江苏南通高三数学试题
江苏省南通市2024届高三年级第一次调研测试数学试卷(附答案)
江苏省南通市2024届高三年级第一次调研测试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （ ）A. {}2,1--B. {}0,1C. {}0,1,2D. {}0,1,2,32 已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（ ） A. 25B. 16C. 9D. 53. 若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（ ）A.19B.13C. 3D. 95. 从正方体八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（ ） A. 每个面都等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（ ）.的是A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 8990918892则（ ）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（ ） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（ ） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC 和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===．的（1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列． （1）求{}n a 通项公式；（2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，离心率为2．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ． （1）若22k =，求3k ； （2）证明：()213k k k +为定值．21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． （1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <． 22. 已知函数()ln a f x x x=-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x的零点，1m n a ==+．①证明：0m x n ＜＜； ②探究0x 与2m n+的大小关系．的答案解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （ ）A.{}2,1-- B.{}0,1 C.{}0,1,2 D.{}0,1,2,3【答案】C 【答案解析】【详细分析】根据题意，由集合的交集运算即可得到结果. 【答案详解】因为{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，所以A B = {}0,1,2.故选：C2.已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（ ）A.25 B.16C.9D.5【答案】A 【答案解析】【详细分析】根据给定条件，求出,z z ，再利用复数乘法运算计算即得.答案详解】由8,6i z z z z +=-=，得43i,43i z z =+=-，所以()()43i 43i 25z z ⋅=+-=.故选：A3.若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【答案解析】【详细分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【答案详解】由题意8a b λμ⇔= ∥，则“8λμ=”是“a b ∥”的充要条件. 故选：C ．【4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（ ）A.19B.13C. 3D. 9【答案】B 【答案解析】【详细分析】根据等比数列通项和已知条件求出公比，然后代入即可. 【答案详解】设等比数列公比为q ，24623a a a =+，即2422223q q a a a =+，所以24123q q =+，所以213q =，由25247325113a a q q q a a q --===--，故选：B ．5. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（ ） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个详细分析判断即可. 【答案详解】如图，11D BAC -每个面都是等边三角形，A 不选；11A DD C -每个面都是直角三角形，B 不选；1D ABC -三个面直角三角形，一个面等边三角形，C 不选，选D ．故选：D.的6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【答案解析】【详细分析】将直线与抛物线联立方程组，Δ0=求出p ，得点M 坐标得解.【答案详解】设抛物线C 的焦点为F ，联立212y x x py=-⎧⎨=⎩，消y 可得2220x px p -+=，因为直线与抛物线相切，则2480p p ∆=-=，0p > ，2p ∴=，()2,1M ∴，1122M pMF y ∴=+=+=. 故选：B.7. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（ ） A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<【答案】C 【答案解析】【详细分析】方法一：设()()2f xg x x =利用导数得到函数单调性，从而求解； 方法二：设()1,f x =特例法得解.答案详解】方法一：∵()()2xf x f x '<，∴()()()'2320f x xf x f x x x ⎛⎫-⎝⎭'=< ⎪, 设()()2f xg x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递减， 所以()()()2e 4g g g >>，()()()22e 44e 16f f f ∴>>， 即()()()224e 216e e 4f f f >>，故C 正确．【方法二：设()1,f x =又22e 164e <<，C 正确． 故选：C8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【答案解析】【详细分析】由已知作图如图所示，设AEF α∠=，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果.【答案详解】如图所示，10,20EF FG ==， 令AEF α∠=，则10sin ,2AF AFE παα=∠=-，则BFGa ?，20cos ,20sin ,2BF BG BGF πααα==∠=-，则,10cos CGH CG αα∠==∴周长()()22210sin 20cos 220sin 10cos AB BC αααα=+=+++π60sin 60cos 4ααα⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭故选：D ．