2014-2015学年第一学期期中质量检测高二数学 试卷
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(理)试题(扫描版)
高二数学（理）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBBBACACBCDA二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．[)2,3 14. 2213+15. 20(62)- 16. 2nn ∙ 17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ． 因为3660a a =-=，， 所以112650.a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得1102a d =-=，．所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-． ------------5分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为21231248b a a a b =++=-=-，，所以824q -=-，即3q =．所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--．-----------10分 18. 解：（Ⅰ）2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以的解集是()0,5，所以是方程的两个根，由韦达定理知， 2()210f x x x =-. ------------5分（Ⅱ）()2f x t +≤ 恒成立等价于021022≤-+-t x x 恒成立,设2()2102g x x x t =-+-，则()g x 的最大值小于或等于则由二次函数的图象可知2102)(2-+-=t x x x g 在区间]1,1[-为减函数，所以t g x g +=-=10)1()(max ，所以10t ≤-. -----------12分19. 解:（Ⅰ）证明：∵A、B 、C 成等差数列，∴B =600，220x bx c ++<05和220x bx c ++=5,0,10,0,22b cb c -==∴=-=又∆ABC 的面积为3，∴360sin ac 210=，∴ac=4 ∴a、2、c 成等比数列 --------------------------4分 （Ⅱ）在∆ABC 中，根据余弦定理，得 b 2=a 2+c 2-2accos600=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac=4，∴ b≥2, 当且仅当a=c 时，等号成立 ----------------8分 ∴∆ABC 的周长L =a+b+c≥b ac 2+=4b +.当且仅当a=c 时，等号成立 ∴426L ≥+=, 当且仅当a=c 时，等号成立 ∴∆ABC 周长的最小值为6，因为a=c ，B=600，此时∆ABC 为等边三角形. -----------------12分 20.解：由题意得，1300v x =，250v y =∵1230100,,420v v ≤≤≤≤ ∴525310,22x y ≤≤≤≤由题设中的限制条件得149≤+≤y x于是得约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤22525103149y x y x目标函数y x y x p 23131)8(2)5(3100--=-+-+= ………６分做出可行域（如图），（没有图扣２分） 当223,23zx y y x z +-=+=即平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p 最小. 所以当4,10==y x ，即5.12,3021==v v 时，93min =p 元 ……１２分 21．（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C =，因为sin 0A ≠，解得tan 3C =，3C π=． ……… 4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得2sinsin(2)3sin 233A A ππ+-=， 即331cos 2sin 23sin 2222A A A ++=． 35(1cos 2)sin 222A A += 23cos 5sin cos A A A = ……… 8分若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，213b =， ABC ∆的面积17326S bc ==．若cos 0A ≠，则3cos 5sin A A =，5721cos ,sin ,1414A A == 由正弦定理，得1a =． 321sin sin()14B A C =+=， ABC ∆的面积133sin 24S ac B ==． 综上，ABC ∆的面积为736或334． ……… 12分解法二：由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，213b =， ABC ∆的面积17326S bc ==．……… 8分若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积133sin 24S ab C ==．综上，ABC ∆的面积为736或334． ……… 12分22. （Ⅰ）12311232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=，n N *∈① 123123(1)2n n na a a n a a -∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥②①-②：1122n n n n n na a a ++=-，13122n n n n a a ++∴=， ……… 2分 即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又由①得n=1时，121a a ==222a ∴=，2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2n ≥时，2223n n n a n -=⋅，∴当1n =时，11T =；当2n ≥时,0121436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①12213343632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,②①-②得，1221222(333)23n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=1123323n n n ---+-⋅ =11(12)3n n --+-⋅111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥，又11T =也满足 111()3()22n n T n n N -*∴=+-∈ ……… 8分（Ⅲ）()11nn a a n n λλ≤+⇔≥+，由（Ⅰ）可知： 当2n ≥时，()2231n n n λ-⋅≥+，令()()2231n f n n n -⋅=+，则()()()()()1211233112232n n f n n n nf n n n n --++⋅=⋅=>++⋅+， 又()0f n >，∴()()1f n f n +>∴当2n ≥时，()f n 单增，∴()f n 的最小值是()123f = 而1n =时，11112a =+，综上所述，1n a n +的最小值是13 ∴13λ≥，即λ的最小值是13……… 12分。
湖北省武汉市部分重点中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
湖北省武汉市部分重点中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．（5分）直线y=2x﹣1在y轴上的截距是（）A．1B．﹣1 C．D．﹣2．（5分）设A（3，2，﹣1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离|CM|=（）A．4B．2C．4D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A．0.4 B．0.35 C．0.3 D．0.255．（5分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．1C．2D．6．（5分）已知直线l：ax+by+1=0，圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0，则直线l和圆M在同一坐标系中的图形可能是（）A．B．C．D．7．（5分）曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的面积为（）A．+1 B．π+2 C．2π+1 D．均不对8．（5分）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×C （“×”表示通常的乘法运算）等于（）A．78 B．77 C．7A D．7B9．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为（）A．B．1C．D．10．（5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有4个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行直线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有1个、2个或3个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相切”．已知直线l1：2x﹣y+a=0，l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a≤﹣或≤a≤7 B．a＞或a＜﹣C．a＞7或a＜﹣3 D．a≥7或a≤﹣3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）如图是某个函数求值的程序框图，则输入实数x=0，则输出的函数值为．12．（5分）在如图程序中，输入：m=30，n=18，则输出的结果为：．13．（5分）A，B，C，D四名学生按任意次序站成一横排，则A在边上，B不在边上的概率是．14．（5分）圆拱桥的水面跨度为24米，拱高为8米，现有一船，船宽为10米，载货后货物宽度与船的宽度相同，如果这条船想从桥下通过，则该船水面以上最高不能超过米．15．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离等于1，则k的取值范围是k≤﹣或k≥，；直线l倾斜角的取值范围是[，）∪（，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．16．（12分）某校2014-2015学年高二年级准备从甲、乙两名数学优秀的学生中选出1人参加全国数学联赛，为了研究甲、乙谁更优秀，统计了他俩在高中考试的13次数学成绩，用茎叶图统计如图，请用所学统计知识研究，应该选哪一个人参加联赛？并说明理由．17．（12分）已知直线l经过直线l1：3x+2y﹣5=0，l2：2x+3y﹣5=0的交点M，（1）若l⊥l1，求直线l的方程；（2）求点（2，1）到直线l的距离的最大值．18．（12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．19．（12分）已知圆心为C的圆经过点M（1，2）和N（，），且圆心C在直线l：x﹣2y+2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）记事件“直线ax﹣by+2b=0与圆C相交”为A，若将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a、b，求事件A发生的概率．20．（13分）已知|M1M2|=2，点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m．（1）试建立适当坐标系，求点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形；（2）求当m=2时，点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知以C1为圆心的圆的方程为：（x+1）2+y2=1，以C2为圆心的圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（Ⅰ）若过点C1的直线l沿x轴向左平移3个单位，沿y轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线l被圆C2截得的弦长；（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P 分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求•的取值范围．湖北省武汉市部分重点中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．（5分）直线y=2x﹣1在y轴上的截距是（）A．1B．﹣1 C．D．