北师大版九年级数学圆测试题及答案
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》检测(有答案解析)(1)
一、选择题1．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）A ．12B ．25C ．35D ．23 2．О的半径为5,cm 点Р到圆心O 的距离为7,cm 则点P 与О的位置关系是（ ） A ．在圆上 B ．在圆内 C ．在圆外 D ．不确定 3．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD =120°，点C 为弧BD 的中点，AC 交OD 于点E ，DE =1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．25 4．如图，O 是ABC 的外接圆，其半径为3cm ，若3BC cm =，则A ∠的度数是（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒5．如图，在半径为1的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB 恰好与OB 、OA 相切，则劣弧AB 的长为（ ）A ．12πB ．13π C ．14π D ．16π 6．下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）A ．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B ．存在一个正多边形，它的外角和为720︒C ．任何正多边形都有一个外接圆D ．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形7．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，30,3ACD AD ∠=︒=，下列说法错误的是（ ）A ．30B ∠=︒B ．60BAD ∠=︒C ．23BD = D ．23AB = 8．已知：O 的半径为2，3OA =，则正确的图形可能为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图．PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，AB ．若 OA =1，∠APB =60°，则△PAB 的周长为（ ）A ．3B ．4C ．3D ．3 10．如图，已知⊙O 的直径8CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，2OM =，则AB 的长为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．43 11．如图，O 的直径为10，弦AB 的长为6，P 为弦AB 上的动点，则线段OP 长的取值范围是（ ）A ．35OP ≤≤B ．45OP <<C ．45OP ≤≤D ．35OP <<12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC =4，BC =3时，则阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．6πC ．52π D ．12二、填空题13．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且AC BD ⊥， OF CD ⊥，垂足分别为E F 、，若52OF =，则AB =_____．14．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则圆O 的直径为___________．15．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，2AC =，ABC 绕顶点C 逆时针旋转60︒得到A B C ''，点A 的对应点A '恰好落在AB 上，连接A B ''，则图中阴影部分的面积为__________．16．如图，在平面直角坐标系中，过点()11,0A 作x 轴的垂线交直线y x =于点B ，以О为圆心，1OB 为半径作弧，交x 轴于点2A ；过点2A 作x 轴的垂线交直线y x =于点2B ，以O 为圆心，2OB 为半径作弧，交x 轴于点3A ；过点3A 作x 轴的垂线交直线y x =于点3B ，以О为圆心，3OB 为半径作弧，交x 轴于点4A ，……，按此做法进行下去，设由11A B ，12A A ，弧21A B 围成的图形面积记为1S ，由22A B ，23A A ，弧32A B 围成的图形面积记为2S ，由33A B ，34A A ，弧43A B 围成的图形面积记为3S ，……，那么2020S 为_______：17．如图，半径为2的O 中有弦AB ，以AB 为折痕对折，劣弧恰好经过圆心O ，则弦AB 的长度为__________．18．如图，在平面直角坐标系中，D 是直线6y x =-+上的一个动点，O 的半径为2，过点D 作O 的切线，切点为A ，则AD 长度的最小值为____________．19．如图，已知O 的半径为2，ABC 内接于O ，135ACB ∠=︒，则弓形ACB （阴影部分）的面积为_____________．20．如图，将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心,O 用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为____________________cm ．(结果用含根号的式子表示)三、解答题21．已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx ﹣n 2+5＝0．（1）当m ＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n 的值；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．①求m 、n 满足的关系式；②在x 轴上取点H ，使得OH ＝|m |，过点H 作x 轴的垂线l ，在垂线l 上取点P ，使得PH ＝|n |，则点P 到点（3，4）的距离最小值是 ．22．如图，在Rt △ABC 中∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，AB ＝6．延长CA 到O ，使AO ＝AC ，以O 为圆心，OA 长为半径作⊙O 交BA 延长线于点D ，连结OD ，CD ．（1）求扇形OAD 的面积．（2）判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．23．已知，如图，在ABC 中，90C ∠=︒，D 为BC 边中点．（1）尺规作图：以AC 为直径作O ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不需写作法）； （2）连接DE ，求证：DE 为O 的切线．24．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的ABC ∆，且90B ∠=︒．（1）将ABC ∆绕点O 顺时针旋转90°后得到EFG ∆（其中,,A B C 三点旋转后的对应点分别是,,E F G ），画出EFG ∆．（2）设EFG ∆的内切圆的半径为r ，EFG ∆的外接圆的半径为R ，则r R=__________．25．如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆O 相交于点D ，过D 作直线//DG BC ．（1）求证：DG 是O 的切线；（2）求证：DE CD =；（3）若25DE =，8BC =，求O 的半径．26．如图，已知AB 是O 的直径，BC AB ⊥，连接OC ，弦//AD OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E .（1）求证：CD 是O 的切线； （2）若2DE BC =，O 的半径为2，求线段EA 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】算出白色区域的面积与整个图形的面积之比即为所求概率．【详解】解：如图，过点A 作AG BF ⊥于点G∵ 六边形ABCDEF 为正六边形，∴BAF=120∠︒，=60FAG ∠︒设正六边形的边长为a ，则32322a a AG FG a ==⨯=，BF=2 ∴ 空白部分的面积为：213333322ABFa a S S a ==⨯⨯⨯=△空白 正六边形的面积为：22333642S a a =⨯=六 ∴飞镖落在白色区域的概率为：2233a 14=233S P S a ==空白六 故选：A【点睛】本题考查概率的求解，确定白色区域面积占整个图形面积的占比是解题的关键． 2．C解析：C【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断；【详解】∵O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为7cm ，∴OP ＞O 的半径，∴点P 在O 外； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确判断是解题的关键．3．A解析：A【分析】连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．【详解】解：连接AD，∵∠BOD=120°，AB是⊙O的直径，∴∠AOD=60°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA =60°，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠AED=90°，∵DE=1，∴AD=2DE=2，AE=2222AD DE-=-=，213故选：A．【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．4．D解析：D【分析】连接OB、OC，则判断△OBC是等边三角形，则∠BOC=60°，再根据圆周角定理，即可得到答案．【详解】解：连接OB、OC，如图：∵3OB OC BC cm ===，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠BAC=30°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题．5．A解析：A【分析】如图画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A ，根据题意可得O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA ，且OB=OA=O ＇B=O ＇A,得到四边形O ＇BOA 是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图：画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A∵AB 恰好与OA 、OB 相切∴O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA∵OB=OA=O ＇B=O ＇A,∴四边形O ＇BOA 是正方形∴∠O=90°∴劣弧AB 的长为9011801802n r πππ︒⨯⨯==︒． 故选择：A ．【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．6．C解析：C【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答案．【详解】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，故选：C．【点睛】本题考查正多边形的性质、中心对称图形、轴对称图形的定义及多边形外角和定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．7．C解析：C【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，再利用互余可计算出∠BAD的度数，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BD、AB的长即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=30°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，故选项A、B不符合题意，在Rt△ADB中，，故选项C符合题意，选项D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据圆的半径和OA的大小确定点A与圆的位置关系，从而作出判断即可．