因式分解----十字相乘法(1)(第15课时)
(完整版)初中历史十字相乘法因式分解
(完整版)初中历史十字相乘法因式分解初中历史十字相乘法因式分解十字相乘法是初中数学中常用的一种因式分解方法。
通过这种方法，我们可以将一个多项式分解成两个或多个简化的因式。
什么是十字相乘法？十字相乘法是一种运用代数式的乘法原理来进行因式分解的方法。
它适用于二次方程的因式分解，也可以用于其他多项式的分解。
如何使用十字相乘法进行因式分解？首先，我们需要一个多项式，如$x^2 + 5x + 6$。
我们将该多项式按照标准形式排列（由高次幂到低次幂），得到$x^2 + 5x + 6$。
其次，我们需要寻找一个分解形式，它可以将前一步得到的多项式分解成两个因式的乘积。
在这个例子中，我们需要找到两个因式之间的关系。
我们要找到两个乘数，使得它们相乘得到6，同时相加得到5。
根据这个要求，我们可以尝试以下组合：- 1和6：1 + 6 = 7- 2和3：2 + 3 = 5我们发现，2和3的乘积等于6，同时它们的和等于5。
因此，我们可以将$x^2 + 5x + 6$分解成$(x + 2)(x + 3)$。
总结十字相乘法是一种有效的因式分解方法，适用于多项式的分解。
通过找到两个乘数，使得它们相乘等于常数项，并且相加等于项数系数，我们可以将多项式分解成两个或多个简化的因式。
同时要注意，十字相乘法只适用于特定类型的多项式，特别是二次方程。
在应用这种方法时，我们应该先将多项式按照标准形式排列，然后寻找乘数来进行分解。
希望这份文档对你有帮助，以理解和应用十字相乘法进行因式分解。
如果有任何疑问，请随时提问。
因式分解——十字相乘法
因式分解——十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例2、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例3、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
八年级数学十字相乘法因式分解
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
；宁波象山包船捕鱼 宁波象山包船捕鱼
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，替一位素昧平生的小人物鸣不平…… ? 该举震撼了
因式分解公式十字相乘法
因式分解公式十字相乘法《因式分解公式之十字相乘法》嗨，同学们！今天咱们来好好唠唠因式分解里超级有趣的十字相乘法。
我记得有一次数学作业，有好多因式分解的题目，我看着那些式子就发愁。
这时候我同桌凑过来了，他眼睛亮晶晶的，说：“你知道十字相乘法不？学会了这个呀，这些题目就像小蚂蚁一样，轻轻松松就能解决。
”我就特别好奇，啥是十字相乘法呢？就比如说一个二次三项式ax² + bx + c（a≠0），咱们要把它分解因式。
这就好比是把一个复杂的小怪物给拆开，看看它到底是由哪些小零件组成的。
十字相乘法就像是一把神奇的钥匙。
咱们先把a拆成两个因数，假设是m和n，再把c拆成两个因数，假设是p和q。
然后呢，要让m×q + n×p等于中间的那个b。
这就像搭积木一样，得找到合适的块儿，组合起来才对。
我给你们举个例子哈。
就像x² + 5x + 6。
这里a = 1，那1就只能拆成1×1啦。
c = 6，可以拆成2×3。
这时候咱们就来凑一凑，看看能不能让十字相乘后的结果等于中间的5呢。
1×3+1×2 = 5，哈哈，正好！那这个式子就可以分解成(x + 2)(x + 3)啦。
是不是很神奇呢？就像把一个神秘的盒子打开，看到里面藏着的两个小宝贝。
我还遇到过更复杂一点的呢。
有一次考试，有个题目是2x² - 7x + 3。
a = 2，可以拆成2和1，c = 3，可以拆成-1和- 3或者1和3。
咱们得试试不同的组合呀。
要是用2×(-1)+1×(-3) = - 5，不对。
要是2×(-3)+1×(-1) = - 7，哈哈，找到了。
所以这个式子就可以分解成(2x - 1)(x - 3)。
我跟我后座的同学讨论这个方法的时候，他还不太明白。
他说：“这就像在迷宫里找路一样，我都晕头转向了。
”我就跟他说：“你看啊，这就跟你玩拼图似的。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法摘要：一、引言二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法2.十字相乘法的符号表示三、十字相乘法的应用1.分解单项式2.分解多项式四、十字相乘法的优势与局限1.优势2.局限五、结论正文：一、引言十字相乘法是一种常用的因式分解方法，尤其在初中阶段数学学习中占据着重要地位。
本文将对十字相乘法进行详细介绍，包括其基本概念、应用以及优势与局限。
二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法十字相乘法是一种因式分解方法，主要用于分解二次多项式。
