北师大高中数学必修四知识点(非常详细)
高中数学必修4(北师版)第一章1.8(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
π ) 的最小正周期，单调性，对称轴，对称中心． 3
π π π kπ π kπ 5π 时，解得 < 3x − < kπ + − <x< + (k ∈ Z) ．所以，函数在区间 2 3 2 3 18 3 18 kπ π kπ 5π π kπ π kπ ，即 x = 时，函数的对称中 ( − , + )(k ∈ Z) 上单调递增．当 3x − = + 3 18 3 18 3 2 9 6 π kπ 心是 ( + , 0 )(k ∈ Z)． 9 6
象． （2）将 y = 的图象．
1 sin x 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变），从而得到 y = sin x 2 1 ，从而得到 y = sin 2x 的图 2
（3）将 y = sin x 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 象． 函数 y = 2 sin(
1 π x + ) 的图象是由函数 y = sin x 的图象怎样变换得到的？ 3 4 π π π 解：变换一：将 y = sin x 的图象向左平移 个单位，得到 y = sin(x + )，再将 y = sin(x + ) 4 4 4 1
π π , ) 内的图象．根据正切函数的周期 2 2 π π 性，我们可以把函数图象向左、向右连续平移，得出 y = tan x，x ∈ (− + kπ, + kπ) ， k ∈ Z 2 2
的图象，即正切曲线．
正弦型函数图象的“五点法”作图 作正弦型函数的简图，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点， 然后在描点作图时要注意到，被 这五个点分隔的区间上的变化情况，在 x = 0, π, 2π 附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在
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北师大高中数学必修四知识点第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限,就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360| αββ}4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制.半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． （2）度数与弧度数的换算:π= 180 rad,1 rad '185730.57)180(=≈=π(3）若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数）,半径为r ,则：弧长公式：r l ||α= ;扇形面积：2||2121r lr S α===5、三角函数：（1)定义:①设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P （u ，v ), 那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ；u 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时，uv 叫 做α的正切，记作tan α, 即tan α=uv 。
高中数学北师版必修四全册知识点讲解加例题分析
填空题是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写 出，它的主要作用是考查考生的基础知识，基本技能以及分析 问题、解决问题的能力．它和选择题同属客观性的试题，它们
有许多共同的特点：其题设短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、
考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、 公正、准确等．
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和 概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计
算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要
在“准”、“巧”、“快”上下功夫．下面是一些常用的方 法．
一、直接法：
【理论阐释】 直接法是指直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、
公式等，经过变形、推理、计算、判断直到直接得到准确
1 a 3．
答案： 1 a 3
总之，解填空题方法要恰当，争取一步到位，答题形式
要标准，避免丢三落四； 同时填空题的结果书写要规范，要
注意以下几个方面：①对于计算填空题，结果往往要化为最 简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到
1 2 精确度要求．如：2 不能写成 4 或写出sin30°等；②所填结
答案： f (2) f (1) f (4)
三、图解法：
【理论阐释】
这体现了数形结合的数学思想方法，对于一些含有几何背
景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的 图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分 析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果.
