出EP EC 的值． 【答案】(1)证明见解析(2)2155 (3)23EP EC = 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.（2）根据空间向量求点面距离.（3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解.【详解】(1)∵EA EB =，M 是AB 的中点，∴EM AB ⊥，∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，EM ⊂平面ABE ， ∴EM ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴EM AD ⊥.(2)由（1）知EM ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴EM CM ⊥，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， ∴MC AB ⊥．∴,,ME MC MB 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M -xyz ．则()0,0,0M ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()3,0C ，(3E ，()1,3,0AC =，(3AE =，()2,0,0BA =-，设(),,m x y z =是平面ACE 的一个法向量， 则3030m AC x m AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1z =，得()3,1,1m =-，设点B 到平面EAC 的距离为d ，则232155m BAd m ⋅===∴点B 到平面EAC(3)因为y 轴垂直平面ABE ,所以设平面ABE 的法向量为()0,1,0n =(AE =，(EC =，设()0,,EP EC λ==，()01λ≤≤，则()1,AP AE EP =+=，∵直线AP 与平面ABE 所成的角为45°， sin 45cos ,AE nAP n AP n ⋅︒=<>=⋅== 由01λ≤≤，解得23λ=， ∴23EP EC =． 22．请先阅读：在等式()2cos22cos 1x x x =-∈R 的两边求导，得：()()2cos 22cos 1x x ''=-，由求导法则，得()()sin 224cos sin x x x -⋅=⋅-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =⋅．利用上述的想法，结合等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥）． (1)求1231010101010C 2C 3C 10C ++++的值．(2)求证：()212223221C 2C 3C C 12n n n n n n n n n -++++=+． 【答案】(1)5120(2)证明见解析【分析】（1）在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++两边对x 求导，然后令1x =，10n =，可求得所求代数式的值；（2）由（1）可得出()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅，在此等式两边对x求导，然后令1x =可证得结论成立.【详解】(1)解：在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥），两边对x 求导得：()1123211C 2C 3C C n n n n n n n n x x x n x --+=++⋅++⋅①，令1x =，10n =，可得()91291010101010C 2C 9C 10C 10115120++++=⨯+=.(2)证明：①式两边同时乘以x 得()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅②，②式两边对x 求导得：()()()1212223221111C 2C 3C C n n n n n n n n n x n n x x x x n x ---++-+=++⋅++⋅，令1x =，得()()21222321221C 2C 3C C 21212n n n n n n n n n n n n n n ---++⋅++=⋅+⋅-=⋅+.。
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江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限、2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点3.若函数xx x f 1)(2+=,则()=-'1f （）3A.-1B.1C.-3D.4.已知*∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（）79100 A.nA -80100 B.nA -nnA --21100 C.nA -21100D.5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内极小值点个数为()1 A.2 B.3 C.4D.28515 A.C C 28915 B.C C 285390 C.C C -385390 D.C C -7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为()41A.31B.32C.43D.8.若函数bx x x x f -+=221ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)(2, A.+∞,2)2( B.-),2()2,( C.+∞⋃--∞)2,0( D.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 8183>-，则m 的取值可能是（）A.6B.7C.8D.910.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2B.z 的虚部是i2 C.iz 21-= D.5=z 11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为61 B.2个球不都是红球的概率为31C.至少有1个红球的概率为32D.2个球中恰有1个红球的概率为216.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）A.()()2112x f x x f x <B.()()2211x f x x f x +<+C.()()02121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()1222112x f x x f x x f x <+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为_______.14.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)aP n n n n ξ===+，其中a 是常数，则15()22P ξ<<的值为．15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种（数字作答）．16.已知函数2(2)2,1,(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．18.已知二项式(2()n x n N+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项；（3）计算式子061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．19.已知函数32()2(,)f x x ax bx a b R =+++∈的图象在点(1M ，f （1）)处的切线方程为1230x y +-=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[2-，4]的最值．21.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限、【答案】A2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点【答案】C3.若函数xx x f 1)(2+=,则()=-'1f （）3A.-1B.1C.-3D.【答案】A4.已知*∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（）79100 A.nA -80100 B.nA -nnA --21100 C.nA -21100D.