具体操作步骤如下：首先，将二次多项式的二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d分别填入一个十字形的四个格子中（如下所示）。
```c da |b | a b|-------|-------| c d | c d```然后，根据a、b、c、d的值，利用乘法分配律进行计算，得出两个括号中的表达式。
最后，将这两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
2.十字相乘法的符号表示我们可以用如下符号表示十字相乘法：```(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd```其中，a、b、c、d为常数，x为变量。
三、十字相乘法的应用1.分解单项式假设我们有一个单项式：ax^2 + bx + c。
我们可以先提取出公因式x，得到x(ax + b) + c。
然后，我们可以使用十字相乘法分解ax + b，从而得到单项式的因式分解式。
2.分解多项式十字相乘法主要用于分解二次多项式，如ax^2 + bx + c。
我们可以根据二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d的值，将多项式表示为(ax + b)(cx + d)的形式。
然后，利用乘法分配律计算括号中的表达式，最后将两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
四、十字相乘法的优势与局限1.优势十字相乘法具有较高的实用价值，尤其在初中阶段数学学习中。
它可以帮助学生快速、准确地分解二次多项式，从而简化问题，便于求解。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
因式分解法(十字相乘法)知识讲解
2x
4
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法（竖分常数交
叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法二：
2x2-2x-12 = （x+2）(2x-6)
x
2 = 2（x+2)(x-3)
2x
-6
x×（-6）+2x×2=-2x
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
例1、（2）
12x2 29x 15
3x
5
4x
3
(9x) (20x) 29x
所以： 原式 (3x 5)(4x 3)
十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
1、十字相乘法 （借助十字交叉线分解因式的方法）
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式 分解因式
3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之 间的符号关系
q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符 号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大 的因数符号）与p符号相同
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
因式分解中的十字相乘法
因式分解中的十字相乘法《因式分解中的十字相乘法》嘿，你知道吗？在数学这个神奇的世界里，有一个特别有趣又超级有用的方法，那就是十字相乘法。
我呀，今天就想和你唠唠这个十字相乘法。
我先给你举个简单的例子吧。
就像有个二次三项式，比如说x²+5x + 6。
这时候十字相乘法就像一个超级侦探，来把它分解因式啦。
我们要把二次项系数和常数项分别拆成两个数相乘呢。
对于x²的系数1，那就是1×1啦。
对于常数项6呢，我们可以拆成2×3。
然后我们就像搭十字一样，把这些数字摆好。
1和2写在一边，1和3写在另一边，交叉相乘再相加，1×3 + 1×2刚好等于一次项系数5呢。
这样，这个式子就可以分解成(x + 2)(x+ 3)啦。
哇，是不是很神奇呢？我记得我刚开始学这个十字相乘法的时候，那可真是一头雾水啊。
我就想，这都是啥呀，为啥要这么拆数字呢？我就跑去问我的数学老师。
老师就笑着说：“你看啊，这就像是搭积木，每一块积木都有它合适的位置。
二次三项式就像一个待组装的大积木，你得找到合适的小积木块才能把它搭好呀。
”我当时似懂非懂的，不过老师这么一说，我就觉得好像这个方法也没那么难嘛。
有一次，我和我的同桌一起做数学作业。
碰到了一个比较难的二次三项式，好像是2x² - 7x + 3。
我就开始苦思冥想，按照十字相乘法的规则来拆数字。
我先把2x²拆成2x 和x，对于常数项3呢，我拆成- 1和- 3。
我试着搭十字，交叉相乘再相加，结果不对呢。
我就有点沮丧，哎呀，这可怎么办呀。
这时候我的同桌凑过来说：“你看，你把3拆成- 1和- 3不对呢。