【详解】∵根据图的意义，得OA=2，与OA=3矛盾，∴A选项错误；∵根据图的意义，得OA＜2，与OA=3矛盾，∴B选项错误；∵根据图的意义，得OA＞2，且离圆较近，与OA=3相符，∴C选项正确；∵根据图的意义，得OA＞2，且离圆较远，与OA=3不符合，∴D选项错误；故选C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握圆心到点的距离与圆的半径的大小比较是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据切线的性质和切线长定理证明△PAB是等边三角形，PA⊥AO，根据直角三角形性质求出PA，问题得解．【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，∴PA=PB，∠APO=1∠APB=30°，PA⊥AO，2∴△PAB是等边三角形，∵PA⊥AO，∠APO==30°，∴OP=2OA=2，∴PA=∴△PAB的周长为故选：C【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定，含30°角直角三角形性质，勾股定理等知识，考查知识点较多，熟知相关定理并能熟练运用是解题关键．10．D解析：D【分析】连接OB，根据勾股定理计算BM=AB=2BM计算即可．【详解】∵直径8CD =，AB CD ⊥，2OM =∴BM=22OB OM -=2242-=23，根据垂径定理，得AB=2BM=43，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握连接半径构造直角三角形，灵活运用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键．11．C解析：C【分析】由垂线段最短可知当OP ⊥AB 时最短，当OP 是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【详解】解：如图，连接OA ，作OP ⊥AB 于P ，∵⊙O 的直径为10，∴半径为5，∴OP 的最大值为5，∵OP ⊥AB 于P ，∴AP=BP ，∵AB=6，∴AP=3，在Rt △AOP 中，OP=222594OA AP -=-=；此时OP 最短，所以OP 长的取值范围是4≤OP≤5．故选：C ．本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是确定OP 的最小值，所以求OP 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+（2a ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 12．A解析：A【分析】先根据勾股定理求出AB ，然后根据S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB 计算即可．【详解】根据勾股定理可得5=∴S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB =22211112222222AC BC AB AC BC πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++•- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()222141115343222222πππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6故选A ．【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键． 二、填空题13．【分析】连接DO 并延长与⊙O 相交于点G 连接BGCG 由AC ⊥BDDG 是直径可得∠DBG=90°=∠DCG 可证AC ∥BG 可得可得AB=CG 由OF ⊥CD 可证OF ∥CG 可证△DOF ∽△DGC 由性质由OF=可解析：【分析】连接DO 并延长，与⊙O 相交于点G ，连接BG ，CG ，由AC ⊥BD ， DG 是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG 可证AC ∥BG ，可得AB CG =，可得AB=CG ，由OF ⊥CD ，可证OF ∥CG ，可证△DOF ∽△DGC ，由性质DO OF 1==DG CG 2，由OF=52，可求CG 5=2OF=2=52⨯即可． 【详解】解：如图，连接DO 并延长，与⊙O 相交于点G ，连接BG ，CG ，∵AC ⊥BD ，DG 是直径，∴∠DBG=90°=∠DCG，∴BG⊥DB,∴AC∥BG，∴AB CG=，∴AB=CG，∵OF⊥CD，∴OF∥CG，∴∠DOG=∠DGC∴△DOF∽△DGC，，∴DO OF1==，DG CG2∵OF=5，2∴CG5=2OF=2=5⨯，2所以AB=CG=5．故答案为：5．【点睛】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．14．4【分析】延长BO交⊙O于E连接CE根据圆周角定理得到∠E=∠A=30°∠ECB=90°根据直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：延长BO交⊙O于E连接CE则∠E=∠A=30°∠ECB=90°∴B解析：4【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，根据圆周角定理得到∠E=∠A=30°，∠ECB=90°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：延长BO 交⊙O 于E ，连接CE ，则∠E=∠A=30°，∠ECB=90°，∴BE=2BC=2×2=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．【分析】先分别求解然后根据进行求解即可【详解】由题意知在中∴∴由题意旋转角为即：且∴为等边三角形设交于点∵∴∴四边形为梯形又∵∴则在中∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质以及扇形面积计算相关问 解析：23π【分析】先分别求解ABC S ，BCB S '扇形，AA B C S ''梯形，然后根据ABC BCB AA B C S S S S '''=+-△阴影扇形梯形进行求解即可．【详解】由题意知，在Rt ABC 中，30ABC ∠=︒，∴24AB AC ==，23BC = ∴112232322ABC S AC BC ==⨯⨯=△， 由题意，旋转角为60︒，即：60ACA BCB ''∠=∠=︒，且AC A C '=，23BC B C '==，∴ACA '为等边三角形，2A C '=，30A CD '∠=︒，设A B ''交BC 于点D ，∵60A CA D '∠=∠=︒，∴60ACA CA D ''∠=∠=︒，∴//AC A B ''，四边形AA B C ''为梯形，又∵90ACB ∠=︒，∴90CDA '∠=︒，则在Rt CDA '△中，112A D A C ''==，3CD = ∴()()112433322AABC S AC A B CD ''''=+=⨯+=梯形∴()260232360BCB S ππ'⨯==扇形，∴2323323ABC BCB AA B C S S S S ππ'''=+-=+-=-△阴影扇形梯形，故答案为：23π-．【点睛】本题考查旋转的性质以及扇形面积计算相关问题，灵活对不规则图形进行转换，运用规则图形的面积进行求解是解题关键．16．【分析】根据点A 的取法罗列出部分点A 的横坐标由此可发现规律即的横坐标为：再结合已知即可得到答案【详解】观察发现规律：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：故答案为：【点睛】本题 解析：2017201822π-【分析】根据点A 的取法，罗列出部分点A 的横坐标，由此可发现规律，即n A 的横坐标为：)12n -，再结合已知即可得到答案．【详解】 观察，发现规律：1A 的横坐标为：1，2A 23A 的横坐标为：22，⋯，∴n A 的横坐标为：12n - n B ∴的横坐标为：12n -404020192019201720182020452122223602S ππ⨯⨯∴=-⨯⨯=⋅-故答案为：2017201822π⋅-．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及规律型中的点的变换，解题关键是找出n A 的横坐标为：12n -这一规律．17．【分析】如果过O作OC⊥AB于D交折叠前的于C根据折叠后劣弧恰好经过圆心O根据垂径定理及勾股定理即可求出AD的长进而求出AB的长【详解】解：如图过O作OC⊥AB于D交折叠前的于C∵的半径为又∵折叠后解析：23【分析】如果过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB于C，根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，根据垂径定理及勾股定理即可求出AD的长，进而求出AB的长．【详解】解：如图，过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB于C，∵O的半径为2，又∵折叠后劣弧恰好经过圆心O，∴OA=OC=2，∴OD＝CD＝1，在Rt△OAD中，∵OA＝2，OD＝1，∴2222-=-OA OD213AB＝2AD＝3故答案为：3【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，利用好条件：劣弧折叠后恰好经过圆心O是解题的关键．18．4【分析】当OD与直线y=-x+6垂直时连接AOAD此时OD最小AD也最小根据等腰直角三角形的性质得到OD根据勾股定理即可得到结论【详解】解：如图∵DA为切线∴OA⊥DAOA=∴当OD最小时AD的值解析：4【分析】当OD与直线y=-x+6垂直时，连接AO，AD，此时OD最小，AD也最小，根据等腰直角三角形的性质得到OD，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图∵DA 为切线,∴OA ⊥DA ，2∴当OD 最小时，AD 的值最小.∴当OD 与直线y=−x+6垂直时，AD 的值最小，如图，设y=−x+6交x ，y 轴于B ，C ，B(6，0)，C(0，6)，∴OB=OC=6.∵∠BOC= 90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴22OB OC +2 ，∴OD=122 即OD 的最小值为2在Rt △OAD 中，AD 最小值22OD OA -()()22322164-==故答案为：4【点睛】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题. 19．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以求得∠AOB 的度数然后根据弓形ACB 的面积=S 扇形OAB-S △OAB 得出结果即可【详解】解：设点D 为优弧AB 上一点连接ADBDOA解析：2π-【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据弓形ACB 的面积=S 扇形OAB -S △OAB 得出结果即可．【详解】解：设点D 为优弧AB 上一点，连接AD 、BD 、OA 、OB ，如图所示，∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴弓形ACB 的面积=S 扇形OAB -S △OAB =29021223602π⨯⨯-⨯⨯=2π-， 故答案为：2π-．【点睛】本题主要考查求弓形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．【分析】作OC ⊥AB 根据折叠的性质得OD 等于半径的一半即OA ＝2OD 再根据含30°的直角三角形三边的关系得∠OAD ＝30°同理∠OBD ＝30°所以∠AOB ＝120°则利用弧长公式算出弧AB 的长利用圆 解析：2【分析】作OC ⊥AB ，根据折叠的性质得OD 等于半径的一半，即OA ＝2OD ，再根据含30°的直角三角形三边的关系得∠OAD ＝30°，同理∠OBD ＝30°，所以∠AOB ＝120°，则利用弧长公式算出弧AB 的长，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，得到圆锥的底面圆的半径，从而结合勾股定理求高即可．【详解】如图，过O 点作OC ⊥AB ，垂足为D ，交⊙O 于点C ， 由折叠的性质可知，1122OD OC OA ==， 由此可得，在Rt AOD △中，30OAD ∠=︒，同理可得30OBD ∠=︒，在AOB 中，由三角形内角和定理，得180120AOB OAD OBD ∠=︒-∠-∠=︒． ∴弧AB 的长为()12032180cm ππ⨯=． 设围成的圆锥的底面半径为r cm ，则22ππ=r ，∴1r cm =．∴圆锥的高为()22-=．3122cm故答案为：22．【点睛】本题考查了折叠的性质，弧长公式的计算，直角三角形的性质等，掌握弧长公式的计算以及圆锥相关基本结论是解题的关键．