人教版高二数学上学期期中考试卷

合集下载

人教B版(2019)高二数学上学期期中达标测评卷(A卷)(含解析)

人教B 版（2019）高二数学上学期期中达标测评卷（A 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若平面，的法向量分别为，，且，则x 的值为( )D.2.数轴上点P ，M ，N 的坐标分别为，8，，则在①；②；③中，正确的表示有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3.圆与圆的位置关系为( )A.外离B.相切C.内含D.与a 的取值有关4.已知曲线，则下列说法错误的是( )A.曲线C 仅过一个整点 B.曲线C 上的点距原点最大距离为2C.曲线C 围成的图形面积大于 D.曲线C 为轴对称图形5.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的“曲池”，它的高为4，，，，均与“曲池”的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为( )6.青花瓷是中国陶瓷烧制工艺的珍品，中国瓷器的主流品种之一.如图，一只内壁光滑的青花瓷221:()1C x a y -+=222:(3)(4)2C x y -++=αβ(1,2,4)=-a (,1,2)x =--b //αβ12-2-6-MN NM = 10MP =- 4PN =-()32222:16C x y x y +=(0,0)4π1AA 1BB 1CC 1DD 90︒1AB 1CD碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓曲线可以近似看成抛物线，若碗里放置一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上，则筷子的中点离桌面的距离为( )A. B. C. D.7.如图，已知正方体的棱长为4，P 是的中点，，，.若，则面积的最小值为( )（，）的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P .已知，直线二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知空间向量，，则下列结论正确的是( )20cm 10cm 12cm 221y b-=0a >0b >1F 2F 2F 1.5cm 4.5cm 5cm 5.5cm 6cm1111ABCD A B C D -1AA 1AM AB AA λμ=+[0,1]λ∈[0,1]μ∈1D M CP ⊥BCM △22PF =PF 24y =28y -=22y -=214y -=(2,1,1)=--a (3,4,5)=bA. B.C. D.a 与b 夹角的余弦值为10.如图，点，，，，是以OD 为直径的圆上一段圆弧，是以BC 为直径的圆上一段圆弧，是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线.则( )A.曲线B.与的公切线的方程为C.所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为D.所在的圆截直线11.如图，过焦点F 的直线与抛物线交于，两点，A ，B 在准线上的射影分别为M ，N ，则下列说法正确的是( )A. B.C.以弦AB 为直径的圆与准线相切D.A ，O ，N 三点共线(1,1)B (1,1)C -(2,0)D -»CD»CB »BA ΩΩπ5||||=a b (2)//+a b a(56)⊥+a a b (2,0)A »CB»BA 10x y +-=»BA»CB 0x y -=»CDy =22(0)y px p =>()11,A x y ()22,B x y 12AB x x p=++90MON ∠=︒三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若，则的面积为_________.13.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，平面.P 为线段BC 上一动点，当_________时，直线DP 与平面14.已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，且垂直于的直线与C 交于D ，E 两点，，则的周长是_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知圆，直线.（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且，求直线l 的方程.16.（15分）如图，四棱锥中，底面ABCD 是直角梯形，，，，.1F 90BAD ∠=︒222PD DC BC PA AB =====PD CD ⊥2F 222:1(0)3x y E a a -=>1F 22::5:12:13BF AB AF =2ABF △111ABC A B C -11D BB C C -90BAC ∠=︒1AB =12BC BB ==1DC DC ==1D ⊥11ACC A BP =1BB D 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F F 1F 2AF 6DE =ADE △22:240C x y y +--=:10l mx y m -+-=||AB =P ABCD -//AB CD（1）求证：平面ABCD ；（2）求直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值.17.（15分）已知抛物线的焦点为F ，且过点，椭圆的离心率（1）求椭圆D 的标准方程.（2）过椭圆内一点的直线l 的斜率为k，且与椭圆D 交于M ，N 两点.设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为，，若对任意k ，存在实数，使得，求实数的取值范围.18.（17分）已知三棱锥[如图（1）]的平面展开图[如图（2）]中，四边形ABCD 是边长为的正方形，和均为等边三角形.（1）证明：平面平面ABC .（2）棱PA 上是否存在一点M ，使得平面PBC 与平面BCM 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.（17分）已知双曲线（，，双曲线C 的右焦点为，双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B .（1）求双曲线C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴的上方），直线AP2222:1x y C a b-=0a >b >20y -=(3,0)F PA ⊥2:2(0)C x py p =>(2,2)A 2222:1(0)x y D a b a b +=>>e =BF =(0,)P t 1k 2k λ12k k k λ+=λP ABC -ABE △BCF △PAC ⊥PMPA的斜率为，直线BQ 的斜率为1k 2k答案以及解析1.答案：C解析：因为，所以，解得2.答案：C解析：数轴上的两点对应的向量的坐标是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故不正确，，正确.3.答案：A解析：由题意得圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为4.答案：C解析：设曲线，则，D 正确；，解得，当且仅当时取等号，故B 正确，C 错误；圆上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有，，，，，，，，，将点的坐标代入曲线C 的方程可知点在曲线C 上，，，，，，，，不在曲线C 上，因此曲线C 仅过一个整点，故A 正确.故选C.5.答案：A解析：设上底面圆心为，下底面圆心为O ，连接，，，，，//αβ//a 1224--==x =MN NM =10MP =- 4PN =-1C (,0)a 2C (3,-1241C C ==≥=>+:(,)C f x y (,)(,)(,)f x y f x y f x y =-=-()()()22232222222161644x y x y x y x y ++=≤=+224x y +≤222x y ==224x y +=(0,0)(1,1)(1,1)-(1,1)-(1,1)--(2,0)(2,0)-(0,2)(0,2)-(0,0)(1,1)(1,1)-()1,1-(1,1)--(2,0)(2,0)-(0,2)(0,2)-(0,0)1O 1OO OC OB 11O B 11O C以O 为原点，分别以，，所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，.所以又异面直线所成角的范围为，故异面直线与6.答案：B解析：建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为.因为碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.设，，过AB 的中点N 作轴于，解得，所以.7.答案：C 解析：由，，知点M 在平面内.以A 为原点，，，所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.OC OB 1OO (2,0,0)C (0,4,0)A 1(0,2,4)B 1(4,0,4)D 1(2,0,4)CD = 1(0,2,4)AB =-111111cos ,CD AB CD AB CD AB ⋅===π0,2⎛⎤⎥⎝⎦1AB CD 22(0)x py p =>0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭20cm 10cm )(10,10M 100210p =⨯5p =210x y =()11,A x y ()22,B x y NH x ⊥12127y y +=1.55(cm)+=1AM AB AA λμ=+[],0,1λμ∈11ABB A AB AD 1AA则，，，设，，则，，由，得，即.取AB 的中点N ，连接，则点M 的轨迹为线段，过点B 作，垂足为Q ，连接CQ ，则.又平面，平面，故，所以的最小值为8.答案：D解析：不妨取渐近线，此时直线的方程为，与联立并解得即.因为直线与渐近线垂直，所以的长度即为点到直线（即）的距离，由点到直线的距离公式得，所以.因为，，且直线，，即(0,0,2)P (4,4,0)C 1(0,)4,4D (,0,)M a b ,[0,4]a b ∈1(,4,4)D M a b =--(4,4,2)CP =--1D M CP ⊥1416280D M CP a b ⋅=-++-= 24b a =-1B N 1B N 1BQ B N ⊥11BB BN BQ B N ⋅===BC ⊥11ABB A BQ ⊂11ABB A BC BQ ⊥BCM S △142QBC S =⨯=△b y x a =2PF ()a y x c b =--by x a=2,,a x c ab yc ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭2PF b y x a =2PF 2(,0)F c b y x a =0bx ay -=2bcPF b c ===2b =1(,0)F c -2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭PF =22ab a c =+2=22c a b =+=220-+=，解得，故选D.9.答案：ACD解析：由题意，得知，得，不存在实数，使得，故B 错误.由已知，得.又，所以，则，故C 正确.因为，所以D 正确.选ACD.10.答案：BC解析：，，所在圆的方程分别为，，.曲线，故A 错误；设与的公切线方程为（，所以，与的公切线的方程为，故B 正确；由及，两式相减得，即公共弦所在直线方程，故C 正确；所在圆的方程为，圆心为，圆心到直线的距离为11.答案：ACD解析：由抛物线的定义得，故A 正确.连接MF ，NF ，如图，，，则，，所以，所以，故B 错误.2(0a =a =214y -=5||5==a ||==b 22(2,1,1)(3,4,5)(1,2,7)+=--+=-a b λ2λ+=a b a 565(2,1,1)6(3,4,5)(8,19,35)+=--+=a b (2,1,1)=--a (56)281191350⋅+=-⨯-⨯+⨯=a a b (56)⊥+a a b ||==a ||==b 6455⋅=--+=-b cos ,||||⋅〈〉===⋅a b a b a b »CD»CB »BA 22(1)1x y ++=22(1)1x y +-=22(1)1x y -+=Ωπ22π24++⨯=+»CB »BA y kx b =+0k <b >1==1k =-1b =+»»BA 1y x =-++10x y +-=22(1)1x y +-=22(1)1x y -+=0x y -=»CD22(1)1x y ++=(1,0)-(1,0)-y x =d ===121222p pAB AF BF AM BN x x x x p =+=+=+++=++AF AM =BF BN =AFM AMF MFO ∠=∠=∠BFN BNF NFO ∠=∠=∠90MFN MFO NFO ∠=∠+∠=︒90MON ∠>︒设过焦点F 的直线方程为得，，，，则.以AB 为直径的圆的圆心为，半径为，圆心到准线的距离，所以以弦AB 为直径的圆与准线相切，故C 正确.由题意可得，，因为，所以在直线OA 上，所以A ，O ，N 三点共线，故D 正确.解析：如图，因为，所以.设，则，，由，得，所以，则，由，得.又所以，，的面积为22::5:12:13BF AB AF =2AB BF ⊥25BF x =12AB x =213AF x =1221BF BF AF AF -=-1112513x AF x x AF +-=-x ty =+2,22,p x ty y px =+=2220y pty p --=222440p t p ∆=+>122y y pt +=212y y p =-()212122x x t y y p pt p +=++=+2,2p pt pt ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2121122r AB x x p pt p ==++=+2222p pd pt pt p r =++=+=1112:OA y p l y x x x y ==2,2p N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭212y y p =-2,2p N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭13AF x =115BF x =2221212BF BF F F +=222504x c =1222102,3,BF BF x a c a -==⎧⎨=+⎩22a =25c =2x =2ABF △221302S AB BF x =⋅==13.答案：1解析：以A 为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，所以，.设平面的法向量，所以所以取的一个法向量，设，，所以因为，所以.14.答案：1312,0)C (0,0,1)B 1(0,2,0)BB =1BB D 10,0,BB BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n x =1BB D BP BC λ=1,1)DP DB BC λλ=+=---- ==AC 1AA AB(0,0,0)A C 2)D 1(0,2,1)B BD =(,,)x y z =n 20,0,y y z =⎧⎪++=3)=-n []0,1λ∈=λ=2BC =1BP =解析：如图，连接，，，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE 的方程为，得.设，，则，解得的周长为.15.答案：（1）圆C 的圆心坐标为（2）或解析：（1）整理得，故圆C 的圆心坐标为可变形为，故直线l 过定点.因为，故点在圆C 内，所以直线l 与圆C 相交.（2）圆心到的距离所以，解得，1AF 2DF EF =2c =:10l mx y m -+-=d ==22||52AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1m =±22223b a c c =-=12122AF AF a c F F ====12AF F △2DE AF ⊥2AF 2AD DF =2AE EF =1230EF F ∠=︒y x c =+2213y c =22138320x cx c +-=()11,D x y ()22,E x y 12x x +=12x ==48613c ===c =2c ==ADE 22413AD AE DE DF EF DE a ++=++==0x y -=20x y +-=22240x y y +--=22(1)5x y +-=10mx y m -+-=1()1y m x -=-(1,1)M 221(11)15+-=<(1,1)M (0,1)故直线l 的方程为或.16.答案：（1）证明见解析解析：（1）证明：由于，，所以.又，，平面PAD ，所以平面PAD ，所以平面PAD ，又平面PAD ，所以.取CD的中点E ，连接BE ，如图.因为底面ABCD 是直角梯形，且，，故四边形ABED 为矩形，且且，所以，，所以在中，，即，又，平面ABCD，所以平面ABCD .（2）因为平面，，所以以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面BPC 的法向量为，则取，0x y -=20x y +-=PA ⊥PA ⊥//AB CD 90BAD ∠=︒CD AD ⊥PD CD ⊥PD AD D = ,PD AD ⊂CD ⊥AB ⊥PA ⊂AB PA ⊥//DE AB 222DC DE AB ===90BAD ∠=︒AD BE =BE CD ⊥AD BE ===1PA =2PD =PAD △222AD PA PD +=PA AD ⊥AD AB A = ,AB AD ⊂ABCD AB AD ⊥(0,0,0)A (1,0,0)B C D (0,0,1)P (BD =- (1,0,1)PB =- BC =(,,)x y z =n 0,0,PB x z BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ n n x ==-所以（2）解析：（1）由点在抛物线上，得，解得，所以抛物线C 的方程为，其焦点.设，则.由抛物线的定义可得所以，.因为椭圆D 的离心率，点B 在椭圆上，所以得.（2）由题意，知直线l 的方程为.由得，.设，，则22x y =10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(,)B m n 22m n =12BF n ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭1n =m =e =22211,a b =⎪+=⎪⎩224,2,a b ⎧=⎨=⎩212y +=|||cos ,|||||BD BD BD ⋅〈〉===n n n 212y =[2,)+∞(2,2)A 2:2C x py =2222p =⨯1p =y kx t =+221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222214240k x ktx t +++-=()()222(4)421240kt k t ∆=-+->()11,M x y ()22,N x y 12x x +=12x =所以.又，即，，即由点在椭圆内，得，即，解得.故实数的取值范围是.18.答案：（1）证明见解析（2）存在，解析：（1）证明：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，如图.由题意得，，.在中，，O 为AC 的中点，.在中，，，，.，，平面ABC ，平面ABC .平面，平面平面ABC .（2）由平面，，平面ABC ，得，.易知.202t ≤<4022λ≤-<2λ≥λ[2,)+∞()121212122121212422t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=-12k k λ+=k λ=2402k t λ-⎛⎫-= ⎪-⎝⎭0λ-=22t =(0,)P t 13PM PA =PA PB PC ===2PO AO BO CO ==== PAC △PA PC =PO AC ∴⊥ POB △2PO =2OB =PB =222PO OB PB ∴+=PO OB ∴⊥AC OB O = AC OB ⊂PO ∴⊥PO ⊂ PAC ∴PAC ⊥PO ⊥ABC OB OC ⊂PO OB ⊥PO OC ⊥OB AC ⊥以O 为原点，OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，.设，，则，，.设平面BCM 的法向量为，则令，则，，.设平面PBC 的法向量为，则取，则，，.设平面PBC 与平面BCM 所成的角为.由图可知为锐角，则，化简，得，解得或（舍去）.(0,0,0)O (2,0,0)C (0,2,0)B (2,0,0)A -(0,0,2)P (2,2,0)BC ∴=- (2,0,0)OA =- (0,0,2)OP = (0,2,2)PB =- (2,0,2)PC =-PM PA λ=[0,1]λ∈(1)(2,0,22)OM OA OP λλλλ=+-=--(2,0,22)M λλ∴--(22,0,22)MC λλ∴=+-(,,)x y z =m (22)(22)0,220,MC x z BC x y λλ⎧⋅=++-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ m m 1x λ=-1y λ=-1z λ=+(1,1,1)λλλ∴=--+m (,,)a b c =n 220,220,PB b c PC a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ n n 1c =1a =1b =(1,1,1)∴=n θθcos |cos ,|θ⋅=〈〉===n m n m n m 221230λλ+-=13λ=37λ=-棱PC 上存在点M ，使平面PBC 与平面BCM，此时.（2）证明见解析解析：（1）由题意可知在双曲线C 中，，解得.（2）方法一：由题意可知，，当直线l 的斜率存在时，设直线，，，由得，则，，又()()12122121212121212226236326356x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--+==-+--++-222222222222222236202241210645454536203245060565454545k k k x x k k k k k k x x k k k +⨯---+----==+⨯--+-+---2222221210451210545k x k k x k ---==⎛⎫--- ⎪-⎝⎭∴13PM PA =215y =c ==222a b =+2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩215y -=(2,0)A -(2,0)B :(3)l y k x =-()11,P x y ()22,Q x y 22(3),5420,y k x x y =-⎧⎨-=⎩()2222542436200k x k x k -+--=212224045k x x k +=>-21223620045k x x k +=>-1k =2=()()()()()()12122121232232y x x x y x x x ---==+-+当直线l 的斜率不存在时，，此时，，，.为定值.方法二：设直线，，，由整理得，又直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，所以解得，.由双曲线方程可得，，，因为，所以，，.方法三：设直线，，，由整理得，:3l x =53,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭53,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭112k =2k =15=-:3l x my =+()11,P x y ()22,Q x y 223,5420,x my x y =+⎧⎨-=⎩()225430250m y my -++=()22222540,300,54250,54(30)425540,m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎩0m <<12y y +=12y y =306255m m -==-()121256my y y y =-+(2,0)A -(2,0)B 1112y k x =+2k =3x my =+2221x my -=+1125x my +=+()()()()1212121212112221255y x y my my y y y x y my my y y -++===+++()()12112122125151666552555666y y y y y y y y y y -++-===--++-+:3l x my =+()11,P x y ()22,Q x y 223,5420,x my x y =+⎧⎨-=⎩()225430250m y my -++=又直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，所以解得，由双曲线方程可得，，则又()22222540,300,54250,54(30)425540,m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎩0m <<1223054m y y m -+=-12y y =(2,0)A -(2,0)B ()22111112211115442244PBx y y y k k x x x x -⋅=⨯===+---()()1212212122211PB y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++()2122212122225542530115454y y m mm y y m y y m m m m -==-+++⋅+⋅+--22225253054m m m ==-+-1254425PB PB k k k k ⋅⎛⎫==⨯-= ⎪⋅⎝⎭。

