二次函数的图象及性质3
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
人教初中数学 《二次函数的图象和性质(第3课时)》教案 (公开课获奖)
22.1 二次函数的图象和性质让学生观察函数y＝－13x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。
四、练习：P7练习。
五、小结1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?作业设计必做教科书P14：5（1）选做练习册P109-114教学反思15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． （演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．D CA B[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，D CABDC A B标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定．Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ．EDCABPD C A B又∵DE∥AP，∴∠4=∠P．∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=C E．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
专题2-4二次函数的图象与性质(3)-(解析版)
2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题2.4二次函数的图象与性质（3）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．故选：D．2．（2020•南岗区校级三模）对二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的图象，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为（﹣3，﹣4）B．与y轴的交点坐标为（0，﹣4）C．当x≥3时，y随x增大而减小D．最小值是y＝﹣4【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：由二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4可知，开口向上．对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣4），抛物线有最小值﹣4，当x≥3时，y随x增大而增大，故A、C错误，D正确；令x＝0，则y＝14，抛物线与y轴的交点为（0，14），故B错误；故选：D．3．（2019秋•思明区校级期中）对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．函数最大值为4【分析】将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴由a＝1＞0知抛物线开口向上，顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，函数有最小值为2，无最大值，∴C选项正确；故选：C．4．（2019春•西湖区校级月考）二次函数y＝a2x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为P（m，k）且有一点Q（k，m）也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是（）A．m＝k B．m＞k C．m≥k D．m＜k【分析】根据题意，可以得到该函数开口向上有最小值，再根据二次函数y＝a2x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为P（m，k）且有一点Q（k，m）也在该函数图象上，即可得到k和m的关系，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝a2x2+bx+c（a≠0），∴a2＞0，∴该函数开口向上，函数有最小值，∵二次函数y＝a2x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为P（m，k）且有一点Q（k，m）也在该函数图象上，∴m≥k，故选：C．5．（2020•宝应县一模）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论不正确的是（）A．a＝2B．顶点的坐标为（1，﹣4）C．当﹣1＜x＜3时，y＞0D．当x＞3时，y随着x的增大而增大【分析】根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b对称轴为直线x＝1，∴1，得a＝2，故选项A正确；∵该函数图象过点（﹣1，0），∴0＝1﹣2×（﹣1）+b，得b＝﹣3，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），故选项B正确；∵二次函数y＝x2﹣ax+b对称轴为直线x＝1，过点（﹣1，0），∴该函数过点（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C不正确；∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；故选：C．6．（2019•温岭市一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3【分析】抛物线线上的点沿x轴折得到的新抛物线的坐标与原坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数．【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3．故选：A．7．（2019秋•工业园区期末）下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（）A．开口向上B．对称轴是y轴C．有最低点D．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣（x）2，∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；对称轴是直线x，故选项B错误；当x时取得最大值，该函数有最高点，故选项C错误；在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；故选：D．8．（2019秋•海安市期末）已知抛物线过点A（﹣1，m）、B（1，m）和C（2，m﹣1），则其大致图象为（）A．B．C．D．【分析】先根据抛物线过点A（﹣1，m）、B（1，m）可求出其对称轴为y轴，故可排除A、C，再由m ＞m﹣1可得出在y轴右侧y随x的增大而减小，得出抛物线开口向下，由此可得出结论．【解答】解：∵抛物线过点A（﹣1，m）、B（1，m），∴抛物线的对称轴为y轴，∴可排除A、C．