一元二次函数的图像和性质
一元二次函数的图像性质
一、新授内容1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=， 性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --，对称轴是直线a bx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴； 但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
例题精解一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x x y 的图象教师姓名 学生姓名 上课时间 年级 初三学科数学课时计划教学内容 一元二次函数的图像性质 教学重难点 函数图像及其性质 教学目标熟练掌握二次函数的图像性质审核校区主任： 时间：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质【例3】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【例4】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。
二次函数与一元二次函数的区别
二次函数与一元二次函数的区别二次函数和一元二次函数是数学中常见的两种函数类型，它们在形式和性质上有一些区别。
二次函数是指具有形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于0。
这里的x和y分别表示自变量和因变量。
一元二次函数是二次函数的特殊情况，即b和c都为0，形式简化为y=ax^2，其中a为实数且a不等于0。
可以看出，一元二次函数是二次函数的一种特殊形式。
二次函数和一元二次函数的图像形状也有所不同。
对于二次函数来说，它的图像是一个抛物线。
具体来说，当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
而对于一元二次函数，它的图像也是一个抛物线，但由于b和c为0，所以抛物线的顶点位于原点(0,0)处，且开口方向由a的正负决定。
二次函数和一元二次函数的性质也有所不同。
二次函数的定义域和值域都是实数集，可以取得任意的y值。
而一元二次函数的定义域也是实数集，但值域则取决于a的正负。
当a大于0时，值域为[0,+∞)；当a小于0时，值域为(-∞,0]。
这是因为一元二次函数的图像在开口方向上有限制，不能取得所有的y值。
二次函数和一元二次函数在求解方程时也有一些差异。
对于二次函数来说，求解方程y=ax^2+bx+c=0时，可以使用求根公式来得到方程的解。
而对于一元二次函数，由于b和c为0，方程化简为ax^2=0，解为x=0。
可以看出，一元二次函数的解只有一个，即x=0。
二次函数和一元二次函数在形式、图像形状、性质和求解方程等方面都存在一些区别。
二次函数是一元二次函数的一般形式，而一元二次函数是二次函数的一种特殊情况。
它们在数学中具有重要的应用价值，能够描述许多实际问题和现象。
一元二次函数性质
2对称轴在区间外，根据函数性求解。
例：求函数y=-X2+2X+4在区间［2,4］上的最小值。
6.含有参数的二次函数问题
(1)动轴定区间
例：当0≤x≤2时，函数f(x)= 在X=2时取得最大值，求a的取值范围。
(2)定轴动区间
例：已知函数y= ,在0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围。
△<0，图像与X轴没有交点：
4.Hale Waihona Puke 次函数的基本形式（1）一般式：
（2）.顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a ）；
(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a ，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
一元二次函数与一元二次方程（一）
一、一元二次函数
1.定义：一般地，形如 （abc均是常数）的函数，叫做二次函数。在无特殊规定时，定义域为全体实数R。
2.图像与性质
a>0
a<0
开口方向
对称轴
顶点
最值
单调性
3.函数与X轴的交点个数
判别式 b2-4ac
△>0,图像与X轴有2个交点
△=0，图像与X轴有1交点
5.二次函数最值的求解
（1）配方法：配方法最主要的目的就是将一个一元二次方程式或多式化为一个一次式的完全平方，以便简化计算。
函数改写为顶点式y=a(x-h)2+k，其中k为函数的最大（a<0）最小值（a>0）.
一元二次函数的图像性质
【例 3】求函数 y x 2 6x 9 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 y x2 6x 2 x2 6x 9 7 (x 3)2 7
由配方结果可知:顶点坐标为 (3， 7) ,对称轴为 x 3 ；
1 0
∴当 x 3 时, y min 7
函数在区间 (， 3] 上是减函数,在区间[3， ) 上是增函数。
一元二次函数的图像性质
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一、新授内容
1．函数 y ax2 bx c(a 0) 叫做一元二次函数。
2． 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3 ． 任 何 一 个 二 次 函 数 y ax2 bx c(a 0) 都 可 把 它 的 解 析 式 配 方 为 顶 点 式 ：
【例 4】求函数 y 5x 2 3x 1图象的顶点坐标、对称轴、最值。
b 3 3 , 4ac b2 4 (5) 1 32 29
2a 2 (5) 10 4a
4 (5)
20
∴函数图象的顶点坐标为 ( 3 , 29) ,对称轴为 x 29
10 20
20
5 0
∴当 x
3 时,函数取得最大值 10
6
4C
2
D
-5
AO
B
5
10
-2
-4
-6
-8
二、课堂训练
基础练习
一、选择题：
1．（2００3·大连)抛物线 y=(x－２)2＋3 的对称轴是(
).