高二数学上学期期中试题(新版)新人教版.doc

2019高二上学期期中试题数学试题2018.11第I 卷（选择题共60分）评卷人得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列{}n a 中，n S 表示{}n a 的前n 项和，若363a a +=，则8S 的值为A ．3B ．8 C.12 D ．24 2．设a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式一定成立的是A ．a 2＞b 2B ．C ．a 2＞abD ．2a ＞2b3.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m = A ．9 B ．4 C ．2 D ．3 4.已知等比数列{a n }中，a 3=4，a 4a 6=32，则的值为A ．2B ．4C ．8D ．16 5. 2x 2－5x －3<0的一个必要不充分条件是 A ．－21<x <3 B ．－21<x <0 C ．－3<x <21D ．－1<x <6 6.命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是A ．不存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0B ．存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 7.若等式022>++bx ax 的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,则a －b 值是 A.－10 B.－14 C.10 D.148.若关于x 的不等式10ax ->的解集是(1)+∞，,则关于x 的不等式(1)(2)0ax x -+≥的解集是A ．[)2,+-∞B ．[]2,1-C.（-∞，-2）∪（1，+∞） D ．（-∞，-2］∪［1，+∞） 9．在△ABC 中，“sinB ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10.已知数列{}n a 为等比数列，若261=⋅a a ，下列结论成立的是A. 53424a a a a =B ．243=+a aC ．22321=a a aD ．2252≥+a a11．若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有3个整数，则实数a 的取值范围是A. ()4,5B. （-3，-2）∪（4，5）C.(]4,5 D.［-3，-2）∪（4，5］ 12.设0a >，0b >，若5是5a 与5b 的等比中项，则11a b+的最小值为 A ．8 B ．4 C ．1 D ．41第Ⅱ卷（非选择题共90分）评卷人得分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若方程25－k ＋2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为__________． 15．已知不等式 012≥--bx ax 的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,21，求不等式02<--a bx x 的解集16.一动圆过定点A （2,0），且与定圆B ：032y x 4x 22=-++内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，-2），（0,2），并且经过（25,23-，），求它的标准方程。

2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试(含解析)