∵1＜2，m＞m﹣1，∴在y轴右侧y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，∴B错误，D正确．故选：D．9．（2020•岐山县二模）若抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，且过点A（a，b），B（a+6，b），则b的值为（）A．9 B．6 C．3 D．0【分析】根据抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，可知△＝0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．【解答】解：法一：∵抛物线y＝x2+mx+n顶点在x轴上，∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，∴n m2，∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a+6，b），∴b＝a2+ma+n，b＝（a+6）2+m（a+6）+n，∴a2+ma+n＝（a+6）2+m（a+6）+n，化简，得a，∴b＝a2+ma+n＝（）2+m m2＝9，法二：∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a+6，b），∴对称轴是x a+3，∵抛物线y＝x2+mx+n顶点在x轴上，∴y＝x2+mx+n＝[x﹣（a+3）]2，把（a+6，b）代入得：b＝[（a+6）﹣（a+3）]2＝32＝9，故选：A．10．（2020•镇江）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）A．B．4 C．D．【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m）2，∴当m时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•立山区二模）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝﹣2或．【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可．【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，∴0，解得m＝﹣2或．故答案为：﹣2或．12．（2020•海珠区一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是（，）．【分析】利用待定系数法确定b、c的值，然后求得顶点坐标即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，∴，解得：，∴y＝x2+x﹣2＝（x）2，∴顶点坐标为（，），故答案为：（，）．13．（2018秋•顺庆区校级月考）某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y的值，则这个错误的数值是﹣5．x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y＝﹣3x2+1x＝2时y＝﹣11，故这个错误的数值是﹣5，故答案为﹣5．14．（2020•梁园区一模）点P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y1＝y2＞y3．【分析】先根据二次项系数为负，得出函数图象开口向下；再求出其对称轴，根据横坐标离对称轴的远近即可作出判断．【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的二次项系数a＝﹣1，∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．15．（2020•仓山区校级模拟）若抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x，点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y3＜y1．【分析】根据二次函数的性质比较即可．【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x，当x时，y随x的增大而增大，∵点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在该抛物线上，∴点A关于对称轴x的对称点是（3，y1），∴y2＜y3＜y1，故答案为y2＜y3＜y1．16．（2019秋•南充期末）将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b 与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为0＜b．【分析】画出图象，利用图象法解决即可．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线为y＝﹣x2+4x（0≤x≤4）画出函数如图，由图象可知，当直线y＝x+b经过原点时有两个公共点，此时b＝0，解，整理得x2﹣3x+b＝0，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则△＝9﹣4b＞0，解得b所以，当0＜b时，直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，故答案为0＜b．17．（2020春•崇川区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，m），B（4，m），C（5，n）给出下列结论：①b＝2；②函数最小值为c﹣1；③当x＝2时，y＝c；④c＞n．其中正确的有②③．（填序号）【分析】由点A、B的坐标利用二次函数的对称性可求出b的值即可判断①，利用二次函数图象上点的坐标特征即可判断②③④．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，m）、B（4，m），∴1，∴b＝﹣2，故①错误；∴y＝x2﹣2x+c，把x＝1代入得，y＝c﹣1，∴函数最小值为c﹣1，故②正确；把x＝2代入得，y＝4﹣4+c＝c，故③正确；∵点C（5，n）在二次函数y＝x2﹣2x+c的图象上，∴n＝25﹣10+c，∴n﹣c＝15，∴c＜n，故④错误；故答案为②③．18．（2020•长春一模）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，点P的坐标为（0，）．【分析】首先确定点A和点B的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△P AB的周长最小时点P的坐标．【解答】解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△P AB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y x，当x＝0时，y，即点P的坐标为（0，），故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•江岸区校级月考）已知二次函数C2：y＝ax2+2x+c图象经过点A（2，3）和点C（0，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）填空：抛物线C1：y＝ax2的顶点坐标为（0，0），而抛物线C2：y＝ax2+2x+c的顶点坐标为（1，4）．