2.1不等式与不等关系
高数数学必修一《2.1.1不等关系与不等式》教学课件
用作差法比较两个实数大小的一般步骤
跟踪训练2 已知x∈R，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．
解析：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x2. ∵x2≥0，∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)≥0， 即(x2＋1)2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时取等号．
答案：C
解析：由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工 资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元，设木工x人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )
题型 2 作差法比较大小 【问题探究2】 在初中我们学过数轴上的点与实数一一对应，可以 利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定 的呢？
提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当 点A在点B的右边时，a>b.
例2 比较下列各组中代数式的大小． (1)2a(a＋2)与(a－1)(a＋3)，其中a>0； (2)2a2＋2b2与(a＋b)2.
解析：(1)(2a2＋4a)－(a2＋2a－3)＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0， 故2a(a＋2)>(a－1)(a＋3)． (2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝2a2＋2b2－a2－2ab－b2 ＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2， 因为(a－b)2≥0，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2.
题后师说
A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200 C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200
第二章2.1-2.3不等关系;不等式的基本性质;不等式的解集
一、考点突破1. 了解不等式的意义，能够根据具体问题中的数量关系理出不等式（组）；2. 理解并掌握不等式的基本性质，能够利用不等式的基本性质比较两个数（或式子）的大小；3. 了解一元一次不等式（组）的解的意义，能够利用不等式的基本性质解不等式，且能够在数轴上表示或判定其解集．二、重难点提示重点：不等式的基本性质及应用其解不等式，并在数轴上表示出不等式的解集。
难点：理解方程与不等式之间的区别和联系。
微课程1：不等关系【考点精讲】考点1：不等式的定义：一般地，用不等号连接的式子叫不等式。
考点2：不等号：＞，≥，<，≤，≠说明：（1）用“≥”来表示的字眼：“不小于”，“至少”“不低于”……；（2）用“≤”来表示的字眼：“不大于”，“至多”“不超过”……。
考点3：列不等式考点4：不等式和方程的区别：（1）从定义上来看，不等式是表示不等关系的式子；而方程是含有未知数的等式；（2）从符号上来看，不等式是用“＞”“＜”“≥”或“≤”来表示的；而方程是用“＝”来连接两边的式子的；（3）从是否含有未知数上来看，不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数；而方程则必须含有未知数。
【典例精析】例题1 用适当的符号表示下列关系：（1）x的13与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%； （5）小明的体重不比小刚轻。
思路导航：（1）非正数用“≤”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重，用“≥”表示。
答案：（1）120;3x x +≤－x ）元，则84(10)72x x +-≤点评：本题考查列不等式，解题关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等关系式。
注意本题的不等关系为：至少含有4200单位的维生素C ，购买甲、乙两种原料的费用不超过72元。
专题2-1 不等关系与不等式性质(知识讲解)-八年级数学下册(北师大版)
专题2.1 不等关系与不等式性质（知识讲解）【学习目标】1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系.3. 掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c )．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：（1）a与2的和是正数．（2）x与y的差小于3．（3）x，y两数和的平方不小于4．（4）x的一半与y的2倍的和是非负数．【答案】（1）a+2＞0 （2）x-y＜3 （3）(x+y)2≥4 （4）12x+2y≥0【分析】结合不等式的定义以及题意列不等式即可．（1）因为正数都大于0，所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2＞0（2）“x与y的差小于3”可表示为：x-y＜3（3）因为“不小于3”就是“大于或等于”，所以“x，y两数和的平方不小于4”可表示为：(x+y)2≥4（4）因为“非负数”就是“正数或0”，所以“x的一半与y的2倍的和是非负数”可表示为：12x+2y≥0【点拨】本题考查了列不等式，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．如5x>，像3x≠这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意①常见的符号有“＞、＜、≠、≥、≤”，分别读作“大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于”．其中“≥”又读作“不小于”，“≤”又读作“不大于”．①在不等式“a b>”或“a b<”中，a叫不等式的左边，b叫不等式的右边．①在列不等式时，一定要注意表示不等式关系的关键词，如：正数、非负数、不大于、至少等．举一反三：【变式1】有两种商品其单价总和超过100元，且甲商品的单价是乙商品单价的2倍少10元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；【答案】设乙商品的价格为x元，x+2x-10＞100【分析】设乙商品的价格为x元，表示出甲商品的价格，然后根据两商品的单价总和超过100元，列不等式即可．