《高等数学》中“求极限”问题分析
高等数学极限求法总结
04 极限求法之洛必达法则
洛必达法则基本思想
利用导数求解极限
在一定条件下，通过分子分母分别求导的方式，简化极限运 算。
转化无穷大比无穷大型
对于0/0型或∞/∞型的极限，通过洛必达法则可转化为其他 类型进行求解。
适用条件及典型例题
适用条件
适用于0/0型和∞/∞型的极限，且分子分母 在求导后极限存在或为无穷大。
05 极限求法之泰勒公式法
泰勒公式基本概念及展开式
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个在闭区间上可导的函数展开成多项式 的形式。
泰勒展开式
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! * (x-a)^2 + ... + f^n(a)/n! * (x-a)^n + Rn(x)，其 中Rn(x)为余项。
适用于连续函数情况
连续函数定义
若函数在某点的极限值等于该点的函 数值，则称函数在该点连续。对于连 续函数，我们可以直接将其自变量代 入函数表达式来求解极限。
适用范围
直接代入法适用于一元和多元函数的 极限求解，但要求函数在求极限的点 是连续的。
注意事项及典型例题
注意事项：在使用直接代入 法求极限时，需要注意以下
该方法不需要复杂的数学变换和技巧，易于掌握。
缺点
直接代入法仅适用于连续函数的极限问题，对于非连续函 数或复杂函数可能无法求解。
在某些情况下，即使函数在求极限的点连续，直接代入也 可能导致分母为零等无法计算的情况，需要结合其他方法 进行处理。
03 极限求法之因式分解法
适用于多项式函数情况
0/0型极限
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。
在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。
下面是一些常用的函数极限求法技巧。
1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。
即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。
2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。
即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。
3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。
将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。
4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。
通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。
5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。
当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。
6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。
通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。
I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。
它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。
下面通过一个例题来说明这个方法。
例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。
根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。
因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。
故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。
下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。
例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。
然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。
