二次函数的图象及性质1
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
仪陇县第九中学九年级数学下册 第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质 1二次函数y＝ax2
26．2 二次函数的图象与性质1． 二次函数y ＝ax 2的图象与性质1．能够利用描点法作出y ＝x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x 2的性质．2．能作出二次函数y ＝－x 2的图象，并能够比较与y ＝x 2的图象的异同，初步建立二次函数关系式与图象之间的联系．重点会画y ＝ax 2的图象，理解其性质．难点结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．一、创设情境，引入新课导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义和图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？二、探究问题，形成概念1．函数y ＝ax 2 的图象画法及相关名称【探究1】画y ＝x 2的图象学生动手实践、尝试画y ＝x 2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y ＝x 2的图象，如图1.【共同探究】该二次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线；②图象关于y 轴对称；③有最低点，没有最高点．结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．2．函数y ＝ax 2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出两函数的图象．如图2.比较图中三个抛物线的异同．相同点：①顶点相同，其坐标都为(0，0)；②对称轴相同，都为y 轴；③开口方向相同，它们的开口方向都向上．不同点：开口大小不同．【练一练】画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．(分析：仿照探究2的实施过程)比较函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．找出它们的异同点． 相同点：①形状都是抛物线；②顶点相同，其坐标都为(0，0)；③对称轴相同，都为y 轴；④开口方向相同，它们的开口方向都向下．不同点：开口大小不同．【归纳】y ＝ax 2的图象特征：(1)二次函数y ＝ax 2的图象是一条抛物线；(2)抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点．当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；(3)|a|越大，抛物线y ＝ax 2的开口越小．三、练习巩固1．已知函数y ＝(m －2)xm 2－7是二次函数，且开口向下，则m ＝________.2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的函数关系式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上．3．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求k 的值；(2)求顶点坐标和对称轴．4．已知正方形周长为C (cm )，面积为S (cm 2)．(1)求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；(2)根据图象，求出S ＝1 cm 2时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2.四、小结与作业小结1．抛物线y ＝ax 2 (a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点．2．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．3．当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．作业1．布置作业：教材P7“练习”中第1，2，3题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣．教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识．整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣．22.4 图形的位似变换图形在平面直角坐标系中的位似变换一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．四、课堂引入1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ （2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．五、例题讲解例1（教材P63的例题）分析：略（见教材P63的例题分析）解：略（见教材P63的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)21(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．解：答案不惟一，略．六、课堂练习1． 教材P64．1、22． △ABO 的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F 的坐标．3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．七、课后练习1．教材P65．3， P66．5、82．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．3．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到 1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．教学反思24.6 图形与坐标学前温故在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面____．通常把其中水平的一条数轴叫做______或______，取向右为正方向；铅直的数轴叫做______或____，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做______.新课早知1．确定点的位置的方法有多种：①用______确定点的位置；②用角度和距离确定点的位置；③用棋盘坐标确定点的位置；④用经纬坐标确定点的位置，利用________来表示．2．平面直角坐标系中，图形中各点的坐标发生变化，则新旧图形的变化规律如下：(1)横坐标不变，纵坐标都乘以－1，图形关于____对称；(2)纵坐标不变，横坐标都乘以－1，图形关于____对称；(3)横、纵坐标均乘以－1，图形关于____对称；(4)如果一个图形的各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；如果把它的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；(5)如果原图形上点的横、纵坐标保持不变，而另一个图形的横、纵坐标扩大或缩小一定倍数时，图形则相应地被________放大或缩小该倍数．3．在平面直角坐标系中，点A(3,4)、B(－4,3)，以原点O为位似中心，相似比为2，将线段AB放大，则对应点A′、B′的坐标为( )．A．A′(6,8)、B′(－8，－6)B．A′(6,8)、B′(8，－6)C．A′(－6，－8)、B′(－8,6)D．A′(－6，－8)、B′(8，－6)答案：学前温故直角坐标系x轴横轴y轴纵轴坐标原点新课早知1．平面直角坐标系经纬度2．(1)x轴(2)y轴(3)原点(4)向右(或向左) 向上(或向下)(5)横向、纵向3．D位似变化【例题】如图，把△ABC以A为位似中心，放大1倍，并分别写出变化前后各对应顶点的坐标．分析：(1)运用网格法，延长AB、AC到B′、C′，运用相似三角形性质，相似比等于对应边的比，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′，△AB′C′为所求三角形．(2)可运用相似三角形的性质求变化的坐标．解：如上图所示，网格法延长AB 至B′使AB′＝2AB ， ∵AB＝32＋32＝18＝32，则AB′＝62，延长AC 至C′使AC′＝2AC ，∵AC＝52＋1＝26，则AC′＝226，△AB′C′为所求三角形，AB′AB ＝B′C′BC ＝AC′AC＝2， ∴B′(1,4)、C′(5,0)．