解：设乙商品的价格为x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，由题意得，x+2x-10＞100．即不等式为：x+2x-10＞100．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．【变式2】通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄；通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量的部位，某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，这棵树至少生长多少年，其树围才能超过2.4m？根据题意，完成下面填空：（1）题目涉及的两个有关系的量，分别是：_____________________________；（2）设生长年份为x，则树围用x表示为：__________________；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：______________________________；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系：___________________________；【答案】（1）生长年份，树围；（2）5+3x；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）5+3x>240【分析】（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)m；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）由题意可得5+3x>2.4×100.解：（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；故答案为生长年份，树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)cm；故答案为5+3x；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：这棵树生长x 年，其树围才能超过2.4m ；故答案为这棵树生长x 年，其树围才能超过2.4m ；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系为：5+3x>2.4×100，故答案为5+3x>240【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．类型二、不等式的性质2．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式． （1）15x -<； （2）413x -≥； （3）1142x -+≥； （4）410x -<-．【答案】（1）6x < （2）1≥x （3）6x ≤- （4）52x > 【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可；（2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答； （3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答； （4）根据不等式的性质3解答即可；（1）解：15x -<，两边加上1得：1151x -+<+， 解得：6x <； （2）解：413x -≥，两边加上1得：41131x -+≥+，即44x ， 两边除以4得：1≥x ； （3）解：1142x -+≥，两边减去1得：111412x -+-≥-，即132x -≥，两边除以12-得：6x ≤-；（4）解：410x -<-，两边除以4-得：52x >． 【点拨】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．举一反三：【变式1】已知x y >，下列不等式一定成立吗？（1）66x y -<-；（2）33x y <；（3）22x y -<-；（4）2121x y +>+． 【答案】（1）不成立；（2）不成立；（3）成立；（4）成立． 【分析】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 解：（1）①x y >①66x y ->-，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变； 不等式66x y -<-不成立； （2）①x y >①33x y >，不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号方向不变； 不等式33x y <不成立； （3）①x y >①22x y -<-，不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向改变； 不等式22x y -<-成立； （4）①x y >①22x y > ①2121x y +>+ 不等式2121x y +>+成立【点拨】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键． 【变式2】说明：（1）由314x -≤，得43x ≥-，是如何变形的？依据是什么?（2）由a b >，得ax bx >的条件是什么？为什么？ （3）由a b >，得ax bx ≤的条件是什么？为什么？【答案】（1）不等式两边同时乘以43-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是0x ≤，当0x <时，理由是当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时，左边=右边0=．【分析】（1）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向、以及等式的性质即可得．解：（1）不等式两边同时乘以43-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向； （3）条件是0x ≤，理由如下：当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时， 左边=右边0=．【点拨】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．类型三、不等式性质的应用3．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：（1）比较22432a b b +-+与2321a b -+的大小； （2）若223a b a b +>+，比较a 、b 的大小． 