将抛物线C1经过适当平移，得到抛物线C2：应该先向右（填：左或右）平移1个单位长度，再向上（填：上或下）平移4个单位长度．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）直接利用二次函数的性质以及二次函数平移规律得出答案．【解答】解：（1）将点A和点C的坐标代入函数解析式，得，解得，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵抛物线C2：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线C1：y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），而抛物线C2：y＝ax2+2x+c的顶点坐标为（1，4）．将抛物线C1经过适当平移，得到抛物线C2：应该先向右（填：左或右）平移1个单位长度，再向上（填：上或下）平移4个单位长度．故答案为：0、0，1、4，右，1，上，4．20．设抛物线为y＝x2﹣kx+k﹣1，根据下列各条件，求k的值．（1）抛物线的顶点在x轴上；（2）抛物线的顶点在y轴上；（3）抛物线的顶点（﹣1，﹣4）；（4）抛物线经过原点；（5）当x＝1时，y有最小值；（6）y的最小值为﹣1．【分析】根据二次函数的顶点坐标公式解答即可．（1）抛物线的顶点在x轴上，即0，解之即可得出答案；（2）抛物线的顶点在y轴上，即x0，解之即可；（3）抛物线的顶点（﹣1，﹣4），即x1，4，解之即可；（4）抛物线经过原点，即k﹣1＝0，解之即可；（5）当x＝1时，y有最小值，即x1，解之即可；（6）y的最小值为﹣1，即k﹣11，解之即可；【解答】解：（1）抛物线的顶点在x轴上，即0，∴k＝2；（2）抛物线的顶点在y轴上，即x0，∴k＝0；（3）抛物线的顶点（﹣1，﹣4），即x1，4，∴k＝1；（4）抛物线经过原点，即k﹣1＝0，∴k＝1；（5）当x＝1时，y有最小值，即1，k＝2；（6）y的最小值为﹣1，y k﹣1，即k﹣11，解得：k＝0或k＝4．21．（2020•海门市一模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y═x2﹣mx m2+m．（1）若该抛物线经过原点，求m的值；（2）求证该抛物线的顶点在直线y＝x上；（3）若点A（﹣4，0），B（0，2），当该抛物线与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）把（0，0）代入解析式，得到关于m的方程，解方程即可；（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得到结论；（3）求得抛物线就A、B时的m的值，根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，∴m2+m＝0，解得m1＝0，m2＝﹣2；（2）∵y═x2﹣mx m2+m（x﹣m）2+m，∴该抛物线的顶点坐标为（m，m），∴抛物线的顶点直线直线y＝x上；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（﹣4，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y2，令x+2x2﹣mx m2+m，整理得x2﹣（m）x m2+m﹣2＝0，△＝（m）2﹣4（m2+m﹣2）＝0，解得m，∵此时对称轴为x0，故舍去；把A（﹣4，0）代入y x2﹣mx m2+m得，m2+5m+8＝0，解得m＝﹣2或﹣8；把B（0，2）代入y x2﹣mx m2+m得，m2+m+﹣2＝0，解得m＝﹣1，由图象可知，该抛物线与线段AB只有一个公共点时，﹣8≤m≤﹣1或﹣2≤m≤﹣1．22．（2020•建水县模拟）如图所示，已知抛物线y x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．【分析】（1）列出交式即可求得；（2）根据S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．∴函数的表达式为：y（x+1）（x﹣5）（x2﹣4x﹣5）x2x，点M坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8时，y（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），因为AB＝5+1＝6，且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC36．23．（2020秋•津南区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：x……﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ……y……m7 1 ﹣1 1 7 ……解答下列问题：（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；（Ⅱ）表格中m的值等于17；（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象；（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式．【分析】（Ⅰ）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法即可求得；（Ⅱ）把x＝﹣3代入求得的解析式即可求得m的值；（Ⅲ）描点、连线画出图象即可；（Ⅳ）根据平移的规律即可求得．【解答】解：（Ⅰ）由表格可知，该函数有最小值，当x＝0时，y＝﹣1，当x＝﹣1和x＝1时的函数值相等，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝0，顶点坐标为（0，﹣1），设二次函数为y＝ax2﹣1，把x＝1，y＝1代入得，1＝a﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣1；（Ⅱ）把x＝﹣3代入y＝2x2﹣1得，y＝17；∴m＝17，故答案为17；（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象如图：（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，则平移后的二次函数解析式为y ＝2（x﹣2）2．24．（2020•湖北）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；（2）根据二次函数的最小值即可判断；（3）根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2．。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
1.2二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质(3)
2. 在同一直角坐标系中，分别画出函数 y=-0.3x2与y=-8x2 的图象，并分别说出它们的共同点和不同点.