2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 函数的定义域为A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.A ={x ∈Z||x|<5}B ={x|≥4}2x A ∩B =(2,5)[2,5){2,3,4}{3,4,5}y =12+x −x 2−−−−−−−−−√lg(2x −2)()(1,)∪(,4]3232(1,4][−3,4][−3,)∪(,4]3232434C.D.4. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（）A.B.C.D.5. 命题：，的否定是( )A.，B.，C.，D.，6. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列命题中，真命题是（）A.函数＝的周期为B.，223(1)(2)12cm 9cm 18c 2–√m 36cm7cm8cm9cm∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x ≤0−x −2≤0x 2∃≤0x 0−−2≤0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2∃>0x 0−−2≤0x 20x 0x <2lg(x −1)<0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数 8. 在中，角，，所对的边是，，，若，且，则等于( )A.B.C.D.9. 等比数列中，若，，则其前项的积为( )A.B.C.D.10. 瑞士数学家欧拉（）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心﹑重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )．A.B.C.D.11. ""是"方程表示的曲线为椭圆"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件a +b 0y ln△ABC A B C a b c c ⋅cos B =b ⋅cos C cos A =23sin B 6–√63–√2130−−√6{}a n +=a 1a 294+=18a 4a 556481192243LeonhardEuler 1765△ABC A (−4,0),B (0,4)x −y +2=0C (2,0)(0,2)(−2,0)(0,−2)n >m >0+=1x 2m y 2n()D.既不充分也不必要条件12. 在四棱锥中，已知平面平面, 是以为底边的等腰三角形，是矩形，且，则四棱锥的外接球的表面积为（ A.B.C.D.卷II （非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知异面直线，的方向向量分别为，，若异面直线，所成角的余弦值为，则的值为________.14. 设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15. 已知平面向量，，，若，则________．16. 已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．18. 已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值． 19. 在平面四边形中，，，，．P −ABCD ABCD ⊥PAD △PAD AD ABCD AB =AP =2AD =2P −ABCD O )π12415π3115π25615π6415m n =(2,−1,1)a →=(1,λ,1)b →m n 6–√6λS n {}a n n +a 6a 7=1S 12=<0a 7<0S n n==(2,λ)a →=(−3,6)b →=(4,2)c →//a →b →(−)⋅=a →c →b →△ABC B C +=1x 23y 2A BC △ABC xOy O x −y −4=03–√O P(3,2)P O θλABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC求的大小；求的长度．20. 已知两直线：，，当为何值时，与，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直． 21. 已知命题：函数且在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立.若为真命题,求实数的取值范围；若为真命题,求实数的取值范围.22. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前项和．(1)∠ADC (2)CD L 1(m +3)x +5y =5−3m:2x +(m +6)y =8L 2m L 1L 2p y =(x +1)(a >0，log a a ≠1)q (a −2)+2(a −2)x +1>0x 2x (1)q a (2)“p ∧(¬q)”a {}a n n S n 2a n S n (1){}a n (2){}b n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n {}1b n n Tn参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】据题意，分析可得，，，进而求其交集可得答案．【解答】解：集合，，则．故选．2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据条件可得解不等式可得结果．【解答】解：由已知可根据条件可得解不等式可得.故选.A ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|x ≥2}A ={x ∈Z||x|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|≥4}={x|x ≥2}2x A ∩B ={2,3,4}C 12+x −≥0x 22x −2>02x −2≠112+x −≥0,x 22x −2>0,2x −2≠1,{x |1<x ≤4且x ≠}32A3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，再求体积即可.【解答】解：由已知中几何体的三视图，可得该几何体为正四棱锥，且底面正方形边长为，高为，所以该几何体的体积为.故选.4.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，求出，再利用烧制前后边长的变化，即可得到答案.【解答】解：设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，解得.∵在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．那么烧制前正四面体陶坯棱长为.故选.5.【答案】C【考点】21V =×2×2×1=1343A acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a =612cm 9cm 6×=8cm 129C命题的否定【解析】命题，为特称量词命题，其否定为全称量词命题，写出其否定即可.【解答】解：命题，为特称量词命题，所以其否定为全称量词命题，其否定为，.故选.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由，可得，再利用集合之间的包含关系求充分必要条件即可.【解答】解：由，可得，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.7.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；∃>0x 0−−2>0x 20x 0∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2C lg(x −1)<00<x −1<1lg(x −1)<00<x −1<11<x <2{x|x <2} {x|1<x <2}x <2lg(x −1)<0B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．8.【答案】D【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式半角公式【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理后得到，用表示出，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理化简得：,即，∴，即，则.故选．9.【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得，解得，又，y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D B =C A B △ABC c cos B =b cos C sin C cos B =sin B cos C sin C cos B −sin B cos C =sin(C −B)=0C −B =0C =B sin B =sin =cos =π−A 2A 21+cos A 2−−−−−−−−√=30−−√6D ==8+a 4a 5+a 1a 2q 3q =2+=+2=a 1a 2a 1a 1943所以，所以.故选.10.【答案】A,D【考点】三角形五心【解析】此题暂无解析【解答】解：设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为∴，①由重心为，代入欧拉线方程，得，②由①②可得或.故选.11.【答案】A【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则，，且，故" "是“方程"表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.=a 134==×=243a 1a 2a 3a 4a 5a 51q 10()345210D C (x,y),AB y =−x △ABC x −y +2=0y =−x M (−1,1),MC|=,∴+=1010−−√(x +1)2(y −1)2A (−4,0),B (0,4),△ABC (,)x −43y +43x −y +2=0x −y −z =0x =2,y =0x =0,y =−2AD +=1x 2m y 2n m >0n >0m ≠n n >m >0+=1x 2m y 2nA故选.12.【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，将四棱锥补为一个三棱柱，∵是以为底边的等腰三角形，，∴的外接圆的半径为，∴球的半径的平方，∴球的表面积为.故选.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角A P −ABCD PAD −QBC △PAD AD AP =2AD =2△PAD 415−−√O =+1=R 216153115O S =4π=R 2124π15A 76【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】,【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式和性质可得＝＝，代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．【解答】解：因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：；.15.【答案】【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算【解析】根据，求得，进而求得的坐标，然后利用数量积求解．【解答】解：因为向量，，且，613n S 12<0S 13+=1a 6a 7=6(+)=6S 12a 6a 7<0a 7>0a 6{}a n =6>0S 12=13<0S 13a 7=13n min 613−30//a →b →λ−a →c →=(2,λ)a →=(−3,6)b →//a →b →所以，所以.故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】设另一个焦点为，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长．【解答】解：椭圆中，．设另一个焦点为，则根据椭圆的定义可知，．∴三角形的周长为：．故答案为：．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．【考点】直线与圆相交的性质圆的切线方程−=(−2,−6)a →c →(−)⋅=−30a →c →b →−3043–√F |AB |+|BF |=2a|AC |+|FC |=2a △ABC +=1x 23y 2a =3–√F |AB |+|BF |=2a =23–√|AC |+|FC |=2a =23–√|AB |+|BF |+|AC |+|FC |=43–√43–√+=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0（1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径的值，可得所求的圆的方程．（2）由题意可得点在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率的值，可得所求切线方程．【解答】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．18.【答案】∵向量，∵这两个向量的夹角为，，则＝＝＝，∴＝．若，则（+）-•-，∴＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】..r P k +=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0θθ∈[0cos θθ⋅(λ+(λ−7)λ余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．（2）由（1）知当时，直线与相交；当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由得，所以时直线与垂直．【考点】两条直线平行的判定两条直线垂直的判定【解析】（1）两直线与相交；（2）两直线与平行；（3）两直线与重合；（4）两直线与垂直．【解答】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2m =−6L 1L 2m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔≠(m ≠0,n ≠0)a m b n ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔=≠(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔==(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔am +bn =0m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由得，所以时直线与垂直．21.【答案】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数在定义域上单调递增，所以，因为命题为假,由可知，或，所以即，所以实数的取值范围为 .【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数在定义域上单调递增，所以，因为命题为假,由可知，或，所以即，所以实数的取值范围为 .22.【答案】解：，，成等差数列，可得，m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)2a n S n 2=a n 2+S n化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题意可得＝，运用数列的递推式：当＝时，＝，时，＝，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得＝＝，，，由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：，，成等差数列，可得，当时，，解得，时，，化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．n n n−1n n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +12a n 2+S n n 1a 1S 1n ≥2a n −S n S n−1log 2a n log 22n n =n(n +1)b n 12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1(1)2a n S n 2=a n 2+S n n =1=a 1=S 12−2a 1=a 12n ≥2=a n −=S n S n−12−2−2+2a n a n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +1。

人教版高二上学期期中测试卷

人教版高中数学测试卷（考试题）期中测试卷04（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：人教A 版必修5全册+选修1-1第一章、第二章一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知命题p ：20,x x e x ∀<≥，则p ⌝为（）A ．00x ∃<，020x e x <B ．00x ∃≥，020x e x <C ．0x ∀<，2x e x <D ．0x ∀≥，2x e x <2．关于x 的不等式2450x x -++>的解集为（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(5,)-∞-+∞3．在等差数列{}n a 中，824a =，168a =，则24a =（）A ．24-B ．16-C ．8-D ．04．“平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC 中，9,10,60a b A ===︒，则此三角形解的情况是（）A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解6．已知等比数列{}n a ，10a ，30a 是方程210160x x -+=的两实根，则20a 等于（）A ．4B ．4±C ．8D ．8±7．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为（）A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 8．双曲线222:1(0)36x y C a a -=>左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且214MF =，则1||MF =（）A ．6或30B ．6C ．30D ．6或209．已知实数x ，y 满足不等式组40,0,1,x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．0B ．2-C ．3-D ．5-10．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（） A ．2B ．13C ．12-D ．3-11．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a c b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（）A．32⎫⎪⎪⎝⎭B．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D．)212．已知椭圆的方程为()22211x y a a+=>，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 为椭圆上一点，则PAB ∆面积1.若已知()),M N ，点Q 为椭圆上任意一点，则14QN QM+的最小值为（）A ．2B．3+C ．3D ．94二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设ABC 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知(4)cos cos a c B b C -=，则cos B =______． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n S n n+=+，则17a a +=_______. 15．若正实数,x y 满足39log log 1x y +=，则2x y +的最小值为_______. 16．以下四个关于圆锥曲线命题：①“曲线221ax by +=为椭圆”的充分不必要条件是“0,0a b >>”；②若双曲线的离心率2e =，且与椭圆221148y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为y =；③抛物线22x y =-的准线方程为18x； ④长为6的线段AB 的端点,A B 分别在x 、y 轴上移动，动点(,)M x y 满足2AM MB =，则动点M 的轨迹方程为221416x y +=．其中正确命题的序号为_________．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知:p 22a -<<，q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根.（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，q ⌝为真命题，求实数a 的取值范围. 18．已知不等式2320x x -+≤的解集为{}|x a x b ≤≤.（1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：()()0x c ax b -->（c 为常数，且2c ≠）.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且AB m 的值． 20．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值.21．如图，在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．附赠材料必须掌握的试题训练法题干分析法怎样从“做题”提升到“研究”题干分析法,是指做完题目后,通过读题干进行反思总结:这些题目都从哪几个角度考查知识点的?角度不同,容易出错的地方是不是变化了?只有这样,我们才能从单纯的“做题目”上升到“研究”,我们的思维能力和做题效率才能不断提高。

