二次函数图象及性质知识总结
人教版九年级上册第22章二次函数图像与性质知识点题型总结
二次函数图像及性质【二次函数的定义】一般地，形如y = ax2+bx + c Wc为常数，“工0）的函数称为兀的二次函数，其中兀为自变量，为因变量，J b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.注意：和一元二次方程类似，二次项系数“工0,而b、c可以为零.二次函数的自变量的取值范朗是全体实数.【二次函数的图象】1.二次函数图象与系数的关系（1）“决左抛物线的开口方向当“>0时，抛物线开口向上；当“<0时，抛物线开口向下.反之亦然.同决过抛物线的开口大小：同越大，抛物线开口越小；同越小，抛物线开口越大.温馨提示：几条抛物线的解析式中，若问相等，则其形状相同，即若"相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.（2）〃和"共同决左抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：S2a当b=o时，抛物线的对称轴为y轴；当方同号时，对称轴在轴的左侧；当〃异号时，对称轴在y轴的右侧・（3）“的大小决泄抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为（o，C）当c=o时，抛物线与y轴的交点为原点：当c>o时，交点在轴的正半轴：当c<0时，交点在y轴的负半轴.2•二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y = ax2 +bx + c化为顶点式y = a（x-h）2 +k，确泄其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0, c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点（2力，c）、与x轴的交点（占，0） , （x2 , 0）（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）・画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与y轴的交点.3•点的坐标设法（1）一次函数y = ax + h图像上的任意点可设为（“与+“）•其中再=0时.该点为直线与y轴交点.（2）二次函数y = ax2+bx + c（心0）图像上的任意一点可设为（石，妙？+站+可.再=0时，该点为抛物线与y轴交点，当x=-A时，该点为抛物线顶点.2a⑶ 点（召，yj关于（兀2，x2）的对称点为（2兀-若，2比-）・4•二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性.（2）根据抛物线的对称轴判断-仝的大小.2a（3）根据抛物线与y轴的交点，判断。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要的内容之一，也是中考和高考常见的考点。
它是一个关于x的二次方程，其一般形式可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，且a≠0。
下面对初中数学中涉及到的二次函数知识点进行总结。
一、二次函数的图像和性质：1. 二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上的，也可以是开口向下的。
2. 抛物线的顶点是图像的最低点或最高点，记作顶点(x0,y0)，其中x0=-b/2a。
3. 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 当a>0时，函数的最小值为y0；当a<0时，函数的最大值为y0。
5. 如果a>0，抛物线在x轴上方，开口向上，函数的值随着x的增大而增大。
二、求二次函数的零点：1. 二次函数的零点为使得函数值为0的x的值，记作x1和x2。
2. 二次函数的零点可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到。
3. 当b²-4ac>0时，有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，没有实根，但有两个共轭复数根。
4. 零点与顶点的关系：零点的平均值等于顶点的横坐标，即(x1+x2)/2=-b/2a。
1. 对称轴是抛物线的对称轴，是通过顶点的水平直线。
2. 对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 对称性质：当x在对称轴两侧，二次函数的值对称，即f(x)=f(2x0-x)。
1. 二次函数的图像沿x轴左右平移会改变对称轴的位置，平移后的对称轴的方程为x=-b/2a+h，其中h为平移的水平距离。
2. 平移后的二次函数的顶点的横坐标为(-b/2a+h)。
五、二次函数与一次函数的关系：1. 一次函数y=kx+b是二次函数y=ax²+bx+c的特例，即a=0时的情况。
2. 当a=0时，二次函数退化为一次函数。
3. 一次函数的图像是一条直线，不具有抛物线的特点。
初二二次函数知识点总结
初二二次函数知识点总结一、基本概念二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
1.图像特征二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（-b/2a, -△/4a）。
3.对称轴对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），其对称轴方程为x=-b/2a。
4.零点对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），其零点公式为x1= (-b+√△)/2a, x2= (-b-√△)/2a，其中△=b²-4ac。
5.单调性当a>0时，二次函数在顶点处取得最小值，在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在顶点处取得最大值，在对称轴两侧单调递减。