典例导悟
例1、 如果不等式 4 x x 2 (a 1) x 的解集为 A，且 A {x | 0 x 2} ， 那么实数 a 的取值范围是 ．
北师大高中数学必修四知识点非常详细
北师大高中数学必修四知识点非常详细1.函数函数是数学中非常重要的概念之一、函数是一种特殊的关系，将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。
在数学中，函数通常用公式表示，例如y=f(x)。
函数有多种形式，常见的包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2.直线与圆直线和圆是几何中的基本图形。
直线是由一系列点组成的，这些点在同一条直线上。
圆由一个固定点（圆心）和所有到该点距离相等的点组成。
直线和圆有许多重要的性质和定理。
3.平面向量平面向量是数学中的一种工具，用于表示空间中的有向线段。
平面向量有大小和方向，可以进行加法、减法、数乘等运算。
平面向量还可以用坐标表示，例如向量AB可以表示为AB=<x,y>。
4.三角函数三角函数是数学中的重要工具，用于研究角和周期现象。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数有一系列的性质和公式，可以用于求解各种数学问题。
5.导数与微分导数是微积分中的重要概念。
导数描述了函数在特定点处的变化率。
微分是导数的一种特殊情况，表示函数在特定点的小变化量。
导数和微分有许多重要的应用，例如求函数的极值、描绘函数的图像等。
6.不定积分与定积分不定积分和定积分是微积分的两个重要分支。
不定积分是导数的逆运算，可以用来求解函数的原函数。
定积分表示函数在一些区间上的面积或曲线下的定积分函数值。
不定积分和定积分有许多重要的性质和定理，可以用于求解各种数学问题。
7.数列与数学归纳法数列是数学中一个重要的概念。
数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
常见的数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
数学归纳法是一种证明方法，常用于证明数学命题，特别适用于证明关于数列的命题。
8.排列与组合排列和组合是数学中的一个重要分支，研究对象是从给定集合中选择元素进行排列或组合的方法。
排列是有序选择元素，组合是无序选择元素。
排列和组合有许多重要的性质和公式，可以用于解决各种计数问题。
高一数学小结复习北师大版必修4
高一数学小结复习北师大版必修四【本讲教育信息】一、教学内容：必修四小结复习 二、学习目标1、通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用；2、了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力；3、运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。
三、知识要点1、任意角——将一条射线绕着它的一个端点旋转并规定了旋转方向（沿着逆时针方向为正方向）所形成的图形，有正角、负角和零角之分；2、弧度制——规定：长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记作：1rad 。
3、任意角的三角函数——在坐标系中，利用角的终边上任意一点的坐标来定义；4、三角函数线与诱导公式——借助三角函数线推导诱导公式5、三角函数图像与性质——通过函数线作图、变换作图（平移、伸缩、对称）6、同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系7、函数) sin(ϕω+=x A y 的图像与性质——观察参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响； 8、平面向量的实际背景与基本概念——物理学背景；向量、相等向量、相反向量、共线向量、零向量、单位向量等；9、向量的线性运算——加、减、数乘10、平面向量的基本定理与坐标表示——平面向量的基本定理是建立向量坐标平面的理论依据；向量运算的坐标表示11、平面向量的数量积及其应用——求线段长度与夹角；证明垂直关系12、两角和与差的三角函数公式——由两角差的余弦公式导出和角公式与差角公式，进而导出积化和差公式、和差化积公式、二倍角公式、半角公式 四、考点解析与典型例题 考点一：求角 例1、已知]13,3[,21sin ∈-=x x ，求x 的值。
【解】由题意，ππk x 26+-=或Z k k x ∈+-=，ππ265。
因为]13,3[∈x ，故619465672656234661126ππππππππππππ=+-==+-==+-==+-=x x x x 或或或。
北师大版高中数学必修四详细知识点加例题解析
高中数学北师版必修四全册知识点含例题分析第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ} 4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． （2）度数与弧度数的换算：π=180 rad ，1 rad '185730.57)180(=≈=π（3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则：弧长公式：r l ||α= ；扇形面积：2||2121r lr S α===5、三角函数:（1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ; u 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时，uv 做α的正切，记作tan α, 即tan α=uv . ②设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()0r OP r ==>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠ （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.6()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．()()2sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()3sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．αsinx y ++ _ _ O x y + + _ _ αcos Oαtan x y++__ O()()4sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()5sin 2sin παα-=-，()cos 2cos παα-=，()tan 2tan παα-=-．口诀：函数名称不变，正负看象限．()6sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()7sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．sin y x =cos y x = tan y x =图 象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域值域： []1,1-当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 值域：[]1,1-当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 值域：R既无最大值也无最小值周期性sin y x =是周期函数；周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠； 最小正周期为2π cos y x =是周期函数；周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠； 最小正周期为2πtan y x =是周期函数；周期为,T k k Z π=∈且0k ≠；最小正周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．8、函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的相关知识：（1）()sin y x b ωϕ=A ++的图象与x y sin =图像的关系：①振幅变换：x y sin = x A y sin =②周期变换：x y sin =x y ωsin =③相位变换：x y sin =)sin(ϕ+=x y④平移变换：)sin(ϕω+=x A y ()sin x b ωϕ=A ++先平移后伸缩：函数sin y x =的图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+ 的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0<b ）平移b 个单位，得到函数()sin y x b ωϕ=A ++．