三、解答题21．（1）2；（2）①m2+n2＝5；②55【分析】（1）把m=1，x=1代入方程得1+2-n2+5=0，然后解关于n的方程即可；（2）①利用判别式的意义得到△=4m2-4（-n2+5）=0，从而得到m与n的关系；②利用勾股定理得到22m n+5P在以O5上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值．【详解】解：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，解得n＝2，即n的值为2；（2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，整理得m2+n2＝5；②∵OH＝|m|，PH＝|n|，∴OP22+5m n即点P在以O5∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小，∵原点到点（3，422+5，34∴点P到点（3，4）的距离最小值是55故答案为55【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了点与圆的位置关系．22．（1）求扇形OAD的面积为32π；（2）CD与⊙O相切，理由见解析．【分析】（1）求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出半径和圆心角，利用扇形的面积公式求得即可；（2）求出∠ADC＝∠ACD＝12∠OAD＝30°，进而求出∠ODC＝90°，即可证得CD是⊙O的切线．【详解】（1）证明：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝12AB＝2，∠BAC＝60°，∴∠OAD＝∠BAC＝60°，∵OD＝OA，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵AO＝AC=2，∴S扇形AOD＝23623 602ππ⨯⨯=；（2）CD所在直线与⊙O相切，证明：∵△OAD是等边三角形，∴AD＝OA，∵AO＝AC，∴AD=AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠OAD＝60°，∴∠ADC＝30°，∴∠ODC＝60°+30°＝90°，∴OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线．【点睛】本题考查了扇形的面积，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度．23．（1）作图见解析；（2）见解析．【分析】（1）先作AC的中垂线，找到AC的中点O，然后以AC为直径作圆，与AB的交点即为所求；（2）由题意可知DE为Rt BEC△斜边BC上的中线，从而得到CD=DE，即=∠∠ECD DEC ，由OC=OE 得到OEC OCE ∠=∠，再由90ACB ∠=︒即可得到OE ⊥DE ，即可得证．【详解】（1）作图如图所示．（2）证明：如上图，连结OE ，CE ， AC 为直径，90AEC ∴∠=︒， D 为BC 边中点，DE ∴为Rt BEC △斜边BC 上的中线，12DE DC DB BC ∴===， ECD DEC ∴∠=∠，OC OE =，OEC OCE ∴∠=∠，90OED OEC CED OCE DCE ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒OD DE ∴⊥，DE ∴为O 的切线．【点睛】本题考查了尺规作图以及切线的判定，正确找到垂直条件是判断切线的关键． 24．（1）见解析；（2）25【分析】（1）根据旋转的性质，作出点A 、B 、C 的对应点，依次连接即可（2）结合图形，EG 为外接圆的直径，用勾股定理求出EG ，则可求R ，根据三角形内切圆的性质，和切线长定理可求得r ，进而可求得答案【详解】解（1）EFG ∆如图所示，（2）EFG ∆的内切圆的半径为r ，2EF FG EG r +-∴= 4,3EF FG ==,2222435EG EF FG =++= 43512r +-∴== EFG ∆的外接圆的半径为R1522R EG ∴== 25r R ∴= 【点睛】本题考查了旋转图形的画法，勾股定理，三角形内心性质，切线长定理，解题关键是熟练掌握基本知识，是中考常考题．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）5【分析】（1）连接OD 交BC 于H ，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD ，则BD CD =，利用垂径定理得到OD ⊥BC ，BH=CH ，从而得到OD ⊥DG ，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）利用三角形内心的性质，等腰三角形的判定和性质，同圆或等圆中等角对等弦，即可得到结论；（3）根据垂径定理可知OD 垂直平分BC ，在Rt BHD △利用勾股定理求出DH 长，设半径为r ，在Rt BHO 中利用勾股定理即可求解【详解】（1）证明：连接OD 交BC 于H ，如图，∵点E 是ABC 的内心，∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠，∴BD CD =，∴OD BC ，BH CH = ∵//DG BC ，∴OD DG ⊥，∴DG 是O 的切线；（2）连接BD ，如图，∵点E 是ABC 的内心，∴ABE CBE ∠=∠，∵DBC BAD ∠=∠，∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，BDE ∴为等腰三角形BD DE ∴=BAD CAD BD DC∠=∠∴= ∴DE DC =．（3）BD DC =，∴OD 垂直平分BC 90BHD BHO ∴∠=∠=︒8142BC BH BC =∴== 25DE BD ==∴在Rt BHD △中2220162DH BD BH -=-=设半径为r ，则,2OB r OH r ==-∴在Rt BHO 中,222OB OH BH =+()22242r r ∴=+-解得=5r ∴⊙O 的半径为：5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与内心，切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握三角形内心的性质：三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．26．（1）见解析；（2）22AE =．【分析】（1）连接OD ，通过证明△COD ≌△COB 得到90CDO CBO ∠=∠=︒即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质，在结合平行线分线段成比例的性质，即可求解【详解】（1）如图，连接OD .∵//AD OC ，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠.又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠.∵OD OB =，OC OC =，∴在COD △和COB △中OD OB COD COB OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS COD COB ≌△△， ∴90CDO CBO ∠=∠=︒.又∵点D 在O 的切线. ∴CD 是O 的切线.（2）∵COD COB ≌△△，∴CD CB =.∵2DE BC =， ∴2ED CD =.∵//AD OC ，∴DE AE CE OE=.∵O 的半径为2，∴2AE AE =+， ∴AE =【点睛】本题考查了圆切线的判定，以及平行线分线段成比例的性质，熟练掌握圆切线的判定定理是解题关键．。
2022学年北师大版九年级数学下册第3章《圆》综合测试题附答案解析
2022-2023学年九年级数学下册第3章《圆》综合测试题（满分120分）一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题为真命题的是()A ．两点确定一个圆B ．度数相等的弧相等C ．垂直于弦的直径平分弦D ．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等2．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为6，那么点P 与⊙O 的位置关系是()A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC ＝120°，则∠BAC 的度数是()A ．70°B ．60°C ．50°D ．30°4．如图，AB ，AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD .如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于()A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°5．如图，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，OB ，OC 分别交AC ，BD 于点E ，F ，则下列结论不一定正确的是()A ．AC ＝BD B ．OE ⊥AC ，OF ⊥BD C ．△OEF 为等腰三角形D ．△OEF 为等边三角形6．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O ，交坐标轴于点E ，F ，OE ＝8，OF ＝6，则圆的直径长为()A ．12B ．10C ．14D ．157．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 等于()A ．60°B ．65°C ．72°D ．75°8．秋千拉绳长3m ，静止时踩板离地面0.5m ，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2m(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧AB ︵的长为()A ．πmB ．2πm C.43πm D.32πm9．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于点C 和点D .若△PCD 的周长为⊙O 半径的3倍，则t a n ∠APB 等于()A.125 B.3513 C.2313 D.51210．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a )(a ＞3)，半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是()A ．4B ．3＋2C ．32D ．3＋3二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD 的距离为________．12．如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠A ＝________．13．如图，DB 切⊙O 于点A ，∠AOM ＝66°，则∠DAM ＝________．14．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，若AC ＝3，则DE ＝________．15．如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52c m ，装入油后，油深CD 为16c m ，那么油面宽度AB＝________.16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC为半径作CD ︵交OB 于点D .若OA ＝2，则阴影部分的面积为________．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为________．18．如图，在⊙O 中，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．下列结论：①MC ＝ND ；②AM ︵＝MN ︵＝NB ︵；③四边形MCDN 是正方形；④MN ＝12AB .其中正确的结论有_____(填序号)．三、解答题(19题8分，20，21每题10分，22，23每题12分，24题14分，共66分)19．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC ，若∠P ＝30°，求∠B 的度数．20．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC ＝BD ，连接AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E .(1)求证：AB ＝AC .