人教版高二理科数学下学期期末考试附答案

2017人教版高二理科数学下学期期末考试

（本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．答题时间120分钟， 满分150分．）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的4

个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数31i z i

-=

-等于

（ ）

A ．i 21+

B ．i 21-

C ．i +2

D ．i -2

2．如果复数)2)(1(i bi ++是纯虚数，则bi

i

b ++132的值为

（ ）

A ．2

B ．5

C ．5

D ．15

3

．

已

知

函

数

1

-=

x y ，则它的导函数是

（ ）

A ．121/-=

x y B ．)

1(21/--=x x y

C ．112/--=

x x y D ．)

1(21

/---=x x y 4

．

=+?-

dx e

x x

)(cos 0

π

（ ）

A ．1e π--

B ．1e π-+

C ．e π--

D ．1e ππ-- 5．如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点

E ，与DC 交于点

F ，则图中相似三角形共有（ ）

A ．3对

B ．4对

C ．5对

D ．6对

6．曲线2

2

1x y -=经过伸缩变换T 得到曲线

'2'2

1169

x y -=，那么直线210x y -+=经过伸缩变换T 得到的直线方程为

（ ）

A ．''2360x y -+=

B ．''4610x y -+=

C ．''38120x y -+=

D ．''3810x y -+=

7

．

圆

5cos 53sin ρθθ

=-的圆心坐标是

（ ）

A 4(5,)3π--

B (5,)3π-

C (5,)3π

D 5(5,)3

π-

8．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为 （ ）

A cos 2ρθ=

B sin 2ρθ=

C 4sin()3

πρθ=+ D 4sin()3

π

ρθ=-

9．设随即变量ξ服从正态分布)1,0(N ，p P =>)1(ξ，则)01(<<-ξP 等于 （ ）

A ．

p 2

1

B ．p -1

C ．p 21-

D ．p -21

10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只

能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ）

A ．24种

B ．96种

C ．120种

D ．144种

11．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明

的概率都是7.0 则在这段时间内吊灯能照明的概率是 （ ）

A ．343.0

B ．833.0

C ．973.0

D ．029.1

12．已知)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()0)(/≤+x f x xf ，

对

任

意

正

数

b

a ,，若

b a <，则必有

（ ）

A )()(a bf b af ≤

B )()(b af a bf ≤

C )()(b f a af ≤

D )()(a f b bf ≤

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数y =的最大值是 ． 14．由曲线2x y =，x y =，x y 3=所围成的图形面积为 ． 15．二项式10)211(x -

的展开式中含51

x

的项的系数是 ． 16．已知函数[]2,2,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示过原点的曲线，且在1

±=x 处的切线的倾斜角均为π4

3

，有以下命题： ①)(x f 的解析式为[]2,2,4)(3-∈-=x x x x f ； ②)(x f 的极值点有且只有一个； ③)(x f 的最大值与最小值之和等于零；

其中正确命题的序号为_ ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）设函数=)(x f lg(|3||7|)x x ++-a -．

（1）当1=a 时，解关于x 的不等式0)(>x f ； （2）如果R x ∈?，0)(>x f ，求a 的取值范围．

18．（本小题满分12分）设()n n n f n

-??

?

??+=11，其中n 为正整数．

（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；

（2）猜想满足不等式0)(

19．（本小题满分12分）经过点??

? ??

--23,3A ，倾斜角为α的直线l ，与曲线C ：

?

?

?==θθ

sin 5cos 5y x （θ为参数）相交于C B ,两点． （1）写出直线l 的参数方程，并求当6

π

α=

时弦BC 的长；

（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程；

20．（本小题满分12分）设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三

张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为y x ,，设随机变量x y x -+-=2ξ．

（1）写出y x ,的可能取值，并求随机变量ξ的最大值； （2）求事件“ξ取得最大值”的概率； （3）求ξ的分布列和数学期望与方差．

2.（本小题满分12分）设函数()||f x x a =-，不等式()2f x ≤的解集是

{}|15x x ≤≤．

（1）求实数a 的值；

（2）若(2)(2)f x f x m ++≥对一切x R ∈恒成立，求m 的范围．

22．（本小题满分10分）已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取

得极值c --3，其中c b a ,,为常数． （1）求b a ,的值；

（2）讨论函数)(x f 的单调区间；

（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．C 7．A 8．A 9．D 10．B 11．C 12．A 二、填空题（每小题4分，共16 分） 13．5 14．

