【优化方案】高中数学配套+章末专题整合课件第三章 概率 章末专题整合 必修三

(1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有
两个正实数根的概率； (2)若a∈[2,6]，b∈[0,4],求一元二次方程没有实数根的概率． 【分析】 (1)(a，b)是骰子点数，是古典概型．
(2)(a，b)无限多的点，是几何概型．
【解】 (1)基本事件(a， b)共有 36 个， 且 a， b∈{1,2,3,4,5,6}， 方程有两个正实数根等价于 a－2>0,16－b2>0， Δ≥0， 即 a>2， －4<b<4，(a－2)2＋b2≥16. 设“一元二次方程有两个正实数根”为事件 A， 则事件 A 所 包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共 4 个，故所 4 1 求的概率为 P(A)＝ ＝ . 36 9
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(2)应用互斥事件的概率的加法公式解题时， 一定要注意首先 确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概 率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事 件的概率，P(A)＝1－P( A )，体现了转化的思想方法．
例1 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号
分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中,
然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n ，求 n ＜ m ＋ 2 的概率．
【解】 (1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有 6 种，而 取出的球的编号之和不大于 4 的事件有两个，1 和 2,1 和 3， 1 ∴取出的球的编号之和不大于 4 的概率 P1＝ . 3 (2)先从袋中随机取一个球， 该球的编号为 m， 将球放回袋中， 然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，所有(m，n) 有 4×4＝16 种， 而 n≥m＋2 有 1 和 3,1 和 4,2 和 4 三种结果， 3 13 ∴n＜m＋2 的概率 P2＝1－ ＝ . 16 16
为 5 时才“可以起飞”，请你根据规则计算“可以起飞”的 概率．
【解】
列表得：
(1,4) (1,3) (1,2) (1,1)
(2,4) (2,3) (2,2) (2,1)
(3,4) (3,3) (3,2) (3,1)
(4,4) (4,3) (4,2) (4,1)
∴一共有 16 种情况，掷得点数之和为 5 时的情况有 4 种， 4 1 ∴“可以起飞”的概率为 ＝ . 16 4
专题二 利用古典概型求概率 首先根据古典概型的两个特征：有限性、等可能性判断是否 为古典概型，然后利用列举法，计算出总基本事件个数 n m 和事件 A 的基本事件个数 m，代入公式 P(A)＝ 求解． n
例2 小王制定一个玩飞行棋的游戏规则为：抛掷两枚均匀 的正四面体骰子 ( 四面依次标上数字 1,2,3,4) ，掷得点数之和
专题三 利用几何概型求概率 若试验同时具有：①基本事件的无限性；②每个事件发生的 等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无 m 限性，概率就不能应用 P(A)＝ 求解，而需转化为几何度量 n (如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数 学思想．
临沂质检)已知关于x的一元二次方程 x2－2(a－ 例3 (2013· 2)x－b2＋16＝0.
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专题归纳整合
专题一 互斥事件、对立事件的概率与应用
(1)互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区 别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生,
也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但
不可能同时发生． 若事件 A1 ， A2 ，„， An 彼此互斥，则 P(A1 ∪ A2 ∪„∪ An) ＝ P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An)，因此求互斥事件的概率时要注意 分类讨论思想的运用．
(2)试验的全部结果构成区域 Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}， 设“一元二次方程无实数根”为事件 B，则构成事件 B 的 区域为 B＝{(a，b)|2≤a≤6，0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}， 如图可知构成事件 Ω 的区域面积为 S(Ω)＝16. 1 构成事件 B 的区域面积为：S(B)＝ ×π×42＝4π，故所求 4 4π π 的概率为 P(B)＝ ＝ . 16 4