【点评】关键点评：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲8791908993乙 89 90 91 88 92则（ ）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差 【答案】BC 【答案解析】【详细分析】由中位数、极差的概念即可判断AC ，由平均数、方程计算公式即可验算BD. 【答案详解】甲的极差93876-=，乙的极差92884-=，A 错． 甲的平均数8791908993905++++=，乙的平均数8990918892905++++=，B 对．甲的中位数90，乙的中位数90，C 对．2==，D 错.故选：BC ．10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据函数的对称性及奇偶性可得()f x 是周期为4的函数，然后结合条件即可求解. 【答案详解】由()f x 为奇函数，即函数()f x 的图象关于()0,0对称， 又()()11f x f x +=-，则()f x 的图象关于1x =对称， 所以(2)()()f x f x f x +=-=-， 则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴为周期函数且周期为4T =，B 对．所以()()311f f =-=，A 对． 而(4)()()f x f x f x -=-=-，C 错．由上可知()()200f f =-=，()()400f f ==，所以()()()()()123410100f f f f f +++=--+++=，则181()(1)(2)1k f k f f ==+=-∑，D 对．故选：ABD ．11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（ ） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A 、B ，设(),M x y ，若MQ =，推出恒成立，即可判断C 、D.【答案详解】圆22230x y x ++-=即()2214x y ++=，圆心()1,0C -，半径2r =，又()0,1P ，所以CP =，因为点M 在圆22230x y x ++-=上，所以2MP ⎡∈+⎣，所以存在点M ，使得1MP =，故A 对．因为()2211284++=>，所以点Q 在圆外，又2CP r =<=，点P 在圆内，所以当QM 与圆C 相切时，MQP ∠取最大值， 此时π4MQP ∠=，所以π4MQP ∠≤，故B 对．对于D ，设(),M x y ，若MQ =222MQ MP ⇔=2222(1)(2)2(1)x y x y ⎡⎤⇔-+-=+-⎣⎦22230x y x ⇔++-=，又点M 在圆22230x y x ++-=上，MQ ∴=一定成立，故D 对，C 错.故选：ABD ．12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（ ） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】对于A ，2301ππ3V R d d =-，3102π3V R V =-化简即可验算；对于B ，3202π3V R V =-化简即可验算；对于C ，21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将2R d =代入即可判断；对于D ，求()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-的最小值即可. 【答案详解】2301ππ3V R d d =-（同底等高），()()3233232121πππππ23()23333V R R d d R R d d R d R d =-+=-+=-+，A 对．()()()323221ππππ223339V R R d d R d R d R d =+-≠+-+，B 错． ()221323232π121()2321πππ23133R R R d R d V d d V R R R R d d d d ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，2Rd=，121551612127V V ⨯∴==+-，C 对． 对于D ，,33R R d d ≤∴≥时，()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-， ()()()()223223232121231,0231231x x x x f x f x x x x x --+==>+-+-'， ()f x 在[)3,+∞ ，()()7320f x f ≥=，D 对． 故选：ACD.【点评】关键点评：判断D 选项的关键是首先得到21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后通过换元求导得函数最小值即可验证，从而顺利得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】23-##23- 【答案解析】【详细分析】根据定义域代入计算可得答案.【答案详解】21log 32112log 211333f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：23-. 14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．【答案】 ①. 8 ②. 16 【答案解析】【详细分析】由二项展开式结合分配律可得第一空答案，由赋值法可得第二空答案. 【答案详解】4432(2)8243216x x x x x +=++++，2x 的系数为232248a =-=， 令0x =，0116a -⨯=，即016a =-；1x =，0123450a a a a a a =+++++，1234516a a a a a ∴++++=.故答案为：8；16.15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案解析】【详细分析】由题意得π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ，结合题意可得ω，然后代入求值即可.【答案详解】π2sin 4i x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭()πsin ,1,242i x i ω⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭， 所以，π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ， ()ππ22π,,2sin 23334f x x ωω⎛⎫∴⨯=∴==+ ⎪⎝⎭，所以ππππ2sin 2sin 81243f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．【答案】3【答案解析】【详细分析】根据椭圆定义用a 表示1122||||||||PF QF PF QF 、、、，再利用余弦定理可解. 