313 15．8

63

- 16．①③ 三、解答题（共6小题，共56分）

17．解：（1）当1a =时，原不等式可变为|3||7|10x x ++->，

可得其解集为

{|3,7}.x x x <->或 ………………4分

（2）因|3||7|3(7)|10x x x x ++-≥

+--=｜对任意x R ∈都成立． ∴lg(|3||7|)lg101x x ++-≥=对任何x R ∈都成立．

∵lg(|3||7|)x x a ++->解集为R ．∴1a < (8)

分

18．解：（1）27

17

)3(,21)2(,1)1(-===f f f ………………3分

（2）猜想：0)11()(,3<-+=≥n n

n f n n (4)

分

证明：①当3=n 时，027

17

)3(<-

=f 成立 ………………5分

②假设当k n =),3(*

N n n ∈≥时猜想正确，即()011<-??

?

??+=k k k f k

∴k k k

??+11 由于)1

11()11()111()111(1111

+++<++++

=?

?? ??

+++k k k k k k k k 11

)111(+<++=++

k k k ………………8分

∴1)111(1+<+++k k k ，即()0)1(11111

<+-??

? ??

++=++k k k f k 成立

由①②可知，对0)1

1()(,3<-+=≥n n

n f n n 成立 (10)

分

19．解：（1）l 的参数方程??

???+-=+-=ααsin 23cos 3t y t x （t 为参数）． …………

1分

曲线C 化为：2522=+y x ，将直线参数方程的y x ,代入，得

04

55

)sin cos 2(32=-

+-t t αα ∵055)sin cos 2(92>++=?αα恒成立， ………………3分

∴方程必有相异两实根21,t t ，且)sin cos 2(321αα+=+t t ，4

55

21-=t t ． ∴55)sin cos 2(94)(22122121++=--=-=ααt t t t t t BC ∴当6

π

α=时，3363372

1

+=

BC ． ………………5分

（2）由A 为BC 中点，可知0)sin cos 2(321=+=+ααt t ，

∴2tan -=α，

故直线BC 的方程为01524=++y x ． ………………7分

（3）∵8=BC ，得855)sin cos 2(92=++=ααBC

∴0cos 3cos sin 42=+ααα, ∴0cos =α或4

3tan -=α 故

直

线

BC 的

方

程

为

3

=x 或

01543=++y x ………………9分

（4）∵BC 中点对应参数221t t t +=

)sin cos 2(2

3

αα+= ∴??

???

++-=++-=α

αααααsin )sin cos 2(23

23cos )sin cos 2(233y x （ 参数α[)π,0∈ ），消去α，得

弦BC 的中点的轨迹方程为1645)43()23

(22=

+++y x ； 轨迹是以

)4

3,23(--为圆心，4

53为半径的

圆． ………………10分 20．解：（1）y x ,的可能取值都为1，2，3．

2,12≤-≤-x y x ，∴3≤ξ，

∴当3,1==y x 或1,3==y x 时，ξ取最大值

3． ………………3分

（2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数933=?=n ，

∴

9

2

)3(=

=ξP ……………………………4分

（3）ξ的所有取值为0，1，2，3，

当0=ξ时，只有2,2==y x 这1种情况，∴9

1)0(==ξP ；

当1=ξ时，只有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x ， 共4种情况，∴9

4)1(==ξP ；

当2=ξ时，只有2,32,1====y x y x 或这2种情况，∴9

2

)2(==ξP ； 当

3=ξ时，

9

2

)3(=

=ξP ； ………………7分 ∴ 随机变量ξ的分布列为：

∴ 数学期望9

149

239

429

219

10=?+?+?+?=ξE 方差9

8

)9143(92)9142(94)9141(92)9140(9

12222=-+-+-+-

=ξD ………9分 21．解：（1）证明：过点P 作两圆公切线PN 交AB 于N ，由切线长定理得

NB NA NP ==，

∴PAB ?为直角三角形 ………………3分

（2）EC AC ⊥

证明：∵AE AP AC AB ?=?， ∴

AC

AE

AP AB =

，又EAC PAB ∠=∠， ∴PAB ?∽CAE ? ∴

,

900=∠=∠APB ECA 即

EC AC ⊥． ……………6分

（3）由切割线定理，AD AP AB ?=2，

∴,3,5==PB AB AC EC PA PB :4:3:==

∴

4

3

=AC EC ．

………………9分 22．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，

∴04=+b a ，又c f --=3)1(，

∴

3,12-==b a ； ………………5分

（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x

∴由0)(/=x f 得1=x ，

当10<x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；

∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为

),1(+∞ ……9分

（3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(， 依题意，只需0232≥+--c c ，解得2

3

≥

c 或1-≤c ………………10分