也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。
根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。
故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。
下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。
例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学中的重要概念，它刻画了一个函数在某一点上的走势。
在实际应用中，有时需要求解函数在某一点上的极限，这就需要运用一些求极限的技巧和方法。
下面就来解析一些常见的函数极限求法技巧。
首先是常数函数极限。
对于一个常数函数，它在定义域上的值都是固定不变的，即不管自变量取什么值，函数值都是相同的。
对于一个常数函数，其在任何一点上的极限都等于该点上的函数值。
接下来是多项式函数极限。
多项式函数是指由常数乘方和常数乘法运算得到的函数。
对于多项式函数来说，当自变量趋近于无穷大时，函数值也趋于无穷大或负无穷大。
对于一个多项式函数来说，在无穷大处的极限是存在的。
最后是三角函数的极限。
对于三角函数来说，当自变量趋近于无穷大时，三角函数的值也是不断在某个范围内摆动的。
对于三角函数来说，在无穷大处的极限是不存在的。
在实际应用中，我们常常需要对函数进行化简，然后再进行极限的求解。
常用的化简方法有分子有理化、分母有理化、换元法等。
利用这些化简方法，可以将一个复杂的函数转化为一个更简单的形式，从而更容易求解其极限。
还有一些常用的极限运算法则可以简化极限的求解过程。
对于两个函数的和、差、积，极限的运算可以分别对这些函数的极限进行运算；对于两个函数的商，可以将其转化为乘法形式，然后再进行极限的运算。
通过利用这些极限运算法则，可以更便捷地求解函数的极限。
函数极限的求法技巧主要包括对常数函数、多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数的特点进行分析，化简函数形式，运用极限运算法则等。
通过灵活运用这些技巧，就能够更加准确地求解函数的极限。
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
高等数学中几种求极限的方法
高等数学中几种求极限的方法代入法是最常见的求极限方法之一、它的原理是当极限存在时，我们可以通过将自变量等于极限值，将极限变成一个已知的函数值，从而求解极限。
例如，求解lim(x→2)(x^2 - 4) / (x - 2)时，我们可以将x的值代入函数中，得到(2^2 - 4) / (2 - 2) = 0/0。
这是一个不定型，无法直接计算。
但通过分子分母同时除以(x-2)，得到lim(x→2)(x+2) = 4夹逼法是另一种常用的求极限方法。
它的原理是通过利用一个与待求的极限相夹的两个函数，确定待求极限的值。
如果两个函数当自变量趋于同一个值时，极限存在且相等，那么待求极限的值也等于这个极限值。
例如，求解lim(x→0)xsin(1/x)时，我们可以利用-，x，≤xsin(1/x)≤，x，得到-，x，≤ xsin(1/x) ≤ ，x。
当x趋于0时，我们可以发现两边函数的极限均为0，因此待求极限的值也为0。
单调有界准则是利用函数的单调性和有界性来判断极限是否存在的一种方法。
如果待求极限的函数在一些区间内单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么极限必然存在。
例如，如果函数f(x)递增且有上界，我们可以通过f(x)递增性质来证明lim(x→∞)f(x)存在。
柯西收敛准则是另一种常用的判断极限是否存在的准则。
如果一个数列满足柯西准则，即对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，a_n-a_m，<ε，那么该数列的极限存在。
例如，对于数列a_n=1/n，我们可以证明该数列满足柯西准则，因此极限lim(n→∞)1/n=0存在。
函数性质和展开式是求解复杂极限时的重要方法。
通过利用函数的特殊性质或将函数展开成幂级数，可以简化极限的计算。
例如，通过使用欧拉公式e^ix=cos(x)+isin(x)，我们可以求解lim(x→0)(1+ix)^n这样复杂的极限。
洛必达法则是高等数学中非常常用的一种求解极限的方法。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析【摘要】本文主要介绍了高等数学中函数极限的求法技巧。
首先通过介绍函数极限的定义与性质，帮助读者建立起对函数极限的基本理解。