﹣考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：利用斜截式的意义即可得出．解答：解：直线y=2x﹣1在y轴上的截距是﹣1．故选：B．点评：本题考查了斜截式的意义，属于基础题．2．（5分）设A（3，2，﹣1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离|CM|=（）A．4B．2C．4D．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用中点坐标公式、两点之间的距离公式即可得出．解答：解：设AB的中点M（x，y，z），则，化为x=2，y=1，z=2．∴M（2，1，2）．∴|CM|==2．故选：B．点评：本题考查了中点坐标公式、两点之间的距离公式，属于基础题．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．分析：根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．4．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A．0.4 B．0.35 C．0.3 D．0.25考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有可以通过列举得到共7组随机数，根据概率公式，得到结果．解答：解：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有：191、271、932、812、393，113，134共7组随机数，∴所求概率为0.35．故选B．点评：本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．5．（5分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．1C．2D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：：执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，注意到a的取值以3为周期，从而由2013=671*3即可确定i=2013时不满足条件i≥2014，第2013次执行循环体，此时a=2，i=2014满足条件i≥2014，输出a的值为2．解答：解：执行程序框图，有a=2，i=1不满足条件i≥2014，第1次执行循环体，有a=，i=2不满足条件i≥2014，第2次执行循环体，有a=﹣1，i=3不满足条件i≥2014，第3次执行循环体，有a=2，i=4不满足条件i≥2014，第4次执行循环体，有a=，i=5…i=2013不满足条件i≥2014，第2013次执行循环体，因为2013=671*3，故有以上规律可知此时a=2，i=2014满足条件i≥2014，输出a的值为2．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6．（5分）已知直线l：ax+by+1=0，圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0，则直线l和圆M在同一坐标系中的图形可能是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+b2，圆心M（a，b），半径r=，圆心M到直线l的距离d=＞r，故直线与圆相离．由此根据四个选项利用直线和圆的性质能求出结果．解答：解：圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+b2，圆心M（a，b），半径r=，圆心M到直线l的距离d=＞r，故直线与圆相离．对于A，圆心M（0，b），此时a=0，直线l应该平行于x轴，故A错误；对于B，由圆与直线有交点，知B错误；对于C，由圆的图形得a＞0，b＞0，此时直线应在第二、三、四象限，成立，故C正确；对于D，由圆的图形得a＜0，b=0，此时直线应平行于y轴，故D错误．故选：C．点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用．7．（5分）曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的面积为（）A．+1 B．π+2 C．2π+1 D．均不对考点：定积分．专题：直线与圆．分析：通过对x，y的取值讨论，去掉绝对值符号，说明曲线的图形形状，画出图形，即可解答所求问题．解答：解：当x，y≥0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x﹣）2+（y﹣）2=，曲线表示以为（，）圆心，以为半径的圆，在第一象限的部分；当x≥0，y≤0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x﹣）2+（y+）2=，曲线表示以为（，﹣）圆心，以为半径的圆，在第四象限的部分；当x≤0，y≥0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x+）2+（y﹣）2=，曲线表示以为（﹣，）圆心，以为半径的圆，在第二象限的部分；当x≤0，y≤0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x+）2+（y+）2=，曲线表示以为（﹣，﹣）圆心，以为半径的圆，在第三象限的部分；如图综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域．这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径．所求曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的图形面积为：=2+π．故选：B．点评：本题考查曲线所围成的图形面积的求法，注意分类讨论思想的应用，数形结合的应用，考查计算能力．属于中档题8．（5分）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×C （“×”表示通常的乘法运算）等于（）A．78 B．77 C．7A D．7B考点：进位制．专题：计算题．分析：首先计算出A×C的值，再根据十六进制的含义表示出结果．解答：解：∵A×C=10×12=120，120÷16=7余8，7÷16=0余7，∴用十六进制表示为78．故选：A．点评：认真读题，理解十六进制的含义，培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力．9．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为（）A．B．1C．D．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到可行域内的点到原点的最小值，则答案可求．解答：解：由约束条件作出可行域如图，则x2+y2的最小值为（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离，大于．∴满足x2+y2≥a恒成立的实数a的最大值为．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．10．（5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有4个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行直线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有1个、2个或3个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相切”．已知直线l1：2x﹣y+a=0，l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a≤﹣或≤a≤7 B．a＞或a＜﹣C．a＞7或a＜﹣3 D．a≥7或a≤﹣3考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：首先把圆的一般式转化为标准式，进一步利用圆心到直线的距离与半径的关系求解．解答：解：圆：x2+y2+2x﹣4=0转化为标准方程为：（x+1）2+y2=5，圆心坐标为：（﹣1，0），半径为：则：已知直线l1：2x﹣y+a=0，和圆相切：，解得：﹣3≤a≤7①同理：l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则：，解得：②由①②得：或，故选：A．点评：本题考查的知识要点：点到直线的距离与半径的关系，圆的一般式与顶点式的转化，不等式组的解法．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）如图是某个函数求值的程序框图，则输入实数x=0，则输出的函数值为5．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，因输入实数x=0，故不满足条件x＜0，有f（x）=5．解答：解：执行程序框图，有x=0不满足条件x＜0，有f（x）=5输出f（x）的值为5．故答案为：5．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．12．（5分）在如图程序中，输入：m=30，n=18，则输出的结果为：6．考点：伪代码．专题：阅读型；算法和程序框图．分析：根据r=m MOD n表示m除以n的余数赋给r，然后将n的值赋给m，再将r的值赋给n，继续做循环，直到r=0退出循环，输出m的值即可．解答：解：m MOD n表示m除以n的余数则30÷18=1…12，则有r=12，m=18，n=12执行r=m MOD n得r=6，m=12，n=6执行r=m MOD n得r=0，m=6，n=0退出循环，输出m=6故答案为：6．点评：本题主要考查了伪代码，以及输入、输出语句和循环语句，解题的关键是语句“MOD”的理解，属于基础题．13．（5分）A，B，C，D四名学生按任意次序站成一横排，则A在边上，B不在边上的概率是．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；概率与统计；排列组合．分析：由于所有的排列顺序共有=24种，其中A在边上，B不在边上的有=8种，由此可得概率．解答：解：所有的排列顺序共有=24种，其中A在边上，B不在边上的有=8种，故A在边上，B不在边上的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，求得A在边上，B不在边上的排法有12种，是解题的关键，属于基础题．14．（5分）圆拱桥的水面跨度为24米，拱高为8米，现有一船，船宽为10米，载货后货物宽度与船的宽度相同，如果这条船想从桥下通过，则该船水面以上最高不能超过米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），将B（12，﹣8）代入，求得抛物线方程，求出A的纵坐标，即可求得结论．解答：解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）将B（12，﹣8）代入得p=9，∴x2=﹣18y，当船两侧与抛物线接触时不能通过，设点A（5，y A），由52=﹣18y A，得y A=﹣，所以h=8﹣=米故答案为：点评：本题考查抛物线的应用，是中档题．解题时要认真审题，恰当地建立坐标系，合理地进行等价转化．15．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离等于1，则k的取值范围是k≤﹣或k≥，；直线l倾斜角的取值范围是[，）∪（，]．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心和半径，比较半径和1的大小，根据题意得出圆心到直线的距离小于等于2求圆心到直线的距离公式，从而得直线斜率，即得倾斜角范围．解答：解：圆（x﹣4）2+y2=9的圆心坐标为M（4，0），半径为r=3，所求的圆上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离等于1，∴圆心M到直线l的距离d应小于等于2，即d=≤2，∴k≤﹣或k≥，∵k=tnaα，∴直线l的倾斜角的取值范围是[，）∪（，]．故答案为：k≤﹣或k≥；[，）∪（，]．点评：本题考查了直线和圆的位置关系以及圆心到直线的距离等知识，是易错题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．16．（12分）某校2014-2015学年高二年级准备从甲、乙两名数学优秀的学生中选出1人参加全国数学联赛，为了研究甲、乙谁更优秀，统计了他俩在高中考试的13次数学成绩，用茎叶图统计如图，请用所学统计知识研究，应该选哪一个人参加联赛？并说明理由．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：法一，求出甲、乙的平均分，比较即可得出结论．法二，根据茎叶图中的数据，分析数据的分布特征，也可得出正确的结论．解答：解：【法一】∵甲的平均分为=120+=117；乙的平均分为=120+=123；∴＜，∴乙的水平更高，应选乙．【法二】从茎叶图上看，乙的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，的叶集中在茎11，12，13上，中位数是126，甲的得分也大致对称，叶的分布也是“单峰”的，有的叶集中在10，11，12上，中位数是116，由此可以看出，乙的成绩更好；另外，从也在茎上的分布情况看，乙的分数更集中于峰值附近，这说明乙的发挥更稳定，因此应选乙．