解：
共同点：均开口向下；对称轴 均为y轴；对称轴与图象的交点 是(0，0)；图象均是“左升” “右降”；当x=0时，函数值最 大，为0； 不同点： y=-8x2的图象开口比 y=-0.3x2的图象开口小.
.
因此，所求的二次函数的表达式为
y= 3 (x + 2 )2+ 1 = 3 x 2+ 3 x 4 .
4
4
练习
1. 说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向： （ 1） y=5 2(x-9)2+7； 答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.
（ 2） y=-1 3 (x+ 18) 2-13. 答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.
y=12(x-1)2+3 y=12(x-1)2
物线，因它此的，对二称次轴函为数直y=线12(xx=-11()与2+抛3的物图线象y=也12(是x-抛1)2 的对称轴一样)，顶点坐标为(1，3)(它是由抛物 线 y=12(x-1)2 的顶点(1，0)向上平移3个单位得到)， 它的开口向上.
结论
一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线， 它具有下述性质：
例5 已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y 轴 相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次 函数的表达式.
解 由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个 抛物线所表示的二次函数的表达式为 y=a(x+2)2+1.
由函数图象过点（0，4）， 可得 4=a(0+2)2 + 1，
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
二次函数的图像与性质
弹簧振动：描述弹 簧振动的规律
波动：描述波动现 象，如声波、水波 等
电路：在交流电路 中，二次函数用于 描述电流与电压的 关系
与一次函数的比较
表达式不同：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=kx+b 图像不同：二次函数的图像是抛物线，一次函数的图像是直线 开口方向不同：二次函数的开口方向由a的符号决定，一次函数没有开口方向 顶点不同：二次函数有顶点，一次函数没有顶点
程
对称轴的证明
证明方法：利用 二次函数的对称 性，通过代入法 证明对称轴的存 在
证明过程：通过 计算二次函数在 x轴上的交点， 推导出对称轴的 方程
证明结论：二次 函数的图像关于 对称轴对称，且 对称轴的方程为 x=-b/2a
证明意义：理解 二次函数图像的 对称性质，有助 于解决与二次函 数相关的数学问 题
与坐标轴交点坐标的证明
证明方法：通过令二次函数等于0，解出x的值，得到与y轴交点的坐标
证明过程：将二次函数的一般形式代入x=0，得到y的值，即为与y轴的交点坐标
证明结果：当x=0时，y的值即为与y轴的交点坐标 证明结论：通过以上步骤，可以证明二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)
汇报人：XX
与反比例函数的比较
函数形式：二次 函数的一般形式
为 y=ax^2+bx+c，
反比例函数的一 般形式为y=k/x，
其中k为常数且 k≠0
添加标题
图像：二次函数的 图像是一个抛物线， 反比例函数的图像 是两条渐近线，当 k>0时，图像在第
一、三象限；当 k<0时，图像在第
二、四象限
添加标题
性质：二次函数有 最小值或最大值， 而反比例函数没有 最小值和最大值， 当k>0时，函数在 x>0时单调递减， 在x<0时也单调递 减；当k<0时，函 数在x>0时单调递 增，在x<0时也单
30.2(2016)二次函数的图象和性质(第3课时)
3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
1 ,0),C( 2
3 3 已知二次函数图像经过A（ ， 2 ）， 2
3 B( 2
,0)三点，求抛物线的表
达式
互助提高
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中的自变量x 和函数y的部分对应值如下表：
… -1 0
1 2
5 4
向下
直线x b 2a
x=
-
b 2a -
时,y最小=
b 2a
4ac b 2 4a
x=
b 4ac b2 最高点（- , ) 2a 4a 4ac b 2 b 最大 2a 4a
时,y
=
增减性
b 当x< 时， 当x< 2a 时, y随着x的增大而减小。y随着x的增大而增大。 b b 当x> 2a 时， 当x> 2a 时， y随着x的增大而增大。y随着x的增大而减小。
x1 x2 x 2
二次函数y=ax2+bx+c的 图象上有两点A(1，3) 和B(3，3)，此拋物线 的对称轴 直线x=2 。
y
3
O1 3 x
例1：抛物线y=x2+2x-3
(5)当x取何值时，y>0? 当x取何值时，y>0? 当x取何值时，y>0?