接着详细讨论了几种常见函数的极限求法，以及无穷小与无穷大的概念及其运用。
在之后的部分，介绍了极限的四则运算法则和洛必达法则及其应用。
通过这些内容的讲解，读者可以更好地掌握函数极限的求法技巧，从而提升高等数学学习的效果。
掌握函数极限的求法技巧对于高等数学学习至关重要，有助于理解和应用更为复杂的数学知识和问题。
【关键词】高等数学、函数极限、求法技巧、定义、性质、常见函数、无穷小、无穷大、概念、运用、四则运算、法则、洛必达、应用、掌握、重要。
1. 引言1.1 高等数学中函数极限的求法技巧解析高等数学中函数极限的求法技巧解析是高等数学学习中的重要内容之一。
在学习函数极限时，我们需要掌握一些技巧和方法，以便更好地理解和应用这一概念。
本文将从函数极限的定义与性质、几种常见函数的极限求法、无穷小与无穷大的概念及运用、极限的四则运算法则以及洛必达法则及其应用等方面进行详细的解析。
函数极限的定义与性质是我们理解函数极限的基础。
通过了解函数极限的定义，我们可以更好地理解函数在某一点或无穷远处的表现。
在实际计算中，我们需要根据函数的特点来选择不同的方法求解极限，因此掌握几种常见函数的极限求法也是至关重要的。
对于幂函数、三角函数、指数函数等不同类型的函数，我们需要采用不同的技巧和方法求解其极限。
无穷小与无穷大的概念在函数极限的求解中也占据着重要地位。
通过理解无穷小和无穷大的定义及性质，我们可以更好地应用这些概念来简化极限计算。
极限的四则运算法则是我们在实际计算中经常会用到的技巧，通过掌握这些法则，我们可以更快更准确地求解函数极限。
2. 正文2.1 函数极限的定义与性质函数极限是高等数学中一个重要的概念，对于理解和解决数学问题起着至关重要的作用。
在研究函数极限时，首先需要了解函数极限的定义和性质。
本科高数高等数学极限的巧妙解题30例析
高数极限巧解例析求解函数的极限，历来是高数考试的必考内容，这其中，00型与∞∞型的未定式求极限，更是考察测试的重点方向。
在此例析一些解题诀窍，与众网友共同探讨交流。
一、巧用等价无穷小替换求极限1. 1lim(arcsin arctan )x x x→∞⋅ 解：本题求极限，如果用好等价无穷小替换，将会非常轻松，易如反掌。
解法如下：11arctan~()x x x→∞ ∴原式＝arcsin lim0x xx→∞=（arcsin 22x ππ≤≤注意：-，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。
） 2.2cot (tan sin )lim x x x x x →- 解：本题属于0型未定式，可能很多人第一个想到的就是用洛必达法则，这道题如若用该法则求导，计算量将会非常大，算式也会变得十分复杂，极易出错。
有兴趣的同学不妨试一试，看看求导后的函数表达式会是怎样的。
对于本题，如果采用等价无穷小替换求极限，将会容易得多，具体解题过程如下： 由于cos cot sin x x x =，1tan sin sin (1)cos x x x x-=-所以可得原式＝2cos 1sin (1)sin cos lim x x x x x x →⋅- ＝21cos lim x xx →- [注：21cos ~(0)2x x x -→] ＝222limx x x → ＝123. 3332lim ln()1n n n n →∞+- 解：本题求极限，首先用倒代换将函数变形，然后再运用等价无穷小替换。
详细步骤如下： 令31n t= ，则原式＝33321lim ln()11n n n n→∞+-＝0112lim ln()1t t t t→+- ＝0113lim ln()1t t t t t→-+- ＝013lim ln(1)1t t t t →+- [注：33ln(1)~(0)11t t t t t+→--] ＝013lim[()()]1t t t t→- ＝3（注意：本题不可用洛必达法则求极限，因为n 属于离散变量，不能求导。
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了 詈，这 种 本 型 限 求 ，试 极 的 目 不 解 ， ｌ 三 基 类 极 的 法考 中 限 题 就 难
决了。下面具体谈 一谈极限基本类型及 其处理 的方法 。
１极 限 问题 ． （ ） ” １ “ 型
ｌ ｉ ｍ
烈 ｘ
＝ １ 堕＝ Ｌ＝ ｍ ｉ
３ ＋１
ｌ 十 ＝ｍ—一 ＝， ｉ ＺＸ ｌ ； ｍ ｉ ｌ 使用了 第一种方法。
ｒ １
然后对该题 目使用罗必达法则求极 限 ：
ｌ ２ ： ｉ ＂ Ｘ￣ｂ ！ ｉ ＇ ａ ｒ ｉ
： ａ ．一１．＝２ ４＝ ・ ＋３ ． ａ ・－ ． ｂ
Ｖ 一１ Ｘ
（ ） １ 型 ３ “ ’
了 ， ：ｍ（ ± ） 该幂指 函数 的底的极限为 ： 如 ｌ — ｘ ｉ ＿