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行分析、解答，是基础题目．17．（12分）已知直线l经过直线l1：3x+2y﹣5=0，l2：2x+3y﹣5=0的交点M，（1）若l⊥l1，求直线l的方程；（2）求点（2，1）到直线l的距离的最大值．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：（1）解方程组可得两条直线的交点为（1，1），由垂直关系可设与l1：3x+2y﹣5=0垂直的直线方程为2x﹣3y+b=0，代点求b值即可；（2）直线l过定点（1，1），当直线斜率不存在时，点（2，1）到l：x=1距离为d=1，当直线斜率存在时，设其方程为kx﹣y+1﹣k=0，由距离公式和不等式的性质可得．解答：解：（1）联立，解得∴两条直线的交点为（1，1），设与l1：3x+2y﹣5=0垂直的直线方程为2x﹣3y+b=0，又过点（1，1），代入得b=1，∴直线方程为2x﹣3y+1=0；（2）∵直线l过定点（1，1），当直线斜率不存在时，点（2，1）到l：x=1距离为d=1，当直线斜率存在时，设其方程为：y﹣1=k（x﹣1）即kx﹣y+1﹣k=0；点（2，1）到直线l的距离∴当l：x=1时，点（2，1）到直线l的距离的最大值为1．点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及分类讨论的思想，属基础题．18．（12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）众数为出现频率最高的数，体现在直方图中应为最高矩形所在区间两端点的中点，中位数是从小到大排列中间位置的数，在直方图中其两边的小矩形面积相等，（Ⅱ）考查几何概型，条件中已有父亲上班离家的时间y，再设报纸送达时间为x，关于两个变量的不等式围成平面区域内的点为所有可能，收到报纸即报纸送到时间早于父亲上班时间即想x≤y，围成平面区域为梯形，利用几何概型转化为面积之比求解即可．解答：解：（Ⅰ）众数最高矩形所在区间的中点，则x1=7：00由频率分布直方图可知6：50＜x2＜7：10即410＜x2＜430∴20×0.0033+20×0.0117+（x2﹣410）×0.0233=20×0.0100+20×0.0017+（430﹣x2）×0.0233解得x2=4，（Ⅱ）设报纸送达时间为x，则小明父亲上班前能取到报纸等价于，如图所求概率为P=1﹣=点评：本题（Ⅰ）考查在丢失原始数据的情况下利用直方图求解一些数据，尤其是众数，中位数和平均数，要理解并记忆，（Ⅱ）概率不是古典概型就是几何概型，事件可一一列举多位古典概型，否则为几何概型，设报纸送达时间为x，关于x、y的二元一次不等式组对应平面区域，转化为几何概型，求面积之比．19．（12分）已知圆心为C的圆经过点M（1，2）和N（，），且圆心C在直线l：x﹣2y+2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）记事件“直线ax﹣by+2b=0与圆C相交”为A，若将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a、b，求事件A发生的概率．考点：圆的标准方程；古典概型及其概率计算公式．专题：综合题；直线与圆；概率与统计．分析：（1）确定圆心坐标与半径，即可求圆C的标准方程；（2）依题意：直线ax﹣by+2b=0与圆C相交，则，得到：3a2＜b2，又可知a，b均大于0，故，利用列举法，即可求出事件A发生的概率．解答：解：（1）因为M（1，2），，所以线段MN的中点D，直线MN的斜率为，因此直线MN的垂直平分线的方程为：，即2x+y﹣6=0，所以圆心C的坐标是方程组的解，得，圆C的半径长r=|CM|=1所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=1…（6分）（2）依题意：直线ax﹣by+2b=0与圆C相交，则，得到：3a2＜b2，又可知a，b均大于0，故当a=1时，b=2，3，4，5，6当a=2时，b=4，5，6当a=3时，b=6所以事件A包含的基本事件结果为9，总的基本事件结果有6×6=36种，故事件A发生的概率为=…（12分）点评：本题考查圆的方程，考查概率的求解，确定圆的方程是关键．20．（13分）已知|M1M2|=2，点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m．（1）试建立适当坐标系，求点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形；（2）求当m=2时，点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程．考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）以线段M1M2的中点为原点，直线M1M2为x轴建立直角坐标系，利用点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m，建立方程，即可得出结论；（2）求出当m=2时，点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的方程，即可求出公共点所在的直线方程．解答：解：（1）以线段M1M2的中点为原点，直线M1M2为x轴建立直角坐标系．设M1（﹣1，0），M2（1，0），M（x，y）由已知得：，（m＞0）化简得：（m2﹣1）x2+（m2﹣1）y2﹣2（m2+1）x+m2﹣1=0…（4分）当m=1时，点M在线段M1M2的垂直平分线上，方程为x=0，即y轴；当m≠1时，配方得：表示圆心在半径为的圆．（2）当m=2时，点M的轨迹方程为3x2+3y2﹣10x+3=0，以M1M2为直径的圆的方程为x2+y2=1，∴点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程为x=．点评：本题考查轨迹方程，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知以C1为圆心的圆的方程为：（x+1）2+y2=1，以C2为圆心的圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（Ⅰ）若过点C1的直线l沿x轴向左平移3个单位，沿y轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线l被圆C2截得的弦长；（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P 分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求•的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x+1），向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：y=k（x+3）+k﹣4=kx+k+3k﹣4，可得l的方程，求出圆心C2（3，4）到l：4x﹣3y+4=0的距离，即可求直线l被圆C2截得的弦长；（Ⅱ）利用数量积公式，求出•，即可求出•的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x+1），向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：y=k（x+3）+k﹣4=kx+k+3k﹣4依题意得3k﹣4=0即；所以l：4x﹣3y+4=0所以圆心C2（3，4）到l：4x﹣3y+4=0的距离为．所以被截得弦长为…．（6分）（Ⅱ）动圆D是圆心在定圆（x+1）2+y2=9上移动，半径为1的圆设∠EC1F=2α，则在Rt△PC1E中，，有，则由圆的几何性质得，|DC1|﹣r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，则的最大值为，最小值为．故．…..（14分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2014-2015上学期期中考试高二数学试卷
高二数学学情调研一、填空题（每题5分，共14题）1．斜线与平面所成角的取值范围为 ▲ ．2．与同一条直线都垂直的两个平面的位置关系是 ▲ ．3．若直线350ax y +-=经过点2,1（）则实数a = ▲ ．4．点(1,2)P -到直线2100x y +-=的距离为 ▲ ．5．已知Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边BC 旋转一周所成的几何体的体积为 ▲ ．6．过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程是 ▲ ．7．抛物线24x y =-的准线方程是 ▲ ．8．若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值是 ▲ ．9．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线的标准方程 为 ▲ ．10．焦点在x轴上的椭圆的离心率为2，且它的长轴长等于圆22:2150C x y x ++-= 的半径，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．11．已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题：（1）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；（2）若,//n m n αβ= ，则//,//m m αβ； （3）若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥； （4）若//,m m n α⊥，则n α⊥． 其中所有真命题的序号是 ▲ ．第13题图A E1 12．设1F 、2F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M的坐标为，则1PM PF +的最大值为 ▲ ．13．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,,,E F G H 分别是棱1111,,,CC C D D D CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则当11MN AC ⊥时，点M 的轨迹是 ▲ ．14．已知动点(,)P x y 满足220x y x y +--=，O 为坐标原点，则PO 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题（共90分）15．（本题14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． 求证：（1）AB ∥EF ；（2）平面BCF ⊥平面CDEF ．16．（本题14分）（1）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为4，且经过点(3,M -，求椭圆的标准方程；（2）已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围．CEABDF（第15题）17．（本题15分）已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆:C 22(1)(2)4x y -+-=．(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线40ax y -+=与圆C 相切，求a 的值；(3)若直线40ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．18．(本题15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4PD DC ==，2AD =，E 为PC 的中点． (1)求证：AD PC ⊥；(2)求三棱锥P ADE -的体积；(3)在线段AC 上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长，若不存在，请说明理由．ABD EP（第18题）19．（本题16分）如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽4m ， （1）若水面下降1m ，求水面宽度；（2）现有一木船宽3m ，高1m ，载货后木船露在水面的部分高为38m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通行？(19题图)20．（本题16分）在平面直角坐标系xOy 中，设(1,0)A -，(1,0)B ,(,)C m n ，且ABC ∆的周长为2．（1）求证：点C 在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程； （2）设直线:l 220mx ny +-=．①判断直线l 与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；②过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ．证明：点H 在定圆上，并求出定圆的方程．。
2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题(word版)