【答案详解】设1||PF m =，则1||4QF m =，又222||5||,PF QF =由椭圆定义，()()22524,a m a m -=-得3am =， 所以1122452,,,,3333a a a a PF QF PF QF ==== 又因为12//PF QF ，所以1221cos cos 0PF F QF F ∠+∠=，2222221254164499990,1524223333a a c a a c a a a a +-+-∴+=⋅⋅⋅⋅所以3c e a ==．故答案为：3. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见答案解析（2）7【答案解析】【详细分析】（1）由等腰三角形三线合一得OC AB ⊥，由线面垂直的性质得PO OC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，然后利用向量夹角公式即得. 【小问1答案详解】C 为底面圆周上一点，CA CB ∴⊥，又2,AC AB BC ==∴= ，又O 为AB 中点，OC AB ∴⊥， 又PO ⊥ 底面ABC ，OC ⊂底面ABC ，PO OC ∴⊥，又,AB PO O ⋂=,AB PO ⊂底面PAB ， OC ∴⊥平面PAB ．【小问2答案详解】PO ⊥ 底面ABC ，,OC OB ⊂底面ABC ，所以,PO OC PO OB ⊥⊥， 又因为OC AB ⊥，所以以O 为原点，,,OC OB OP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为2,PC AB AC ===，(()(),0,1,0,1,0,0PO P B C ==∴ ，(()0,1,,1,1,0PB BC ∴==-，设平面PBC 的一个法向量()1,,n x y z =，由11ꞏ0ꞏ0n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，00y x y ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩，取1z =，所以)1n = ，而平面APB 的一个法向量()21,0,0n =，设二面角A PB C --平面角为θ，显然θ为锐角，1212cos 7n n n n θ⋅∴=== ．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===． （1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ． 【答案】（1）3π4（2）2AD = 【答案解析】详细分析】（1）由两角和正切得tan 1A =-，进一步得3π,sin 4A C B ===，结合正弦定理即可求解.（2）由222BD AD CD =+结合余弦定理即可求解.【【小问1答案详解】()17tan tan 20tan tan 131tan tan 120B CA B C B C +=-+=-=-=---， 且(),,0,πA B C ∈，3π,sin 4A C B ∴=== 在ABC中，6sin sin 3c b c C B =⇒=⨯=． 【小问2答案详解】 设,6AD x CD x =∴=-，222282(6)2BD x x x ⎛⎫∴=+-⋅⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 2162802x x x ⇒-+=⇒=或，1406x << ，2x ∴=，即2AD =．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ． 【答案】（1）21n a n =- （2）{}8,11A =． 【答案解析】【详细分析】（1）首先根据条件和等差数列的定义，得{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可得； （2）由（1）得，122721k a n n =++-，根据k a 为正奇数，得到1221n -为正整数即可解出. 【小问1答案详解】n a成等差数列，()2141n n n a S a ∴+==+①， ()21141n n S a ++=+②，222211111422,220n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++-⇒=-+-∴---=②①，()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以12n n a a +-=，且()211141,1a a a =+∴=， 所以{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，()12121n a n n ∴=+-=-．【小问2答案详解】 由（1）得，()()()2132125(21)821121227212121n n k n n n n n a a a n a n n n ++++-+-+====++---k a 为正奇数，又21n -为正奇数，∴1221n -为正整数． 所以211,3n -=，2n ∴=或1n =，当1n =时，212111;2k k n -===，时，21158k k -==，，{}8,11A ∴=．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ． （1）若22k =，求3k ； （2）证明：()213k k k +为定值． 【答案】（1）32k =-（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线MN 的方程，联立方程组，由韦达定理可解；（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得12k k ，再结合（1）中结论即可得证. 【小问1答案详解】由题意知2222212a a cb a a bc =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，双曲线：2214x y -=．易知直线MN 的斜率不为零，所以设直线MN 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，22444x my x y =+⎧∴⎨-=⎩，得()2248120m y my -++=， 则()()()222Δ8441216120m m m =--⨯=+>，则121222812,44m y y y y m m +=-=--， ()()()12121223212121212222224y y y y y y k k x x my my m y y m y y ∴=⋅==--+++++ 2222123412842444m m m m m m -==--+⋅+--，23,22k k =∴=-． 【小问2答案详解】因为2121111222111111422444x y y y k k x x x x -=⋅===+---，()2131223131442k k k k k k k ∴+=+=-=-为定值．.21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． （1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <． 