高二上册数学期中考试卷(人教A版)

高二上册数学期中考试卷（人教A版）高二数学期中检测试卷内容：必修5+选修2-1第一二章班级姓名得分一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分 40分。

1、在数列中，等于〔〕A、11B、12C、13D、142、．在△ABC中，A=45o，B=30o， b=2，则a的值为〔〕A、4B、2C、D、 33、不等式的解集是〔〕A、 B、 C、 D、4、已知且不为0，那么以下不等式成立的是〔〕A、 B、 C、 D、5、已知等差数列中，的值是〔〕A、64B、30C、 31D、 156、等比数列中, 则的前4项和为〔〕A、 81B、120C、168D、1927、等差数列的前2项和为30，前4项和为100，则它的前6项和是〔〕A、130B、170C、210D、2608、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是〔〕A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共7小题，每题5分，总分 35分。

9、命题“存在”的否认是10、在锐角中，三边所对的角分别为A、B、C，已知的面积，则角C =11、椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为12、若抛物线上一点M到焦点的距离为5，则点M的纵坐标是13、设实数满意，则的最大值是14、已知数列满意则15、某校要建筑一个容积为4800 ，深为3 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120元，那么水池的最低总造价为元。

三、解答题：本大题共6小题，总分 75分。

请写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16、求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标。

17、已知在等差数列中， .〔1〕求通项公式；〔2〕求前项和的最大值。

18、一缉私艇发觉在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃离，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和角的正弦.〔注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角〕19、已知点P〔3，4〕是椭圆上的一点，为椭圆的两焦点，若，试求：〔1〕椭圆的方程；〔2〕的面积。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。

人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)

人教版高二上学期期中考试数学试题（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。

A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。

A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。

A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。

A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。

A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。

A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。

2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试含答案及解析064336.pdf)