2014～2015学年度第一学期期中考试高二数学试题一．填空题（每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. 命题“2,220x R x x ∃∈++=”的否定是 ▲ .2. 过点()4,3P --，倾斜角为135°的直线的方程为 ▲ .3. ()43,7M xoy -点，关于平面的对称点的坐标为 ▲ .4. 直线240x y +-=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ .5. 已知一个球的体积为336cm π，则这个球的表面积为 ▲ .6. 直线()230215x y +-=-被圆心为，的圆截得的弦长为，则圆的方程为 ▲ 7. “1a =”是“01ax y x ay +=+=直线与直线平行”的 ▲ 条件 （填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”） 8. ()()(),00,2,1,1P m A B 点到定点距离之和的最小值是 ▲9. 在过点()2,3的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦长最短的直线的方程为▲10. ,,_______a b c αβγ设为不同的直线，，，为不同的平面，则下面命题正确的个数为 ①,a c b c a b ⊥⊥若则 ②,a b b a a ααα⊂若则或 ③,a a b b αα⊥⊥若则 ④,αγβγαβ⊥⊥若则11. 若圆222424030x y k x y k k k x y ++-+-=-+=关于直线对称，则实数的值为▲12. 若命题“[)()21,3,220x x a x ∃∈+--≥是不等式”是假命题，则实数a 的值为▲13. 在2,1,ABC BC AB AC ABC ∆==∆中，已知则面积的最大值是▲14. 圆()()2220x a y a a x y a -+-=+=上恰有两点到直线的取值范围是 ▲二、解答题（共6小题，合计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 15.（本小题满分14分）[)()22:11:4240""""p y x mx q x m x p q p q m =++-+∞--+=已知命题二次函数在，上单调递增；命题方程没有实数根。
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷(解析版)
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．直线043:=-+y x l 与圆4:22=+y x C 的位置关系是 （ ） A.相交且过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离 【答案】C 【解析】试题分析：∵圆C 的圆心为（0，0），半径2r =，而圆心到直线l 的距离2d r ===所以直线l 与圆C 相切考点：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 2．已知y x ,之间的几组数据如下表假设根据上表数据所得线性回归方程为11a x b y +=, 某同学根据上表中前两组数据 求得的直线方程为22a x b y +=, 则以下结论正确的是 （ ） A.2121,a a b b >> B.2121,a a b b <> C.2121,a a b b >< D.2121,a a b b << 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知6n =，713,26x y == 12713043121524666267351491625366()2b +++++-⨯⨯==+++++-⨯，122930a =， 而由直线方程的求解可得22b =，把(1,0)代入可得22a =-， ∴1212,b b a a <>考点：线性回归方程的求解3．下图是一个程序框图, 则输出的结果为 （ ）A.20B.14C.10D.7 【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1,5i a ==; 第二次循环2,14i a ==； 第三次循环3,7i a ==； 第四次循环4,20i a ==； 第五次循环5,10i a ==；第六次循环6,5i a ==；……，输出的a 值的周期为5∵跳出循环的i 值为2015，∴第2014次循环的20a =. 考点：循环结构的程序框图4．统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下 甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队全年丢失了79个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0.据此分析 ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定; ③乙队几乎场场失球;④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】试题分析：因为甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失7912， 所以甲队技术比乙队好，故①正确；因为甲队比赛丢失球的个数的标准差为1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6.所以乙队发挥比甲队稳定，故②正确；乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确， 考点：平均数，方差，标准差5．题文天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率 用1, 2, 3, 4表示下雨, 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计, 这三天中恰有两天下雨的概率近似为 （ ）19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A.236 B.216C.41D.非ABC 的结果【答案】C【解析】 试题分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下36组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：192、193、281、245、393、125、302、011、353，共9组随机数，所以所求概率为90.2536= 考点：随机数的含义与应用6．如果圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在到原点的距离为2的点, 则实数a 的取值范围是 （ ）A.)3,1()1,3(⋃--B.)3,3(-C.[－1, 1]D.]3,1[]1,3[⋃-- 【答案】D 【解析】试题分析：圆22()()8x a y a -+-=的圆心(,)a a ，半径r =由于圆22()()8x a y a -+-=∴≤≤∴1||a ≤≤解得13a ≤≤或31a -≤≤-∴实数a 的取值范围是[3,1][1,3]-- 考点：点到直线的距离公式，圆的标准方程7．若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1,则事件A 与B 的关系是 （ ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对 【答案】D 【解析】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件；但若在不同实验下，虽有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 不一定对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的 考点：互斥事件与对立事件 8．已知直线1+=bkxb y 与圆10022=+y x 有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 （ ）A.60条B.66条C.70条D.71条 【答案】A 【解析】 试题分析：22100x y +=，整点为(0,10)±，(6,8)±±，(8,6)±±，(10,0)±，如图，共12个点，直线1x ya b+=（a,b 为非零实数），∴直线与x,y 轴不平行，不经过原点，任意两点连线有212C 条，与x,y 轴平行的有14条，经过原点的有6条，其中有两条既过原点又与x,y 轴平行，所以共有212C +12-14-6+2=60考点：圆与圆锥曲线综合 9．我班制定了数学学习方案 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同 方案共有（ ）A.50种B.51种C.140种D.141种 【答案】D【解析】 试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C +++=种考点：排列组合问题10．如图, 在四面体ABCD 中, E, F 分别为AB, CD 的中点, 过EF 任作一个平面α分别与直线BC, AD相交于点G, H, 有下列四个结论, 其中正确的个数是（ ）①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD 相交于同一点;②存在一个平面0α, 使得点G 在线段BC 上, 点H 在线段AD 的延长线上;③对于任意的平面α, 它把三棱锥的体积分成相等的两部分 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】试题分析：①取AD 的中点H ，BC 的中点G ，则EGFH 在一个平面内，此时直线GF ∥EH ∥BD ，因此不正确；②不存在一个平面0α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③对于任意的平面α，当G ，H 在线段BC ，AD 上时，可以证明几何体AC-EGFH 的体积是四面体ABCD 体积的一般，故③正确. 考点：棱柱、棱台、棱锥的体积二、填空题 11．武汉2中近3年, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未9年前景美好.把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为 . 【答案】9(8888) 【解析】试题分析：012345673(22222222)23232323232323236560=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∵0123656089898989=⨯+⨯+⨯+⨯，∴把三进制数3(22222222)化为九进制数的结果是9(8888)考点：进位制 12．某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 . 【答案】13【解析】试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433⨯= 考点：相互独立事件的概率乘法公式 13．已知)1,0(,∈y x , 则1212222222+-+++-+++x y x y y x y x 22222+--++y x y x 的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：从所给式子的几何意义考虑，即找点(,)x y 到（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）四点的距离之和最小（其中)1,0(,∈y x ），显然当2x =，2y =时距离之和最小为考点：两点间距离公式的应用14．集合}1)1()1(|),{(},1|1||||),{(22≤-+-=≤-+-=y x y x B y a x y x A ,若集合∅=B A , 则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,3] 【解析】试题分析：先分别画出集合{(,)||||1|1}A x y x a y =-+-≤，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤表示的平面图形，集合A 表示一个正方形，集合B 表示一个圆.如图所示，其中(1,1)A a +，(1,1)B a -，欲使A B =∅，只须A 或B 点在圆内即可，∴22(11)(11)1a +-+-≤或22(11)(11)1a --+-≤，解得：11a -≤≤或13a ≤≤，即13a -≤≤ 考点：简单的线性规划问题15．如图, P 为60的二面角βα--l 内一点, P 到二面角两个面的距离分别为2、3, A 、B 是二面角的两个面内的动点,则△PAB 周长的最小值为 .【答案】 【解析】 试题分析：如图，作出P 关于两个平面,αβ的对称点M 、N ，连接MN ，线段MN 与两个平面的交点坐标分别为C ，D ，连接MP ，NP ，CP ，DP ，则△PAB 的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN,当A 与C 重合，B 与D 重合时，由两点只见线段最短可以得出MN 即为△PAB 周长的最小值，根据题意可知：P 到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角l αβ--，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120° 根据余弦定理有：2222MN MP NP MP NP COS MPN =+-⋅⋅∠22146246()762=+-⨯⨯⨯-=∴MN =∴△PAB 周长的最小值等于考点：三角形周长的最小值求法，二面角的定义和求法.