Ａ.直线 x=－3
B.直线 x=3
C．直线ｘ=-2
一元二次方程的像与性质知识点总结
一元二次方程的像与性质知识点总结一元二次方程是数学中一种重要的二次函数形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的过程中，我们可以通过图像来研究方程的性质和特点。
本文将对一元二次方程的图像、根的性质、函数性质等知识点进行总结。
1. 一元二次函数的图像一元二次函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线，常被称为抛物线。
方程的图像的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标一元二次函数的图像是对称的，其顶点是抛物线的最高（或最低）点，也是方程的图像横坐标轴的轴线。
顶点坐标可以通过利用平移法得到，顶点的横坐标为-x轴系数的倒数，纵坐标为代入横坐标得到的y 值。
即顶点坐标为（-b/(2a), f(-b/(2a))）。
3. 根的性质一元二次方程的根是方程的解，也即满足方程等式的x值。
通过求解可以得到方程的根。
- 当一元二次方程有两个不相等实数根时，方程的图像与x轴有两个交点。
- 当一元二次方程有两个相等实数根时，方程的图像与x轴有一个交点（切线）。
- 当一元二次方程无实数根时，方程的图像与x轴无交点，即抛物线不与x轴相交。
4. 函数性质一元二次函数是定义域为实数集的函数，具有以下性质：- 当a>0时，函数是上凸函数，即图像开口向上。
- 当a<0时，函数是下凸函数，即图像开口向下。
- 当a=0时，方程退化为一元一次方程 y = bx + c，其图像为一条直线。
- 函数的最值与顶点有关，当函数开口向上时，顶点是函数的最小值点；当函数开口向下时，顶点是函数的最大值点。
总之，一元二次方程的像与性质的了解对于解题和图像分析都具有重要意义。
通过对方程图像的观察和利用相应的性质，我们可以更好地理解和应用一元二次方程，提高解题的准确性和效率。
通过深入研究和练习，我们能够更加熟练地掌握一元二次方程相关知识，为数学学习打下坚实的基础。
一元二次函数及应用
一元二次函数及应用
思考：小张家在农村，他建一个矩形养猪 场，现已备足可以砌20m长砖墙的材料， 如何设计，才能使得猪场的面积最大呢？ 这些实际生活中的问题就需要数学 知识来加以解决，在解决此问题前我们 首先学习一元二次函数的性质。 。
一、一元二次函数的性质
给定a、b、c⋲R,且a≠0,把函数 y=ax²+bx+c叫做一元二次函数，它的 定义域是实数集R，图像是一条抛物 线。 一元二次函数y=ax²+bx+c具有如下的性 质： b （1）图像具有对称轴x= − 2a b ，4ac−b2 （2）图像的顶点坐标（− ） 2a 4a
下面我们来帮助小张解决猪圈的设计 方案. 设矩形的长为xm，则宽为0.5（20-2x） (m),得矩形的面积为 S=x（10-x）=-x²+10x （0<x<10） 因为a=-1<0，因此函数有最大值。将 a=-1,b=10，c=0代入公式，得到矩 形的边长等于5m的正方形时，其面 积最大达到25㎡.
课堂巩固
解下列一元二次不等式： 解下列一元二次不等式：
（1）x²-x-6≥0； （2）-x²+4x-4>0; （3）x²+6x-7<0; （4）x²-x-12≥0.