∴图形变化前后各对应顶点坐标为：A(－5，－2)、B(－2，1)、C(0，－1)、B′(1,4)、C′(5,0)．点拨：(1)作位似图形时，也可反向延长，即反向延长BA 、CA 到B′、C′，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′.(2)图形放大坐标变化：①用网格法易求点的坐标变化．②运用相似三角形性质求点的坐标变化，构建直角三角形，利用相似形入手求解．1．如图所示，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果点M 的位置用(－40，－30)表示，那么(10,20)表示的位置是( )．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△ABC 与△A′B′C′关于y 轴对称，那么点A 的对应点A′的坐标为( )．A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)3．线段AB 的两端点A(1,3)、B(2，－5)．(1)把线段AB 向左平移2个单位，则点A′、B′的坐标为：A′______，B′_______.(2)线段AB 关于x 轴对称的线段A″B″，则其坐标为：A″_______，B″________.(3)把线段AB 向上平移2个单位得线段A 1B 1，A 1B 1关于y 轴对称的线段A 2B 2，那么点A 2的坐标为________，点B 2的坐标为________．4．如图所示是某城市几个景点的示意图(图中小方块是边长为1个单位长度的小正方形)．请以某个景点坐标为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置．答案：答案：1．B 2.D3．(1)(－1,3) (0，－5)(2)(1，－3) (2,5)(3)(－1,5) (－2，－3)4．分析：(1)几个景点之中，只有“金凤广场”不在格点上．故选择原点时应避开金凤广场，这样就避免太多的点的坐标是分数．(2)选择湖心岛或者动物园作原点，则其他景点均在y轴的右方或者左方，选择动物园作为坐标原点，则所有点均在第三象限．解：选择动物园作为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则湖心岛的坐标为(－6，－2)，光岳楼的坐标为(－5，－3)，山峡会馆的坐标为(－1，－3)，金凤广场的坐标为(－5.5，－5)．。
(整理)第10讲二次函数图象和性质
第10讲 二次函数（一）专题一：二次函数的图像与性质（一）知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．（二）：经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0.（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、例8、 如图所示，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上．当CQ 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后，正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值； （2）当t=5秒时，求S 的值；三：拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ） A.－2 B.2 C.－1 D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？专题二：二次函数与一元二次方程（一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根（二）：【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x2－6x＋8=0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？2.已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90o， 过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D （1）求点A 、B 的坐标和AD 的长（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1） 设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S（单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围 （2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值5. 如图，直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。
第二十四节二次函数图象与性质-(一)
二次函数图象与性质 (一)【知识要点】1．你能用描点法作出二次函数2ax y =图像吗？你能总结出2ax y =有什么性质吗？ 2．通过2ax y =作图，我们能得到c ax y +=2和2)(h x a y -=有哪些图像性质吗？ 3．你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗?4．你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数c ax y +=2的数学模型？【典型例题】例1 、在同一坐标轴中作出二次函数y=x 2和y=-x 2的图象，并在下表总填出它的性质。
例2 试在同一坐标系内画出22x y -=与322+-=x y 以及322--=x y 的图像，并依据图像回答问题：抛物线22x y -=与322+-=x y 和322--=x y 有什么关系？小结：y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象形状①其对称轴为 轴 ②顶点坐标为（ , ）③当a>0时，开口 ，y=ax 2+c 图象有最 点；当x=0时，y 有最 值为 ；当a<0时，开口 ，图象有最 点，当x=0时，y 有最大值为 。
④当c>0时，是由y=ax 2向 平移c 个单位，当c<0时，是由y=ax 2向 平移|c|个单位。
简称“ ”例3 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象； y= －21x 2 ， y= －21(x+1)2 ， 与y=－21(x-1)2结合图象分析研究以下问题： （1）抛物线y=－21(x+1)2，y=－21(x-1)2与y=－21x 2的相同点与不同点是什么？ （2）抛物线y=－21 (x+1)2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____； （3）抛物线y=-－21 (x-1)2的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是______。
小结：y=a(x －h)2的图象与y=ax 2的图象形状 ，①对称轴为平行y 轴的直线x= ②顶点坐标为( ,___)③当a>0时，开口向上，图象有最_____点，当x=h 时，y 有最 值为0； 当a<0时，开口向下，图象有最 点，当x=h 时，y 有最大值为0④当h>0时，由y=ax 2的图象向右平移h 个单位；当h<0时，由y=ax 2向左平移|h|个单位，简称“ ” 例4 函数32-=kx y 与y=xk（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）例5 如果二次函数m ax y +=2的值恒大于0，那么必有（ ） A 、a ＞0，m 取任意实数B 、a ＞0，m ＞0C 、a ＜0，m ＞0D 、a ，m 均可取任意实数例 6 若二次函数c ax y +=2，当x 取)(,2121x x x x ≠时，函数值等，则当x 取21x x +时，函数值为（ ）．A 、c a +B 、c a -C 、c -D 、c例7 已知抛物线)0(2>=a ax y 上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.例8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门在地面跨度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
第12节 二次函数的图象和性质
27＋10a a＜－5.