2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线．α≈16∘．则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为( )A.0∘B.1∘C.2∘D.3∘2. 若命题p:∀x ∈R ， x 2−x >0，则命题p 的否定是( )A.∀x ∈R ，x 2−x ≤0B.∃x ∈R ，x 2−x >0C.∃x ∈R ， x 2−x ≤0D.∃x ∈R ， x 2−x <03. 已知F 是双曲线C:x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为( )A.2√6B.4√6C.12√6D.8√64. 设函数f(x)=x 3+ax 2+bx +2，且f(1+x)+f(1−x)=2，则ab =( )A.−1B.2C.−3D.45. 已知抛物线C:y 2＝x ，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B 分别为切点，则→MA ⋅→MB 的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−126. “直线ax +2y −1=0和直线x +(a +1)y +4=0平行”是“a =1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 过点A(1,4)，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（）A.1B.2C.3D.48. 已知倾斜角为45∘的直线l 过椭圆x 24+y 2=1的右焦点，则l 被椭圆所截的弦长是（）A.25B.45C.65D.859. 已知△ABC 的周长为10，且顶点B(−2,0)，C(2,0)，则顶点A 的轨迹方程( )A.x 29+y 25=1(y ≠0)B.x 25+y 29=1(y ≠0)C.x 26+y 24=1(y ≠0)D.x 24+y 26=1(y ≠0)10. 已知方程x 24−n 2+y 24+n 2=1表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率e =（）A.√66B.√63C.√33D.√3211. 设直线x +2020y −1＝0的斜率为k ，则k ＝（）A.2020B.−2020C.12020D.−1202012. 已知双曲线ω：(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线ω上的一点，若∠F 1PF 2＝120∘，且△F 1PF 2外接圆与内切圆的半径之比为8:1，则双曲线ω的离心率为（） A. B. C.D.2卷II （非选择题）二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）设F 1，F 2是双曲线x 2−y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过F 1作∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 到直线x +y −3√2=0的距离的最大值是________.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，P 是椭圆C 上任意一点，且点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，设N 为椭圆上一点，是否存在整数t ，使得t ⋅→ON =→OA +→OB （其中O 为坐标原点）？若存在，试求整数t 的所有取值；若不存在，请说明理由．15. 如图，光线从点 A(−4,1) 出发经过x 轴反射后恰好过点 B(1,4).(1)求反射光线l 所在的直线方程；(2)若反射光线l 与两坐标轴交于C,D 两点，点P 在圆 x 2+y 2−2x =0 上运动，求△PCD 的面积的最大值. 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−2,1)，P 是动点，且k OP +k OA ＝k PA ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过A 作斜率为1的直线与轨迹C 相交于点B ，点T(0,t)(t >0)，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点A 1、B 1，设直线A 1B 1的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t ＝λk ，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由． 17. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为(1,0)．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线y =x +m 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点为M(x 0,y 0)．当x 0≠0时，求y 0x 0的值．18. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2) .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)经过点A(−1,0)的直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），O 是坐标原点，圆O 与直线l 相切于点E ，设→AE =λ→AB ，求实数λ的值． 19. 已知F 是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M 在椭圆上， MF ⊥x 轴，|MF|=√2，椭圆的短轴长等于4．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 为直线l:x =3√2上一点，Q 为椭圆C 上一点，且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求|OP|2−16|OQ|2的取值范围．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】【解答】解：过O 3作x 轴平行线O 3E ，则∠OO 3E =α≈16∘．由五角星的内角为36∘，可知∠BAO 3=18∘，所以直线AB 的倾斜角为18∘−16∘=2∘．故选C ．2.【答案】C【考点】命题的否定全称命题与特称命题【解析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案.【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知，命题p:“∀x ∈R ，x 2−x >0"的否定为“∃x ∈R ，x 2−x ≤0”.故选C.3.【答案】C【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义【解析】利用双曲线的定义，确定△MNF 周长最小时，N 的坐标，即可求出△MNF 周长最小时，该三角形的面积【解答】解：双曲线C:x 2−y 28=1，∴左焦点为F 1(−3,0)，右焦点为F(3,0)，△APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(|PF 1|+2a)=|AF|+|AP|+|PF 1|+2a≥|AF|+|AF 1|+2a ，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时，三角形周长最小．此时直线AF 1的方程为y =2√6x +6√6，代入双曲线方程中，可求得的纵坐标为2√6（负值舍去），∴△APF 周长最小时，该三角形的面积为12×6×(6√6−2√6)=12√6．故选C.4.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(1+x)+f(1−x)=2，所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx +2的图象关于点(1,1)对称，所以函数f(x)=(x −1)3+k(x −1)+1=x 3−3x 2+(3+k)x −k ，所以a =−3，b =3+k ，−k =2，解得，a =−3，b =1，所以ab =−3．故选C ．5.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，分别求出A ，B ，M 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，则A(t 24,t2)，B(t 24,−t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴M(−t 24,0)，∴→MA ⋅→MB =(t 22,t2)⋅(t 22,−t2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，→MA ⋅→MB 的最小值为−1166.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】本题的关键是弄清两直线平行的等价条件，再结合充分必要条件的判断【解答】解：充分性：若“直线 ax +2y −1=0与直线 x +(a +1)y +4=0平行”，那么a(a +1)=2×1，所以a =1或a =−2.必要性：若a =1，那么直线x +2y −1=0与直线 x +2y +4=0显然是平行的.故“直线ax +2y −1=0和直线x +(a +1)y +4=0平行”是“a =1”的必要不充分条件.故选B.7.【答案】C【考点】各直线方程式之间的转化直线的截距式方程【解析】当截距为0时，设y ＝kx ，待定系数法求k 值，即得所求的直线方程；当截距不为0时，设 xa +ya =1，或xa +y−a =1，待定系数法求a 值，即得所求的直线方程．【解答】当截距为0时，设y ＝kx ，把点A(1,4)代入，则得k ＝4，即y ＝4x ；当截距不为0时，设 xa +ya =1，或 xa +y−a =1，过点A(1,4)，则得a ＝5，或a ＝−3，即x +y −5＝0，或x −y +3＝0这样的直线有3条：y ＝4x ，x +y −5＝0，或x −y +3＝0．8.【答案】D【考点】椭圆的定义和性质与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】求出椭圆的焦点坐标，根据点斜率式设直线方程，与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦长．【解答】解：椭圆x 24+y 2=1，a =2，b =1，c =√a 2−b 2=√3，则椭圆的右焦点 (√3,0)，直线倾斜角为45∘，即斜率为1，设直线方程为y =x +m ，代入椭圆右焦点(√3,0)，解得： m =−√3，则直线方程为y =x −√3.设直线与椭圆两交点分别为A (x 1，y 1),B(x 2，y 2)，则{x 24+y 2=1，y =x −√3，整理得：54x 2−2√3x +2=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=8√35，x 1x 2=85，由弦长公式可知l 被椭圆所截的弦长为|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(8√35)2−4×85=85，∴|AB|=85．故选D ．9.【答案】A【考点】椭圆的定义轨迹方程【解析】由椭圆的定义求出a ，b ，再结合当A 与C ，B 共线时，A ，B ，C 三点不能围成三角形，故轨迹不含x 轴上的两点，得到顶点A 的轨迹方程为x 29+y 25=1(y ≠0).【解答】解：由题意知，|BC =4|，所以|AC|+|AB|=10−|BC|=6>|BC|，故动点A 在以B ，C 为焦点的椭圆上，且2a =6，2c =4，所以a =3，c =2，即a 2=9，c 2=4，从而b 2=a 2−c 2=5，当A 与B ，C 共线时，A ，B ，C 三点不能围成三角形，故轨迹不含x 轴上的两点，所以顶点A 的轨迹方程为x 29+y 25=1(y ≠0).故选A ．10.【答案】B【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：因为方程x 24−n 2+y 24+n 2=1表示椭圆，所以a 2=4+n 2，b 2=4−n 2，所以c 2=a 2−b 2=4+n 2−(4−n 2)=2n 2，所以c =√2|n|，因为焦距为4，所以2c =2√2|n|=4，解得|n|=√2，所以a =√6，c =2，所以e =ca =2√6=√63，故选B ．11.【答案】D【考点】直线的斜率【解析】将直线方程化为斜截式，可得它的斜率．【解答】将直线方程化为斜截式，y =−12020x +12020，斜率为−12020．12.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13.【答案】5【考点】双曲线的应用点到直线的距离公式直线与双曲线结合的最值问题直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，延长PF 2与直线F 1M 交于N ，连接OM ，可得|PF 1|=|PN|，|MF 1|=|MN|.又|F 1O|=|OF 2|，所以OM//F 2N ，OM =12F 2N ，所以|OM|=12|F 2N|=12(|PN|−|PF 2|)=12(|PF 1|−|PF 2|)=12×2a =2，故点M 的轨迹为以O 为圆心，2为半径的圆，所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=4，则圆心O 到直线x +y −3√2=0的距离为：d =|−3√2|√1+1=3，所以圆上一点到直线x +y −3√2=0的距离的最大值为：3+2=5，即点M 到直线x +y −3√2=0的距离的最大值是5.故答案为：5.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14.【答案】（1）由题知离心率为√22，所以a 2＝2b 2．又因为点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1，所以a +c =√2+1，所以b 2＝1，a 2＝2．故C 的方程为x 22+y 2=1（2）由题意知直线直线AB 的斜率存在．设AB 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x,y)，由y ＝k(x −2)代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2＝0．△＝64k 2−4(2k 2+1)(8k 2−2)>0，∴k 2<12． x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，∵t ⋅→ON =→OA +→OB ，∴(x 1+x 2,y 1+y 2)＝t(x,y)．∴x =8k 2t(1+2k 2)，y =−4kt(1+2k 2)．∵点N 在椭圆上，∴[8k 2t(1+2k 2)]2+2•[−4kt(1+2k 2)]＝2，∴16k 2＝t 2(1+2k 2)，∴t 2=161k 2+2<4，∴−2<t <2．∴整数t 值为−1，0，1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的定义【解析】(Ⅰ)由离心率为√22，可得a 2＝2b 2，代入点(0,−1)，可求解a ，b 的值，则椭圆方程可求；(Ⅱ)设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x 的一元二次方程，由判别式大于0求出k 的范围，利用根与系数关系得到A ，B 两点的横坐标的和与积，代入t ⋅→ON =→OA +→OB 后得到P 点的坐标，把P 点坐标代入椭圆方程后得到t 与k 的关系，由k 的范围确定t 的范围，可得结论．【解答】（1）由题知离心率为√22，所以a 2＝2b 2．又因为点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1，所以a +c =√2+1，所以b 2＝1，a 2＝2．故C 的方程为x 22+y 2=1（2）由题意知直线直线AB 的斜率存在．设AB 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x,y)，由y ＝k(x −2)代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2＝0．△＝64k 2−4(2k 2+1)(8k 2−2)>0，∴k 2<12． x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，∵t ⋅→ON =→OA +→OB ，∴(x 1+x 2,y 1+y 2)＝t(x,y)．∴x =8k 2t(1+2k 2)，y =−4kt(1+2k 2)．∵点N 在椭圆上，∴[8k 2t(1+2k 2)]2+2•[−4kt(1+2k 2)]＝2，∴16k 2＝t 2(1+2k 2)，∴t 2=161k 2+2<4，∴−2<t <2．∴整数t 值为−1，0，1．15.【答案】解：(1)由题可知：点 A(−4,1) 关于x 轴的对称点为 A ′(−4,−1)，所以直线l 的斜率为 k =1，所以直线l 的方程为 x −y +3=0 ；(2)由(1)可知： C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=3√2.将圆 x 2+y 2−2x =0 化为标准方程为 (x −1)2+y 2=1,故圆心 (1,0) 到直线l 的距离为 d =4√2=2√2,所以P 到直线l 的最大距离为 2√2+1,所以 △PCD 的面积的最大值为S =12×3√2×(2√2+1)=12+3√22.【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可知：点 A(−4,1) 关于x 轴的对称点为 A ′(−4,−1)，所以直线l 的斜率为 k =1，所以直线l 的方程为 x −y +3=0 ；(2)由(1)可知： C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=3√2.将圆 x 2+y 2−2x =0 化为标准方程为 (x −1)2+y 2=1,故圆心 (1,0) 到直线l 的距离为 d =4√2=2√2,所以P 到直线l 的最大距离为 2√2+1,所以 △PCD 的面积的最大值为S =12×3√2×(2√2+1)=12+3√22.16.【答案】设P(x,y)，由题意可得k OP ＝，k OA ＝，k PA ＝，而k OP +k OA ＝k PA ．所以-＝，整理可得：x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为：x 2＝4y(x ≠0且x ≠−2)；由题意直线AB 的方程为：y −1＝x +2，即y ＝x +3，代入曲线C 中可得x 2−4x −12＝0，解得x ＝6或x ＝−2，所以可得B(6,9)，直线AT 的方程为：y ＝x +t ，代入抛物线的方程：x 2−2(t −1)x −t ＝0，所以−2⋅x ＝−t ，所以x ＝，所以y ＝，所以A 1（，），直线BT 的方程为：y ＝x +t ，与抛物线联立x 2+x −t ＝0，所以6⋅x ＝−t ，所以x ＝-，y ＝，所以B 1(−，），由题意可得k ＝＝，所以t ＝3k ，由题意t ＝λk ，所以λ＝3．所以存在λ＝3满足条件．【考点】轨迹方程【解析】（1）设P 的坐标，可得直线OA ，OP ，PA 的斜率，由题意可得P 的轨迹C 的方程；（2）由题意可得直线AB 的方程，与轨迹C 的方程联立求出B 的坐标，进而求出直线AT ，BT 的方程，分别与曲线C 联立求出A 1，B 1的坐标，求出直线A 1B 1的斜率k 的表达式可得k 与t 的关系，进而可得常数λ的值满足条件．【解答】设P(x,y)，由题意可得k OP ＝，k OA ＝，k PA ＝，而k OP +k OA ＝k PA ．所以-＝，整理可得：x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为：x 2＝4y(x ≠0且x ≠−2)；由题意直线AB 的方程为：y −1＝x +2，即y ＝x +3，代入曲线C 中可得x 2−4x −12＝0，解得x ＝6或x ＝−2，所以可得B(6,9)，直线AT 的方程为：y ＝x +t ，代入抛物线的方程：x 2−2(t −1)x −t ＝0，所以−2⋅x ＝−t ，所以x ＝，所以y ＝，所以A 1（，），直线BT 的方程为：y ＝x +t ，与抛物线联立x 2+x −t ＝0，所以6⋅x ＝−t ，所以x ＝-，y ＝，所以B 1(−，），由题意可得k ＝＝，所以t ＝3k ，由题意t ＝λk ，所以λ＝3．所以存在λ＝3满足条件．17.【答案】解：（1）双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±ba x ，则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3，则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，{y =x +mx 2−y 23=1，消去y ，得2x 2−2mx −m 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则判别式△=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ，中点M 的x 0=m2，y 0=x 0+m =32m ，则有y 0x 0=3．【考点】圆锥曲线的综合问题双曲线的标准方程【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为：y =±ba x ，得到ba =√3，又a =1，即可得到双曲线的方程；（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y ，得到x 的方程，再由判别式大于0，运用韦达定理，以及中点坐标公式，得到中点的横坐标，再由直线方程得到纵坐标，进而得到答案．【解答】解：（1）双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±ba x ，则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3，则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，{y =x +mx 2−y 23=1，消去y ，得2x 2−2mx −m 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则判别式△=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ，中点M 的x 0=m2，y 0=x 0+m =32m ，则有y 0x 0=3．18.【答案】解：(1)由题意，得抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2)，则2p ×12=2，解得p =2，故抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立{y =k(x +1)，y 2=4x ，整理，得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，又直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），则Δ=(2k 2−4)2−4k =0，解得k =1或k =−1（不符合题意，舍去），当k =1时，x 2−2x +1=0，解得x =1，则点B 的坐标为B(1,2)，∴|AB|=2√2．如图，连接OE ，则OE ⊥AB ，且△AOE 为等腰直角三角形，|AE|=|OE|=√22，∴|AB|=4|AE|，∴λ=14．【考点】抛物线的标准方程抛物线的性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线的综合问题抛物线的求解【解析】无无【解答】解：(1)由题意，得抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2)，则2p ×12=2，解得p =2，故抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立{y =k(x +1)，y 2=4x ，整理，得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，又直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），则Δ=(2k 2−4)2−4k =0，解得k =1或k =−1（不符合题意，舍去），当k =1时，x 2−2x +1=0，解得x =1，则点B 的坐标为B(1,2)，∴|AB|=2√2．如图，连接OE ，则OE ⊥AB ，且△AOE 为等腰直角三角形，|AE|=|OE|=√22，∴|AB|=4|AE|，∴λ=14．19.【答案】解：(1)由题意设F(c,0)，则M(c,y 0)，将点M(c,y)带入椭圆方程，解得y 0=b 2a ，则|MF|=|y 0−0|=b 2a =√2，2b =4，解得b =2，a =2√2，故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1．(2)设P (3√2,t )，Q (x 1,y 1)，∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，∴→OP ⋅→OQ =0，即3√2x 1+ty 1=0，联立{3√2x 1+ty 1=0,x21+2y 21=8,得x 21=8t 2t 2+36，y 21=144t 2+36，∴|OP|2−16|OQ|2=18+t 2−16(x 21+y 21)=18+t 2−16(8t 2+144t 2+36)=t 2+2304t 2+36−110=t 2+36+2304t 2+36−146≥96−146=−50，当且仅当t 2+36=2304t 2+36=48，即t =±2√3时等号成立.综上，|OP|2−16|OQ|2≥−50．【考点】椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用圆锥曲线的综合问题【解析】无无【解答】解：(1)由题意设F(c,0)，则M(c,y 0)，将点M(c,y)带入椭圆方程，解得y 0=b 2a ，则|MF|=|y 0−0|=b 2a =√2，2b =4，解得b =2，a =2√2，故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1．(2)设P (3√2,t )，Q (x 1,y 1)，∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，∴→OP ⋅→OQ =0，即3√2x 1+ty 1=0，联立{3√2x 1+ty 1=0,x21+2y 21=8,得x 21=8t 2t 2+36，y 21=144t 2+36，∴|OP|2−16|OQ|2=18+t 2−16(x 21+y 21)=18+t 2−16(8t 2+144t 2+36)=t 2+2304t 2+36−110=t 2+36+2304t 2+36−146≥96−146=−50，当且仅当t 2+36=2304t 2+36=48，即t =±2√3时等号成立.综上，|OP|2−16|OQ|2≥−50．。