【答案】（1）50343（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）先求一位顾客中奖的概率，然后求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）欲求随机变量X 的分布列，需先求随机变量X 可取的数值，然后求得其相应的概率，根据数学期望的公式求得随机变量X 的期望. 【小问1答案详解】一位顾客中奖的概率为21335338C C C 2C 7⋅+=， ∴仅有最后一位顾客中奖的概率55250777343P =⨯⨯=． 【小问2答案详解】X 的所有可能取值为0,1,2,,n ，()()()()15252520,1,2,,777777n n P X P X P X P X n -⎛⎫⎛⎫======⨯==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ X 的分布列如下：X12Ln()2125551237777n E X n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 令()221555512317777n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①， ()()221555555221777777n n n n S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②， ①-②2125555177777n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51175757217n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭- ()492497,4742n S E X ∴<∴<⨯=． 22. 已知函数()ln a f x x x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x 的零点，1m n a ==+． ①证明：0m x n ＜＜；②探究0x 与2m n +的大小关系． 【答案】（1）答案见答案解析（2）①证明见答案解析；②02m n x +<． 【答案解析】【详细分析】（1）求导讨论0a ≥和<0a 两种情况，根据导数的正负得到单调区间. （2）①证明：由()f x 在()0,∞+上单调递增，0m x n <<⇔()()0f m f n <<，()f m f ==，()()ln 11a f n a a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性进而求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，证得结果；②()1ln 22m n a f h a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭利用导数证明函数()h a 在()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=，即证得()002m n f f x +⎛⎫>= ⎪⎝⎭，由()f x 的单调性即可证得结果.【小问1答案详解】()221a x a f x x x x='+=+． 当0a ≥时，()()0f x f x '>，单调递增；当0a <时，令()0f x x a =⇒=-' ()f x 在()0,a -上单调递减；(),a ∞-+上单调递增．【小问2答案详解】①证明：()f x 在()0,∞+上单调递增， 要证：0m x n <<⇔证()()0f m f n << 而()f m f ==令()g a =， ()1021g a a ==='<+，()g a ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g a g <=． ()0,f m ∴<()()()1ln 1ln 1111a f n a a a a =+-=++-++， 令()()1ln 111p a a a =++-+，则()()()22110111a p a a a a =-=>+++'()p a ∴在()0,∞+上单调递增，()()00p a p >=． ()0f n ∴>()()00f m f n m x n ∴<<⇒<<．②()1ln 22m n a f h a +++⎛⎫== ⎪⎝⎭()h a ='====0=> ()h a ∴()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=()0022m n m n f f x x ++⎛⎫∴>⇒< ⎪⎝⎭． 【点评】思路点评：本题利用函数的单调性将问题0m x n <<转化为()()0fm f n<<，()f m f ==，()()ln 11a f na a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性通过求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，得出()()0f m f n <<.在。
南通高考数学试题及答案
南通高考数学试题及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(1)的值为：A. 3B. 5C. 7D. 92. 已知向量a=(2,1)，b=(1,-1)，则向量a+b的坐标为：A. (3,0)B. (3,-2)C. (1,2)D. (1,-2)3. 若直线l的方程为y=2x+3，则该直线的斜率为：A. 2C. 3D. -34. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2+b^2=c^2，以下哪个选项是正确的？A. 三角形ABC是直角三角形B. 三角形ABC是等腰三角形C. 三角形ABC是等边三角形D. 无法确定三角形ABC的类型5. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 0D. -16. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：B. 2C. 3D. 47. 若复数z=a+bi满足|z|=1，则实数a和b满足的条件是：A. a^2+b^2=1B. a^2-b^2=1C. a^2+b^2=0D. a^2-b^2=08. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求导数f'(x)的值为：A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. 3x^2-6x+1D. 3x^2-6x-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值。
10. 若直线l的方程为x+2y-5=0，求该直线与x轴的交点坐标。
11. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，求该数列的前5项和。
12. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求该函数的顶点坐标。
三、解答题：本题共4小题，共90分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13. (本题满分15分) 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求证：(1) f(x)在(-∞,1)上单调递增；(2) f(x)在(1,+∞)上单调递减。