练习：若函数 f（x）解：=x函2+数afx（+xb）在=x2区+ax间+b[的0图，象1是]上开的口朝最上大且值以直是线Mx=，﹣最为小对值称是轴的m抛，物则线，
解：函数 y=x2+（1﹣a）x+2 的对称轴 x= 又函数在区间（﹣∞，4]上是减函 数，可得 ≥4，，得 a≥9． 故选 A．
典例分析：
（3）如果函数 f（x）=ax2+2x﹣3 在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数 a
的取值范围是（ ）
A.（- 1，+） 4
B.[- 1 ，+） 4
C.[- 1 ，0） 4
典例分析：
例 4：（1）已知函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，对一切实数 x，f（x）＜0 恒成立，则
m 的范围为（ ）
A．（﹣4，0）
解：当 m=0 时，代B．入（得﹣f（4x），=0﹣]1＜0 恒成立；
当 m≠0 时，由 f（x）＜0 恒成立，
C．（﹣∞，﹣4）∪得（到0m，＜+0，∞且）△=D（．﹣（m﹣）2∞﹣4，×m﹣（4﹣）1）∪=[m02+，4m+＜∞0，）
∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，
D．﹣
即 a2﹣a﹣1＜x2﹣x．
令 t=x2﹣x，只要 a2﹣a﹣1＜tmin．
t=x2﹣x=
，当 x∈R，t≥﹣ ．
∴a2﹣a﹣1＜﹣ ，即 4a2﹣4a﹣3＜0，
解得：﹣
．
故选：C．
练习：若函数 f（x）=x2﹣4x+a 对于一切 x∈[0，1]时，恒有 f（x）≥0 成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，3）
二次函数的图像与性质
弹簧振动：描述弹 簧振动的规律
波动：描述波动现 象，如声波、水波 等
电路：在交流电路 中，二次函数用于 描述电流与电压的 关系
与一次函数的比较
表达式不同：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=kx+b 图像不同：二次函数的图像是抛物线，一次函数的图像是直线 开口方向不同：二次函数的开口方向由a的符号决定，一次函数没有开口方向 顶点不同：二次函数有顶点，一次函数没有顶点
程
对称轴的证明
证明方法：利用 二次函数的对称 性，通过代入法 证明对称轴的存 在
证明过程：通过 计算二次函数在 x轴上的交点， 推导出对称轴的 方程
证明结论：二次 函数的图像关于 对称轴对称，且 对称轴的方程为 x=-b/2a
证明意义：理解 二次函数图像的 对称性质，有助 于解决与二次函 数相关的数学问 题
与坐标轴交点坐标的证明
证明方法：通过令二次函数等于0，解出x的值，得到与y轴交点的坐标
证明过程：将二次函数的一般形式代入x=0，得到y的值，即为与y轴的交点坐标
证明结果：当x=0时，y的值即为与y轴的交点坐标 证明结论：通过以上步骤，可以证明二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)
汇报人：XX
与反比例函数的比较
函数形式：二次 函数的一般形式
为 y=ax^2+bx+c，
反比例函数的一 般形式为y=k/x，
其中k为常数且 k≠0
添加标题
图像：二次函数的 图像是一个抛物线， 反比例函数的图像 是两条渐近线，当 k>0时，图像在第
一、三象限；当 k<0时，图像在第
二、四象限
添加标题
性质：二次函数有 最小值或最大值， 而反比例函数没有 最小值和最大值， 当k>0时，函数在 x>0时单调递减， 在x<0时也单调递 减；当k<0时，函 数在x>0时单调递 增，在x<0时也单
课件1二次函数的图像和性质
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
x
-2
-4
-6
-8
y = - x2
-10
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？
知识要点
抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y ax2 bx c 的图象叫做抛物线 y ax2 bx c。
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。
y= 2x2
y=x2
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y= 0.5x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2
-3 -4
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x
-10
y=－2x2 y=x2
a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的 大小决定抛物线开口的大小，|a|越大开 口越小
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二次函数的 图象和性质
回答问题: 说出下列函数的开口方向、对称
轴、顶点坐标：(2) y Nhomakorabea2x2 x 3
(3) y 3x2 4x 1
函数y=ax²+bx+c的对称轴，
顶点坐标是什么？
y ax2 bx c
a(x2 b x) c a
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 ] c
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回答问题:
1. 说出下列函数的开口方向、 对称轴、顶点坐标：
(1) y 2x2 x 3
(2) y 3x2 4x 1
2.抛物线y = 2x2 + bx + c的顶点坐标
为(- 1,2),则b = ______，c = ______.