三、解答题 16．（本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数;（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本, 员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元, 求甲乙同时被抽到的概率.【答案】（1）平均收入为2400，中位数为2400； （2）甲、乙同时被抽到的概率为1001【解析】试题分析：（1）利用组中值，可得该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知甲、乙同时被抽到的概率. 试题解析：（1）可求出第一个小矩形的高度为0.0002 平均收入为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯375005.0325015.0275025.0225025.017502.012501.02400元 中位数为2400元（面积分为相等的两部分; （3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人, 月收入在3500元至4000元之间的有50人, 由分层抽样可知, 甲、乙同时被抽到的概率为1001 考点：频率分布直方图 17．（本小题满分12分）标号为0到9的10瓶矿泉水.（1）从中取4瓶, 恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？ （2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式, 作为射击的靶子, 规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下）, 把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A 、B 、C 三名垃圾回收人员, 每个瓶子1角钱.垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？ 【答案】（1）35种；（2）25200；（3）66. 【解析】 试题分析：（1）取4张红卡，其中2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有3537=C 种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论 试题解析：（1）取4张红卡, 其中有2张连在一起, 组成3个组合卡, 6张白卡排成一排, 插入3个组合卡, 有3537=C 种方法, 然后在卡片上从左到右依次编号, 取出红色卡, 一种插法对应一种取数字的方法, 所以共有35种.（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合, 因为每组数的数字大小是固定的, 数字小的挂下面.所以共有252003538210=C C C .（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关, 他们所得钱数只与所得瓶子个数有关.所以66212=C .考点：考查排列、组合的实际应用18．（本小题满分12分）如图, 已知圆M ()2244x y +-=, 直线l 的方程为20x y -=,点P 是直线l 上一动点, 过点P 作圆的切线PA 、PB , 切点为A 、B ．（1）当P 的横坐标为165时, 求∠APB 的大小; （2）求证 经过A 、P 、M 三点的圆N 必过定点, 并求出所有定点的坐标． 【答案】（1）∠APB ＝60°；（2）84(0,4),,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设可知，圆M 的半径2r =，168(,)55P ，∠MAP=90°，根据MP=2r ，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB 的大小；（2）设P 的坐标，求出经过A 、P 、M 三点的圆的方程即可得到圆过定点. 试题解析：解 （1）由题可知, 圆M 的半径r ＝2, 168(,)55P , 因为PA 是圆M 的一条切线, 所以∠MAP ＝90°又因MP＝4=＝2r, 又∠MPA ＝30°, ∠APB ＝60°; （6分）（2）设P （2b, b ）, 因为∠MAP ＝90°, 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径, 方程为 ()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即()22(24)40x y b x y y +--+-= 由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩, 解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 考点：直线与圆的综合问题，圆过定点，19．（本小题满分12分）边长为2的正方形ABCD 中, BC F AB E ∈∈,（1）如果E 、F 分别为AB 、BC 中点, 分别将△AED 、△DCF 、△BEF 沿ED 、DF 、FE 折起, 使A 、B 、C 重合于点P.证明 在折叠过程中, A 点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.（2）如果F 为BC 的中点, E 是线段AB 上的动点, 沿DE 、DF 将△AED 、△DCF 折起,使A 、 C 重合于点P, 求三棱锥P －DEF 体积的最大值.【答案】（1）证明见解析，A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上.（2 【解析】试题分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论.（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论.试题解析：（1）解：∵E 、F 分别为正方形边AB 、BC 中点, 在平面图中连接AF, BD 交于O 点, AF 交DE 于M, 可知O为三角形DEF 的垂心.三角形AED 在沿DE 折叠过程中, AM 始终垂直于DE, ∴A 在过M 且与DE 垂直的平面上, 又AM ＝52, ∴A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上. （2）∵PD ⊥PF, PD ⊥PE, ∴PD 垂直于平面PEF, 所以当三角形PEF 面积最大时, 三棱锥P －DEF 体积最大.设PE ＝t,α=∠EPF ,αcos 211)2(22t t t -+=+-,tt 22cos -=α 48321)22(12122-+-=--=∆t t t t t S PEF , 当34=t 时932max =V . 考点：空间几何体的折叠问题，三棱锥的体积计算20．（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC∩BD=O,AA 1=23, BD ⊥A 1A, ∠BAD=∠A 1AC=60°, 点M 是棱AA 1的中点.（1）求证 A 1C ∥平面BMD;（2）求证 A 1O ⊥平面ABCD;（3）求直线BM 与平面BC 1D 所成角的正弦值.【答案】（1）（2）证明详见试题分析（3【解析】试题分析：（1）连结MO ，由已知条件推导出MO//A1C,由此能证明（2）由已知条件推导出BD ⊥面A1AC ，12AO AC == （3）通过作辅助线确定直线MB 与平面1BDC 所成的角，然后求出其正弦值试题解析：（1）证明：连结MO ，∵1,AM MA AO OC ==，∴MO ∥1AC ，∵MO ⊂平面BMD ，1AC ⊄平面BMD ∴A 1C ∥平面BMD.（2）证明：∵1BD AA ⊥，BD AC ⊥，∴BD ⊥平面1A AC于是1BD AO ⊥，AC BD O =，∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=12又∵1AA =160o AAC ∠=，∴1AO AC ⊥， 又∵1AO BD ⊥，∴1AO ⊥平面ABCD.（3）解：如图，以O 为原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，由题意知1(0,0,3)A ，A ，(C (0,1,0)B ，(0,1,0)D -，∵11(AC AC ==-，∴1(C -∵3()22M，∴3()22MB =--，(0,2,0)DB =，1(1,3)BC =--， 设平面1BC D 的法向量为(,,)nx y z =，则12030n DB y n BC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取x =(3,0,2)n =∴332cos ,MB n --<>==∴直线BM 与平面1BC D =. 考点：立体几何的证明与求解21．（本小题满分13=5+5+3分）已知点),(00y x P 是圆:C 8)2()2(22=-+-y x 内一点（C 为圆心）, 过P 点的动弦AB.（1）如果)1,1(P , 72||=AB , 求弦AB 所在直线方程.（2）如果)1,1(P , 当PAC ∠最大时, 求直线AP 的方程.（3）过A 、B 作圆的两切线相交于点M , 求动点M 的轨迹方程.【答案】（1）1=y （2）1+-=x y （3）8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x【解析】试题分析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y ；（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当xy zNC 最大时, 角CAP 最大；（3）求出圆C 在A 、B 处的切线方程，可得AB 的方程，点P 00(,)x y 在AB 上，即可得出结论.试题解析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当NC 最大时, 角CAP 最大, 又NC ≤PC, 所以当N 、P 重合时, PAC ∠最大, 此时PC PA ⊥, 故PA 的方程为 1+-=x y（3）因为过A 、B 的圆心的两条切线相交, 所以P 点异于圆心C.设),(,),(2211y x B y x A , ),(//y x M , 圆C 在A 、B 处的切线方程分别为 8)2)(2()2)(2(11=--+--y y x x , 8)2)(2()2)(2(22=--+--y y x x , 它们交于点M , 所以8)2)(2()2)(2(/1/1=--+--y y x x ,8)2)(2()2)(2(/2/2=--+--y y x x这两式表明 A 、B 两点在直线8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x 上, 即AB 的直线方程为8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x , P 在AB 上,所以8)2)(2()2)(2(/0/0=--+--y y x x所以M 的轨迹方程为 8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x考点：直线和圆的方程的应用。
江苏省溧阳市高二数学上学期期中教学情况调研试题