2025届江苏省南通市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2025届江苏省南通市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-2．已知函数()xe f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 3．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥4．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②C ．②③D ．③5．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(2,3]C ．(2,5]D ．(3,5]7．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或88．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>9．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28B ．14C ．7D ．211．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） A ．2B ．98C ．1D ．7812．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．12i -D ．12i +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市(新版)2024高考数学苏教版测试(综合卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学苏教版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题椭圆＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍第(2)题某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第百分位数定为“优秀”分数线.某次考试后，张老师将自己所带名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作成如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为（）A．B．C．D．第(3)题在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形第(4)题设，则（）A．84B．56C．36D．28第(5)题从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（）A．B．C．D．第(6)题若实数、满足，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．第(7)题已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(8)题已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在单调递减D．为奇函数第(2)题已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（）A．复数的虚部为B．C．的最大值D．的最小值为第(3)题已知正实数a，b满足，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知在平面直角坐标系中椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上不同于四个顶点的任意一点，延长线段到，若在轴上存在一点，满足，垂足为，则__________.第(2)题设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点，使得在以线段为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率为__________．第(3)题在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题为了解果园某种水果的产量情况，随机抽测了100个水果的质量（单位：克），样本数据分组为，，，，，，其频率分布直方图如图所示.(1)从样本中质量在，的水果中用分层抽样的方法抽取6个，再从这6个水果中随机抽取3个，记为质量在中的水果个数，求；(2)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如下表所示：质量（单位：克）等级规格二等一等特等销售价格（元/个）4710试估计果园该种水果的销售收入.第(2)题在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．第(3)题已知抛物线上一点的横坐标为4，且到焦点的距离为5，(1)求抛物线的方程；(2)点是抛物线上异于原点的不同的两点，且满足，求的最小值．第(4)题在等比数列{}中，．(1)求{}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和S n．第(5)题已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线l的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程；(2)若曲线和曲线与直线l分别交于非坐标原点的A，B两点，求的值.。
江苏省南通市(新版)2024高考数学统编版考试(综合卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题将一副三角板排接成平而四边形ABCD （如图），，将其沿BD 折起，使得而ABD ⊥面BCD ．若三棱锥A -BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A．B．C．D．第(2)题“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第(3)题对于，给出下列四个不等式：①；②；③；④；其中成立的是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④第(4)题法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）A．B．C．D．第(5)题南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示．若输出的的值为56，则程序框图中①处可以填入（）A．B．C．D．第(6)题已知等比数列的前三项和为，则（ ）A．81B．243C．27D．729第(7)题在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．B．C．D．