例：指出抛物线:
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴 的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时） ，这样就可以画出它的大致图象。
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
a
2a
2a
a x b 2 4ac b2
2a
4a
四十度外加貂哼警棍旋十九周半的招数，接着又玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。最后颤起脏脏的胡须一扭，威猛地从里面窜出一道 灵光，她抓住灵光疯狂地一扭，一组金灿灿、白惨惨的功夫『银光秋妖活塞头』便显露出来，只见这个这玩意儿，一边飘荡，一边发出“吱吱”的疑响！……陡然间女 无赖契温娆嘉妖女疯鬼般地念起哼哼唧唧的宇宙语，只见她乳白色井盖模样的鼻子中，威猛地滚出二十缕幽灵状的教鞭，随着女无赖契温娆嘉妖女的耍动，幽灵状的教 鞭像秤砣一样在头顶明丽地折腾出隐约光影……紧接着女无赖契温娆嘉妖女又摆起酷似弯月模样的脚，只见她深紫色胸花样式的戒指中，狂傲地流出九串油条状的珍珠 ，随着女无赖契温娆嘉妖女的摆动，油条状的珍珠像油饼一样，朝着壮扭公主如同红苹果样的脸飞颤过来！紧跟着女无赖契温娆嘉妖女也猛耍着功夫像悬胆般的怪影一 样朝壮扭公主飞颤过来壮扭公主超然圆圆的极像紫金色铜墩般的脖子猛然振颤飘荡起来……极像波浪一样的肩膀喷出蓝宝石色的飘飘晃气……大如飞盘的神力手掌透出 纯红色的朦胧异香……接着旋动齐整严密特像两排闸门一样的牙齿一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动圆润光滑、无忧无虑的快乐下巴，像水青色的千胃城堡猴般的 一挥，时尚的大如飞盘、奇如熨斗的神力手掌顿时伸长了五十倍，浑厚低沉的女低音也猛然膨胀了四十倍。紧接着来了一出，蹦猪飞盘翻三千二百四十度外加蟹乐腰鼓 旋十九周半的招数，接着又搞了个，团身鹏醉后空翻七百二十度外加傻转一百周的沧桑招式！最后扭起奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵一旋，飘然从里面流出一道奇辉 ，她抓住奇辉帅气地一旋，一组光溜溜、红晶晶的功夫¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边蜕变，一边发出“呜呜”的奇音。……陡然间壮扭公主 疯鬼般地念起颠三倒四的宇宙语，只见她齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中，飘然射出九串摇舞着¤巨力碎天指→的烟花状的死鬼，随着壮扭公主的甩动，烟花状的 死鬼像荷叶一样在头顶明丽地折腾出隐约光影……紧接着壮扭公主又颤起浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛，只见她长长的如同明黄色飘带一样的宽大围巾中，突然弹出 九片转舞着¤巨力碎天指→的酱缸状的火花，随着壮扭公主的颤动，酱缸状的火花像病床一样，朝着女无赖契温娆嘉妖女弯曲的脸飞颤过去！紧跟着壮扭公主也猛耍着 功夫像悬胆般的怪影一样朝女无赖契温娆嘉妖女飞颤过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道亮紫色的闪光，地面变成了淡灰色、景物变成了淡黄色、天 空变成了亮黄
y x2 5x 6