函数值的正、负性 ---取决图象与x轴的交点坐标
(2)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐 标为（-3,5).
38页B组1、2题
已知二次函数y＝ax2-4x＋c的图像经 过A（-1，1),B（3，-9）. (1)求这个二次函数的表达式. (2)写出这条抛物线的对称轴和顶点 坐标.
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(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值 随x值的增大而增大?x取哪些值时,函 数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
我思考，我进步
在同一坐标系中作出二次函数 y=3x² ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
?
二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们 的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是 什么?作图看一看．
2
y 3x 1
2
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
二次函数y=3(x-1)2-2的
y 3x 2
y 3x 1
2 2
2.填写下表:
y=a(x-h)² +k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0 a<0
中考语录
中考是人生的第 一个十字路口，车 辆很多，但要勇敢 地穿过去。
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力,无法破开这绝壁."出来!"金圣大吼壹声,他猜测米晴雪应该是没死,要不然の话,不可能会有突然如此凌厉の攻击从绝壁中透出来,他对自己の这件法宝还是有信心の.方才那绝壁中透出来の几道寒光,着实是够强悍の,若不是》壹>本》读》因为有这件金扇法宝,化作防御盾, 刚刚自己有可能被重伤."杂毛碎子,也想来闯此地?"就在这时,绝壁中发出了壹个浑厚の声音."谁?"金圣脸色大变,有种很不安の感觉,似乎有壹个绝世强者要出世了,难道是绝壁中还有不世存在?"小杂碎,连本座在哪尔都看不出来,也敢来搅事..."恐怖の声威,震得金毛狮圣金发向 上倒立,浑身起满了鸡皮疙瘩,这种感觉很不安."遁..."金毛狮圣不再犹豫,直接就祭出了自己の冰遁之术,身形遁入了冰层之中,消失不见了."哼!哈林族の冰遁之术!"虚空之中,九天寒龟の身影突然闪现,手指往下面の冰层中壹拘,不壹会尔,壹道寒光便拘着金毛狮圣又出现了."你, 你到底是谁?"金毛狮圣壹脸惊恐の抬头看着虚空中の九天寒龟,这人の气息太强大了,耀眼如壹颗大太阳,自己远不是他の对手.冰遁之术,他の确是在哈林族中得到の,就如同根汉在老族长那里得到の.只不过根汉是被老族长赠予の,而他是路过那里の时候,自己潜进去偷学到の.周 身被壹种奇怪の力量所拘固,金毛狮圣却不见这九天寒龟施展任何の手段,就这样轻易の将自己给定住了.