二、常见类型1.标准型：y=ax²+bx+c2.一般型：y=a(x-h)²+k（顶点为(h, k)）3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（零点为x1和x2）三、基本性质1.二次函数的图像关于对称轴对称；2.二次函数的值域为[ymin, +∞)或(-∞, ymax]，其中ymin和ymax分别是二次函数的最小值和最大值；3.当a>0时，二次函数的最小值为c-△/4a；当a<0时，二次函数的最大值为c-△/4a；4.当a>0时，当x→±∞时，y→+∞；当a<0时，当x→±∞时，y→-∞；5.若△=0，则二次函数有一个唯一零点；若△>0，则二次函数有两个不同零点；若△<0，则二次函数无实数解。
四、常见问题解答1.如何求解一个二次函数的顶点坐标？对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（-b/2a, -△/4a）。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结一、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般的形如c bx ax y ++=2（其中0,,≠a c b a 是常数且）的函数叫做二次函数. 注：c bx ax y ++=2不一定是二次函数，只有当0≠a 时，c bx ax y ++=2才是二次函数. 二、二次函数y ＝ax ²的图像与性质1. 2ax y =的图像性质：一般的，当0>a 时，抛物线2ax y =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线2ax y =的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. 2ax y =的增减性：如果a >0，当x <0时，y 随着x 的增大而减小，当x >0时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <0时，y 随着x 的增大而增大，当x >0时，y 随着x 的增大而减小. 三、二次函数y ＝a （x －h ）²＋k 的图像与性质1. k h x a y +-=2)(的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向上，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向下，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. k h x a y +-=2)(的增减性：如果a >0，当x <h 时，y 随着x 的增大而减小，当x >h 时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <h 时，y 随着x 的增大而增大，当x >h 时，y 随着x 的增大而减小. 四、二次函数的平移1. 二次函数的平移：任意抛物线k h x a y +-=2)(可由2ax y =平移得到，k h x a y +-=2)(是由2ax y =向上平移k 个单位，向右平移h 个单位得到（k ，h 为正数时）.2. 平移原则：左加右减，上加下减.五、二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c 的图像与性质1. c bx ax y ++=2的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，对称轴是ab x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，对称轴是a b x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. c bx ax y ++=2的增减性：如果a >0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而减小，当ab x 2->时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而增大，当ab x 2->时，y 随着x 的增大而减小. 3. 二次项系数a 的特性：a 的大小决定抛物线的开口大小，a 越大抛物线的开口越小，a 越小抛物线的开口越大.4. 左同右异：当a 、b 符号相同时，对称轴在y 轴的左面；当a 、b 符号不同时，对称轴在y 轴的右面.5. 常数项c 的意义：c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即x=0时y=c.6. 一般式的赋值：判断c b a c b a c b a c b a ++++++2-424-、、、值的正负时，令x=1、-1、2、-2时y 值的正负.六、二次函数的最值 1. 形如c bx ax y ++=2的最值：当a >0时抛物线在a b x 2-=时取到最小值a b ac y 442min -=，当a <0时抛物线在ab x 2-=时取到最大值a b ac y 442max -=七、待定系数法求二次函数解析式1. 一般式（三点式）：一般的，所给的条件是三个点的坐标是时可以设解析式为c bx ax y ++=2，再将三个点带入解析式解三元一次方程组来求解。
二次函数的图像和性质总结精心整理
一、二次函数的定义
一般地，形如 的函数叫作二次函数。
二、二次函数的五种形式：
①y=ax （a≠0） ②y=ax +c （a≠0）
③y=a(x-h) （a≠0） ④y=a(x-h) +k （a≠0）顶点式
⑤y=ax +bx+c （a≠0） 一般式
三、y=ax （a≠0）的图像和性质：
⑥采用五点法画y=a(x-h) +k的图像
首选顶点（h,k），以顶点（h,k）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦平移
抛物线的 图像是由抛物线 的图像上下平移 个单位，左右平移 个单位而得到的。当 时向上平移；当 时向下平移；当 时向左平移；当 时向右平移。（上加下减，左加右减）
⑧利用待定系数法求 的解析式
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜ ）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞ ）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=ax 有最小值，当x=0时，y最小值=0;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=ax 有最大值，当x=0时，y最大值=0;
⑥采用五点法画y=ax 的图像
也可以是两组对应值,当x=a时，y=b. 当x=c时，y=d.