三、区间
设a、b是两个实数，而且a<b: （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭 闭 区间，表示为[a、b]； 区间 （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区 开区 间，表示为（a、b）； （3）满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做半 半 开半闭区间，表示为（a、b]； 开半闭区间 （4）满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做半 半 闭半开区间，表示为[a、b)。 闭半开区间 这里的实数a与b叫做相应区间的端点 相应区间的端点。 相应区间的端点
高中数学 第二章 函数 一元二次函数的图象和性质(1)教案 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学教案
3．函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x满足时，y随着x的增大而减小．
4．求抛物线y＝x2－2x－3的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
活动三：想一想
例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象
变式训练
已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
特殊补充
当堂检测
1．函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是
2.求抛物线y＝1＋6x－x2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象
小结与作业
变式训练
求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
例2.已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．
二次函数的图象和性质1
学习目标
1.掌握二次函数的图像和性质
2.体会数形结合的思想
学习重难点
二次函数的图像和性质
学生活动
教师活动
活动一：知识回顾
1、图像画法
2、解析式求解
活动二：练一练
1．二次函数y＝2x2－mx＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．
一元二次函数.ppt
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识巩固
判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图像
“三个二次”：二次函数、二次方程、 二次不等式间的主要关系。
Δ>0 Δ=0 Δ<0
x1
x2
x1=x2 有两个相等实 根 b
二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
有两个相异实根
4ac b 2 [ , ) 4a
实数集R
4ac b 2 (, ] 4a
( , 增区间： ( 减区间：
单调性
b , ) 2a b ( , ) 减区间： 2a ( 增区间：
b , ) 2a
b ) 2a
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
二次函数的图像与性质
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识回顾
函数的性质
1、函数的单调性
如果函数y=f(x)在区间（a,b）上是增函数或是减函 数，那么就说函数y=f(x)在区间（a,b）内具有单调性 ， 区间（a,b）叫做函数y=f(x)的单调区间。
2、函数的奇偶性
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 说函数f(x)具有奇偶性。
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识学习
2
观察一元二次函数的图像性质
y 3( x 1) 2
y 3x 1 2
2
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
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§ 3.4一元二次函数的图象和性质1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
１.函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式:ab ac a b x a y 44)2(22-++=, 性质如下:(1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。
（2)最大（小）值① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,ab ac y 442max -=,无最小值。
（３）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数,在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴;但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x xx 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3）描点成图； 也可利用图象的对称性,先画出函数的左（右)边部分图象，再利用对称性描出右(左）部分就可。
二、一元二次函数性质【例３】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ; 01> ∴当3-=x 时, 7min -=y函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。
【例４】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
103)5(232=-⨯-=-a b ，2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029=x 05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值2029=maz y函数在区间]103,(-∞上是增函数，在区间),3[+∞-上是减函数。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个:(1) 配方法；如例3(2) 公式法:适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数）如例4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式:)0(44)2(22≠-++=a ab ac a b x a y 三、二次函数性质的应用【例5】(1)如果c bx x x f ++=2)(对于任意实数t 都有)3()3(t f t f -=+,那么（ )(A ）)4()1()3(f f f << ﻩﻩ (B) )4()3()1(f f f << （C))1()4()3(f f f <<ﻩ（Ｄ))1()3()4(f f f <<【解】 ∵)3()3(t f t f -=+对于一切的R t ∈均成立ﻩ∴)(x f ﻩ的图像关于3=x 对称又01>=a ﻩ ∴ﻩ抛物线开口向上。