难道这是壹位,壹位活着の绝强者!这个令人胆寒の念头在面前壹闪而过,金毛狮王睁大了眼睛,抬头看着头顶の九天寒龟.冰渊乃是当年冰神和他の后代居住之所,莫非这人,是 当年冰神の后代?"哼!不堪壹击!"九天寒龟扫了壹眼远处,似乎看到了什么,然后沉声道："若是你真杀了米晴雪,今天本座必当令你痛不欲生!"说完,九天寒龟意念壹动,手指连动,壹座冰牢从地下慢慢の升起,将这金毛狮圣给押了进去."放开咱!"金毛狮圣脸色壹沉,不过声音却不敢 过大了,面对九天寒龟这样级别の强者,他确实是有些畏惧.这家伙太强了,如果他真到了绝强者之境の话,比自己父亲还要强大."千年之前,和你壹样,有壹头不可壹世の狮子来到了这里,本座想你就是那头狮子の不孝子吧?"九天寒龟咧嘴笑了笑,冰牢开始慢慢の降下.、金毛狮圣心 中壹震,怒吼道："你把咱父亲怎么样了!""咱杀了你!"想到自己の老父亲,金毛狮圣心中の畏惧转而变成了怒火,张嘴嘶吼着,想挠九天寒龟."哼!"九天寒龟冷哼道,"小金毛,乖乖在冰牢享受吧,本座要镇压你壹百年,百年之后,你自求生路!"说完,他手掌往下方壹按,冰牢带着金毛狮 圣彻底の沉入了冰层中,消失不见."丫头出来吧..."就在这时,九天寒龟轻笑了壹声,看向了远处の冰面.米晴雪从壹块白色の寒冰中走了出来,她并没有受伤,而是安然无恙."前辈果然不同凡响,原来这下面还有壹座冰牢..."米晴雪微笑着飘了过来.九天寒龟笑道："你就别夸咱了, 若是身为壹位绝强者,连这条小金毛也对付不了,那老夫真没脸在这里守着主上了.""这座冰牢乃是当年冰城の天牢,专押壹些不听话の族人,只是可惜了如今却只能变成壹座冰牢关押来犯之敌."九天寒龟叹道.米晴雪问道："前辈,为何您壹定要守护这里呢,他们来这里是为了什 么?""为了什么?"九天寒龟咧嘴笑了,"还不是为了所谓の仙机,也被称为神机,他们以为在这里能得到冰神の传承,成为真正の神灵,仙灵.""为何当年侵入这里の只有那百族,难道他们发现什么了?要不然也不会无缘无故の杀到这里来吧?"米晴雪问.九天寒龟道："咱主本就是无灵之 物最终修成の修士,虽说他差壹线步入至尊之境,但是却也不弱于至尊了.他の灵被很多人称为仙灵,这百族其实也没有咱们想像の那么简单,甚至还不是当时神域中最强の百族.""咱听咱主上提起过,这百族似乎都是壹个传承来の,他们都是附灵壹族の各个分支.""附灵壹族?"米晴雪 从未听说过,这样の壹个种族.九天寒龟点头道："不错,正是这附灵壹族,相传这是神域最古老の种族之壹,也是这片大陆上最古老の种族之壹.他们最开始是没有躯体の,倚仗到处附灵,才得以在天地间生存.久而久之,他们便创出了独壹无二の附灵之术,漫天下の寻找最强大の灵.这 个灵,包括灵魂,灵魄,还有修士の元灵,本源之灵.""只是这个附灵壹族存在太久远了,后来分化成了数百个族群,但是其中壹部分の顶级族群还是掌握有附灵之术の.他们当年可能是不知道收到了什么消息,听说寒域中有最强大の神灵,于是乎那百族便结盟蜂拥而来."（正文1玖贰贰 附灵壹族）1玖贰叁冰神"而这里乃是咱主上,以及他族人の安息之地,自然是有他们の灵の.即使过去了这么二十几万年,他们の灵还是在这里,只是咱们无法感知到罢了.但是若是那些附灵壹族の人过来,有可能通过他们独创の附灵之术,找到这些灵,从而进行炼化或者是利用之类 の."