(2)若⊙O 的半径为4，∠BAC ＝60°，求DE 的长．21．如图，点P 在y 轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延长交⊙P 于点C ，过点C 的直线y ＝2x＋b 交x 轴于点D ，且⊙P 的半径为5，AB ＝4.(1)求点B ，P ，C 的坐标．(2)求证：CD 是⊙P 的切线．22．如图，CB和CD切⊙O于B，D两点，A为圆周上一点，且∠1:∠2:∠3＝1:2:3，BC＝3，求∠AOD所对扇形的面积S.23．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80m，桥拱到水面的最大高度为20m.(1)求桥拱所在圆的半径．(2)现有一艘宽60m，顶部截面为长方形且高出水面9m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．24．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.(1)求证：PA是⊙O的切线．(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB＝12，求AC的长．(3)在满足(2)的条件下，若AF∶FD＝1∶2，GF＝1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．参考答案一、1.C 2.A3.B4.B5.D6.B 7．D 8.B 9.A 10.B二、11.3【点拨】如图，连接OC ，设AB ⊥CD 于E .∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，∴OC ＝5.∵CD ⊥AB ，CD ＝8，∴CE ＝4，∴OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3.12．99°【点拨】易知EB ＝EC .又∠E ＝46°，所以∠ECB ＝67°.从而∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°.在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A ＝180°－81°＝99°.13．147°【点拨】因为DB 是⊙O 的切线，所以OA ⊥DB .由∠AOM ＝66°，得∠OAM ＝12×(180°－66°)＝57°.所以∠DAM ＝90°＋57°＝147°.14．3【点拨】∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°.∴∠BDC ＋∠CDE ＝90°.又∵AB ⊥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝90°.∵∠CAB ＝∠BDC ，∴∠ACD ＝∠CDE .∴AD ︵＝CE ︵.∴AD ︵－AE ︵＝CE ︵－AE ︵.∴DE ︵＝AC ︵.∴DE ＝AC ＝3.15．48cm16.32＋π12【点拨】连接OE .∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝12OA ＝1.∵OE ＝OA ＝2，∴OC ＝12OE .∵CE ⊥OA ，∴∠OEC ＝30°.∴∠COE ＝60°.在Rt △OCE 中，CE ＝OE 2－OC 2＝3，∴S △OCE ＝12OC ·CE ＝32.∵∠AOB ＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠COE ＝30°.∴S 扇形BOE ＝30π×22360＝π3.又S 扇形COD ＝90π×12360＝π4.因此S 阴影＝S 扇形BOE ＋S △OCE －S 扇形COD ＝π3＋32－π4＝32＋π12.17.6718．①②④【点拨】连接OM ，ON ，易证Rt △OMC ≌Rt △OND ，可得MC ＝ND ，故①正确．在Rt △MOC中，CO ＝12MO ，可得∠CMO ＝30°，所以∠MOC ＝60°.易得∠MOC ＝∠NOD ＝∠MON ＝60°，所以AM ︵＝MN ︵＝NB ︵，故②正确．易得CD ＝12AB ＝OA ＝OM ，∵MC ＜OM ，∴MC ＜CD .∴四边形MCDN 不是正方形，故③错误．易得MN ＝CD ＝12AB ，故④正确．三、19.解：∵PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠B ＝12∠AOP ＝30°.20．(1)证明：如图，连接AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵DC ＝BD ，∴AB ＝AC .(2)解：由(1)知AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°，∠ADB ＝90°，∴△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝30°.在Rt △BAD 中，∠BAD ＝30°，AB ＝8，∴BD ＝4，即DC ＝4.又∵DE ⊥AC ，∴DE ＝DC ·sin C ＝4·sin 60°＝4×32＝2 3.21．(1)解：如图，连接CA .∵OP ⊥AB ，∴OB ＝OA ＝2.∵OP 2＋OB 2＝BP 2，∴OP 2＝5－4＝1，即OP ＝1.∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB ＝90°.∵CP ＝BP ，OB ＝OA ，∴AC ＝2OP ＝2.∴B (2，0)，P (0，1)，C (－2，2)．(2)证明：∵直线y ＝2x ＋b 过C 点，∴b ＝6.∴y ＝2x ＋6.∵当y ＝0时，x ＝－3，∴D (－3，0)．∴AD ＝1.∵OB ＝AC ＝2，AD ＝OP ＝1，∠CAD ＝∠POB ＝90°，∴△DAC ≌△POB .∴∠DCA ＝∠ABC .∵∠ACB ＋∠ABC ＝90°，∴∠DCA ＋∠ACB ＝90°，即CD ⊥BC .∴CD 是⊙P 的切线．22．解：∵CD 为⊙O 的切线，∴∠ODC ＝90°，即OD ⊥CD .∵∠1:∠2:∠3＝1:2:3，∴∠1＝15°，∠2＝30°，∠3＝45°.连接OB .∵CB 为⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ，BC ＝CD .∴∠CBD ＝∠3＝45°，∴∠OBD ＝45°.又∠1＋∠2＝45°，∴∠BOD ＝90°，即OD ⊥OB .∴OD ∥BC ，CD ∥OB .∴四边形OBCD 为正方形．∵BC ＝3，∴OB ＝OD ＝3.∵∠1＝15°，∴∠AOB ＝30°，∴∠AOD ＝120°.∴S ＝120360×π×32＝3π.23．解：(1)如图，设点E 是桥拱所在圆的圆心．过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点C ，连接AE ，则CF ＝20m ．由垂径定理知，F 是AB 的中点，∴AF ＝FB ＝12AB ＝40m.设半径是r m ，由勾股定理，得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(CE －CF )2，即r 2＝402＋(r －20)2.解得r ＝50.∴桥拱所在圆的半径为50m.(2)这艘轮船能顺利通过．理由：当宽60m 的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN 为轮船顶部的位置．连接EM ，设EC 与MN 的交点为D ，则DE ⊥MN ，∴DM ＝30m ，∴DE ＝EM 2－DM 2＝502－302＝40(m )．∵EF ＝EC －CF ＝50－20＝30(m)，∴DF ＝DE －EF ＝40－30＝10(m)．∵10m>9m ，∴这艘轮船能顺利通过．24．(1)证明：如图，连接CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠CAD ＋∠ADC ＝90°.又∵∠PAC ＝∠PBA ，∠ADC ＝∠PBA ，∴∠PAC ＝∠ADC .∴∠CAD ＋∠PAC ＝90°.∴PA ⊥DA .而AD 是⊙O 的直径，∴PA 是⊙O 的切线．(2)解：由(1)知，PA ⊥AD ，又∵CF ⊥AD ，∴CF ∥PA .∴∠GCA ＝∠PAC .又∵∠PAC ＝∠PBA ，∴∠GCA ＝∠PBA .而∠CAG ＝∠BAC ，∴△CAG ∽△BAC .∴AGAC ＝ACAB ，即AC 2＝AG ·AB .∵AG ·AB ＝12，∴AC 2＝12.∴AC ＝2 3.(3)解：设AF ＝x ，∵AF ∶FD ＝1∶2，∴FD ＝2x .∴AD ＝AF ＋FD ＝3x .易知△ACF ∽△ADC ，∴ACAD ＝AFAC ，即AC 2＝AF ·AD .∴3x 2＝12，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．∴AF ＝2，AD ＝6.∴⊙O 的半径为3.在Rt △AFG 中，AF ＝2，GF ＝1，根据勾股定理得AG ＝AF 2＋GF 2＝22＋12＝5，由(2)知AG ·AB ＝12，∴AB ＝12AG ＝1255.连接BD ，如图所示．∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵sin ∠ADB ＝ABAD ，AD ＝6，AB ＝1255，∴sin ∠ADB ＝255.∵∠ACE ＝∠ADB ，∴sin ∠ACE ＝255.。
(基础题)北师大版九年级下册数学第三章 圆含答案
北师大版九年级下册数学第三章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=45°，则劣弧BC的长为（）A. B. C.π D.2、如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，若AB∥OC，∠BCO=21°，则∠AOC的度数是（）A.42°B.21°C.84°D.60°3、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC=6，则OD的长为（）A.2B.3C.3.5D.44、如图，在两个同心圆O中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，则AD与BC的数量关系是（）A.AD＞BCB.AD=BCC.AD＜BCD.无法确定5、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，且OC∥BD，∠A=30°，则∠CBD=（）A.10°B.15°C.30°D.45°6、如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则( )A.3α+β=180°B.2α+β=180°C.3α-β=90°D.2α-β=90°7、以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A. B. C. D.8、如图，正内接于半径是1的圆，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.9、如图，为的直径，为弦，，垂足为E，若，则的度数为（）．A.135°B.120°C.150°D.110°10、在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离11、如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE=EF，若AD= ，则的长为( )A. B. C. D.π12、若⊙O的半径是5 cm，点A在⊙O内，则OA的长可能是（）A.2 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm13、已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O上B.点P在⊙O内C.点P在⊙O外D.无法确定14、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A.4B.8C.4或6D.4或815、如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（）A.2B.8C.2D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，AD，若∠CAB＝36°，则∠ADC的度数为________．17、如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.18、如图，在的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点为圆心，5为半径画圆，共经过图中________个格点（包括图中网格边界上的点）．19、圆周角是24度，那么它所对的弧是________度.20、如图，AB是半圆的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．