六、y=a(x-h) +k （a≠0）的图像和性质：
①它的图像是一条顶点在任意位置的抛物线。
②顶点（h,k），对称轴是直线x=h。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质知识点一：图像函数性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a>0 a<0y∈[4ac－b24a，＋∞) y∈(－∞，4ac－b24a]奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数a<0单调性a>0a<0x∈(－∞，－b2a]时递减，x∈[－b2a，＋∞)时递增x∈(－∞，－b2a]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减图像特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：(－b2a，4ac－b24a)例：1、求函数1352++-=xxy图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
2、如果cbxxxf++=2)(对于任意实数t都有)3()3(tftf-=+，那么（）（A）)4()1()3(fff<<（B）)4()3()1(fff<<（C）)1()4()3(fff<<（D）)1()3()4(fff<<3、求函数522--=xxy在给定区间]5,1[-上的最值。
4、已知函数1)2(2-+-=nxxny是偶函数，试比较)2(f，)2(f，)5(-f的大小。
5、求当k为何值时，函数kxxy++-=422的图象与x轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.6、抛物线642--=xaxy的顶点横坐标是-2，则a=7、已知二次函数bxay+-=2)1(有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定 8、二次函数y=(x-k ）2与直线y=kx(k>0)的图像大致是（ ）知识点二：(1)当Δ＝b2－4ac=0，方程有两个相等的实根，这时图象与x 轴只有一个公共点； (2)当Δ＝b2－4ac>0，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴有两个公共点； (3)当Δ＝b2－4ac<0，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴无公共点；课堂练习： 一．选择题1．二次函数522+-=x x y 的值域是（ ）Ａ．)4∞+， ［ Ｂ．),4(∞+ Ｃ．(4， ∞-］ Ｄ．)4,( -∞2．如果二次函数452++=mx x y 在区间)1,(--∞上是减函数，在区间),1[+∞-上是增函数，则=m （ ）Ａ．2 Ｂ．-2 Ｃ．10 Ｄ．-103．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不相等的实数根，则m 的聚值范围是（ ） Ａ．),6()2,(+∞⋃--∞ Ｂ．)6,2(- Ｃ．)6,2[- 0 Ｄ．}6,2{- 4．函数3212-+=x x y 的最小值是（ ） Ａ．-3. Ｂ．.213- Ｃ．3 Ｄ．.2135．函数2422---=x x y 具有性质（ ） Ａ．开口方向向上，对称轴为1-=x，顶点坐标为（-1，0）Ｂ．开口方向向上，对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0） Ｃ．开口方向向下，对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，0） Ｄ．开口方向向下，对称轴为1=x，顶点坐标为（1，0）6．函数（1）3422-+=x x y ；（2）3422++=x x y ；（3）3632---=x x y ；（4）3632-+-=x x y 中，对称轴是直线1=x 的是（ ）Ａ．（1）与（2） Ｂ．（2）与（3） Ｃ．（1）与（3） Ｄ．（2）与（4） 7．对于二次函数x x y 822+-=，下列结论正确的是（ ）Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8 Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值8 8．如果函数)0(2≠++=a c bx ax y ，对于任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么下列选项中正确的是（ ）Ａ．)4()1()2(f f f <-< Ｂ．)4()2()1(f f f <<- Ｃ．)1()4()2(-<<f f f Ｄ．)1()2()4(-<<f f f二．填空1．若函数12)(2-+=x x x f ，则)(x f 的对称轴是直线2．若函数322++=bx x y 在区间]2,(-∞上是减函数，在区间],2(+∞是增函数，则=b3．函数9322--=x x y 的图象与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 、 4．已知6692+-=x x y ，则y 有最 值为 5．已知12842++-=x x y ，则y 有最 值为 三．解答题1．已知二次函数342-+-=x x y（1）指出函数图象的开口方向；（2）当x 为何值时0=y ；（3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。
第5讲 二次函数图象和性质知识点总结
第5讲 二次函数的图象和性质一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0）②顶点式：y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c 20++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数y ax bx c =++2的图象 ①二次函数y ax bx c =++2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线y a x h k =-+()2可以由抛物线y ax =2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画y ax bx c =++2的图象时，可以先配方成y a x h k =-+()2的形式，然后将y ax =2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
3. 二次函数的性质 函数二次函数y ax bx c =++2 a 、b 、c 为常数，a ≠0 y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0）a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0 图 象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性 (2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝h ，顶点是（h ，k ） (2)对称轴是x＝h ，顶点是（h ，k ） 质(3)当x b a <-2时，y 随x 的增大而减小；当x b a >-2时，y 随x 的增大而增大 (3)当x b a <-2时，y随x 的增大而增大；当x b a >-2时，y 随x 的增大而减小(3)当x h <时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大。
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二次函数
概念
一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。定义域是全体实数，图像是抛物线
解析式
b﹑c为0时
b为0时
b﹑c不为0时
图
像
的性质
开口
向上．
向上
向上
开口
向下
向下
向下
对称轴
轴
轴
顶点坐标
时 有最小值
X=0.时
y最小值等于0
X=0, 时
Y最小值等于c
当 时。 有最小值 ．
当 时， 随 的增大而减小
图
像
画法
利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及的五点为：
顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、
与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
时 有最大值
X=0. 时
y最大值等于0
X=0, 时
Y最大值等于c
当 时， 有最大值 ．
时
开口
向上
时， 随 的增大而增大； 时，
随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
当 时， 随 的增大而减小；
当 时， 随 的增大而增大
时
开口
向下
时， 随 的增大而减小； 时，
随 的增大而增大； 时， 有最大值
当 时， 随 的增大而增大；
解析式的表示
及
图像平移
1.一般式： 2.顶点式： 3.两根式：
2.平移⑴将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”
① 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
② 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）