江苏省溧阳市2014-2015学年高二数学上学期期中教学情况调研试题一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分） 1.命题“有的质数是偶数”的否定为___________ 2.过点)2,1(M ，且焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程是___________3.已知函数1)(2+=x x x f ，则)1('f =___________4.“0)(0'=x f ”是“可导函数)(x f y =在点0x x =处有极值”的___________条件（选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”） 5.曲线)259(192522<<=-+-k ky k x 的焦距为___________ 6.命题：“存在R x ∈，使042<-+a ax x ”为假命题，则实数a 的取值范围是___________ 7.函数232131)(x x x f -=在区间]1,1[-上的最大值是___________8.设0)1()12(:,1|34:|2≤+++-≤-a a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是___________9.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点在抛物线x y 482=的准线上，则双曲线的方程是___________10.已知函数ax x x f +=3)(在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是___________11.如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为___________12.设函数2)()(x x g x f +=，若曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为__________(写出一般式) 13.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的中心，右焦点，右顶点及右准线与x 轴的交点依次为H G F O ,,,，则||OH FG的最大值为___________14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥=1),)(2(11,ln )(x a x x e x x x f （a 为常数，e为自然对数的底数）的图像在点)1,(e A 处的切线与该函数的图像恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是___________二．解答题（本大题共6小题，满分90分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）已知0>a ，命题2,0:≥+>∀xa x x p 恒成立，命题R k q ∈∀:，直AB CDEF线02=+-y kx 与椭圆1222=+ay x 有公共点，求使得q p ∨为真命题，q p ∧为假命题的实数a 的取值范围16.（本小题满分14分）已知实数0≠a ，函数)()2()(2R x x ax x f ∈-= （1）若函数)(x f 有极大值32，求实数a 的值（2）若对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围17.（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点21,F F 在x 轴上，长轴21A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，且1:2||:||111=F A MA （1）求椭圆的方程（2）若点P 在直线l 上运动，求21tan PF F ∠的最大值18.（本小题满分16分）两县城A 和B 相距km 20，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为065.0（1）将y 表示成x 的函数（2）AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由19.（本小题满分16分）给定椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，称圆心在原点O ，半径是22b a +的圆为椭圆C 的“准圆”。
成都市20142015学年度上期期末学业质量监测模拟一高二数学
成都市2014-2015学年度上期期末学业质量检测模拟一高二数学一．选择题（本题共10小题，每题5分，共计50分） 1.点在空间直角坐标系的位置是(▲)A. y 轴上B. 平面上C.平面上 D.平面上2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测 试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数 据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为(▲) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,83．已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，则下列命题不．正确．．的是(▲) A ．若α⊥m n m ,//，则α⊥n B ．若n m =⋂βαα,//，则n m // C ．若αβ⊥⊥m m ,，则βα// D ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ 4．已知x ，y 之间的数据如表所示，则回归直线过点(▲)A.(2,1.8) B ．(4,3.2) C ．(3,2.5)D ．(5,3.8)5．已知程序框图如右图所示，则输出的i =(▲)A ．5B ．7C ．9D ．11 6.如图，直三棱柱111ABC A B C -,AC BC ⊥，且12C A C C C B ==，则直线1BC 与直线1AB所成角的余弦值为(▲) A .55 B .53C .255D .357.右图的平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 在BB 1上，点N 在 DD 1上，且BM =12BB 1，D 1N=13D 1D ，若1MN AB AD AA x y z =++， 则=++z y x (▲)甲组乙组9 0 9x 2 1 5 y 8 7 4 2 4x 1 2 3 4 5 y1.21.82.53.23.8C 1B 1A 1CABA .17 B .16 C .23 D .328.已知()0,12,1--=t t a ，()t t b ,,2=，则a b -的最小值为(▲) A.2 B. 6 C. 5 D. 39.已知点),(y x P 满足2284160x x y y -+-+≤，则xy的取值范围(▲) A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,43 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,110.三棱锥P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M 是底面△ABC 内一点，定义()()p n m M f ,,=，其中p n m ,,分别是三棱锥M-PAB ，三棱锥M-PBC ，三棱锥M-PCA 的体积;若()⎪⎭⎫⎝⎛=y x M f ,,21，且81≥+y a x 恒成立，则正实数a 的最小值为(▲)A.1B. 3413-C. 249-D. 2二．填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下： 组别(]10,0 (]20,10 (]30,20 (]40,30 (]50,40 (]60,50 (]70,60频数 12 13241516137则样本落在(]40,10上的频率是 ▲ .12.直线013=+-y x 的倾斜角为______▲_______.13.从点)5,4(P 向圆C :4)2(22=+-y x 引切线，则该切线方程是_______▲___________. 14.四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，且顶点P 在底面ABCD 的射影为底面的中心，若AB a =，棱锥体积为366a ，则侧棱AP 与底面ABCD 所成的角是_____▲___________. 15.如图，将∠B ＝π3，边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小等于θ的二面角B －AC －D ，若DABC MNθ∈［π3，2π3 ］，M 、N 分别为AC 、BD 的中点，则下面的四种说法：①AC ⊥MN ； ②DM 与平面ABC 所成的角是θ； ③线段MN 的最大值是34，最小值是34； ④当θ＝π2时，BC 与AD 所成的角等于π2.其中正确的说法有 ▲_ (填上所有正确说法的序号).三．解答题（本题共6小题，共计75分）16.(本题满分12分)已知点P (2，－1)(1)求过P 点且与直线012:1=+-y x l 垂直的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；17.(本题满分12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取 部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下： (1)求出表中字母m 、n 、M 、N 所对应的数值； (2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图； (3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm 范围内有多少人？18．(本题满分12分)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线AC 、BD 长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．组别 频数 频率 145.5～149.5 8 0.16 149.5～153.5 6 0.12 153.5～157.5 14 0.28 157.5～161.5 10 0.20 161.5～165.5 8 0.16 165.5～169.5m n 合计MN19．(本题满分12分)已知圆C: 2220x x y -+=,直线l ：40x y +-=。
湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）某校现有2014-2015学年高一学生210人，2014-2015学年高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从2014-2015学年高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9C．8D．73．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离4．（5分）六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，不同的分法种数是（）A．B．56C．D．5．（5分）如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞46．（5分）为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度，随机选取了8天，统计上午8：00﹣10：00的点击量．茎叶图如图，设甲、乙的中位数分别为x1，x2，方差分别为D1，D2，则（）A．x1＜x2，D1＜D2B．x1＞x2，D1＞D2C．x1＜x2，D1＞D2D．x1＞x2，D1＜D27．（5分）学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度﹣1 3 8 12 17饮料瓶数 3 40 52 72 122根据上表可得回归方程中的为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．2418．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．9．（5分）下列命题中是错误命题的个数有（）①A、B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；②若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件③A、B为两个事件，p（A|B）=P（B|A）④若A、B为相互独立事件，则p（B）=P（）P（B）．A．0B．1C．2D．310．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f （x）﹣f（y）≥0}，则若在集合M所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M∩N所表示的区域的黄豆约有多少（）A．12 B．25 C．50 D．75二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．11．（5分）在运行如图的程序之后输出y=16，输入x的值应该是．12．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．13．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是．14．（5分）数阵满足：（1）第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n一1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；（3）数阵共有n行．则第5行的第7个数是．15．（5分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率90，100）0.050110，120）36 0.300130，140）12 ③0.050合计④（1）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为，，，；（2）在所给的坐标系中画出区间上的频率分布直方图；（3）根据题中信息估计总体：①120分及以上的学生数；②成绩落在中的概率．17．（12分）已知圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于A，B两点．（Ⅰ）求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2的方程．18．（12分）已知，且（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n．（1）求n的值；（2）求a1+a2+a3+…+a n的值；（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．19．（12分）某校要组建篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩一级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，且规定在确认已经入围后则不必再投篮．