高二数学上学期期中试题(普通班)-人教版高二全册数学试题

某某省某某市效实中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题（普通班）说明：本试卷共100分．请在答题卷内按要求作答一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1、复数323aii-+为纯虚数，则实数a 的值为 A .1B .1-C .2D .2-2、椭圆221y x m+=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 A .14B .12C .2D .43、已知椭圆1422=+y x 的两个焦点为21,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 的值为 A .23B .3C . 27D .44、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为A .221169x y -=B .221916x y -=C .22134x y -=D .22143x y -= 5、已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是A B C .2D .16、过点(2,3)A -作直线与抛物线28y x =在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则直线BF 的斜率为A .23B .23C .34D .43 7、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线上任意一点P 到两个焦点的距离之差的绝对值与2a 的大小关系为A .恒等于2aB .恒大于2aC .恒小于2aD .不确定8、已知12,F F 分别是双曲线221(0)x my m -=>的左，右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若221PF PF 的最小值为8，则双曲线的离心率的取值X 围是A .[2,)+∞B .(1,3]C .(1,2]D .[3,)+∞二、填空题：本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分。

2022-2023学年全国高中高二上数学人教A版期中试卷(含解析)

2022-2023学年全国高二上数学期中试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 直线的倾斜角满足：，且过点，则的方程为( )A.B.C.D.2. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若，且的面积为，则的标准方程为( )A.B.C.D.3. 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为( )A.B.C.D.l αtan α=2l (1,0)l y =2x −1y =2x −2x +2y −2=0x −2y −2=0C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F B A F x AB M =3AM −→−BM −→−△AFM 93–√2C +=1x 28y 26+=1x 24y 23+=1x 22y 2+=1x 24y 22P +=4(x −3)2(y +1)2Q 3x −4y +12=0|PQ|12344. 圆与圆的公共弦长为（）A.B.C.D.5. 规定：若双曲线与双曲线的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“等渐双曲线”设为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线与双曲线为”等渐双曲线”，且双曲线的焦距为，则双曲线的标准方程是( )A.B.C.D.6. 已知圆＝，直线＝，点在直线上．若存在圆上的点，使得＝（为坐标原点），则的取值范围是（）A.B.C.D.7. 设椭圆的左、右焦点分别为点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是( )A. +=8x 2y 2++4x −16=0x 2y 28421C 1C 2C 1C 2.M :−=1(a >0,b >0)C 1x 2a 2y 2b 2A F C 1△MAF C 1:−=1(>0,>0)C 2x 2a ′2y 2b ′2a ′b ′C 282–√C 2−=1x 230y 22−=1x 22y 230−=1x 260y 24−=1x 24y 260O :+x 2y 22l :x +2y −40P(,)x 0y 0l C Q ∠OPQ 45∘O x 0[0,1][0,]85[−,1]12[−,]1285+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(−c ，0)，(c ，0)，F 1F 2N(c ，)a 2M |M |+|MN|<||F 132F 1F 2e (0，)2–√2，1)–√B. C. D.8. 在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为( )A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 下列说法正确的是 A.“”是“点到直线的距离为”的充要条件B.直线的倾斜角的取值范围为）C.直线与直线平行，且与圆相切D.离心率为的双曲线的渐近线方程为10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列结论中成立的有( )A.抛物线的准线方程为B.线段长度的最小值为C.D.11. 下列结论正确的是( )A.已知点在圆上，则的最小值是B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为(，1)2–√2(，)2–√256(，1)562ABCD −A 1B 1C 1D 1E F C 1D 1B 1C 1P A 1B 1C 1D 1AP//BDEF P 12–√222–√()c =5(2,1)3x +4y +c =03x sin α−y +1=0[0,]∪[,ππ43π4y =−2x +52x +y +1=0+=5x 2y 23–√y =±x2–√C :=2px (p >0)y 2F 2F P,Q O C y =−1PQ 4≥2S △OPQ ⋅=−3OP −→−OQ −→−P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y +2x 43kx −y −k −1=0M (−3,1),N (3,2)k −≤k ≤1232P (a,b)+=222ax +by =2C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交D.若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是12. 如图，已知为正方体，，分别是，的中点，则（）A.B.C.向量与向量的夹角是D.异面直线与所成的角为卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知直线：过抛物线：的焦点，交抛物线于、两点，若，则直线的斜率为________．14. 如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）中，所有棱长都为，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．15. 已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴右侧，且截直线＝所得弦的长为，则圆的方程为________．16. 直三棱柱中，若，则点到平面的距离为________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）P (a,b)+=x 2y 2r 2l ax +by =r 2l M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2N (1,0)1r (4,6)ABCD −A 1B 1C 1D 1E F BC C A 1⋅(−)=0C A 1−→−A 1B 1−→−−A A 1−→−(++=6B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−)2CD−→−2B A 1−→−AD 1−→−60∘EF DD 145∘l x =my +1C =2px y 2F C A B =2AF −→−FB −→−l P −ABCD 2M PA N PC BN MD x 5–√y x +2y 02ABC −A 1B 1C 1∠BAC =，AB =AC =，A =290∘2–√A 1A B A 1C 117. 求过直线与的交点，且与直线平行的直线方程． 18. 如图，四面体中，、分别、的中点，，．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值的大小；（3）求点到平面的距离．19. 已知：圆与轴交于，两点（为坐标原点），圆经过，两点，且与直线相切．求圆的方程；若点，点为圆上异于点，的动点，直线与圆交于另一点（不同于点），证明： . 20. 已知直三棱柱的底面为正三角形，，分别是，上的点，且满足，．（1）求证：平面平面；（2）设直三棱柱的棱长均相等，求二面角的余弦值．21. 已知动点与点的距离比它到直线的距离小．求动点的轨迹的方程；设为直线上任一点，过点作曲线的切线，，切点分别为，，直线，与轴分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求证：与的乘积为定值．22. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.2x −y +1=0x −y +5=02x +y −5=0ABCD O E BD BC AB =AD =2CA =CB =CD =BD =22–√AO ⊥BCD AD BC D ABC :+=5C 1(x +1)2(y −2)2y O A O C 2O A OC 1(1)C 2(2)P (3,4)M C 1A O MO C 2N O PM =PN ABC −A 1B 1C 1E F A 1C 1B 1C 1E =E A 1C 1F =3F B 1C 1AEF ⊥B C B 1C 1ABC −A 1B 1C 1−AE −B C 1P F (1,0)l :x +2=01(1)P C (2)P x =−1P C PA PB A B PA PB y M N M N m n m n C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】直线的点斜式方程直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：设直线的方程为，，即，将点代入得，.故选.2.【答案】A【考点】椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，且，则，所以，；l (y −)=k(x −)y0x 0tan α=2k =2(1,0)y =2(x −1)=2x −2B =3AM −→−BM −→−OB//FM==aa +cb ||FM −→−23||=b FM −→−32a =2c =−222又因为，所以，则.根据的面积为，从而求得，则，，所以椭圆的标准方程为：.故选.3.【答案】C【考点】点到直线的距离公式【解析】先求出圆心到直线的距离，利用的最小值为进行求解.【解答】解：圆的圆心坐标为，半径，∵圆心到直线的距离为，∴的最小值为.故选.4.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析=−b 2a 2c 2b =c 3–√||=c FM −→−33–√2△AFM 93–√2c =2–√a =22–√b =6–√C +=1x 28y 26A (3,−1)3x −4y +12=0d |PQ|d −r =5−2=3+=4(x −3)2(y +1)2(3,−1)r =2(3,−1)3x −4y +12=0d ==5|3×3−4×(−1)+12|+3242−−−−−−√|PQ|d −r =5−2=3C【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：据题意可知，，由分析知，点坐标为或，点在双曲线上，∴ .又∴，∴ 解得故双曲线的标准方程是 .故选6.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】根据条件若存在圆上的点，使得＝（为坐标原点），等价即可，求出不等式的解集即可得到的范围【解答】=,+=(=32b ′a ′b a a ′2b ′282–√2)2M (,(a +c))−a +c 23–√2(,−(a +c))−a +c 23–√2M C 1−=1(−a +c 2)2a 2(a +c 34)2b 2=+,c 2a 2b 2(=15b a )2==b ′a ′b a 15−−√.=2,=30.a ′2b ′2C 2−=1x 22y 230B.C Q ∠OPQ 45∘O PO ≤2x 0O Q ∠OPQ PQ圆外有一点，圆上有一动点，在与圆相切时取得最大值．如果变长，那么可以获得的最大值将变小．可以得知，当＝，且与圆相切时，＝，而当时，在圆上任意移动，恒成立．因此满足，就能保证一定存在点，使得＝，否则，这样的点是不存在的；∵点在直线＝上，∴＝，即∵＝＝，∴，解得，，∴的取值范围是7.【答案】D【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：∵在椭圆的外部，则，解得，∴，即，由椭圆性质可得：.在中，，∵恒成立，∴.解得即.所以椭圆离心的取值范围是.故选.8.【答案】B O P Q ∠OPQ PQ OP ∠OPQ ∠OPQ 45∘PQ PO 2PO >2Q ∠OPQ <45∘PO ≤2Q ∠OPQ 45∘Q P(,)x 0y 0x +2y −40+2−4x 0y 00=y 04−x 02|OP |2+x 20y 20+(=−2+4≤4x 204−x 02)254x 20x 0−2≤054x 20x 00≤≤x 085x 0[0,]85N(c ，)a 2>a 2b 2a >2a 2b 2>c a 2–√2e >2–√2|M |+|MN|=2a −|M |+|MN|F 1F 2△MNF 2|MN|−|M |≤N =F 2F 2a 2|M |+|MN|<||F 132F 1F 22a +<⋅2c a 232>，c a 56e >56(，1)56D【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算【解析】【解答】解：如图所示，分别取棱，的中点，，连接，，∵，，，为所在棱的中点，∴，．∴，又平面，平面，∴平面，连接，由，，，，可得，，则四边形为平行四边形，则，而平面，平面，则平面．又，∴平面平面．又是上底面内一点，且平面，∴点在线段上，又，∴点的轨迹长为 .故选.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】B,C【考点】A 1B 1A 1D 1M N MN B 1D 1M N E F MN//B 1D 1EF//B 1D 1MN//EF MN ⊂BDEF EF ⊂BDEF MN//BDEF NF NF//A 1B 1NF =A 1B 1//AB A 1B 1=AB A 1B 1NF//AB NF =AB ANFB AN//FB AN ⊂BDEF FB ⊂BDEF AN//BDEF AN ∩NM =N AMN//BDEF P A 1B 1C 1D 1AP//BDEF P MN MN =12B 1D 1P 2–√B双曲线的渐近线命题的真假判断与应用直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：，由题意可得，解得或，故“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故错误；，直线方程可化为，因为，所以该直线倾斜角的取值范围为，故正确；，易知，直线与直线平行，圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故正确；，由题意得，且，则，当双曲线焦点在轴时，渐近线方程为，当双曲线焦点在轴时，渐近线方程为，故错误.故选.10.【答案】B,C,D【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线结合的最值问题【解析】无【解答】解：焦点到准线的距离为，所以抛物线的焦点为，准线方程为，则选项错误；当垂直于轴时长度最小，此时，，所以，则选项正确；A d ==3|3×2+4×1+c|+3242−−−−−−√c =5c =−25c =5(2,1)3x +4y +c =03A B y =sin αx +1−1≤sin α≤1[0,]∪[,π)π43π4B C y =−2x +52x +y +1=0y =−2x +5d ===r |5|+1222−−−−−−√5–√y =−2x +5+=5x 2y 2C D e ==3–√c a +=a 2b 2c 2b =a 2–√x y =±x 2–√y y =±x 2–√2D BC F p =2C (1,0)x =−1A PQ x P (1,2)Q (1,−2)|PQ|=4B P(，)Q(,)PQ设，，直线的方程为，联立消去，可得，消去，可得，所以，，，所以，当时成立，则选项正确；又，，所以，则选项正确.故选．11.【答案】C,D【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质命题的真假判断与应用斜率的计算公式【解析】选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；选项中直线恒过点，计算即可求解；选项中利用圆心到直线距离及点在圆外即可判断；选项根据以为圆心，为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解．