高中数学：第三章概率 小结 (28)
高中数学必修2《概率》知识点讲义
第三章 概率一．随机事件的概率1、基本概念：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩不可能事件确定事件事件必然事件随机事件（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C ……表示。
2、概率与频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)= A n n为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值A n n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。
二．概率的基本性质1、各种事件的关系：（1）并（和）事件（2）交（积）事件（3）互斥事件（4）对立事件2、概率的基本性质：（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；（2）P(E)=1(E 为必然事件）；（3）P(F)=0(F 为必然事件）；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；（5）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；三．古典概型（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：
高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
高中数学(高一至高三)知识点汇总
高中数学第一部分必备知识点第二部分学习难点必修1知识点重难点高考考点第一章：集合与函数1.1.1、集合1.1.2、集合间的基本关系1.1.3、集合间的基本运算1.2.1、函数的概念1.2.2、函数的表示法1.3.1、单调性与最大（小）值1.3.2、奇偶性重点：1、集合的交、并、补等运算。
2、函数定义域的求法3、函数性质难点：函数的性质1、集合的交、并、补等运算。
2、集合间的基本关系3、函数的概念、三要素及表示方法4、分段函数5、奇偶性、单调性和周期性第二章：基本初等函数（Ⅰ）2.1.1、指数与指数幂的运算2.1.2、指数函数及其性质2.2.1、对数与对数运算2..2.2、对数函数及其性质2.3、幂函数重点：1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算难点：1、指数函数与对数函数相结合2、指数对数与不等式、导数、三角函数等结合1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算5、数值大小的比较6、习惯与不等式、导数、三角函数等结合，难度较大第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点3.1.2、用二分法求方程的近似解3.2.1、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例重点：1、零点的概念2、二分法求方程近似解的方法难点：1、函数模型2、函数零点与导数，含有字母的参数相结合1、零点的概念2、二分法必修2知识点重难点高考考点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积与体积重点：1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征2、几何体的三视图和直观图3、会利用公式求一些简单几何体的表面积和体积难点：空间想象能力1、几何体的三视图和直观图2、空间几何体的表面积与体积第二章：点、直线、平面之间的位置关系（重点）1、空间点、直线、平面之间的位置关系2、直线、平面平行的判定及其性质3、直线、平面垂直的判定及其性质重点：1、线面平行、面面平行的有关性质和判定定理2、证明线面垂直3、点到平面的距离难点：1、线面垂直2、点到平面的距离1、以选择填空的形式考查线与面、面与面的平行关系，考查线面位置的关系2、以解答的形式考查线与面、面与面的位置3、证明线面垂直4、点到平面的距离第三章：直线与方程1、直线的倾斜角与斜率2、直线方程3、直线的交点坐标与距离公式重点：1、初步建立代数方法解决几何问题的观念2、正确将几何条件与代数表示进行转化3、掌握直线方程并会用于定理地研究点与直线、直线与直线的位置关系。
高中数学知识点总结-
第一章初步算法（Basic Algorithm）1.1算法的逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构（UNTIL/WHILE）1.3算法案例案例1：辗转相除法（欧几里得算法）更相减损术——《九章算术》案例2：秦九韶算法：nf(x)=∑a n x n=(⋯((a n x+a n−1)x+a n−2)x+⋯+a1)x+a0i=0案例3：进位制——几进制的基数就是几除k取余法第二章统计2.1.1简单随机抽样（simple random sampling）：从N个个体中逐个不放回地抽取n个个体，每个个体被抽到的机会相等（总体个数较少时宜使用）。
(1) 抽签法（抓阄法）(2) 随机数法2.1.2 系统抽样（systematic sampling）：按照固定的间隔从N 个个体中抽取n个个体（总体个数较多时宜使用）。
2.1.3 分层抽样（stratified sampling）：将总体分成互不交叉的层，按照一定比例从各层中抽取个体（总体中差异明显时宜使用）。
2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本频率分布估计总体分布频率分布（frequency distribution）：（1）求极差（2）决定组距与组数（3）数据分组（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图（频率(面积)=频率组距×组距）（6）频率分布直线图总体密度曲线：反映总体在各个范围内取值的百分比。
茎叶图（stem-and-leaf display）2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征众数——出现频率(次数)最多的数。
中位数——数据从小到大排列，处于最中间的一位或最中间的两位的平均数。