若投中2次则确定为二级，若投中3次可确定为一级．已知根据以往的技术统计，某班同学王明每次投篮投中的概率是，每次投篮结果互不影响．（1）求王明投篮3次才被确定为二级的概率；（2）现在已知王明已经入围，在此条件下求他实际投篮5次才入围的概率．20．（13分）已知圆C的圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）点为圆C上任意一点，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知过点A（0，1）且方向向量为的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（1）求实数k的取值范围；（2）若O为坐标原点，且，求k的值．湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是（）A．1B．2C．3D．4考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，又得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数，从而得到需要做除法的次数．解答：解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数3故选C．点评：本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．2．（5分）某校现有2014-2015学年高一学生210人，2014-2015学年高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从2014-2015学年高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9C．8D．7考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：本题是一个分层抽样问题，根据所给的2014-2015学年高一学生的总数和2014-2015学年高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数．解答：解：∵由题意知2014-2015学年高一学生210人，从2014-2015学年高一学生中抽取的人数为7∴可以做出每=30人抽取一个人，∴从高三学生中抽取的人数应为=10．故选A．点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．3．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：用点斜式求得直线m的方程，与直线l的方程对比可得m∥l，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线l的距离大于半径r，从而得到圆和直线l相离．解答：解：由题意可得a2+b2＜r2，OP⊥l1．∵K OP=，∴l1的斜率k1=﹣．故直线l1的方程为y﹣b=﹣（x﹣a），即ax+by﹣（a2+b2）=0．又直线l2的方程为ax+by﹣r2=0，故l1∥l2，圆心到直线l2的距离为＞=r，故圆和直线l2相离．故选A．点评：本题考查点和圆、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离大于半径r，是解题的关键．4．（5分）六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，不同的分法种数是（）A．B．56C．D．考点：排列、组合及简单计数问题．分析：将六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，则其中有1人分两件奖品，故先将奖品分成5份，其中一份有两个奖品，共有种情况，再将5组奖品分别发给5个人，共有种情况，根据分步乘法原理，可得答案．解答：解：六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，可先将6件不同的奖品分成5组再分给5个人故不同的分法种数有种故选D点评：本题考查的知识点是排列组合及简单的计数问题，其中理清解决问题是分类的还是分步的，分步需要分多少步，是解答的关键．5．（5分）如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞4考点：程序框图．专题：图表型．分析：首先将二进制数11111（2）化为十进制数，得到十进制数的数值，然后假设判断框中的条件不满足，执行算法步骤，待累加变量S的值为31时，算法结束，此时判断框中的条件要满足，据此可得正确的选项．解答：解：首先将二进制数11111（2）化为十进制数，11111（2）=1×20+1×21+1×22+1×23+1×24=31，由框图对累加变量S和循环变量i的赋值S=1，i=1，i不满足判断框中的条件，执行S=1+2×S=1+2×1=3，i=1+1=2，i不满足条件，执行S=1+2×3=7，i=2+1=3，i不满足条件，执行S=1+2×7=15，i=3+1=4，i仍不满足条件，执行S=1+2×15=31，此时31是要输出的S值，说明i不满足判断框中的条件，由此可知，判断框中的条件应为i＞4．故选D．点评：本题考查了程序框图，考查了进位制，本题是程序框图中的循环结构，虽先进行了一次判断，实则是直到型性循环，此题是基础题．6．（5分）为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度，随机选取了8天，统计上午8：00﹣10：00的点击量．茎叶图如图，设甲、乙的中位数分别为x1，x2，方差分别为D1，D2，则（）A．x1＜x2，D1＜D2B．x1＞x2，D1＞D2C．x1＜x2，D1＞D2D．x1＞x2，D1＜D2考点：茎叶图．专题：计算题；概率与统计．分析：由茎叶图写出两组数据，分别求出两组数据的中间两数的平均数得两组数据的中位数，然后求出两组数据的平均数，代入方差公式求它们的方差．解答：解：由茎叶图分别得到甲、乙的点击量数据为：甲65，68，70，75，77，78，82，85；乙60，65，70，72，74，81，84，94甲、乙的中位数分别为，，甲的平均数为=75乙的平均数为=75所以甲乙的方差分别为=42．=．所以x1＞x2，D1＜D2．故选D．点评：本题考查了茎叶图，考查了中位数概念及方差公式，一组数据的中位数是把这组数据由小到大排列后的中间位置上的数，若含有偶数个，则是中间两数的平均数，此题是基础题．7．（5分）学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度﹣1 3 8 12 17饮料瓶数 3 40 52 72 122根据上表可得回归方程中的为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．241考点：回归分析的初步应用．专题：计算题；概率与统计．分析：先计算样本中心点，求出回归方程，即可预测气温为30℃时销售饮料瓶数．解答：解：由题意，=7.8，==57.8∵回归方程中的为6，∴57.8=6×7.8+∴=11∴∴x=30°时，故选B．点评：本题考查回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．考点：排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．故选B．点评：本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．9．（5分）下列命题中是错误命题的个数有（）①A、B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；②若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件③A、B为两个事件，p（A|B）=P（B|A）④若A、B为相互独立事件，则p（B）=P（）P（B）．A．0B．1C．2D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：①互斥事件概率加法公式，使用前提是事件互斥，②对立事件概率之和为1，但概率之和为1不一定对立，③条件概率的计算公式，书写错误，④由A、B为相互独立事件，和B也是独立事件，利用独立事件概率公式计算．解答：解：①只有A、B为两个互斥事件时，才有P（A∪B）=P（A）+P（B），否则，此式不成立，①错误，②因为若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B不一定是对立事件．如单位圆的一条直径把圆的面积分成相等的两部分，即区域M和区域N（不含边界），向这两个区域内投一枚绣花针，若针尖落在区域M内记为事件A，若针尖落在区域N内记为事件B，显然满足P（A）+P（B）=1，但A，B不是对立事件，因为针尖还有可能落在直径上，②错误，③由条件概率的计算公式可得p（A|B）=，③错误，④由A、B为相互独立事件，可得和B也是独立事件，故由独立事件的概率公式可得p（B）=P（）P（B）．④正确，综上，错误命题的个数是3个，故选D．点评：本题考察随机事件及其概率中互斥事件，对立事件及相互独立事件概率的关系，要熟记概念，不可混淆，熟练运用公式，但容易在公式的使用条件上出错．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f （x）﹣f（y）≥0}，则若在集合M所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M∩N所表示的区域的黄豆约有多少（）A．12 B．25 C．50 D．75考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问题．解答：解：∵f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，∴集合M：（x﹣2）2+（y﹣22≤2，是一个以（2，2）为圆心，为半径的圆，面积是2π．集合N：（x﹣2）2≥（y﹣2）2，或者（x+y﹣4）（x﹣y）≥0，两条直线x+y﹣4=0和x﹣y=0把M平均分为4份，其中两份就是M与N的交集，因此M∩N面积=×2=×2=π．∴若在集合M所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M∩N所表示的区域的黄豆约有=50．故选C．点评：求限制条件（一般用不等式组来表示）所表示平面区域的面积，一般分为如下步骤：①化简不等式②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求出面积．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．11．（5分）在运行如图的程序之后输出y=16，输入x的值应该是±5．考点：伪代码．专题：操作型；算法和程序框图．分析：由已知中伪代码可得程序的功能是计算分段函数：y=（x+1）2，x＜0：y=（x﹣1）2，x≥0，根据y=16，代入分别计算求出x的值即可．解答：解：本程序含义为：输入x如果x＜0，执行：y=（x+1）2否则，执行：y=（x﹣1）2因为输出y=16由y=（x+1）2，x＜0，可得，x=﹣5由y=（x﹣1）2，x≥0，可得，x=5故x=5或﹣5故答案为：±5点评：本题选择选择结构的程序语句，根据两个执行语句分别计算．属于基础题．12．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．解答：解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．13．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．考点：轨迹方程；圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．解答：解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则，∴代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=1点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．14．（5分）数阵满足：（1）第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n一1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；（3）数阵共有n行．则第5行的第7个数是272．考点：归纳推理．专题：规律型；函数的性质及应用．分析：先确定第5行的第一个数，由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，22，…，2k，…，由此能求出第5行的第7个数．解答：解：设第k行的第一个数为a k，则a1=1，a2=4=2a1+2，a3=12=2a2+22，a4=32=2a3+23，a5=2a4+24=80由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，22，…，2k，…∴第5行组成以80为首项，32为公差的等差数列，∴第5行的第7个数是80+6×32=272故答案为：272点评：本题考查数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15．（5分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，1224，+∞）．