你可以把2x²拆成2x和x不变，把3拆成- 1和- 3的话，那交叉相乘再相加就不是- 7x啦。
你应该把3拆成- 1和- 3，2x乘以- 1加上x乘以- 3就等于- 7x啦。
”我一听，眼睛一亮，原来是这样啊。
我就按照同桌说的方法做，果然就把这个式子分解成(2x - 1)(x - 3)啦。
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（-2） =-3
不对，因为-3≠+3
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)x2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12
(4)x2-11x-12
(5)x2++q 若ab=q 同号 相同 （1）当q＞0时，a、b﹍﹍，且 a、b的符号与p的符号﹍﹍。 a、b中绝对值 异号 （2）当q＜0时，a、b﹍﹍，且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍与 p的符号相同。 较大的因数
（+1）
+
（+2）=+3
归 叉相乘，和相加； ③检查验证中间 口诀：竖分常数交叉 纳 验，横写因式不能乱 项，横写因式．
①竖分二次项与常数项； ②交
把x2+3x+2分解因式
若作如下分解： 分析∵ (+1) ×(+1)＝+1 (-1) ×(-2)＝+2 二次项系数 常数项
把二次项系数分成两个适当的数的乘积，并竖直排列 把常数项分成两个适当的数的乘积，并竖直排列 将排列的4个数交叉相乘， 两个积写在两列的正下方 若两个积的和等于一次项的系数，便可分解因式。 这种方法叫十字相乘法 解： x2+3x+2 1 ) ( x ) -1 =( x =(x-1)(x-2) -2 1 对吗？为什么 （-1）
形如x2+px+q的二次项系数为1的 三项式的十字相乘法
将下列各数表示成两个整数的积的形式
（1）6= 2×3 或 (-2)×(-3)或1×6或(-1) ×(-6) （2）-6= 1× (-6)或-1×6或2× (-3)或3× (-2) （3）12= 1× 12或(-1)×(-12)或2× 6或(-2)× (-6) 或3×4 或(-3)× (-4) （4）-12= 1× (-12)或(-1)×12或2×(- 6)或(-2)× 6或 3×(-4) 或(-3)× 4 （5）24= 1× 24或(-1)×(-24)或2× 12或(-2)× (-12) 或 3×8或(-3)× (-8)或4× 6或(-4)× (-6) （6）-24= 1×(- 24)或(-1)×24或2× (-12)或(-2)× 12或 3×(-8)或(-3)× 8或4×(-6)或(-4)× 6
(5) (x－y)2 ＋(x－y) －6
练习：将下列各式用十字相乘法进行因式分解 (1)x2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12 (4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12 作业：将下列多项式因式分解 (1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18 (6)x4+13x2+36 （7）（a+b）2-4(a+b)+3 (9) x2-7x-30 （8）x4-3x3 -28x2
1.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项 的分解因数有多种情况，所以通常要经过多 次的尝试才能确定采用哪组分解来进行分解 因式。 2.步骤： ①竖分二次项与常数项； 顺口溜： ②交叉相乘，和相加； 竖分常数交叉验， ③检验确定，横写因式． 横写因式不能乱．
一、 若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次 因式乘积，则符合条件的整数m个数是多少？ 二、⑴ x2+5x+6； (3) x2+5x-6； ⑵x2-5x+6； (4)x2-5x-6
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+1)＝+1 二次项系数
(+1) ×(+2)＝+2 常数项 1.把二次项系数分成两个适当的数的乘积，并竖直排列 2.把常数项分成两个适当的数的乘积，并竖直排列 3.将排列的4个数交叉相乘， 两个积写在两列的正下方 若两个积的和等于一次项的系数，便可分解因式。这种方法叫 十字相乘法 解： x2+3x+2 1 ) ( x ) +1 =( x =(x+1)(x+2) +2 1
(10) x2+5xy-14y2
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 （7）（a+b）2-4(a+b)+3
(2)x2-3x-4
(3)x2+6xy-16y2
（8） x4-3x3 -28x2
(9) x2-7x-30 (10) x2+5xy-14y2
(4)x2-11xy+24y2
(5)x2y2-7xy-18
(6)x4+13x2+36