【答案】（1）222432321a b b a b +-+>-+；（2）a b < 【分析】（1）直接用22432a b b +-+减去2321a b -+得出的结果与0进行比较即可得到答案；（2）直接解不等式即可.解：（1）()222243232130a b b a b b +-+--+=+>，①222432321a b b a b +-+>-+；（2）①223a b a b +>+，①()()2230a b a b a b +-+=-+>， ①a b <．【点拨】本题主要考查了整式的减法运算，解不等式，不等式的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.举一反三：【变式1】阅读材料：形如2213x <+<的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如221213x x <+⎧⎨+<⎩；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得122x <<，然后同时除以2，得112x <<． 解决下列问题：（1）请你将双连不等式534x -≤-<转化为不等式组． （2）利用不等式的性质解双连不等式2235x ≥-+>-．【答案】（1）5334x x -≤-⎧⎨-<⎩；（2）142x ≤<【分析】（1）根据阅读材料中的方法将双连不等式化为不等式组即可； （2）利用不等式的基本性质求出所求即可．解：（1）534x -≤-<转化为不等式组为5334x x -≤-⎧⎨-<⎩．（2）2235x ≥-+>-，不等式的左、中、右同时减去3， 得128x -≥->-，同时除以2-，得142x ≤<【点拨】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式的定义，弄清阅读材料中的转化方法是解本题的关键．【变式2】在△ABC 中，AB ＝9，BC ＝2，AC ＝x ． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 的周长为偶数，则△ABC 的周长为多少？ 【答案】（1）7＜x ＜11；（2）20【分析】（1）根据三角形的三边关系列出不等式求解即可．（2）根据第三边取值范围和三角形周长表达式列式计算即可．解：（1）由题意知，9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11；（2）①7＜x＜11，①x的值是8或9或10，①①ABC的周长为：当x=8时，9+2+8＝19(舍去)；当x=9时，9+2+9＝20符合题意当x=10时，9+2+10＝21(舍去)；即该三角形的周长是20．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，不等式的性质，利用三角形三边关系建立不等式是解题的关键．。
第二章 2.1 第一课时 不等关系与不等式
24设计》
【训练3】 在例3的方案中，哪种方案用书籍最少？共用多少本？ 解 比较3种方案可知当x＝18时用书籍最少.共用书籍130×18＋90×12＝3 420(本).
25
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
一、素养落地 1.通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系，提升数学抽象素养，通过作差法比
核心素养
@《创新设计》
题型一 用不等式(组) 表示不等关系 提取有效数字，寻找不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照 生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有 上述不等关系的不等式(组). 解 设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根. 500x＋600y≤4 000， 根据题意得：3x≥x≥0y且，x∈N， y≥0且y∈N.
@《创新设计》
22
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二， 组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型 图书角10个.
23
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
规律方法 1.根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系， 并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式. 2.根据实际问题列出不等式(组)，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种 形式.
文字语言
过
于
少，不低于
不超过
符号语言
>
<
≥
≤
15
2025年高考一轮复习-2.1.1-不等关系与不等式【课件】
[解] (1)∵x∈R，m∈R， ∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx) ＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1) ＝x2＋(2m－1)x＋2m2－12－2m2－12＋2m2＋1 ＝x＋2m2－12＋m2＋m＋34 ＝x＋2m2－12＋m＋122＋12>0. ∴x2－x＋1>－2m2－2mx.
(2)方法一：aa22－＋bb22－aa－＋bb ＝a＋ba2－a2＋b2b－2aa＋－bba2＋b2 ＝a－ba[2a＋＋bb22a－＋ab2＋b2] ＝a＋2abbaa－2＋bb2. 因为 a>b>0. 所以 a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
b.
类型三 不等式的实际应用
[例 3] 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲 车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠．” 乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠．”这两车队的 收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车 队的收费哪家更优惠．
[思路分析] 依据题意表示出两车队的收费，然后比较大 小．
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400 C．30x－60≤400 D．30x＋60≤400
解析：x 月后他至少有 400 元，可表示成 30x＋60≥400.