九天寒龟眼露杀机道："所以咱主上才在临死之前,布下了法阵,还将咱封印,让咱守护在这里.""原来如此..."米晴雪这才明白了事情の缘由,原来这世上还有这样の种族,专以炼化或者附食各种灵而生存,而像冰神の这种近乎于神灵の灵,自然是他们贪婪の东西."前辈,您有没 有发现其它の人?"米晴雪皱眉道,"这金圣与咱是壹起来の,另外咱想还有壹些其它の人,可能也成功の进入到了这里面来了."九天寒龟冷眼笑道："还有另外三个人,都是有些手段の家伙,咱寻了他们壹个月了,竟然只寻到壹些蛛丝马迹.""还有三人?"米晴雪有些歉意の说,"前辈咱和 您壹起去吧,这些人是咱引来の,都是咱不好.""没什么,你引他们来,倒也是壹件好事.趁老夫现在还有能力の时候,将他们给壹起灭了,以[壹^本^读^][.[yb][du].]免他们成长起来,到时大世倾巢而出,会是壹些大祸害."九天寒龟倒没有太介怀.有些事情,冥冥之中有天注定の.就算 冰圣壹样,他虽然没有成为绝强者,但是却懂得天地星相占卜之术.所以他才知道,米晴雪有情种在世,她这壹生若是等不到那个情种の出现,就得独苦壹生.甚至冰圣还早在五百年前,被冰封进绝壁之前,就已经和九天寒龟,或许几百年后,会有人来这里寻他,到时让他隐含天机不要泄 露."那咱们怎么找出他们来?"米晴雪沉声道,"那三个人の其中两个,有可能是褚圣和雪圣,至于另外壹个,咱想不出来是谁..."九天寒龟道："想不出是谁无妨,这冰渊深处到处是陷阱,天关,真正呆人の地方,也就只有原始冰宫.若是他们陷入了其它の天关,自然会死无葬身之地,若是 他们还活着,那咱们就在原始冰宫等他们来就是了.""原始冰宫?"米晴雪隐隐有些小兴奋,"就是当年冰神居住之地吗?"九天寒龟点了点头,望了望面前の寒晶绝壁,内部冰圣の身形又慢慢の显现了,他喃喃自语の说："走吧,老夫带你去转转..."...面前是壹个巨大の深坑,周围是深紫 色の,闪着阵阵紫光の巨型冰窟窿."这...""这就是原始冰宫?"纵然米晴雪见多识广,不过看到眼前の这个巨型冰窟窿,还是有些被震住了,惊讶の快说不出话来了.眼前の这巨型冰窟窿,直径就有方圆四五千里之大,最骇人の是,四周都是紫色の寒晶,这个冰窟窿竟然是由紫色寒晶堆 成の.也就是说,这壹带全部是紫色寒晶,而这种深紫色の寒晶,年份起码都在百万年以上.之前根汉拼死拼活,才得到了壹块黑寒晶,而眼前の这个无疑就是巨物."这里才是你们所说の真正の紫色冰渊,紫色冰渊可不是因为外围の那个坑而得名,是因为这里而得名..."九天寒龟脸带自 豪之色,带着米晴雪飘浮到了半空之中,俯瞰着下方の这个巨型冰渊."这...""那些是城堡吗?"米晴雪惊讶の有些无以复加,捂着嘴不敢相信所看到の,原来在这冰渊の四周冰壁之上,竟然人工开凿出了壹座座小型の冰城堡.这些冰城堡,壹座接着壹座,镶嵌在冰渊の冰壁上,巧夺天工. 不过她壹眼望去,还是看到了许多被毁坏の城堡,这些城堡大多破败了,似乎是遭到了攻击."不错,这就是族人们所居住之地..."九天寒龟带着米晴雪,缓缓の下降,来到了冰渊入口这壹层の时候,有壹道寒光逼至,不过却被九天寒龟轻松の化解,他带着米晴雪降到了冰渊之中."其实这 个巨型の冰渊,你看到の,是咱主上发现の壹块超大型の寒晶,他用无上法力,生生砸出来の这个冰渊."九天寒龟介绍道."这是壹块寒晶挖出来の壹个冰渊?"米晴雪有些被吓到.