样品中50%的个体≤中位数，50%的个体≥中位数（在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积应相等）平均数（约等于频率分布直方图中每个小矩形面积×小矩形底边中点横坐标之和）标准差（standard deviation）：样本数据到平均数的一种平均距离（考察数据分散程度）S=|x1−x̅|+|x2−x̅|+⋯+|x n−x̅|ns=√1n[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(x n−x̅)2]方差s2=1n[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(x n−x̅)2]*正态分布（高斯分布）：N(μ，σ2)其中μ为平均数，σ2为方差；区间（μ－λσ，μ＋λσ），λ∈N*2.3 变量间的相关关系（1）散点图（scatterplot），正相关，反相关线性相关关系：回归直线（regression line）——通过样本点的中心(x̅，y̅)回归方程：最小二乘法（method of least square）对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(x n，y n) Q=(y1−bx1−a)2+(y2−bx2−a)2+⋯+(y n−bx n−a)2{b̂=∑(x i−x̅)(y ini=1−y̅)∑(x i−x̅)2ni=1=∑x i y ini=1−nx̅y̅∑x i2ni=1−nx̅2â=y̅−b̂x̅其中x̅=1n∑x ini=1，y̅=1n∑y ini=1，回归方程：ŷ=b̂x+â相关系数r ——衡量两个变量之间线性关系的强弱r=∑(x i−x̅)(y ini=1−y̅)√∑(x i−x̅)2ni=1∑(y j−y̅)2nj=1如r∈[−1,−0.75]，则负相关很强；如r∈[0.75,1]，则正相关很强；如r∈(−0.75,−0.30]或r∈[0.30,0.75)，则相关性一般；如r∈[−0.25, 0.25]，则相关性较弱。
人教A版高中数学必修三课件：第三章章末小结
等于(
).
1
2
3
4
A.5 B.5 C.5 D.5
【方法指导】选出的两球只与颜色有关,与顺序无关,可把不
同颜色的小球分别进行编号,无序列举出基本事件,利用古典概
型计算.
【解析】把 1 个红球记为 a,2 个白球分别记为 b1,b2,3 个黑
满足两球颜色为一红一黑的基本事件有(a,c1),(a,c2),(a,c3),共
3 1
3 个,故所求事件的概率为15 =5,故选 A.
【答案】A
【小结】在进行摸球活动中,所求概率一般只与球的颜色有
关,而与先后顺序无关,列举时只需把摸出的球的编号列举出来
即可,无需再颠倒顺序.如果按照有序性列举基本事件,那么个数
两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率
为
.
【解析】将四种水果每两种分为一组,有 6 种方法,则甲、乙
1
两位同学各自所选的两种水果相同的概率为6.
1
【答案】
6
3.(2015 年福建卷)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标
+ 1, ≥ 0,
为(1,0),且点 C 与点 D 在函数 f(x)= 1
函数.
(2)Excel 软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为
“rand()”.
题型一:概率与频率
某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人
称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如
下:
上年度
出险次 0 1 2 3 4 ≥5
数
1.2 1.5 1.7
0.8
高中数学 第三章 概率 概率的应用“分赌金”问题知识素材 北师大版必修3
概率的应用——“分赌金”问题17世纪中时，法国数学家巴斯卡写信给当时号称数坛"怪杰"的费尔马，信中提到赌徒德梅尔，向他提出的一个"分赌金"问题。
有一天，德梅尔和赌友保罗赌钱，他们事先每人拿出6枚金币作赌金，用扔硬币作赌博手段，一局中若掷出正面，则德梅尔胜，否则保罗胜。
约定谁先胜三局谁就能得到所有的12枚金币，已知他们在每局中取胜的可能性是相同的，比赛开始后，保罗胜了一局，德梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博，后来他们也不再想继续这场还没有结局的赌博，于是一起商量这12枚金币应如何分才公平合理。
保罗对德梅尔说："你胜了两局，我只胜了一局，因此你的金币应是我的两倍，你得总数的2/3即8枚金币，我得总数的1/3即4枚金币"。
"这不公平"精通赌博的德梅尔对此提出异议："我只要再胜一局就能得到全部金币，而你要得到全部金币还须再胜两局。
即使你接下来胜一局，我们两人也是平分秋色，何况就这次我还有一半的机会获胜呢！所以我应得到全部赌金的3/4，即9枚金币，而你只能得到1/4即3枚金币"。
到底谁的分法对呢？当时可使两位数学家费了不少脑筋，历史上古典概率正是由研究诸如此类的赌博游戏中的问题引起的。
现在我们一起来求解，显然，为确保能分出胜负，最多需要再赛两局，为简单计，用"+"表示"德梅尔胜"，用"-"表示"保罗胜"，于是这两局的所有可能结果为：其中使德梅尔获胜（即至少有一个"+"的情形）有3种，而使保罗获胜（至少有两个"-"的情形）有一种，故德梅尔获胜的概率为3/4，保罗胜的概率为1/4。
这样，德梅尔应得全部赌金的3/4，而保罗则应得1/4。
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
【红对勾】高中数学 第三章 函数的应用本章小结课件 新人教版必修1
20 km/h，巡逻艇不停地往返于A，B两港口巡逻(巡逻艇掉 头的时间忽略不计)．
(3)有，x＝0，它来源于2x－1＝0；x＝－1，它来源于 －x－1＝0. (4)规定k的范围是{k|k≤－1}．
【例2】
已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a<b)，m，n是f(x) )
的零点，且m<n，则实数a，b，m，n的大小关系是( A．m<a<b<n C．a<m<b<n B．a<m<n<b D．m<a<n<b
确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象 研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数 定性判断．二是利用零点存在性定理判断，但还需结合函 数的图象和单调性，特别是二重根容易漏掉．
【例1】
x 2 ，x≥0， 设f(x)＝ －x，x<0.