则∠ACP的度数可以是________．21、如图，点是上⊙O两点，，点是⊙O上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则________.22、如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC 于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是________．23、如图，在一张直径为20cm的半圆形纸片上，剪去一个最大的等腰直角三角形，剩余部分恰好组成一片树叶图案，则这片树叶的面积是________cm2.24、如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O 过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为________.25、如图，已知直线AB与⊙O相交于A．B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为70°．求∠EOC的度数．27、如图，⊙O的半径为2，弦AB=2 ，点C在弦AB上，AC= AB，求OC 的长．28、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O，求证：CD是⊙O的切线．29、如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于E，CD=2， AE=5．（1）求⊙O半径r的值；（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD=∠DOB时，求AF的长．30、已知：如图， AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．求证：∠OCF=∠ECB．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、B4、B5、C6、D7、A8、A9、B10、C11、B12、A13、C14、D15、D二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)。
北师大版九年级数学下册第三章《圆》专题测试含答案
《圆》专题训练含答案一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是（填序号）11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于°．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．圆专题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B．2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①正确；②在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；③圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；因此正确的结论是①②；故选：B．3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°【解答】解：连接BD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°．故选：B．5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定【解答】解：∵r＝3，d＝5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：B．6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角【解答】解：∵EF与⊙O相切于点D，∴点D有圆上，∴∠AOB和∠BOD是圆心角，∠ADB是圆周角，∵点F不在圆O上，∴∠BDF不是圆周角，故选：C．7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°【解答】解：∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB＝∠AOB＝70°．故选：C．8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．【解答】解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OF A，∴S阴＝S扇形OF A，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OF A＝＝．故选：C．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是②③（填序号）【解答】解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确，正确的结论有②③，故答案为：②③．11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于18°．【解答】解：由题意这是正二十边形，中心角α＝＝18°，故答案为18．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是8．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．【解答】解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，∴OC＝＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AD＝＝＝，∵E为的中点，∴OE⊥BD，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，∴DE＝＝＝；故答案为：．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于2+．【解答】解：∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，∵F是AB的中点，∴OC⊥AB，设OF为x，则DF＝x﹣4，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，在Rt△BOC中，OB2＝OF2+BF2，∵OB＝OC＝6，∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）∴OF的长的最大值等于2+，故答案为2+．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是70°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．故答案为：70°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于10．【解答】解：根据正n边形内接于半径为R的圆，则可将分割成n个全等的等腰三角形，其中等腰三角形的腰长为圆的半径R，顶角为，∵个n边形的面积为3R2，∴n××R×R×sin＝3R2n sin＝6解得n＝10．故答案为10．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为30cm．【解答】解：根据题意得，r＝30cm，故答案为30cm．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．【解答】（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DF A，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．【解答】解：（1）如图1，连接OD，则OD⊥DE，∵∠∠ODA+∠EDC＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵OA⊥OB，∴∠OAD+∠OCA＝90°，且∠OCA＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDC；（2）由（1）知，∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC，在Rt△ODE中，设ED＝x，则OE＝CE+OC＝2+x，∵OD2+DE2＝OE2，∴82+x2＝（2+x）2，解得，x＝15，∴DE的长为15；（3）如图2，连接OD'，过点O作OH⊥AD'于点H，延长AO交⊙O于点M，过点D作DN⊥AM于点N，设弦AD在圆内扫过的面积为S，则S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'，由题意知，∠OAH＝30°，∴在Rt△OAH中，∠AOH＝60°，AH＝OA＝4，OH＝OA＝4，∴AD'＝2AH＝8，∠AOD'＝120°，∴S弓形ABD'＝S扇形OAD'﹣S△OAD'＝﹣×8×4＝﹣16，在Rt△ODN中，∠DON＝2∠OAD＝30°，∴DN＝OD＝4，∴S△OAD＝OA•DN＝×8×4＝16，∵∠AOD＝180°﹣∠DON＝150°，∴S扇形OAD＝＝，∴S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'＝﹣16﹣（﹣16）＝+16﹣16，∴弦AD在圆内扫过的面积为+16﹣16．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．【解答】证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CF A+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．【解答】解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．【解答】（1）证明：连结OC，如图1，∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，即∠ACO+∠FCD＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∴∠CAO+∠AFH＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠AOC，∴∠FCD＝∠AFH，而∠AFH＝∠DFC，∴∠DFC＝∠DCF，∴△FCD是等腰三角形；（2）解：连结OF，OC，如图2，在Rt△COE中，∠E＝30°，BE＝2，∴OE＝2OC，即OB+2＝2OC，而OB＝OC，∴OC＝2，∴⊙O的半径为2；∵∠EOC＝90°﹣∠E＝60°，∴∠ACO＝∠AOC＝30°，∴∠FCD＝90°﹣∠ACO＝60°，∴△FCD为等边三角形，∵F为AC的中点，∴OF⊥AC，∴AF＝CF，在Rt△OCF中，OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC；（2）解：过点O作OF⊥AC于点F，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD．∵OD∥AC，∴DE⊥AC．∴四边形OFED是矩形．∴OF＝DE．在Rt△AOF中，∠A＝45°，∴OF＝OA＝2，∴DE＝2．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．。
北师大版数学九年级下册第三章 圆 单元测试卷