第(8)题若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题计算下列各式的值，其结果为2的有（）A．B．C．D．第(2)题设函数，则（）A ．的一个周期为B．在上单调递增C．在上有最大值D．图象的一条对称轴为直线第(3)题已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______.第(2)题养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼，做好标记后放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有4条鲤鱼被标记，据此估计该池塘里鲤鱼大约有________条．第(3)题某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为________；甲5个轮次通过的次数的期望是_____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术，某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额（单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额和收入附加额成线性相关．投资额（百亿元）234568911收入附加额（百亿元） 3.6 4.1 4.8 5.4 6.27.57.99.1(1)求收入的附加额与研发投资额的线性回归方程（保留三位小数）；(2)现从这8家企业中，任意抽取3家企业，用表示这3家企业中收入附加额大于投资额的企业个数，求的分布列及数学期望．参考数据：，，．附：在线性回归方程中，，．第(2)题如图，(1)求证:;(2)求PB与面ABC所成角的正切值．第(3)题已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，上顶点为，直线（为椭圆的半焦距）与轴交于点，且的面积为（为坐标原点）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为的右焦点，经过的直线与交于，两点，且直线，分别交于点，，证明：点是线段的中点．第(4)题如图所示，ABCD为矩形，PD垂直于平面AC，平面PBC与底面AC所成的角是45，M为PC的中点，证明:DM⊥平面PBC第(5)题在直三棱柱中，，M、N分别为棱BC和的中点，点P是侧面上的动点.(1)若平面AMN，试求点P的轨迹，并证明；(2)若P是线段的中点，求二面角的余弦值.。
2025届江苏省南通市南通第一中学高三数学第一学期期末考试试题含解析
2025届江苏省南通市南通第一中学高三数学第一学期期末考试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85B ．852C ．35D ．3522．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．3．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸6．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,27．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦8．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}9．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 12．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市(新版)2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知为虚数单位，，满足，则（）A．0B．1C．2D．3第(2)题函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为A．B．1C．D．第(3)题（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(5)题如果直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（ ）A．B．C．D．第(6)题如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．第(7)题已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知函数有唯一零点，则A．B．C．D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（）注：，A．2020年10月，全国居民消费价格同比下降B．2020年11月，全国居民消费价格环比下降C．2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高D．2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格第(2)题一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，函数在区间上单调递增，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，则复数在复平面内对应的点的坐标为__________．第(2)题已知是抛物线上一动点，是圆关于直线的对称的曲线上任意一点，则的最小值为_______________________．第(3)题空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数恰有一个零点，且（Ⅰ）求a的取值范围（Ⅱ）求的最大值第(2)题已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：.第(3)题已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，为等腰三角形，当轴时，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线不与坐标轴垂直，线段的中垂线与轴交于点，若直线的斜率为，求直线的方程．第(4)题已知函数，．（1）令，讨论函数的单调性；（2）令，当时，若恒成立，求实数的取值范围．第(5)题的内角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．。
江苏省南通市部分学校2024-2025学年新高三阶段性学业水平阳光测评数学试卷
