高中数学：第三章概率 小结 (127)

模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从2 006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人，余下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等D ．无法确定2．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是( ) A.34 B.23 C.12 D.133．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 4．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和其身体健康情况； ④正方形的边长和面积； ⑤汽车的重量和百公里耗油量． 其中两个变量成正相关的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②⑤ D ．④⑤5．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 频数1213241516137A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.646．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和927．执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A ．120B ．720C ．1 440D ．5 0408．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( )A.29B.23C.13D.199．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是( )A.110B.310C.610D.71010．三个数390,455,546的最大公约数是( ) A ．65 B ．91 C ．26 D ．1311．在如图所示的程序框图中，如果输入的n ＝5，那么输出的i 等于( )A．3 B．4 C．5 D．612．下图是把二进制的数11 111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是()A．i>5? B．i≤5? C．i>4? D．i≤4?二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．14．利用秦九韶算法，求当x＝23时，多项式7x3＋3x2－5x＋11的值的算法．①第一步：x＝23，第二步：y＝7x3＋3x2－5x＋11，第三步：输出y；②第一步：x＝23，第二步：y＝((7x＋3)x－5)x＋11，第三步：输出y；③算6次乘法，3次加法；④算3次乘法，3次加法．以上描述正确的序号为________．15．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.16．已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．18．(12分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．19．(12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示．(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．20．(12分)某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示．其中落在[80,90)内的频数为36.(1)请根据图中所给数据，求出a及n的值；(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩；(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．21．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (h)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？22．(12分)某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.组号 分组 频数 频率 第1组 [160,165) 5 0.050 第2组 [165,170) ① 0.350 第3组 [170,175) 30 ② 第4组 [175,180) 20 0.200 第5组 [180,185)10 0.100 合计1001.00(1)(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．答 案1. ★★答案★★：C2. 解析：选B 根据几何概型可知，在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的坐标就是1<x ≤3，∴所求的概率为23，故选B.3. 解析：选B E 1 与E 3，E 1 与E 4 均为互斥而不对立的事件．4. 解析：选C ①为负相关；③也为负相关；④中的边长和面积的关系为函数关系；只有②、⑤中的两个变量成正相关．5. 解析：选C 由表知(10,40]上的频数为52，故样本数据在(10,40]上的频率为52100＝0.52.6. 解析：选A 数据从小到大排列后可得其中位数为91＋922＝91.5，平均数为87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.7. 解析：选B 执行程序输出1×2×3×4×5×6＝720. 8. 解析：选A 如图所示，由几何概型概率公式，得 P ＝S A S Ω＝12×4×212×6×6＝29.9. 解析：选B 从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是30100＝310.10. 解析：选D 用辗转相除法．∵546＝390×1＋156,390＝156×2＋78,156＝78×2，∴546与390的最大公约数为78.又∵455＝78×5＋65,78＝65＋13,65＝13×5，∴455与78的最大公约数为13，故390,455,546的最大公约数为13.11. 解析：选C 由框图知当n ＝5时，将3n ＋1＝16赋给n ，此时i ＝1；进入下一步有n ＝8，i ＝2；再进入下一步有n ＝4，i ＝3；以此类推有n ＝1，i ＝5，此时输出i ＝5.12. 解析：选D 根据程序框图，要使得输出的结果是1＋1×2＋1×22＋1×23＋1×24，那么判断框内的条件必须是“i ≤4？”.13. 解析：丙组中应抽取的城市数为：8×624＝2.★★答案★★：214. 解析：利用秦九韶算法，y＝((7x＋3)x－5)x＋11，算3次乘法，3次加法，故②④正确．★★答案★★：②④15. 解析：按照程序框图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；S＝10，n＝4，T＝2＋4＝6；S＝15，n＝6，T＝6＋6＝12；S＝20，n＝8，T＝12＋8＝20；S＝25，n＝10，T＝20＋10＝30>S，输出T＝30.★★答案★★：3016. 解析：显然直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k(x＋1)，代入(x－1)2＋y2＝3中得，(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2－2＝0，∵l与⊙C相交于A、B两点，∴Δ＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－2)>0，∴k2<3，∴－3<k<3，又当弦长|AB|≥2时，∵圆半径r＝3，∴圆心到直线的距离d≤2，即|2k|1＋k2≤2，∴k2≤1，∴－1≤k≤1.由几何概型知，事件M：“直线l与圆C相交弦长|AB|≥2”的概率P(M)＝1－(－1) 3－(－3)＝33.★★答案★★：3317. 解：记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.由题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．(1)取出1球为红球或黑球的概率为：P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为：法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝11 12.18. 解：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y.则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，|x －y |≤6.作出如图所示的区域．区域D (正方形)的面积S 1＝242，区域d (阴影)的面积S 2＝242－182. ∴P ＝S 2S 1＝242－182242＝716.即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为716. 19. 解：(1)这10名同学的成绩是：60,60,73,74,75,84,86,93,97,98，则平均数x ＝80. 方差s 2＝110[(98－80)2＋(97－80)2＋(93－80)2＋(86－80)2＋(84－80)2＋(75－80)2＋(73－80)2＋(74－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝174.4.即样本的平均成绩是80分，方差是174.4.(2)设A 表示随机事件“93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个结果有：(98,84)，(98,86)，(98,93)，(98,97)，(97,84)，(97,86)，(97,93)，(93,84)，(93,86)，(86,84)，共10种．而事件A 含有4个基本事件：(98,93)，(97,93)，(93,84)，(93,86)． 所以所求概率为P ＝410＝25.20. 解： (1)第四组的频率为： 1－0.05－0.075－0.225－0.35＝0.3， ∴a ＝0.310＝0.03，n ＝360.3＝120.(2)第一组应抽：0.05×40＝2(名)， 第五组应抽：0.075×40＝3(名)．(3)设第一组抽取的2个分数记作A 1、A 2，第五组的3个分数记作B 1、B 2、B 3，那么从这两组中抽取2个的结果有：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3 共10种，其中平均分不低于70分的有9种，所求概率为：P ＝910.21. 解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54.代入公式得b ^＝0.7，a ^＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程， 得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(h)． ∴预测加工10个零件需要8.05 h.22. 解：(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为30100＝0.300，频率分布直方图如图所示，(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．(3)设第3组的3位同学为A 1，A 2，A 3，第4组的2位同学为B 1，B 2，第5组的1位同学为C 1，则从这六位同学中抽取两位同学有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种，其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为915＝3 5.。