(1)f(x)有零点吗？ (2)设g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个 根，k应该怎样限制？ (3)当k＝－1时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出 来，如果没有，请说明理由； (4)你给k规定一个范围，使得方程g(x)＝0总有两个 根．
3．二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在 区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法．
4．几种不同增长的函数模型． (1)一次函数型模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数型模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数型模型：y＝abx＋c(a≠0)； (4)对数函数型模型：y＝mlogax＋n(m≠0，且a>0， a≠1，x>0)； (5)幂函数型模型：y＝axn＋b(a≠0)．
高中数学第三章三角恒等变换第28课时倍角公式B版公开课课件省市一等奖完整版
解析：(1)①原式＝11＋－tatnanθθ－11＋－tatnanθθ ＝1－2tatannθ2θ＝tan2θ. ②原式＝ 2cos250°－ 2sin250°＝ 2cos50°－ 2sin50° ＝2(cos45°cos50°－sin45°sin50°)＝2cos95°＝－2sin5°.
(2)证明：①左边＝11＋＋22ssiinnθθccoossθθ＋－21c－os22sθi－n2θ1 ＝22csoinsθθcsoinsθθ＋＋csoinsθθ＝csoinsθθ＝tanθ＝右边，所以原式成立． ②左边＝2cos2θ2－sisninθc2θos＋θ＋2ssiinn2θθ＋cosθ ＝csoinsθθ22ccoossθθ＋＋11＝tanθ＝右边，所以原式成立．
讲拓展 二倍角公式的变形 (1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α 1－cos2α＝2sin2α (2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α sin2α＝1－c2os2α
(3)万能公式：sin2α＝1＋2tatannα2α cos2α＝11－ ＋ttaann22αα
2 说方法·分类探究 类型一 给角求值问题 【例 1】 求下列各式的值： (1)sin2π8－cos2π8；
点评 被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先切化弦，然后 分析角的内部关系，是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式 转化，若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与 差的三角函数展开，经过这样处理后，一般就会化简完毕.
变式训练 3 (1)化简： ①1－1tanθ－1＋1tanθ；
② 1＋cos100°－ 1－cos100°. (2)求证：①11＋ ＋ssiinn22θθ－ ＋ccooss22θθ＝tanθ； ②2cos2sθin＋22θs＋ins2iθn＋θ cosθ＝tanθ.
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考点五 互斥事件与对立事件的概率
(1) 当 A ， B 互 斥 时 ， 公 式 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) 成 立 ； 当 A ， B 互 为 对 立 事 件 时 ， 公 式 P(A) ＝ 1 － P(B) 成 立．
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【变式3】 判断下列每对事件是否为互斥事件，是 否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从 1～10)中任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大 于9”．
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图示
定义
表示法
事
互斥 事件
若A∩B为_不_可__能__事__件， 则称事件A与事件B互 斥
若 _A_∩__B_＝__∅_，
则A与B互斥
件
若A∩B为
的
__不_可__能__事__件__，A∪B 若A∩B＝
运 对立 为_必__然_事__件__，那么称 ∅，A∪B＝
算 事件 事件A与事件B互为对 U，则A与B
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由表格可知P(和大于7)＝
5 12
，P(和小于或等于7)＝
172， 即李红和张明得分的概率不相等，所以这个游戏对
双方不公平．对双方公平的游戏规则：点数之和大于7 时，李红得1分，点数之和小于7时，张明得1分．
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【变式1】 玲玲和倩倩是一对好朋友，她们都想去 观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？ 玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如 果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就 你去！”你认为这个游戏公平吗？为什么？
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考点三 事件关系的判断
事件关系的判断方法 (1)两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥 事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次 试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个 事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． (2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但 互斥事件不一定是对立事件．
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第二章
概 率(必修3)
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2.1 随机事件的概率 2.1.2 概率的意义
2.1.3 概率的基本性质
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课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
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课前教材预案
要点一 概率的正确理解 随 机 事 件 在 一 次 试 验 中 发 生 与 否 是 __随__机_的___ ， 但 _随__机__性___中 含 有 _规__律__性___ ， 认 识 了 这 种 __随__机_性___ 中 的 _规__律__性___，就能使我们比较准确地__预__测____随机事件发 生的可能性．
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(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40 张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数” 与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如 抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不 可能是对立事件．
返回目录பைடு நூலகம்
考点四 事件的运算
(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验 所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间 的运算．
3．天气预报的“降水”是一个__随_机__事__件____，“降 水 概 率 为 90%” ， 指 明 了 “ 降 水 ” 这 个 _随__机_事__件__发__生_的__概__率__，在一次试验中，概率为90%的事 件 也 __可__能__不_出__现________ ， 因 此 ， “ 昨 天 没 有 下 雨”_并__不__能__说_明____“昨天的降水概率为90%”的天气预报 是_____错__误_的．
由①②两式，得20n0＝12500，解得n＝1 500. 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
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【变式2】 某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化， 10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义 解答下列问题．