先伸缩后平移：函数sin y x =的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕω图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的ω1倍，纵坐标不变图象整体向上（）或向下（）个单位，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0<b ）平移b 个单位，得到函数()sin y x b ωϕ=A ++．（2）函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA bx A y 的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 定义域：R值域：[],A b A b -++当22x k πωϕπ+=+()k ∈Z 时，max y A b =+； 当22x k πωϕπ+=-()k ∈Z 时，min y A b =-+．周期性：函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 是周期函数；周期为ωπ2=T单调性：x ωϕ+在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是增函数； x ωϕ+在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是减函数． 对称性：对称中心为(),0k k πϕω-⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭；对称轴为x ωϕ+()2k k ππ=+∈Z第二章 平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：||a =．4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
北师大高中数学必修四知识点非常详细修订版
北师大高中数学必修四知识点非常详细修订版第一章函数的概念与性质1.1函数的概念1.2函数的基本性质函数的基本性质包括奇偶性、周期性、单调性和有界性等。
根据图像和函数表达式可以判断函数的性质。
第二章三角函数与解三角形2.1三角函数的概念与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义域和值域，以及图像和周期都有一定的规律。
2.2三角函数的运算三角函数之间可以进行各种运算，如加减乘除、复合函数、反函数等。
这些运算可以通过公式和性质来推导。
2.3解三角形解三角形是指根据给定的一些条件来确定三角形的各个角度和边长。
解三角形的方法有余弦定理、正弦定理、辅助角等。
第三章平面解析几何3.1向量的概念与运算向量是具有大小和方向的量，可以进行加减乘除等运算。
向量的基本性质有共线、共面、平行、垂直等。
3.2平面上的点与直线平面上的点与直线有一些基本的性质和关系。
可以使用两点式、点斜式、一般式等来表示直线。
3.3圆的概念与性质圆是由平面上与特定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆的中心、半径、切线、弦等都有特定的性质。
第四章导数与微分4.1导数的概念与性质导数表示函数在其中一点处的变化率。
导数的性质有加法性、乘法性、链式法则等。
4.2导数的计算可以通过定义法、基本导数公式和导数运算法则等方法来计算导数。
常见的导数有多项式函数、指数函数、对数函数等。
4.3微分与微分中值定理微分是导数的一种近似。
微分中值定理是指在区间内存在特定点，使得该点的斜率等于该区间上的平均斜率。
第五章积分5.1不定积分与定积分不定积分是指求解原函数的过程，定积分是对函数在给定区间上的面积（或弧长等）进行求解。
5.2积分的性质与基本公式积分具有线性性质、区间可加性以及换元积分法等。
常见的积分有多项式积分、三角函数积分等。
5.3定积分的应用定积分可以应用于计算曲线下面的面积、旋转体的体积、弧长、质量、质心等问题。
这些知识点是北师大高中数学必修四的核心内容，对学生的数学能力培养具有重要意义。
高中数学必修4知识总结(完整版)
高中数学必修四知识点总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 21122S lr r α==．9、（一）设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）yx叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)yx xα=≠。
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北师大高中数学必修四知识点第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ} 4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． （2）度数与弧度数的换算：π=180 rad ，1 rad '185730.57)180(=≈=π（3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则：弧长公式：r l ||α= ；扇形面积：2||2121r lr S α===5、三角函数:（1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u v )， 那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ;u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时，uv叫 做α的正切，记作tan α, 即tan α=uv . ②设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ，它与原点的距离是()220r OP r x y ==+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠ （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.（3）特殊角的三角函数值α的角度 ︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180α的弧度 06π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π αsin21 22 23 1 23 22 21 0αcos1 23 22 21 021- 22- 23- 1- αtan331 3 不存在 3- 1-33- 0P (x ,y )yxoP (u ,v )yxoαsin xy ++__Ox y + +__ αcosOαtanxy++ _ _ Oα的角度 ︒210 ︒225 ︒240 ︒270 ︒300 ︒315 ︒330 ︒360 α的弧度 67π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2αsin21- 22- 23- 1-23-22- 21-αcos23- 22-21- 02122 23 1 αtan33 1 3 不存在 3- 1-33- 06、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．()()2sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()3sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()()4sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()5sin 2sin παα-=-，()cos 2cos παα-=，()tan 2tan παα-=-．口诀：函数名称不变，正负看象限．()6sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()7sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，正负看象限． 