【答案】B5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内极小值点个数为()1A.2B.3C.4D.【答案】A6.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）28515 A.C C 28915 B.C C 285390 C.C C -385390 D.C C -【答案】D7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为()41A.31B.32C.43D.【答案】C8.若函数bx x x x f -+=221ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)(2, A.+∞,2)2( B.-),2()2,( C.+∞⋃--∞)2,0( D.【答案】A二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 8183>-，则m 的取值可能是（）A.6 B.7C.8D.9【答案】BC10.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2 B.z 的虚部是i2 C.iz 21-= D.5=z 【答案】CD11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为61B.2个球不都是红球的概率为31C.至少有1个红球的概率为32D.2个球中恰有1个红球的概率为21【答案】ACD12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）A.()()2112x f x x f x <B.()()2211x f x x f x +<+C.()()02121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()1222112x f x x f x x f x <+【答案】BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为_______.【答案】4014.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)aP n n n n ξ===+，其中a 是常数，则15()22P ξ<<的值为．【答案】65【解答】由题意，由所有概率的和为1可得1261220a a a a +++=，54a ∴=15255((1)(2)2226346a a P P P ξξξ<<==+==+=⨯=故答案为：56同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种（数字作答）．【答案】600【解答】分两步，第一步，先选四名老师，又分两类第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有2510C =种不同选法第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有4615C =种不同选法∴不同的选法有101525+=种第二步，四名老师去4个边远地区支教，有4424A =最后，两步方法数相乘，得，2524600⨯=，故答案为60016.已知函数2(2)2,1,(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为．【答案】(-∞，1](,)e +∞ ．【解答】当0a =时，22,1(),1x x x x f x e x ⎧-=⎨>⎩，()f x 在R 上有零点0；当0a <时，函数x y e ax =-在(1,)+∞上无零点，要使()f x 在R 上有零点，则函数2(2)2y x a x a =-++在(-∞，1]上有零点，故△2(2)80a a =+-，即2(2)0a -，该式对任意的0a <都成立；若0a >，要使函数2(2)2y x a x a =-++在(-∞，1]上有零点，则1(2)20a a -++，即1a ，01a ∴<；要使x y e ax =-在(1,)+∞上有零点，则方程0x e ax -=在(1,)+∞上有根，若1a e <，函数x y e ax =-的导函数为0x y e a '=->在(1,)+∞恒成立，则x y e ax =-在(1,)+∞上单调递增，则0y e a >-≥，方程0x e ax -=在(1,)+∞上无根；若a e >，说明1x =时，函数x y e =的图象在y ax =的图象的下方，则在(1,)+∞上两函数图15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不象有交点，即方程0x e ax -=在(1,)+∞上有根．综上，若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为(-∞，1](,)e +∞ ．故答案为：(-∞，1](,)e +∞ ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．【解答】（1）(3)(2)5z i --= ，55(2)33(2)352(2)(2)i z i i i i i +∴=+=+=++=+--+（2）由（Ⅰ）可知5z i =+，()(5)()(51)(5)z a i i a i a a i ∴+=++=-++ ；又()z a i + 是纯虚数，510a ∴-=且50a +≠；解得15a =．18.已知二项式(2()n x n N+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项；（3）计算式子061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．【解答】（1）依题意，12:2:5nn C C =，即5(1)n n n =-，解得6n =；（2）由（1）知6n =．6166(2)2rrrr r T C x C-+∴==3662r rx--由3602r -=，得4r =，∴展开式中的常数项为462C 6460-=．（3）令1x =得061524366662222C C C C +++342516066662223C C C +++=．20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率【解析】甲乙两名运动员每一局获胜的概率都是12记乙以4比1获胜为事件A ，，则A 表示乙赢了3局甲赢了一局，且第五局乙赢3341111()()2228P A C =⋅⋅=记甲获胜且比赛局数多于5局为事件B,其表示甲以4比2获胜或以4比3获胜甲以4比2获胜表示前5局比赛中甲赢了3局，且第6局比赛中甲赢了，故示甲以4比2获胜的概率为33251115()(22232C ⋅=甲以4比3获胜，表示前6局甲赢了3局且第七局比赛中嘉应了故示甲以4比3获胜的概率为33361115()(22232C ⋅=故555==323216P +（B）19.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +2(a ,b ∈R )的图象在点M (1，f （1）)处的切线方程为12x +y -3=0．（1）求a 、b 的值；（2）求f (x )在[-2，4]的最值．【解答】（1）函数f (x )=x 3+ax 2+bx +2的导数为f '(x )=3x 2+2ax +b ，图象在点M (1，f （1）)处的切线方程为12x +y -3=0，可得3+2a +b =-12，3+a +b =-9，解得a =-3，b =-9；（2）由f (x )=x 3-3x 2-9x +2的导数为f '(x )=3x 2-6x -9，可令f '(x )>0，可得x >3或x <-1；f '(x )<0，可得-1<x <3，则增区间为(-∞,-1)，(3,+∞)，减区间为(-1,3)；则f (-1)=7，f （3）=-25，f (-2)=0，f （4）=-18，可得f (x )在[-2，4]的最小值为-25，最大值为7．【解析】(1）求取出的3个球至少1个红色球的概率37397112C P C =-=(2)记取出一个红色球两个白色球为事件B，取出2个红色球1个黑色球为事件C则122123243399()()()42C C C C P B C P B P C C C +=+=+=(3)ξ可能的取值为0，1，2，3．36395(0)21C P C ξ===，12363945(1)84C C P C ξ===，2136393(2)14C C P C ξ===，33391(3)84C P C ξ===．则ξ的分布列为：ξ0123P521458431418421.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．【解析】：（1）'()(1)xf x kx k e k=+--1'()()x x xf x xe e k e -=-+要想切线斜率与k 无关，即要10xxxe e +-=令1()xxg x xe e =+-显然(0)0g =，故00x =是其中一个解。