(1)这种鱼卵的孵化率(即孵化概率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？ (3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需要多少个鱼卵？(精 确到百位)
要点三 事件的关系与运算
事件 的运 算
定义
表示法
一般地，对于事件A
包 含 关 系
与事件B，如果事件 B⊇A A发生，则事件 ________( B_一__定__发_生__，这时称 或 事件B包含事件A(或 __A_⊆__B___) 称事件A包含于事件
B)
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图示
定义
表示法
若某事件发生当且
事件 并 仅当__事__件_A__发_生__或_ 的运 事 ___事__件__B_发__生_，则 算 件 称此事件为事件A
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思维导引：根据频率等于频数除以样本总数得频 率，再根据等可能性以频率估计概率，最后根据总数等 于频数除以概率得结果．
解析 设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅 被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事
件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝20n0.①
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第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带 有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝12500，②
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要点二 游戏的公平性与天气预报的概率解释 1．裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运 动员先猜，猜中并取得发球的_概__率__均__为__12_______，所以 这个规则是公平的． 2．在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则 对每个人都是__公__平____的这一重要原则．
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解析 公平．因为两枚硬币落地共有四种结果： 正，正；正，反；反，正；反，反．由此可见，她们两 人得到门票的概率都是12，所以公平．
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考点二 概率的实际应用
此类题型往往与随机抽样相结合．一般根据题中条 件可求出样本的数目以及在总体中的频率，用频率估计 概率，进而可估计总体的数目．
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个红球，1个白球或3个均为红球，所以A⊆C，故C∩A
＝A．
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【变式4】 掷一枚骰子，下列事件： A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小 于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}． 求：(1)A∩B，BC； (2)A∪B，B＋C； (3) D ，AC， D ＋ E .
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(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同 一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图 中列出，并进行运算．
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【例题4】 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任 取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事 件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中 至 少 有 1 个 红 球 } ， 事 件 D ＝ {3 个 球 中 既 有 红 球 又 有 白 球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？
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思维导引：确定事件C，D分别包含哪些基本事 件，然后结合事件A，B和交集、并集的知识即可得到 答案．
解析 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个
白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B．
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2
思维导引：列出所有可能性来比较双方各自获胜可 能性的大小，然后得出比较的结论．
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解析 不公平．所有可能情况如表所示. 和123 4 5 6 1 234 5 6 7 2 345 6 7 8 3 456 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
解析 (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从 40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑 桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不 能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方 块”或“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张 扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑 色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发 生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
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解析 (1)这种鱼卵的孵化率为180501030＝0.851 3.
(2)30 000个鱼卵大约能孵化 30 000×0.851 3＝25
539(尾)鱼苗．
(3)设大概需要x个鱼卵，由题意知 5
000 x
＝0.851
3，
解得x＝05.8050103≈5 900，所以大概需要5 900个鱼卵．
判断游戏是否公平的思路 无论是怎样的游戏，游戏公平与否就是看参与游戏 的每个个体获胜的概率是否相同，相同则公平，不相同 则不公平．具体判断时，可以求出按所给规则双方的获 胜概率，再进行比较．
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【例题1】 李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各 掷一枚骰子．当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1 分，否则张明得1分．这个游戏公平吗？为什么？如果 不公平，请你提出一个对双方公平的游戏规则．
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(2)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名 女生”和“2名都是男生”两种结果． “至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和 “2名都是女生”两种结果，它们可同时发生．
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(3)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名 女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时 发生． (4)是互斥事件，也是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名 女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女 生”不可能同时发生．其并事件是必然事件，所以是对 立事件．