ﻩ∴)3(f 是)(x f 的最小值。
ﻩ 3431->- ， ∴ )1()4()3(f f f <<（２)如果c bx x x f ++-=2)(对于任意实数t 都有)2()2(t f t f --=+-,则)1(-f)1(f 。
（用“>”或“<”填空) 【解】∵)2()2(t f t f --=+-对于一切的R t ∈均成立 ﻩ ∴)(x f ﻩ的图像关于2-=x 对称又01>-=a∴ 抛物线开口向下。
ﻩ)2(1)2(1--<--- ，ﻩ ∴ )1()1(f f >-ﻩ【点评】1.当0>a 时，对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越大。
如例5(1)中当1=x 所对应的点比当4=x 所对应的点离对称轴远，所以1=x 时对应的函数值也比较大。
2.1.当0<a 时，对称轴通过它的最高点（此时函数有最大值),如果这时有一个点离图象对称轴越远,则对应的函数值就越小。
如例５(２)中当1=x 所对应的点比当1-=x 所对应的点离对称轴远，所以1=x 对应的函数值也比较小。
【例６】求函数522--=x x y在给定区间]5,1[-上的最值。
【解】(1）原函数化为()615222--=--=x x x y∵01>=a ∴ 当1=x 时，6min -=y又∵1511+<+- ∴当5=x 时，106)15(2max =--=y（2）原函数可化为：910)31(2++-=x y ,图象的对称轴是直线31-=x 注意到当21≤≤x 时,函数为减函数 ∴313134412322)2(2min -=+--=+⨯--==f y 【例７】已知函数1)2(2-+-=nx x n y 是偶函数,试比较)2(f ，)2(f ，)5(-f 的大小。
【解】解法一：∵1)2(2-+-=nx x n y 是偶函数，ﻩ ∴0=n ﻩ， ∴122--=x y∴ 可知函数的对称轴为直线0=x 又∵02<-=a ,020205->->--ﻩﻩ ∴)5()2()2(->>f f f解法二： ∵32)1(2++-=mx x m y 是偶函数， ∴0=n ﻩ， ∴122--=x y可知122--=x y 在),0(+∞上单调递减又∵1)2(2-+-=nx x n y 是偶函数, ∴)5()5(f f =-而225>>ﻩ ∴)5()2()2(f f f >>ﻩﻩ ∴)5()2()2(->>f f f ﻩ 三、一元二次函数、一元二次方程的关系。
【例8】求当k 为何值时,函数k x x y ++-=422的图象与x 轴(1)只有一个公共点；(2）有两个公共点;(３）没有公共点.【解】令0422=++-k x x ，则022=++-k x x 的判别式k ac b 81642+=-=∆（1)当0=∆,即0816=+k ,2=k 时，方程有两个相等的实根，这时图象与x 轴只有一个公共点;(2) 当0>∆,即0816>+k ,2>k 时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴有两个公共点;(3） 当0<∆，即0816<+k ,2<k 时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴无公共点；一.选择题１．二次函数522+-=x x y 的值域是（ )A.)4∞+， ［ Ｂ.),4(∞+ C.(4， ∞-] Ｄ．)4,( -∞2.如果二次函数452++=mx x y 在区间)1,(--∞上是减函数,在区间),1[+∞-上是增函数,则=m （ ）Ａ．2 Ｂ.-2 C.１０ D ．-1０3．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不相等的实数根，则m 的聚值范围是（ ) Ａ.),6()2,(+∞⋃--∞ B ．)6,2(- C.)6,2[- 0 Ｄ.}6,2{- ４.函数3212-+=x x y 的最小值是( ） Ａ.-3. B..213- Ｃ.3 Ｄ．.2135．函数2422---=x x y 具有性质( ）Ａ．开口方向向上,对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，０)Ｂ.开口方向向上,对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0） C ．开口方向向下,对称轴为1-=x ，顶点坐标为(-１,0） Ｄ．开口方向向下，对称轴为1=x ,顶点坐标为(1，０) 6．下列命题正确的是( ） A ．函数3622--=x x y 的最小值是23 B.函数3622---=x x y 的最小值是415 Ｃ.函数342+--=x x y 的最小值为7 Ｄ.函数342+--=x x y 的最大值为7 7．函数(１)3422-+=x x y ；（2）3422++=x x y ；(3)3632---=x x y ；（４）3632-+-=x x y 中,对称轴是直线1=x 的是（ )Ａ.（１）与（２) Ｂ.(2)与（3） C ．(1)与(3) Ｄ.(2)与（4） 8.对于二次函数x x y 822+-=，下列结论正确的是( ）Ａ．当2=x 时,y 有最大值８ B.当2-=x 时，y 有最大值8C ．当2=x 时，y 有最小值8D ．当2-=x 时，y 有最小值8 ９．如果函数)0(2≠++=a c bx ax y ，对于任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么下列选项中正确的是( )Ａ.)4()1()2(f f f <-< B.)4()2()1(f f f <<- Ｃ.)1()4()2(-<<f f f Ｄ.)1()2()4(-<<f f f 1０.若二次函数1422+-=x x a y 有最小值,则实数a ＝( ） A ．2 Ｂ．2- Ｃ．2±D ．2± 二．填空１．若函数12)(2-+=x x x f ，则)(x f 的对称轴是直线2.若函数322++=bx x y 在区间]2,(-∞上是减函数,在区间],2(+∞是增函数,则=b 3.函数9322--=x x y 的图象与y 轴的交点坐标是 ,与x 轴的交点坐标是 、 ４.已知6692+-=x x y ,则y 有最 值为 5.已知12842++-=x x y ,则y 有最 值为 三．解答题１.已知二次函数342-+-=x x y ,(1)指出函数图象的开口方向;(2）当x 为何值时0=y ；(3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。
2.如果二次函数)8()(2--+=k kx x x f 与x 轴至多有一个交点,求k 的值。