【解答】解：选项，设，则，因为点在圆上，所以直线与圆有交点，因此圆心到直线的距离，解得或，故错误；选项，由得，所以即直线过点，P(，)x 1y 1Q(,)x 2y 2PQ x =my +1{x =my +1，=2px ，y 2y −(4+2)x +1=0x 2m 2x −4my −4=0y 2+=4+2x 1x 2m 2+=4m y 1y 2=−4y 1y 2=|OF||−|S △OPQ 12y 1y 2=×1×12−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=×≥21216+16m 2−−−−−−−−√m =0C =1x 1x 2=−4y 1y 2⋅=+=−3OP −→−OQ −→−x 1x 2y 1y 2D BCD A B kx −y −1−1=0P (1,−1),k PM k PN C P D N 1A k =y +2xy =kx −2P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y =kx −2C :+=2(x −1)2(y −1)2(1,1)y =kx −2d =≤|k −3|1+k 2−−−−−√2–√k ≤−7k ≥1A B kx −y −k −1=0k (x −1)−(y +1)=0{x =1，y =−1，kx −y −k −1=0P (1,−1)因为直线和以，为端点的线段相交，所以只需或，故错误；选项，圆的圆心到直线的距离，而点是圆外一点，所以，所以，所以直线与圆相交，故正确；选项，与点的距离为的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足，解得，故正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】向量加减混合运算及其几何意义棱柱的结构特征空间向量运算的坐标表示用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果．【解答】解：在正方体中，以点为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，kx −y −k −1=0M (−3,1)N (3,2)k ≥==k PN 2−(−1)3−132k ≤==−k PM 1−(−1)−3−112B C +=x 2y 2r 2(0,0)ax +by =r 2d =r 2+a 2b 2−−−−−−√P (a,b)+=x 2y 2r 2+>a 2b 2r 2d =<=r r 2+a 2b 2−−−−−−√r 2r l C D N (1,0)1+=1(x −1)2y 2M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2+=1(x −1)2y 2d =MN =5r −1<d =5<r +14<r <6D CD ABCD −A 1B 1C 1D 1A AB AD AA 1x y z 2ABCD −A 1B 1C 1D 1A AB AD AA 1x y z，设正方体棱长为，则，，，，，，，所以，，因此，故正确；，又，，所以，，因此，故正确；，因为，，所以，因此向量与向量的夹角是，故错误；，因为，分别是，的中点，所以，，则，又，所以，又异面直线的夹角大于且小于等于，所以异面直线与所成的角为，故正确．故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】A 2A (0,0,0)(0,0,2)A 1B (2,0,0)(2,0,2)B 1C (2,2,0)D (0,2,0)(0,2,2)D 1=(2,2,−2)C A 1−→−−==(2,0,2)A 1B 1−→−−A A 1−→−AB 1−→−⋅(−)=⋅=4−4=0C A 1−→−A 1B 1−→−−A A 1−→−C A 1−→−AB 1−→−A B ++=+B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−A B 1−→−C B 1−→−=(−2,0,−2)+(0,2,−2)=(−2,2,−4)=(−2,0,0)CD −→−(++B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−)2=4+4+16=246=24CD −→−2=6(++)B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−2CD −→−2B C =(2,0,−2)B A 1−→−=(0,2,2)AD −→−1cos , =B A 1−→−AD 1−→−⋅B A 1−→−AD 1−→−|||B A 1−→−A |D 1−→−−==−−4×4+4−−−−√4+4−−−−√12B A 1−→−AD 1−→−120∘C D E F BC C A 1E (2,1,0)F (1,1,1)=(−1,0,1)EF −→−=(0,0,2)DD 1−→−−cos , =EF −→−DD 1−→−−⋅EF −→−DD 1−→−−||||EF −→−DD 1−→−−==2×21+1−−−−√2–√20∘90∘EF DD 145∘D ABD抛物线的标准方程【解析】【解答】14.【答案】【考点】二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】＝【考点】圆的标准方程【解析】根据题意，设圆的圆心的坐标为，则圆的方程为＝，，由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线＝的距离，由此可得＝，解可得的值，将的值代入圆的方程可得答案．【解答】根据题意，设圆的圆心坐标为，则其标准方程为＝，，则圆心到直线＝的距离，又由该圆截直线＝所得弦的长为，则有＝，解可得＝，又由，则＝，故要求圆的方程为＝，16.(x −2+5–√)2y 25(a,0)(x −a +)2y 25(a >0)x +2y 01+(a 5–√5)25a a (a,0)(x −a +)2y 25(a >0)x +2y 0d ==a |a +2×0|1+22−−−−−√5–√5x +2y 021+(a 5–√5)25a ±25–√a >0a 25–√(x −2+5–√)2y 25点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：由．求得，∴直线与的交点为与直线平行的直线一般式方程为，把点代入可得，故所求的直线方程为．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系直线的点斜式方程两条直线的交点坐标【解析】解方程组求得交点坐标，设与直线平行的直线一般式方程为，把交点代入可得的值，从而求得所求的直线方程．【解答】解：由．求得，∴直线与的交点为与直线平行的直线一般式方程为，把点代入可得，故所求的直线方程为．18.{2x −y +1=0x −y +5=0{x =4y =92x −y +1=0x −y +5=0(4,9)2x +y −5=02x +y +λ=0(4,9)λ=−172x +y −17=0x +2y −3=0x +2y +λ=0λ{2x −y +1=0x −y +5=0{x =4y =92x −y +1=0x −y +5=0(4,9)2x +y −5=02x +y +λ=0(4,9)λ=−172x +y −17=0直线与平面垂直的判定异面直线及其所成的角点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为：．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立解得，联立解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．(1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2M (,)4k −21+k 24−2k k 21+k 2{y =kx,+=20.(x −4)2(y −2)2N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】无无【解答】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为：．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立解得，联立解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．20.【答案】(1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2M (,)4k −21+k 24−2k k 21+k 2{y =kx,+=20.(x −4)2(y −2)2N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN B C G GA证明：（1）取的中点，连结，∵，，∴，在等边中，由是的中点，知，∴，∵三棱柱是直棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．解：（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱均为，则，，，∴，，设是平面的一个法向量，由，取，得，平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直的判定【解析】（1）取的中点，连结，推导出，，从而，由三棱柱是直棱柱，得到，从而平面，由此能证明平面平面．（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取的中点，连结，∵，，∴，在等边中，由是的中点，知，∴，∵三棱柱是直棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．解：（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱均为，则，，，∴，，设是平面的一个法向量，B 1C 1G G A 1F =3F B 1C 1FG =FC 1EF //G A 1△A 1B 1C 1G B 1C 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥B 1A 1B 1C 1EF ⊂A 1B 1C 1B ⊥EF B 1B ∩=B 1B 1C 1B 1EF ⊥B C B 1C 1EF ⊂AEF AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z ABC −A 1B 1C 12A(0,0,0)B(,1,0)3–√E(0,1,2)=(0,1,2)AE −→−=(,1,0)AB −→−3–√=(x,y,z)n →ABE {⋅=x +y =0n →AB −→−3–√˙x =−2=(−2,2,−)n →3–√3–√AEC 1=(1,0,0)m →−AE −B C 1θcos θ===||⋅||m →n →˙219−−√219−−√19−AE −B C 1219−−√19B 1C 1G G A 1EF //G A 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥EF B 1EF ⊥B C B 1C 1AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z −AE −B C 1B 1C 1G G A 1F =3F B 1C 1FG =FC 1EF //G A 1△A 1B 1C 1G B 1C 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥B 1A 1B 1C 1EF ⊂A 1B 1C 1B ⊥EF B 1B ∩=B 1B 1C 1B 1EF ⊥B C B 1C 1EF ⊂AEF AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z ABC −A 1B 1C 12A(0,0,0)B(,1,0)3–√E(0,1,2)=(0,1,2)AE −→−=(,1,0)AB −→−3–√=(x,y,z)n →ABE ˙由，取，得，平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．21.【答案】解：∵点与的距离比它到直线的距离小，点与的距离到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故抛物线的标准方程为．设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为．据得．所以，得．同理，得，所以分别令，得，，所以.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题抛物线的标准方程轨迹方程【解析】【解答】解：∵点与的距离比它到直线的距离小，点与的距离到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，{⋅=x +y =0n →AB −→−3–√˙x =−2=(−2,2,−)n →3–√3–√AEC 1=(1,0,0)m →−AE −B C 1θcos θ===||⋅||m →n →˙219−−√219−−√19−AE −B C 1219−−√19(1)P F(1,0)l :x =−21∴P F(1,0)l :x =−1∴P F(1,0)l :x =−1C =4x y 2(2)P (−1,)y 0AP y =(x +1)+k 1y 0BP y =(x +1)+k 2y 0{=4x,y 2y =(x +1)+,k 1y 0−4y +4+4=0k 1y 2k 1y 0Δ=16−4(4+4)=0k 1k 1y 0+−1=0k 21y 0k 1+−1=0k 22y 0k 2{+=−，k 1k 2y 0=−1，k 1k 2x =0m =+k 1y 0n =+k 2y 0mn =(+)(+)k 1y 0k 2y 0=+(+)+y 20k 1k 2y 0k 1k 2=−−1y 20y 20=−1(1)P F(1,0)l :x =−21∴P F(1,0)l :x =−1∴P F(1,0)l :x =−1=4x 2故抛物线的标准方程为．设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为．据得．所以，得．同理，得，所以分别令，得，，所以.22.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得C =4x y 2(2)P (−1,)y 0AP y =(x +1)+k 1y 0BP y =(x +1)+k 2y 0{=4x,y 2y =(x +1)+,k 1y 0−4y +4+4=0k 1y 2k 1y 0Δ=16−4(4+4)=0k 1k 1y 0+−1=0k 21y 0k 1+−1=0k 22y 0k 2{+=−，k 1k 2y 0=−1，k 1k 2x =0m =+k 1y 0n =+k 2y 0mn =(+)(+)k 1y 0k 2y 0=+(+)+y 20k 1k 2y 0k 1k 2=−−1y 20y 20=−1(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2−24，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高二数学上学期期中考模拟卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1 等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（）A 66B 99C 144D 2972 在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A 1B 1-C 32D 32-3 设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )Ab a 11< B ba 11> C 2a b > D 22a b > 4 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（）A 513B 512C 510 D82255 在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（）A A b sin 2B A b cos 2C B b sin 2D B b cos 26 关于x 的不等式22155(2)(2)22x xk k k k --+<-+的解集是 ( )A 12x >B 12x < C 2x > D 2x < 7 若)32lg(),12lg(,2lg +-xx 成等差数列，则x 的值等于（）A 1B 0或32C 32D 5log 28 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A 090 B 060 C 0135 D 01509．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22-10等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（）A 12B 10C 31log 5+D 32log 5+11、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 512、预测人口的变化趋势有多种方法，“直线推算法”使用的公式是0(1)(1)nn P P k k =+>-，其中n P 为预测期人口数，0P 为初期人口数k 为预测期内年增长率n 为预测期间隔年数。