2．若 x≠－2 且 y≠1，则 M＝x2＋y2＋4x－2y 的值与－5 的
大小关系是( A )
A．M>－5
B．M<－5
C．M≥－5
2．常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 大于，高 语言 于，超过
小于，低 于，少于
小于等于， 大于等于，至
至多，不超 少，不低于
过
符号
语言
>
2.1不等式与不等关系(二)
性质1 性质2 性质3 性质4
如果a b,那么b a； 如果a b,b c,那么a c; 如果a b，那么a c b c 如果a b,那么ac bc;
“式的基本性质” 集中反映在“自身 的特性”和“对于 运算的不变性”这 两个方面。
性质5 如果a b, c 0,那么a b . cc
如果a b,那么a c b c；
设a、b、c是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别为A、B 请在数轴上标出A、B两点，再标出a+c、b+c对应的点。
x
x
你能证明这个结论吗？
不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式 同向.我们把这种性质称为不等式的可加性。
判断命题”若a+b>c、则a>c-b”的真假，若为真命题，证明之。
ab
பைடு நூலகம்
课后作业
移项法则： 不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式的另一边。
二、不等式的性质
证明：如果a b，c 0，那么ac bc； 如果a b，c 0，那么ac bc.
不等式的两边同乘一个正数，所得的不等式与原不等式同向； 不等式的两边同乘一个负数，所得的不等式与原不等式反向. 我们把这种性质称为不等式的可乘性.
扩展：如果a b，c 0，那么a b ； cc
如果a b，c 0，那么a b . cc
二、不等式的性质
证明：如果a b，c d，那么a c b d.
简记：大+大>小+小。我们把这种性质称为不等式的同向可加性. 这个性质可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加.
二、不等式的性质
证明：如果a b 0，c d 0，那么ac bd.
我们把这种性质称为不等式的同向同正可乘性. 这个性质可以推广到任意有限个同向同正不等式两边分别相乘.
不等关系与不等式
a －b ＞0 ⇔ a ＞b a＞
思考4 如果两个实数的差等于零， 思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？ 数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语 言描述这个原理？ 言描述这个原理？
学生活动one 学生活动one
雷电的温度大约是28000℃，比太阳 ℃ 雷电的温度大约是 表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温 倍还要高。 表面温度的 倍还要高 度为t 那么t应满足怎样的关系式 应满足怎样的关系式？ 度为 ℃，那么 应满足怎样的关系式？
4.5t<28000
课堂评价：用不等式表示下面的不等关系： 课堂评价：用不等式表示下面的不等关系：
698 x + 518 y ≤ 4000 x ≥ 0 y≥0 x, y ∈N*
实际应用中建构数学
实际问题： 实际问题：不等关系
抽象 概括 刻 画
数学问题： 数学问题：不等式
三、不等式基本原理 思考1 实数可以比较大小，对于两个实数a 思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，
1.a与b的和是非负数； 与 的和是非负数 的和是非负数；
a+b≥0
2.某公路立交桥对通过车辆的高度 “限高 某公路立交桥对通过车辆的高度h“ 某公路立交桥对通过车辆的高度 4m” ”
0<h≤4
数学应用
二、用不等式组来表示不等关系
学生活动two 学生活动two
这是某酸奶的质量检查规定 脂肪含量（ ） 脂肪含量（f） 不少于2.5％ ％ 不少于 蛋白质含量（ ） 蛋白质含量（p） 不少于2.3％ ％ 不少于
第二章-2.1-等式性质与不等式性质高中数学必修第一册人教A版
C. > ⇒
<1
)
B.2 > 2 ⇒ > > 0
D. > ⇒ 3 > 3
【解析】对于A，由0 > > 可知,0 < − < −,则由性质7可知, −
2
> − 2 ,即
2 > 2 ，故A为假命题.
对于B，性质7不具有可逆性，如令 = −1, = 0,有2 > 2 ,但得不到 > > 0,故B
当,中有一个为0时，3 > 3 .
综上， > ⇒ 3 > 3 .（事实上，若 > ,则2−1 > 2−1 ∈ + , > 1 ）
知识点5 倒数法则及其应用
例5-5 (2024·北京市101中学期中)若 > > 0， < < 0，则( B
A.5 + 4 < 200
)
B.5 + 4 ≥ 200
C.5 + 4 = 200
D.5 + 4 ≤ 200
【解析】由题意知，，满足的不等式关系为500 + 400 ≤ 20 000，即
5 + 4 ≤ 200.