7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域值域：[]1,1-当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．值域：[]1,1-当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．值域：R既无最大值也无最小值周期性siny x=是周期函数；周期为2,T k k Zπ=∈且0k≠；最小正周期为2πcosy x=是周期函数；周期为2,T k k Zπ=∈且0k≠；最小正周期为2πtany x=是周期函数；周期为,T k k Zπ=∈且k≠；最小正周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴8、函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的相关知识：（1）()sin y x b ωϕ=A ++的图象与x y sin =图像的关系：①振幅变换：x y sin = x A y sin =②周期变换：x y sin = x y ωsin =③相位变换：x y sin = )sin(ϕ+=x y④平移变换：)sin(ϕω+=x A y()sin y x b ωϕ=A ++先平移后伸缩：函数sin y x =的图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+ 的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0<b ）平移b 个单位，得到函数()sin y x b ωϕ=A ++．先伸缩后平移：函数sin y x =的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕω个单位，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的ω1倍，纵坐标不变图象整体向上（0>b ）或向下（0<b ） b的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0<b ）平移b 个单位，得到函数()sin y x b ωϕ=A ++．（2）函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA bx A y 的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 定义域：R值域：[],A b A b -++当22x k πωϕπ+=+()k ∈Z 时，max y A b =+； 当22x k πωϕπ+=-()k ∈Z 时，min y A b =-+．周期性：函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 是周期函数；周期为ωπ2=T单调性：x ωϕ+在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是增函数；x ωϕ+在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是减函数． 对称性：对称中心为(),0k k πϕω-⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭；对称轴为x ωϕ+()2k k ππ=+∈Z第二章 平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =．4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//；规定与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点： 首尾相接⑵平行四边形法则的特点： 起点相同⑶运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑷坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()2121,x x y y AB =--．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；baCBAa b C C -=A -AB =B②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．9、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．10、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 12、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y =，则222a x y =+，或22a x y =+设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121222221122cos a b a bx yx yθ⋅==++．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：1cos sin 22=+αα （２）商数关系：αααcos sin tan = （３）倒数关系：1cot tan =ααααα222tan 1tan sin += ； αα22tan 11cos += 注意： αααtan ,cos ,sin 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- )(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a )(βα+T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+)(βα-T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-正切和公式：)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-⋅+=+ 3、辅助角公式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 )sin()sin cos cos (sin 2222ϕϕϕ+⋅+=⋅+⋅+=x b a x x b a（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点),(b a ，ab =ϕtan ）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：α2S ： αααcos sin 22sin =α2C ： ααα22sin cos 2cos -=1cos 2sin 2122-=-=αα α2T ： ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角公式的常用变形：①、|sin |22cos 1αα=-，|cos |22cos 1αα=+；②、|sin |2cos 2121αα=-， |cos |2cos 2121αα=+ ③、22sin 1cos sin 21cos sin 22244ααααα-=-=+；ααα2cos sin cos 44=-；降次公式：ααα2sin 21cos sin =212cos 2122cos 1sin 2+-=-=ααα 212cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα5、半角的正弦、余弦和正切公式：2cos 12sinαα-±= ； 2cos 12cos αα+±=， αααcos 1cos 12tan+-±=ααααcos 1sin sin cos 1+=-= 6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① αα22cos 1sin -=； αα2cos 1sin -±=；αα22sin 1cos -=； αα2sin 1cos -±=； ②θθθθθθθ2sin 2cos sin sin cos cot tan 22=+=+，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2tan12tan 1cos 22ααα+-=； 2tan12tan 2tan 2ααα-=②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=③和差化积公式 2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-寻一处清幽，觅孤独，是沉淀心孤独时的寡言罕谈痛不言，笑不语。