ｘ 十∞ 一 二十Ｘ
ｌ ．＋ ） ｘ ３ ｉ ２一 ） ５ 则 ５ ｉ （ １ ２ － ） ｍ（ ３ ｍ ｘ （ ：ｌ ｘ 一 ｂ ＝－
ｘ’ ＿一 １ ｘ＋ ｌ
．
ｘ ＿一 １
＾Ｔ Ｊ
上
无穷大的类型。 使用的方法是 １ 使用公式１ １ 口 ， ： ｉ ＋ ） 若不能使用则使 ｍ（
用 ２ 对该 函数先取以 ｅ ： 为底对数 ， 再取 以 ｅ为底指数 ， 然后化为前面 的 基本类型来做。 ’
例 ７０ 年 ） （ ８ 求极限ｌ ） ｊ ＝ ｍ（ 解： 首先分 析题 目类 型是 １ 型 ， 则使 用公式ｌ １ 口 ＝ ， ｉ ＋ ） ｅ 然后来 ｍ（ 找公式 中的 口 。
ｒ÷ ，ｎ 。 ｏ ｓ ｘ ｘ 因为这里是加减法 ， ｉ 只有 ｓ ｘ ｉ 作为整个式子的一个因式才 ｎ 可以等价无穷小替换 ， 该题考虑使用 罗必达法则 。
ｌ｛ ｉ ｍ
＝， ， ｂ求ａ ｂ
（ ） ２“
＝ ｌ ｉ ｍ
” 型
＝ｍ ｒ ｌ 一＝ ｌ ＿ ｉ ｉ ＝ｍ ６
例１ ５ ： ｌ 掣 （ 年） ０ 已知 ｉ ｍ
该题 目是 型 ， 也可以考虑使用 等价无穷小 的替换 ：
法二 ： 一＝ 则ｌ 兰二 ｌ 令 １ｔ ｉ ｍ ＝ Ｌ＝ｍ ｉ
、 ｘ一 ／ １
＝ …ｉ ｌ ３ ａ ｒ
一 ｔ ｊ
ｌ 盟 ｉ ｍ（
） ｌ １ （ ） ｉ ＋一 ］ ｍ［
：＿ ｅ ６
ｘ ｔ Ｉ— ／＋ Ｉ
，
一
１ ，
例 ２０ （９年 ）已知ｌ ： ｉ ｍ墅
＝， ａ ３求 ， ｂ
解： 首先分析题 目类型 ， 极限为零 ， 分母 函数极 限要存 在 ， 分子极限 也必须为零 ， 即也是 型。ｌ ２ ｘ ｂ ４ ２ ＋ ＝ ・２＋ ＝ ４ （＋ ＋ ） ＋ ｘ ｂ ０ ・ ａ ｂ 一 ｉ ｘａ ＝ ｍ ・
：
所谓 “ ” 型是 指分子 、 分母都 趋 向于无穷 大的类型 ， 因为分母极 限不存在 ， 以不能使 用除法法则 ， 了能够使用 除法法则 ， 所 为 要让 分母 极限存在 ， 使用的方法是 １ 同除以分母 的最高次幂 ， ： 若不能使用则使用 ２罗必达 法则。虽然这 种类型专转本 中没有直接 出现 ， ： 但是 间接 出现
科技信息
高校理科研 究
《 高等数学》ｌ 求极限” 【“ 】 问题分析
紫琅职业技 术学院
［ 摘
杨 琦
要］ 本文通过对江 苏省专转本《 高等数 学》 考试 中极 限类型问题 的分析 ， 总结了求极 限的基本类型及相应的处理方法。
专转本 《 高等数 学》 例 ５０ 年 ） （ ７ 求极限 ｌ ｅ ｘ １ ｉ Ｘ— ｍ— ＝ ＝
注 ： 中（ ） 其 一 是公式 中的 口。
例４０ 年） （ ７ 已知ｌ ． ｘ ｉ ｆ ） ￣ｌ （ ） （ ２ ｔ ｍｘ ． ： ２ ］ ｆ ｉ
— —
。
解： 首先分析题 目类型 ， 分母极限为零 ， 函数极 限要存 在 ， 分子极 限 也为零 ， 当 则 ，２ ） ｆ ｘｌ （ ； ￣ ｄ ，－ ｘ －ｌ ．ｍ 盟 ： ｉ １
［ 关键词 ］ 极限
０ 引 言 ．
江苏省专转本《 高等数学》 考试 中求极 限的题 目是必考的 。我 比较 了近 ６年的《 高等数学 》 专转本考 试中求极 限的题 目， 觉得 只要 弄清楚
解首 分 题 类 ，型分 中当＿时ｔ 与 是 价 ： 析 目 型导 ， ，， ，ｘ ｘ等 先 母 ｒ ａ 帕 ｎ
零， 就不 能使用极 限四则法则 中除法法则 了， 为了能够使用 除法 法则 ， 关键是让分母极限不为零 ， 方法有 ： １约去 分母中的趋零 因式 ， ） 具体操作 方法有 ： 因式分解 ， ① ②根式 有理化 ， ③等价无穷小的替换。
２ 使用罗必达法则。 ）
‘
解 分 题 类 是 型但 第 步 能 等 无 小 换 ：析 目型 导 ，是 一 不 用 价 穷替 当
所谓“ 型是 专门针对幂 指函数 的， 的极 限为 １而指 数趋 向于 １’ 底 ， 例 ３０ （６年 ）求极 限ｌ ： ｉ ｍ 解： 首先分析题 目 型 ， 型 ， 类 因为题 目 含有根式 ， 可是使用根式有
理化的方法 ： 法一 ． ＝２ （ ｘ一 ） ｘ＋ ） ＋ ｘ＋ ） Ｖ １ Ｖ １（ （ Ｖｘ Ｖ １
注： 连续使用了三次罗必 达法则 。
解： 首先分析题 目类型 ， 分母极 限为零 ， 函数极 限要存 在 ， 分子极 限
也 须 零即 是 型 ｌ（ ｘ），ａ。 必 是 ， 鲁 。ｍｘ－０ ＝ 就 ２３ 则 ２ ｉａ ＝ 一－
然后用因式分解的方法求该 极限值 ｂ ：
ｌ ￣ ２ｘ ３ ｉ ｍ －－
Ｘ
然后还是 型 ， 则使用罗必 达法则 ：
Ｕ
ｘｔ ｎｘ ａ
ｘａ ｔ ｎｘ
＝
ｘ 量 手争 — ＝ ＺＺ ｘ ＝
Ｚ
ｘ
注： 连续使用了两次罗必 达法则 。 所谓 “ ” 型是指 分子 分母极 限都为零 的类型 ， ０ 因为分母 极限为
、
例 ６０ 年 ） （ ９ 求极限ｌ ｉ ｍ— 一