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．解答：解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞，1224，+∞）故答案为：（﹣∞，1224，+∞）点评：本题考查新定义，考查生分析问题、解决问题，理解题意有些麻烦，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率90，100）0.050110，120）36 0.300130，140）12 ③0.050合计④（1）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为3，0.025，0.1，1；（2）在所给的坐标系中画出区间上的频率分布直方图；（3）根据题中信息估计总体：①120分及以上的学生数；②成绩落在中的概率．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：图表型．分析：（1）根据频率分步表中所给的频率和频数，根据样本容量，频率和频数之间的关系得到表中要求填写的数字．（2）根据所给的频率分布表所给的数据，画出频率分步直方图．（3）把各个部分的频率相加，得到要求的频率，乘以总体容量，即可估计满足条件的学生人数．解答：解：（1）先做出③对应的数字，=0.1，∴②处的数字是1﹣0.05﹣0.2﹣0.3﹣0.275﹣0.1﹣0.05=0.025∴①处的数字是0.025×120=3④处的数字是1，故答案为：3；0.025；0.1；1（2）（3）①120分及以上的学生数为：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125；②成绩落在中的概率为：点评：本题考查频率分布直方图，考查频率分布直方图的画法及频率分布直方图的应用，其中频率=频数÷样本容量=矩形的高×组矩，是处理利用频率分布直方图问题关键．17．（12分）已知圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于A，B两点．（Ⅰ）求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2的方程．考点：直线和圆的方程的应用；点到直线的距离公式；圆的一般方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求出圆心到直线l的距离，再利用勾股定理即可求出弦AB的长；（II）设圆C2的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，与圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+2）y+F=0，利用圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，可得D=2E+6，再根据圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），可构建方程组，从而可求圆C2的方程．解答：解：（Ⅰ）圆心到直线l的距离，（2分）所以．（4分）（II）设圆C2的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆∴两方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+4）y+F﹣4=0，∵圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，∴，即D=2E+6．（6分）又因为圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），所以所以圆C2的方程为x2+y2+6x﹣16=0．（8分）点评：本题考查圆中的弦长问题，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是利用圆的特征，确定公共弦的方程．18．（12分）已知，且（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n．（1）求n的值；（2）求a1+a2+a3+…+a n的值；（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据题意，将按排列、组合公式展开化简可得（n﹣5）（n﹣6）=90，解可得：n=15或n=﹣4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；（2）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1﹣2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1，令令x=0得a0=1，两式相减可得答案．（3）根据展开式的通项公式，可得展开式中第r+1项的系数绝对值为2r•．由求得r=10，可得展开式中系数绝对值最大的项是第11项．解答：解：（1）∵已知，∴n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=56•，即（n﹣5）（n﹣6）=90，解之得：n=15或n=﹣4（舍去），∴n=15．（2）（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1﹣2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1得：a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1，再令x=0得：a0=1，∴a1+a2+a3+…+a15=﹣2．（3）展开式的通项公式为T r+1=，故展开式中第r+1项的系数绝对值为2r•．由解得≤r≤，∴r=10，故展开式中系数绝对值最大的项是第11项．点评：本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意排列、组合数的定义、性质，其次注意灵活运用赋值法，属于中档题．19．（12分）某校要组建篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩一级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，且规定在确认已经入围后则不必再投篮．若投中2次则确定为二级，若投中3次可确定为一级．已知根据以往的技术统计，某班同学王明每次投篮投中的概率是，每次投篮结果互不影响．（1）求王明投篮3次才被确定为二级的概率；（2）现在已知王明已经入围，在此条件下求他实际投篮5次才入围的概率．考点：相互独立事件；条件概率与独立事件．专题：计算题．分析：（1）设王明投篮3次才被确定为二级为事件A，分析可得其前2次投篮中有一次投中，第3次投中，由独立事的概率乘法公式与n次独立事件中恰有k次发生的概率公式，计算可得答案；（2）设王明入围为事件B，他投篮5次为事件C；由对立事件的概率公式易得P（B），由独立事件的概率乘法公式可得P（BC），然后由条件概率公式计算可得答案．解答：解：（1）设王明投篮3次才被确定为二级为事件A，王明投篮3次才被确定为二级，即其前2次投篮中有一次投中，第3次投中，故P（A）=×××=；（2）设王明入围为事件B，他投篮5次为事件C，则P（B）=1﹣﹣=，P（BC）=×=，故所求事件的概率为P（C|B）==点评：本题考查相互独立事件概率的计算，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属基础题．20．（13分）已知圆C的圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）点为圆C上任意一点，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）依题意设圆心坐标为（a，3a）（a＞0），由圆与x轴相切，得到半径为|3a|，进而表示出圆C的标准方程，由垂径定理及勾股定理表示出圆心到直线y=x的距离d，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=x的距离，两者相等列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出圆C的方程；（2）由（1）求出的圆C方程，设x=1+3cosθ，y=3+3sinθ（θ∈），代入已知的不等式中，分离出m，去括号整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由不等式恒成立得到m大于等于﹣x﹣y的最大值，由正弦函数的值域确定出﹣x﹣y的最大值，即可得到满足题意m的范围．解答：解：（1）依题设圆心坐标（a，3a）（a＞0），∵圆与x轴相切，∴圆的半径R=|3a|，∴圆C的方程可设为（x﹣a）2+（y﹣3a）2=9a2，∵R=|3a|，弦长为2，。
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上塘中学2014-2015学年高二第一学期 期中质量检测
高二数学试题
考生须知：
1．本卷满分120分，考试时间100分钟;
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、姓名和考试号;
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：
球的表面积公式 柱体的体积公式
24S R π= V Sh
=球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高33
4R V π= 台体的体积公式其中R 表示球的半径 )(3
12211S S S S h V ++=锥体的体积公式 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积13
V Sh = h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下面多面体中有12条棱的是（ ▲ ）
A ．四棱柱
B ．四棱锥
C ．五棱锥
D ．五棱柱
2. 在直角坐标系中，直线30x -=的斜率是（ ▲ ）
A ．33
B ．3
C ．3
3- D ．3- 3. 圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，那么圆柱的表面积是（ ▲ ） A.16
8+π B.8
16+π C.816+3π D. 416+π
4. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A ．若αα//,,b a b a 则⊥⊥
B ．若ββαα⊥⊥a a 则,,//
C ．若αβαβ//,,a a 则⊥⊥
D ．βαβα⊥⊥⊥⊥则若,,,b a b a
5. 当112
k <<时，两条直线1y kx =+，2y x =+的交点在（ ▲ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
6. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为（ ▲ ）
7. 已知光线从点A （-2，4）射出，经直线l ：270x y --=反射，反射光线过点B （6，6），则反射光线所在直线的方程为（ ▲ ）
A ．
2180x y +-= B ．290x y ++= C ．260x y +-= D ．220x y ++= 8. 直线l 通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是（ ▲ ）
A ．063=-+y x
B ．03=-y x
C ．0103=-+y x
D ．083=+-y x
9. 如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α=（ ▲ ）
A
B
C
D
10. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点1P ,2P 分别是线段AB ,1BD (不 包括端点)上的动点,且线段12P P 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值 为（ ▲ ）
A ．
481 B ．24
1 C ．121 D ．81
二、填空题（每题4分，满分28分，将答案写在答题纸上）
11. 垂直于同一个平面的两条直线的位置关系是 ▲ .
12. 一个组合体的三视图如右图所示，则其体积为 ▲ .
13. 已知直线l 1：(1)20x m y m ++-+=，l 2：24160mx y ++=互相平行，
则m 的值为 ▲ .
B
C
C 1 1
D
14. 已知直线l 过两直线0103=--y x 和02=-+y x 的交点，且点)3,1(A 到直线l 的距
离为2，则直线l 的方程是 ▲ .
15. 如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 为''D C 的中点，则二面角E －
AB －C 的大小为 ▲ ．
16. 一个正方体的外接球的体积是，则这个正方体的内切球的表面积是
▲ ．
17. 设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列 四个结论：
(1)当直线垂直y 轴时，πθ或0=;
(2)当6πθ=时，直线的倾斜角为
120;
(3)M 中所有直线均经过一个定点;
(4)存在定点P 不在M 中的任意一条直线上.
其中正确的是 ▲ （写出所有正确的代号）.。