第三章 圆 单元测试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1. 已知AB 是半径为5的圆的一条弦，则AB 的长不可能是（ ）A ．4B ．8C ．10D ．122．如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，若∠ABC ＝57.5°，则∠BOC 的度数为（ ）A. 132.5° B ．130° C ．122.5° D ．115°第2题图 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图3．在平面直角坐标系xOy 中，若点P （4，3）在⊙O 内，则⊙O 的半径r 的取值范围是（ ）A ．0＜r ＜4B ．3＜r ＜4C ．4＜r ＜5D ．r ＞54．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠CDA ＝122°，则∠C 的度数为（ ）A ．22°B ．26°C ．28°D ．30°5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝22，则的长是（ ） A. π B ．23π C ．2π D ．21π 6．如图所示方格纸中，点A ，B ，C ，D ，O 均为格点，则点O 是（ ）A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ACD 的外心7．一把直尺、含60°角的直角三角尺和光盘如图所示摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为直尺与光盘的切点.若AB ＝3，则光盘的直径是（ ）A ．3B ．33C ．6D ．63第8题图 第9题图 第10题图8．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A ，与y 轴交于B ，C 两点，M 的坐标为（3，5），则B 的坐标为（ ）A ．（0，5）B ．（0，7）C ．（0，8）D ．（0，9）9．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．6π﹣293 B ．6π﹣93 C ．12π﹣293 D ．49 10．如图，在等边三角形ABC 中，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，F 是AC 上的点，下列说法错误的是（ ）A ．若EF ⊥AC ，则EF 是⊙O 的切线B ．若EF 是⊙O 的切线，则EF ⊥ACC ．若BE ＝EC ，则AC 是⊙O 的切线D ．若BE ＝23EC ，则AC 是⊙O 的切线 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝ °．第11题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图12．已知⊙O 的半径为3 cm ，点A ，B ，C 是直线l 上的三个点，点A ，B ，C 到圆心O 的距离分别为2 cm ，3 cm ，5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置是 ．13．如图，点 A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为 ．14. 如图，Rt △ABC 的内切圆⊙I 分别与斜边AB ，直角边BC ，CA 切于点D ，E ，F ，AD=3，BD=2，则Rt △ABC 的面积为 .15．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O 于点A ，并使较长边与⊙O 相切于点C ．记角尺的直角顶点为B ，量得AB ＝2 cm ，BC ＝4 cm ，则⊙O 的半径是 cm ．16．如图，⊙O 的直径为25 cm ，弦AB ⊥弦CD 于点E ，连接AD ，BC ，若AD ＝4 cm ，则BC 的长为 cm ．三、解答题（本大题7小题，共66分）17.（6分）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BD ∥OC ，求证：＝．第17题图 第18题图 第19题图18. （8分）如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D ，试判断DB 与DI 相等吗？说明理由.19. （8分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10 mm 的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道口的距离为8 mm ，求这个孔道的直径AB ．20．（10分）如图，以等边三角形ABC 的边AB 为直径的圆，与另两边BC ，AC 分别交于点E ，F ，请仅用无刻度的直尺作出△ABC 的边AB 上的高CD ．第20题图 第21题图 第22题图21．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC．（1）求证：△ADE是等腰三角形；（2）若∠D＝90°，⊙O的半径为5，BC∶DC＝1∶2，求△CBE的周长．22．（12分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．23．（12分）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE 交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．①②③第23题图第24题图24．我们知道，如图①，AB是⊙O的弦，F是的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得E是AB的中点，即AE＝EB．若⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图②），过点F作EF⊥AC于点E，求证：E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB；（2）当点C在弦AB的下方时（如图③），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，那么AE，EC，CB满足怎样的数量关系？（直接写出，不必证明．）第三章 圆 单元测试卷 参考答案 答案详解 10．C 提示：连接OE ，如图所示，则OB ＝OE.因为∠B ＝60°，所以∠BOE ＝60°.因为∠BAC ＝60°，所以∠BOE ＝∠BAC.所以OE ∥AC.因为EF ⊥AC ，所以OE ⊥EF.所以EF 是⊙O 的切线.选项A 正确；因为EF 是⊙O 的切线，所以OE ⊥EF.由A 知OE ∥AC ，所以AC ⊥EF. 选项B 正确；因为∠B ＝60°，OB ＝OE ，所以BE ＝OB.因为BE ＝CE ，所以BC ＝AB ＝2BO.所以AO ＝OB.如图，过点O 作OH ⊥AC 于点H ，所以∠OHA=90°.因为∠BAC ＝60°，所以∠AOH=30°. 在Rt △OAH 中 ，由勾股定理，得OH ＝22OA AH -= 222OA OA ⎛⎫- ⎪⎝⎭=23AO ≠OB. 选项C 错误；因为BE ＝23EC ，所以CE ＝332BE.因为AB ＝BC ，BO ＝BE ，所以AO ＝CE ＝332OB. 在Rt △OAH 中 ，由勾股定理，得OH ＝22OA AH -=23AO ＝OB.所以AC 是⊙O 的切线. 选项D 正确．16．2 提示：如图，作直径DH ，连接AH ，CH ，AC ．因为DH 是直径，所以∠DCH ＝∠DAH ＝90°.因为AB ⊥CD ，所以∠AED ＝∠DCH ＝90°.所以CH ∥AB.所以∠CAB ＝∠ACH.所以＝.所以AH ＝BC. 在Rt △ADH 中，AH ＝22224)52(-=-AD DH =2（cm ），所以BC ＝AH ＝2 cm ．三、17．证明：因为OB ＝OD ，所以∠D ＝∠B.因为BD ∥OC ，所以∠D ＝∠COD ，∠AOC ＝∠B.所以∠AOC ＝∠COD.所以＝．18．解：DB ＝DI.理由：连接BI.由圆周角定理，得∠DBC ＝∠DAC.因为I 是△ABC 的内心，所以∠ABI ＝∠CBI ，∠BAD ＝∠CAD. 由三角形的外角的性质，知∠DIB ＝∠IBA+∠BAI.又∠DBI ＝∠DBC+∠IBC ，所以∠DIB ＝∠DBI.所以DB ＝DI ．19．解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB ＝2AD.答案速览一、1. D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D 7. D 8．D 9．A 10.C二、11. n 12．相交 13．5 14. 6 15．5 16．2三、解答题见“答案详解”因为钢球的直径是10 mm ，所以钢球的半径是5 mm ，即OA=5 mm.因为钢球顶端离孔道口的距离为8 mm ，所以OD ＝3 mm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得AD ＝222235-=-OD OA ＝4（mm ）， 所以AB ＝8 mm ． 20．解：如图所示，CD 即为所求.21．（1）证明：因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A+∠DCB=180°.又∠DCB+∠BCE=180°，所以∠A ＝∠BCE.因为BE ＝BC ，所以∠BCE ＝∠E.所以∠A ＝∠E.所以DA ＝DE ，即△ADE 是等腰三角形.（2）解：连接AC.设BC ＝k ，则CD ＝2k.因为∠D ＝90°，所以∠CBE ＝90°，AC 是⊙O 的直径.因为BE ＝BC ，所以∠E ＝45°.所以BE ＝BC ＝k ，EC ＝2k.所以DA=DE ＝22k.在Rt △DAC 中，由勾股定理，得AC ＝10k.因为⊙O 的半径为5，所以10k ＝10，解得k ＝10.所以BC+BE+CE=210+25，即△CBE 的周长为210+25．22．（1）证明：连接OB.因为E 是弦BD 的中点，所以BE ＝DE ，OE ⊥BD ，＝12.所以∠BOE ＝∠A ，∠OBE+∠BOE ＝90°.因为∠DBC ＝∠A ，所以∠BOE ＝∠DBC.所以∠OBE+∠DBC ＝90°.所以∠OBC ＝90°，即BC ⊥OB.所以BC 是⊙O 的切线.（2）解：因为OB ＝6，BC ＝8，BC ⊥OB ，所以OC ＝22BC OB +=10.因为△OBC 的面积＝12OC •BE ＝12OB •BC ，所以BE ＝OB BC OC ⋅=6810⨯=4.8.所以BD ＝2BE ＝9.6，即弦BD 的长为9.6． 23．证明：（1）因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB ＝90°.所以∠A+∠ABD ＝90°.因为∠A ＝∠DEB ，∠DEB ＝∠DBC ，所以∠A ＝∠DBC.所以∠DBC+∠ABD ＝90°.所以BC 是⊙O 的切线.（2）连接OD.因为BF ＝BC ＝2，∠ADB ＝90°，所以∠CBD ＝∠FBD.因为OE ∥BD ，所以∠FBD ＝∠OEB.因为OE ＝OB ，所以∠OEB ＝∠OBE.所以∠OBE=∠FBD.所以∠CBD ＝∠FBD ＝∠OBE ＝13∠ABC ＝13×90°＝30°.所以∠C ＝60°，∠A ＝30°.所以AC=4. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝22AC BC -=23，所以⊙O 的半径为3.因为OA=OD ，所以∠ODA ＝∠A=30°.所以∠DOB=60°. 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD=22AB BD -=3.所以S 阴影=S 扇形DOB -S △DOB ＝61π×（3）2-12×12×3×3=2π-433． 24．（1）证明：在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，如图①所示.因为F 是的中点，所以FA＝FB.在△FAG和△FBC中，FA FBFAG FBCAG BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，所以△FAG≌△FBC（SAS）.所以FG＝FC.因为FE⊥AC，所以EG＝EC.所以AE＝AG+EG＝BC+CE. （2）解：结论AE＝EC+CB不成立，新结论为CE＝BC+AE.理由：在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，如图②所示.因为F 是的中点，所以FA＝FB ，.所以∠FCG＝∠FCB.在△FCG和△FCB中，CG CBFCG FCBFC FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，所以△FCG≌△FCB（SAS）.所以FG＝FB.所以FA＝FG.因为FE⊥AC，所以AE＝GE.所以CE＝CG+GE＝BC+AE.①②第24题图。
新版北师大初三数学九年级(下册)第三章圆练习题(分节练习)【含答案】