江苏省南通市部分学校2024-2025学年新高三阶段性学业水平阳光测评数学试卷一、单选题1．若集合{}1,0,2A =-，{}B x x A =∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,2 B ．{}1,0,2-C ．{}2,1,0,2--D ．{}1,0,1,2-2．设向量a r ，b r，c r ，满足0a ≠r r ，a b a c ⋅=⋅r r r r ，()//a b c +r r r ，则（ ）A ．b c =r rB ．22b c =r rC ．b c ⊥r rD ．//b c r r3．设R m ∈.下列选项中，12m m+>的充要条件是（ ） A ．0m ≠B ．1m ≠C ．21m ≠D ．3m m ≠4．采用分层随机抽样方法对某校共600名高三年级学生的身高（单位：厘米）进行调查，估计得到该年级男生、女生和全体学生的平均身高分别为170.0，160.4，165.6，则该年级的男生人数约为（ ） A ．315B ．320C ．325D ．3305．设两个等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若3n n n S T n n =⋅-，则55a b =（ ） A ．162B ．524C ．890D ．12106．图1是一尊名为“何尊”的西周青铜酒器，其高38.5厘米，器口直径28.6厘米.何尊内底铭文中出现了“宅兹中国”四字（图2），这是已知“中国”一词最早的文字记载，标志早期“中国”概念形成和发展过程中的关键节点.某同学为估算何尊的容积，设计了一个与之等高、等口径的组合体（图3）.该组合体由一个圆柱和一个圆台构成，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，圆柱与圆台的高之比为3:2，圆台的上、下底面积之比为9:25，则该组合体的体积约为（ ）A ．11.8升B ．12.7升C ．13.6升D ．14.5升7．设z ∈C ，且()()5 54z z ++=，则2z 的实部的取值范围为（ ） A ．[]8,36 B ．[]9,49 C ．[]10,64D ．[]11,818．在同一坐标系中，直线0ax by c ++=与圆220x y ax by c ++++=的图形情况可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为面11A ADD 的中心.记直线1BD 为1l ，直线BO 为2l ，直线1AC 与1AD 所成角为γ，平面OBD 与平面ABCD 所成锐二面角为δ，则（ ）A ．sin γ=B ．cos δ=C ．与点A 关于1l 对称的点在正方体内D ．与点C 关于2l 对称的点在正方体外10．已知抛物线C ：22y x =的焦点为,F N 是C 的准线上一个定点.在C 上任取一点M ，若3MN MF ≤，则点N 的纵坐标可能为（ ）A ．B ．65-C ．13D 11．设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()tan sin ααβ=+，则（ ）A ．()tan tan 0ααβ++<B ．()cos cos 0ααβ++<C ．πsin sin 022βα⎛⎫+-> ⎪⎝⎭ D ．()sincos 02βαβ++>三、填空题12．已知{n x }是公差不为0的等差数列.现从123456,,,,,x x x x x x ，这组数据中随机删除2个数，得到一组新的数据.这两组数据的极差相同的概率为.13．设函数()10100e x f x x =+，并记()n f x 为()1n f x -的导函数，其中*n ∈N ，若存在实数p 和q ，使得函数()N f x 满足()()()0N N f x p f x q q =⋅+≠，则N 的最小值为.14．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，离心率为2，左、右焦点分别为1F 和2F .P 为C 上位于第一象限内的点，线段2PF 的延长线与圆2F ：()2224x c y a -+=交于点Q ，且线段1QF 的中点在圆2F 上，则1tan F PQ ∠=.四、解答题15．粮稳则天下安.粮食安全是关乎全局和长远的战略问题，要确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中.现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期（单位：天），按从小到大排序结果如下： 96 97 100 103 106 107 107 108 110 110 113 116 121 129 131已知这组样本数据的第10百分位数、中位数、第80百分位数分别为a ，b ，c .(1)求a ，b ，c ；(2)在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间（a ，c ）的稻株记为“甲类”，其余记为“乙类”.现从该品种水稻中随机抽取4株，设其中甲类有X 株，求X 的分布列和数学期望（以样本中甲类稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于甲类的概率）.16．已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，()ln h x kx =，且()()()()2332f g f g >. (1)若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；(2)若()()()u x f x h x =-，()24f =，且()0u x ≥，求k 的取值范围；(3)若()()()u x g x h x =，()21f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 到直线4x =的距离与点P 到点()1,0F 的距离之比为常数2.记P 的轨迹为C ，曲线C 的上顶点为B . (1)推导C 的标准方程；(2)过B 的直线与C 相交于另一点A .若ABF △AB 的方程.18．如图，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 为边AB 的中点.S 是平面ABC 外的一点，且有()()20SA SB SC AB AC SC +⋅=+⋅=u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.(1)证明：SC SD ⊥；(2)已知1DE =，SD =3SE =，直线BC 与平面SDE . （i ）求SDE V 的面积； （ii ）求三棱锥S ABC -的体积.19．已知数列{n a }满足53ππ44n n a n ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1π5π,22n n a a +⎧⎫-∉⎨⎬⎩⎭，且1sin cos n n a a +=.(1)若1π4a =，求2a ，3a ，4a .(2)证明：数列{}1n n a a ++为等差数列；(3)设数列{}n b 的通项公式为cos n b n ω=.若数列{n n a b +}为等差数列，求1a .。
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高三年级第一学期教学质量调研（三）
数学试题
一、填空題：本大题共
14小题，每小题
5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
.
1.已知集合
1
()12
x
A
x ，集合lg 0B x x ，则A B
▲?
2.若复数z 满足
1234z i i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是
▲ ?
3.右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是▲ .