知识点2 实数大小比较的依据
例2-2 (2024·上海市松江区期末)已知, ∈ ，设 = 2 − , = − 2 ，则与
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
必备知识解读
知识点1 不等关系与不等式
例1-1 (2024·江苏省海安高级中学期末)完成一项装修工程，请木工需付工资每人500
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答案：(1)(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)； (2)a b
a b
a＋b ＞(ab) 2
.
【例 2】
若 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：
a b ①ad＞bc；② ＋ ＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中 d c 能成立的个数是( A．1 个 C．3 个 ) B． 2 个 D． 4 个
通关训练 2 设 a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
c c ① ＞ ；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)． a b 其中，所有正确结论的序号是( A．① B．①② ) D．①②③
C．②③
通关训练 3
已知实数 xLeabharlann y －1≤x＋y≤1， 满足 1≤x＋2y≤3，
求 x＋3y 的取值范围．
【例 1】 (1)设 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大 小； (2)已知 a＞0，b＞0，a≠b，比较 a b
a b
a＋b 与(ab) 2
的大小．
思维启迪：(1)作差，然后对差式因式分解至最简形式，最后判断 差式的正负；(2)作商，然后利用幂的运算法则对商式恒等变形，再结 合指数函数的性质判断商式与 1 的大小．
π π 例 4：若－2＜α＜β＜2，则 α－2β 的取值范围是 _____．
π π π π 正确解答：∵－ ＜α＜ ，－ ＜－β＜ ， 2 2 2 2 ∴－π＜α－β＜π. 又 α＜β，则 α－β＜0，∴－π＜α－β＜0， π π 3 π 又－ ＜－β＜ ，∴－ π＜α－2β＜ . 2 2 2 2
3 π 故填－2π， 2 .
x 例 5．设 x、y 为实数,满足 3≤xy ≤8,4≤ y
2
2
≤
9,则
x 4 y
3
的最大值是
27
.
本节课你学到哪些知识？ 这些知识有哪些应用？
你还学到哪些方法？
通关训练 1
(1)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n
S3 S5 项和为 Sn，比较 与 的大小． a3 a5 (2)已知 a＞0，b＞0，a≠b，比较 aabb 与 abba 的大小．
第一课时
【考点分析】 (1)考查有关不等式的命 题真假及数式的大小比较；(2)考查和函数、 数列等知识的综合应用．
【复习指导】 (1)熟练掌握不等式的性 质，并会正确理解和应用；(2)对含参数的不 等式，要把握分类讨论的标准和技巧．
1.不等式的性质及其应用；
1．两个实数大小的比较原理 (1)差值比较原理：设 a，b∈R，则 a＞b⇔a－b____0，a＝ b⇔a－b______0，a＜b⇔a－b______0. a (2)商值比较原理：设 a，b∈R＋，则 a＞b⇔b____1，a＝b⇔ a a b______1，a＜b⇔b______1.
思维启迪：根据结论，结合已知条件，联想不等式的性质逐个 进行判断．
答案：C
【例 3】 已知函数 f(x)＝ax2＋bx， 且 1≤f(－1)≤2， 2≤f(1)≤4， 求 f(－2)的取值范围． 思维启迪：先将已知条件化简，然后将 a－b 和 a＋b 看作两个 整体，利用整体思想求解．
解:法一
设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n
为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
m n 4, m 3, 于是得 解得 n m 2, n 1,
∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故 5≤f(-2)≤10.
2．不等式的性质 性质(1)：a＞b⇔b______a(对称性)． 性质(2)：a＞b，b＞c⇒a______c(传递性)． 性质(3)：a＞b⇔a＋c______b＋c.
性质(4)：a＞b，c＞0⇒ac____bc；c＜0⇒ac____bc.
性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c____b＋d(加法法则)． 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac____bd(乘法法则)． 性质(7)：a＞b＞0，n∈N*⇒an______bn(乘方法则)． n n 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*⇒ a______ b(开方法则)． 1 1 性质(9)：ab＞0，a＞b⇒a______b(倒数法则)．