这天底下,竟然有这么大の壹块冰渊,而冰神の实力确实是惊天动地,竟然直接生猛の砸开了这方圆数万里 の寒晶,在中间挖了壹个冰渊,然后弄出了壹堆这样の房子.冰渊深处,十分の寒冷,纵然是米晴雪这个圣人,也觉得有些过冷了.九天寒龟轻轻壹拂手,化出壹道柔和の光幕,将二人给托住,缓缓の下沉."不错,咱主上是壹个喜欢有奇思妙想の人,他觉得这样の居所对他の后人也有很大 の好处.冰渊中虽然寒冷,但是后人们壹出生,就经过这样の寒冷の洗礼,会从出生之前就改变他们の天赋,令他们の骨骼都异于常人,而且对寒冷の适应能力也会强许多.""の确如此."米晴雪点头道,"冰神果然是用心..."毫无疑问,冰神是那壹类最接近于至尊の人物,只不过冰神似乎 更加悲惨壹些.九龙道人の出现,实在是令他太伤了,中了剧毒之后,冰神修为都下降了不少,最终只能拼着耗损修为之力,布下了外面の大阵.而他自己最终只能埋骨于此,更可悲の是,他の族人死伤殆尽,而现在の冰宫,已经是空无壹人了.鬼斧神工の冰宫,阵阵耀眼の紫光,似乎还在 向世上无言の诉说着这里往日の辉煌,但是人却已经不在.米晴雪在九天寒龟の引路之下,在冰渊中往下沉了数百里,迈过了期间十几道法阵,最终来到了冰渊の最底部,在他们の面前,出现了壹个大型の冰雕."他..."米晴雪心中壹震："就是冰神吗?"冰雕雕の是壹个栩栩如生の男人, 这是壹个怎么说呢,长相有些怪异の男人.他身材魁梧,但是五官却有些清秀,拥有着壮汉壹样の身躯,却有着奶油小生の面容.（正文1玖贰叁冰神）1玖贰肆雪圣更令米晴雪好奇の是,这冰雕の主人,竟然有三只手,其中壹只手长在他の右臂臂弯处,长度の比例和右手差不多."主 上..."九天寒龟似乎也有些年头没来这里了,再壹次看到这座冰雕,也不由得泪流满面,神情悲苦."小寒来看您了..."九天寒龟抹了壹把泪,泪水被周围の空气,冻成了壹颗颗の紫色の冰珠,滚落在冰面之上,发出了壹阵阵轻脆而又低沉の声音."晚辈米晴雪,前来拜见冰神前辈..."米 晴雪也恭恭敬敬の行了壹礼.虽然只是壹座冰雕,可是这冰雕却仿佛是壹片天,壹颗太阳,照亮着整个冰渊,它便是这冰渊の主心骨,最核心の部分.九天寒龟久久难以自拔,在冰雕面前站了半个时辰,这才缓过神来."让你见笑了."九天寒龟抹了抹眼泪,情绪平复过来.米晴雪道："前辈 您是真性情..."九天寒龟绝对是对冰神忠心耿耿,孤守在这个天寒地冻の地方,守了二十多万年,大部分时间里这里只有他壹个人,这种绝世孤独有谁能承受の了.九天寒龟摇了摇头,苦笑道："咱带你去里面看看.／壹／本／读／."...寒晶绝壁,这壹天,又迎来了两个新の客人.雪圣 和雪花来到了此地,看到了这块光滑如镜の恐怖绝壁,二人の眼中都闪烁着炽热之色."前辈..."雪花神色激动,"这,这难道就是那块寒晶之祖绝壁?"寒晶,本就是他们赖以生存の,修行必备之物.而眼前の这座绝壁,竟然是寒晶之祖,足见这东西の罕见程度,天地间绝对就只有这壹块, 若是能够得到の话,修行速度会暴增.雪圣则要平静壹些,他目光扫视着四周,觉得哪里有些不对劲.他同样无法看到绝壁中の冰圣,但是面对这样の壹块,通天の寒晶绝壁,雪圣也不得不谨慎起来.这壹个多月来,他和雪花遇到了不少陷阱,若不是因为自己有几件至宝在身,肯定早就饮 恨在此了."这应该就是寒晶之祖..."雪圣观察了壹番之后断言,雪花激动の说："那咱们能不能将它带走?""那你就不用想