如果在某一时期有—1<k<0,那么在这期间人口数（）A 呈上升趋势B 呈下降趋势C 摆动变化D 不变二、填二、空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

13 两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a=___________14 若在△ABC中，060,1,3,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______15、设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数z ＝2x +4y 的最大值为（）第17题图 16 在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________三、解答题：本大题共6小题，前5道每题12分,最后一题14分，共74分.请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、如图所示的四边形ABCD 中已知AD CD ⊥，AD=10，AB=14，0060,135,BDA BCD ∠=∠=求BC 的长18．已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S . （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G .19 已知函数243()mx x ny f x ++==7，最小值为1-，求此函数式20、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？21、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 22．（本题满分14分）对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点.如果函数),()(2N c b c bx a x x f ∈-+=有且只有两个不动点0，2，且,21)2(-<-f（1）求函数)(x f 的解析式；（2）已知各项不为零的数列1)1(4}{=⋅nn n a f S a 满足，求数列通项n a ；（3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时，恒有3<n a 成立.高二数学上学期期中考模拟卷参考答案1 B 147369464639,27,339,327,13,9a a a a a a a a a a ++=++=====91946999()()(139)99222S a a a a =+=+=+= 2 C00tan 30,tan 3023,244,23bb ac b c b a=====-=3 C 对于A ，B ，倒数法则：11,0a b ab a b>>⇒<，要求,a b 同号，2111,1b b a >>-⇒<>而，对于22a b >的反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====4 C 332112131(1)18,()12,,2,22q a q a q q q q q q ++=+====+或而89182(12),2,2,2251012q Z q a S -∈====-=- 5 D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 6 B225312(1)1,1,222k k k x x x -+=-+>∴<-< 7 D 2lg 2lg(23)2lg(21),2(23)(21)xxxx++=-+=-22(2)4250,25,log 5x x xx -⋅-===8B22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=222222013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-==== 9.用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

10.B 5103132310312103453log log ...log log (...)log ()log (3)10a a a a a a a a +++====11.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个答案：312、答案：B 解析：1n n P P +-=100(1)(1)n n P k P k ++-+=00(1)(11)(1)n nP k k P k k ++-=+，001110,011,(1)0.0,0,(1)0,0.n n n n n nk k k P k P k k P P P P ++-<<∴<+<+>><∴+<-<∴<又即 13 12651955199"55199199()2792652929312()2a a a a a a Sb b b b S b b ++⨯+======+++143392 2113sin 3,4,13,13222ABC S bc A c c a a ∆==⨯====13239sin sin sin sin 332a b c a A B C A ++===++ 15、1316 )2,3[ππ 2tan tan tan tan tan ,tan tan()tan tan 1A CB AC B A C A C +==-+=- 2tan tan tan tan()tan 1A CB AC B +=-+=- 3tan tan tan tan 2tan tan 2tan B B A C A C B -=+≥=3tan 3tan ,tan 0tan 33B B B B B π≥>⇒≥⇒≥17、解：在ABC ∆中，由余弦定理得222BA 2cos .BD AD BD AD BDA =+-∠ 设BD=x ，则22201410210cos60x x =+-⨯ ,得x 2-10x-90=0 1216,6()x x ∴==-舍去即BD=16.在BDC ∆ 中，000CDB 906030ADC BDA ∠=∠-∠=-= 由正弦定理得16,sin 3082sin sin sin 135ooBC BD BC CDB BCD =∴==∠∠∠ 18、（Ⅰ）由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴ 11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩……3分由233)1(5+=∴⋅-+=n a n a n n ……………………………6分（Ⅱ）设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=nn b ………………… 9分.2)12(62)2222(3321n n G nn n +-=+++++=∴*)(,62231N n n G n n ∈-+⋅=∴+ ……………………………………12分 19、解：222(1)43,()430y x mx x n y m x x y n +=++--+-=显然y m =可以成立，当y m ≠时，方程2()430y m x x y n --+-=必然有实数根，∴484()()0,y m y n ∆=---≥ 即2()120,17y m n y mn y -++-≤-<<而17∴-和是方程2()120y m n y mn -++-=的两个实数根y ＝2x －y ＝－1x ＋y ＝4则6,1,5127m n m n mn +=⎧==⎨-=-⎩2435x x y ++∴=20、解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为 a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为 b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑=n k 1400×(45)k －1.=1600×［(45)n －1］(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即：1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0，令x =(54)n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜52，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.21解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭13cos cos 22A A A =++33A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以13sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有3333232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为332⎫⎪⎪⎝⎭，．22解：设x c bx a x =-+2得：,0)1(2=++-a cx x b 由违达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=+,102,102b a b c解得,210⎪⎩⎪⎨⎧+==c b a 代入表达式c x c x x f -+=)21()(2，由,2112)2(-<+-=-c f 得x x f b c N b N c c ===∈∈<)(,1,0,,,3则若又不止有两个不动点，).1(,)1(2)(,2,22≠-===∴x x x x f b c 于是………………………………………5分（2）由题设得,2:1)11(2)1(422n n n nn n a a S a a S -==-⋅得（A ）且21112:1,1----=-≠n n n n a a S n n a 得代以（B ）由（A ）-（B ）得：,0)1)(()()(2112121=+-+---=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即,2:)(1,1211111a a a A n a a a a n n n n -==-=--=∴--得代入以或解得01=a （舍去）或11-=a ；由11-=a ，若,121=-=-a a a n n 得这与1≠n a 矛盾，11-=-∴-n n a a ，即{}n a 是以-1为首项，-1为公差的等差数列，n a n -=∴； ………………………………………………………………10分（3）证法（一）：运用反证法，假设),2(3≥>n a n 则由（1）知22)(21-==+n nn n a a a f a ),2(,143)211(21)111(21)1(211N n n a a a a a a a n n n n n n n ∈≥<<=+<-+⋅=-=∴++即 ∴21a a a n n <<<- ，而当,3;338281622,21212<∴<=-=-==n a a a a n 时这与假设矛盾，故假设不成立，∴3n a <.………………………………………14分证法（二）：由2121)211(21,22)(21211≤+--=-==+++n n n n n n n a a a a a a f a 得得1+n a <0或,30,0,2111<<<≥+++n n n a a a 则若结论成立；若1+n a 2≥，此时,2≥n 从而,0)1(2)2(1≤---=-+n n n n n a a a a a 即数列{n a }在2≥n 时单调递减，由3222=a ，可知2,33222≥<=≤n a a n 在上成立.………………………………………………………………………………………14分。