新版北师大初中数学九（下）第三章圆分节练习第1节圆01、【基础题】已知⊙O的面积为25 . （1）若PO＝，则点P在_____；（2）若PO＝4，则点P 在_____；（3）若PO＝_____，则点P在⊙O上.01.1【综合Ⅰ】如左下图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，5cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_______，在圆上的有_______，在圆内的有_______.01.2、【综合Ⅲ】如右上图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，那么E、F、G、H是否在同一个圆上？说明理由.01.3、【综合Ⅲ】若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P的位置是（）A、在⊙A内B、在⊙A上C、在⊙A外D、不能确定02、【综合Ⅰ】设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形；（2）到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形；（3）到点A的距离小于2 cm，且到点B的距离大于2 cm的所有点组成的图形.03、【提高】海军部队在某灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3 km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A 有2 km远的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应往哪个方向航行？请给予证明.03.1【提高】已知点P不在⊙O上，且点P到⊙O上的点的最小距离是5，最大距离是7，求⊙O 的半径.第2节圆的对称性04、【基础题】如左下图，在⊙O中，⌒AC ＝⌒BD ，∠1＝30°，那么∠2＝_____.04.1、【基础题】如右上图，在⊙O中，弧AB等于弧AC，∠A=30°，则∠B＝_____.05、【综合Ⅰ】如左下图，点A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC，那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？05.1、【基础题】如右上图，在⊙O中，AD＝BC，试说明AB与CD相等.05.2【基础】如左下图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且⌒AD＝⌒CE，那么BE和CE的大小有什么关系？为什么？05.3【综合Ⅰ】如右上图，AB是⊙O的直径，OD∥AC，那么⌒CD与⌒BD的大小有什么关系？为什么？06、【综合Ⅰ】如左下图，A、B是⊙O上两点，∠AOB＝120°，C是⌒AB的中点，试确定四边形OACB的形状.06.1、【综合Ⅱ】如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝______.* 第3节垂径定理07、【基础题】如左下图，已知⊙O中，OC⊥弦AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径等于______.07.1、【基础题】如右上图，已知⊙O 的半径为30 mm ，弦AB ＝36 mm ，求点O 到AB 的距离及∠OAB 的余弦值.08、【综合Ⅱ】如左下图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16 m ，拱高CD=4 m ，那么拱形的半径是____m.08.1、【综合Ⅱ】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为数学语言就是：如右上图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长.09、【综合Ⅰ】如右图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？为什么？10、【综合Ⅰ】 已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB ∥弦CD ，AB ＝6 cm ，CD ＝8 cm ，试求AB 与CD 间的距离.10.1、【综合Ⅱ】 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？11、【综合Ⅲ】如右图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC ＝2 cm ，则⊙O 的半径为______ cm .第4节 圆周角和圆心角的关系（包括圆内接四边形）12、【基础题】如左下图，在⊙O 中，已知∠BOC ＝100°，则∠BAC 的度数是_____°D C BADC B AO12.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中，∠BAC ＝25°，则∠BOC ＝_____°12.2、【综合Ⅰ】 如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A ＝40°，求∠OBC 的度数.13、【基础题】如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD ＝100°，求∠BOD （弧BCD 所对的圆心角）和∠BAD 的大小.13.1、【基础题】左下图，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是_____.13.2【基础题】如右上图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 是_____°.13.3【综合Ⅰ】在圆内接四边形ABCD 中，对角∠A 与∠C 的度数之比是4：5，求∠C 的度数.13.4、【综合Ⅱ】如左下图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E 、F ，且∠E ＝40°，∠F ＝60°，求∠A 的度数.14、【基础题】如右上图，⊙O 的直径AB ＝10 cm ，C 为⊙O 上的一点，∠B ＝30°，求AC 的长.14.1、【基础题】如左下图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝15°，求∠BAD 的度数.14.2、【综合Ⅰ】如右上图，⊙O 的弦AB ＝16，点C 在⊙O 上，且sin C ＝54，求⊙O 的半径的长.14.3、【中考题】A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角.（1）若AB 是⊙O 的直径，则∠APB 是多少度？（2）若⊙O 的半径是1，AB ＝2，则∠APB 是多少度？15、【基础题】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A 、正方形B 、菱形C 、矩形D 、等腰梯形16、【提高题】如右图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 的长是一元二次方程01272＝＋－x x 的两根，求tan ∠DPB.第5节 确定圆的条件17、【基础题】分别作出下面三个三角形的外接圆，并指出它们外心的位置有什么特点17.1、【基础题】如左下图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？17.2、【基础题】如右上图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.18、【综合Ⅰ】在△ABC中，AC＝10，BC＝8，AB＝6，求△ABC外接圆的半径18.1、【综合Ⅰ】等边三角形的边长为a，求这个三角形外接圆的面积.第6节直线和圆的位置关系19、【基础题】如右图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？（2）以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？19.1【基础题】直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，求r的取值范围.19.2、【综合Ⅰ】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O是AB上一点，OA＝m，⊙O的半径为r，当r与m满足怎样的关系时，（1）AC与⊙O相交？（2）AC与⊙O相切？（3）AC与⊙O相离？20、【基础题】如左下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=______．20.1【基础题】如右上图，PA切⊙O于点A，该圆的半径为3，PO=5，则PA的长等于_____．20.2、【综合Ⅰ】如左下图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，则∠C＝( )°°°°20.3、【综合Ⅱ】如右上图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径．20.4【综合Ⅱ】如右图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC，求证：AD·BC=OB·BD．21、【中考题，2014陕西23题】（本题满分8分）如右下图，⊙O的半径为4，B是⊙⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1) 求证：AD平分∠BAC(2) 求AC的长22、【基础题】如左下图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，那么直线AB是⊙O的切线吗？为什么？22.1、【中考题，2013年孝感市23题，10分】如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．23、【基础题】如图，已知锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，分别作出它们的内切圆. 请问，三角形的内心是否都在三角形的内部？23.1、【基础题】等边三角形的边长为a，求这个三角形内切圆的面积.23.2、【综合Ⅰ】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r ＝__ _ ．24、【综合Ⅰ】如左下图，在△ABC中，∠A＝68°，点I是内心，求∠I的度数.24.1、【综合Ⅰ】如右上图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠DCB＝80°，∠D＝100°，若P、Q两点分别为三角形ABC和三角形ACD的内心，那么∠PAQ的度数是多少？24.2、【综合Ⅲ】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，求其内心和外心之间的距离.*第7节切线长定理25、【基础题】如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点. 求证：PA＝PB25.1、【基础题】已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm，过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.25.2、【综合Ⅰ】如左下图，PA和PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D、E两点. 已知PA＝PB＝5 cm，求△PDE的周长.25.3、【综合Ⅲ】如右上图，PA和PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠P＝40°，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD＝BE，BD＝AF，求∠EDF的度数.26、【综合Ⅰ】如左下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，求⊙O的半径. （利用切线长定理来解题）26.1、【综合Ⅲ】如右上图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF、BD、CE的长.26.2、【综合Ⅲ】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6 cm，CB＝CD＝8 cm，且∠B＝90°，该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径.第8节圆内接正多边形27、【基础题】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.27.1、【综合Ⅱ】有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为______.27.2、【综合Ⅱ】如右图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE，求这个正六边形的面积.27.3、【基础题】请求出半径为6的圆内接正三角形的边长和边心距.28、【基础题】已知正方形的边长是a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝______.28.1、【基础题】请利用尺规作一个已知圆的内接正四边形.28.2、【综合Ⅰ】请利用尺规作一个已知圆的内接正八边形.29、【综合Ⅲ】如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、内接正方形ABCD、内接正五边形ABCDE、……、内接正n边形的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON. （1）求图1中的∠MON的度数；（2）在图2中，∠MON的大小是______，在图3中，∠MON的大小是______；（3）根据图n，请说明∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系（直接写出答案）.