4.现把某类病毒记作
m n X Y ,其中正整数6,8(m n m
n ，）可以任意选
取，则m n ，都取到奇数的概率为▲
5?在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若中间一个小长方
形的面积等于其他7个小长方形的面积的和的1
5
,且样本容量为120,则中间一组的频数是
▲
_?
6.若双曲线
22
2
2
10,0x y a b
a
b
与直线3y
x 有交点，则离心率e
的取值范围为▲ .
7. 等比数列n a 中，11a ,前
n 项和为n S ,满足654320S S S ，
则5S =
▲
?
8.如图，在正三棱柱111ABC
A B C 中，已知13AB
AA ,点P 在棱1CC 上，
则三棱锥1P ABA 的体积为
▲.
9.已知
1sin cos
,05
,则
2
sin
sin 2
▲ .
11?定义：如果函数
y
f x 在区间,a b ,可上存在00
(x a x b ）,满足
f b
f a f
x b
a
,则称0x 是函数y
f x 在区间,a b 上的一个均
值点.已知函数
1
42x
x f x m 在区间[［0,1］]上存在均值点，则实数加的取值范围是
▲ .
12.已知
1,01a b ,且444 3
0ab a b ,则
12a
b
的最小值为. ▲?
13．已知
ABC 中，3,1AB AC ,且31AB AC
R 的最小值为
332
，若
P 为
边
AB 上任意一点,则PB PC 的最小值是
▲ .
14.已知函数
3
2
41f x
x
ax
x 在0,2上是增函数，函数
ln 2ln g x x a x ,若
3
12
,,x x e e （e 为自然对数的底数）时，不等式1
2
5g x g x 恒成立，则实数a 的取值范围是
▲ .
二、解答題：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答
.解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤
.
15．（本小题满分
14分）
已如函数2
13cos 22sin
4
f x x x
⑴求
f x 的最小正周期和单调递减区间；
⑵若方程
0f x
m 在区间
,
4
上有两个不同的实
数解,求实数m 的取值范围。
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥
P ABCD 中,底面ABCD 是矩形,点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交
于点F.
⑴求证：AB EF ；⑵
PA AD ,且PA
CD ，求证：AF
平面
FCD .
17?(本小题满分14分)
已知椭圆
22
22
:10
x y
C a b
a b
的离率为
1
2
，并且椭圆C过点
3
1,
2
(1) 求C的方程；
(2) 直线l为椭圆C的右准线，直线l与x轴的交点记为F,过右焦点F的直线与椭圆C交
于两点.设点M在直线l上，且满足MF AB，若直线OM与线段MB交于点
D。
.求证：点D为线段AB的中点.
18.(本小题满分16分)
某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积?如图，两海岸线
OA,帥所成角为2
3
，现欲在海岸线OA OB
，上分别取点,P Q修建海堤，以便围成三角形陆地
OPQ,已知海堤PQ长为6千米.
(1) 如何选择P Q
，的位置，使得OPQ的面积最大；
(2) 若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤PQ的另一侧选取点修建海堤,
MP MQ围成四边形陆地?当海堤与的长度之和为10千米时，求四边形MPOQ面积的最大值.
19. (本小题满分16分) 已知数列n a 的前n 项和n S 满足231n
n
S a n N
.
(1)
求数列
n a 的通项公式；
(2)
记1
11
n
n
n n
a b a a ，n T 是数列
n b 的前n 项和，求证：14
n
T n N
；
(3)
记2n n
n
a c a ，是否存在互不相等的正整数加
,,m s t ,使,,m s t 成等差数列，且
511,1,1m c c c 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的加
m,s,t ；如果不存在，请说明理由.
20. (本小题满分16分) 已知函数3
32,0f x x
ax a ?
(1) 当 2a 时，求函数y f x 的单调递增区间；
(2) 若函数y
f x 只有一个零点，求实数
a 的取值范围;
(3)
当0
1a 时，试问：过点2,0P 存在几条直线与曲线y f x 相切？。