第9节 弧长及扇形的面积（含圆锥侧面积题目）30、【中考题，2014年云南省第7题3分】已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）A 、B ．2πC ． 3πD ． 12π30.1、【中考题，2014四川自贡第8题4分】 一个扇形的半径为8cm ，弧长为cm ，则扇形的圆心角为（ ）30.2、【基础题】已知圆上一段弧长为4 cm ，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径是_____.31、【中考题，2014成都，3分】在圆心角为120°的扇形AOB 中，半径OA ＝6 cm ，则扇形AOB 的面积是________2cm .31.1、【中考题，2014山东东营第5题3分】如左下图，已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则图中弓形（阴影）面积是_________.31.2、【中考题，2014·浙江金华第10题4分】如右上图，一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，两个正方形的边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是 （ ）A ．5:4B ．5:2C ．5:2D ．5:232、【中考题，2014杭州第2题3分】左下图，已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥为______2cm . 的侧面积33、【综合Ⅲ】如右上图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是________.33.1、【中考题，2014山东泰安第19题3分】如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，cm.分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________233.2、【中考题，2014福建泉州第17题4分】如右图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为_____ 米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为______ 米．新版北师大初中数学九（下）第三章圆分节练习答案第1节答案01、【答案】（1）圆外；（2）圆内；（3）501.1、【答案】在圆外的有点B，在圆上的有点M，在圆内的有点A和点C.【答案】E、F、G、H四个点共圆.证明:连接OE、OF、OG、OH∴AB=BC=CD=DA,DB⊥AC∵E、F、G、H分别是各边的中点∴1111,,,2222OE AB OF BC OG CD OH AD====（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴OE OF OG OH===∴E、F、G、H四个点都在以O为圆心、OE长为半径的圆上.【答案】选A02、【答案】（1）如图1，所求图形即P、Q两点；（2）如图2，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）；（3）如图3，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）.03、【答案】往射线AB方向航行【证明】如图，设航线AB交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点）连接AD、BD；在△ABD中，∵AB+BD＞AD，AD=AC=AB+BC，∴AB+BD＞AB+BC，∴BD＞BC．答：应沿AB的方向航行．03.1【答案】当点P在圆外时，半径是1；当点P在圆内时，半径是6.第2节答案04、【答案】30°【答案】75°05、【答案】全等，可先证AC＝DB.、【提示】证弧CD和弧AB相等.05.2【答案】相等.【提示】先证弧BE和弧AD相等.05.3、【答案】相等【提示】连接OC06、【答案】四边形OACB 是菱形【证明】连接OC∵C 是弧AB 的中点，∠AOB=120°∴∠AOC=60°∴△AOC 是等边三角形∴OA=AC同理可得BC=OB∴OA=OB=BC=AC∴四边形OACB 是菱形、【答案】 120°【提示】 连接OC 、OD ，可证△BOC 和△COD 都是等边三角形.* 第3节 答案07、【答案】半径等于5.【提示】如右图，利用垂径定理和勾股定理来算半径.07.1、【答案】 点O 到AB 的距离是24 mm ，∠OAB 的余弦值是0.608、【答案】 10 m.【提示】 在如图的圆弧形中，CD 是拱高，根据圆的对称性可知CD 垂直平分AB ，则CD 所在直线过圆心，延长CD ，作圆心O ，并且连接OB.设拱形的半径OB 为r ，则OD 为（r －4）,根据勾股定理可得24）－（r ＋28＝2r ，解得r ＝10 m. 【总结】求圆的直径或半径常常过圆心作弦的垂线或连接圆心和弦的端点构造直角三角形，再根据勾股定理来求出半径. 有些题目不能直接求出半径则需列方程来解决.08.1【答案】 直径CD 是26寸.【解析】09、【提示】（1）用HL证明Rt△AOE与Rt△COF全等；（2）用HL证明Rt△AOE与Rt△COF全等.10、【答案】AB与CD间的距离为7 cm或1 cm.【提示】如图，若AB和CD在圆心两侧，则可求出OE＝3，OF＝4，则AB、CD距离是7 cm；若AB和CD在圆心同侧，则距离是1 cm.、【答案】相等.【解析】如图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理得：弧AF=弧BF，弧CF=弧DF，用等量减等量差相等原理，弧AF-弧CF=弧BF-弧DF，即弧AC=弧BD，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．11、【答案】2【解析】第4节答案12、【答案】∠BAC的度数是50°.12.1、【答案】∠BOC＝50°12.2、【答案】∠OBC＝50°13、【答案】∠BOD＝160°，∠BAD＝80°13.1【答案】∠CBD 的度数是70°13.2【答案】∠DCE＝105°13.3【答案】∠C＝100°【答案】∠A＝40°14、【答案】AC＝5 cm、【答案】∠BAD的度数是75°14.2【答案】半径的长为10.【提示】连接AO，延长AO交⊙O于D，连接BD. 、【答案与解析】15、【答案】选C716、【答案】tan∠DPB＝3【解析】第5节 答案17、【答案】 锐角三角形的外心在内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在外部.、【答案】 最少使用两次、【提示】连接AB 、AC ，分别作线段AB 和AC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为供水站的位置.18、【答案】 △ABC 外接圆的半径是5.、【答案】 312a第6节 答案19、【答案】 （1）当半径长为32 cm 时，AB 与⊙C 相切.（2）当半径为2 cm 时，⊙C 与AB 相离；当半径为4 cm 时，⊙C 与AB 相交.19.1【答案】 5＞r19.2【答案】 （1）m r 23＞ （2）m r 23＝ （3）m r 23＜20、【答案】 40°20.1【答案】 PA ＝4、【答案】 选B20.3【答案】 （1）提示：证∠A ＝∠D ＝30°（2）半径是10.20.4【提示】 证明Rt △CBO ∽ Rt △BDA21、【答案】证明：（1）连接OD∵BD 是⊙O 的切线，D 为切点∴BC OD ⊥∵BD AC ⊥∴OD ∥AC∴∠ODA=∠CAD又∵OD=OA∴∠BAD=∠CAD∴AD 平分∠ABC(2)解：∵OD ∥AC ， ∴ΔBOD ∽ΔBAC ， ∴=， ∴=， ∴ AC ＝320 22、【提示】 连接OC ，证明OC ⊥AB22.1、【答案与解析】（1）证明：连接OA ，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC ，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC ﹣∠P=90°，∴OA ⊥PA ， ∴PA 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OAP 中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD ，又∵OA=OD ，∴PD=OA ，∵，∴． ∴⊙O 的直径为．23、【答案】 都在内部23.1、【答案】 π1212a、【答案】 r ＝2.24、【答案】 ∠I ＝124°24.1、【答案】∠PAQ的度数是60°、【答案】5cm【解析】*第7节答案25、【解析】3cm25.1、【答案】325.2、【答案】△PDE的周长是10 cm.25.3、【答案】∠EDF＝70°26、【答案】⊙O的半径是426.1、【答案】AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm.【提示】设AE＝AF＝x，BF＝BD＝y，CE＝CD＝z2426.2、【答案】存在内切圆，内切圆半径是7第8节答案2.27、【答案】中心角是60°，边长是4，边心距是327.1、【答案】外接圆的半径为4627.2、【答案】正六边形的面积是36，边心距是3.27.3、【答案】边长是328、【答案】1∶2∶228.1、【提示】用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到圆的内接正四边形.28.2、【提示】如图，先作出两条互相垂直的直径，再作出两条直径所形成的直角的角平分线，即可在圆周上得到圆内接正八边形的顶点第9节答案30、【答案】根据弧长公式：l==3π，故选C．30.1、【答案】选B30.2、【答案】7.2 cm.31、【答案】12π2cm31.1、【答案】4332－π【答案】选A【解析】32、【答案】 π15 2cm33、【答案】33π－【解析】33.1、【答案】 （﹣1） cm 2【解析】分析：假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P ，Q 面积相等．连接AB ，OD ，根据两半圆的直径相等可知∠AOD =∠BOD =45°，故可得出绿色部分的面积=S △AOD ，利用阴影部分Q 的面积为：S 扇形AOB ﹣S 半圆﹣S 绿色，故可得出结论． 解：∵扇形OAB 的圆心角为90°，假设扇形半径为2，∴扇形面积为：=π（cm 2），半圆面积为：×π×12=（cm 2），∴S Q +S M =S M +S P =（cm 2）， ∴S Q =S P ，连接AB ，OD ，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD =∠BOD =45°，∴S 绿色=S △AOD =×2×1=1（cm 2），∴阴影部分Q 的面积为：S 扇形AOB ﹣S 半圆﹣S 绿色=π﹣﹣1=﹣1（cm 2）．33.2、【答案】 （1）1 米； （2）41 米. 【解析】分析： （1）根据圆周角定理由∠BAC =90°得BC 为⊙O 的直径，即BC =，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=，然后解方程即可．解答：解：（1）∵∠BAC=90°，∴BC为⊙O的直径，即BC=，∴AB=BC=1；（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=．故答案为1，．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试(答案解析)
一、选择题1．如图，EM 经过圆心O ，EM ⊥CD 于M ，若CD=4，EM=6，则弧CED 所在圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．83D ．1032．下列命题说法正确的有（ ）①三点确定一个圆；②长度相等的弧是等弧；③等边三角形都相似；④直角三角形都相似；⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD =120°，点C 为弧BD 的中点，AC 交OD 于点E ，DE =1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．25 4．如图，AB 是O 的直径，8AB =，点C 、D 、E 在O 上，45CAB ∠=︒，CD DE EB ==，P 是直径AB 上的一动点，则PCE 周长的最小值为（ ）A ．243+B ．43+C ．83+D ．12 5．如图，O 是ABC 的外接圆，其半径为3cm ，若3BC cm =，则A ∠的度数是（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D E 、，则CDE △面积的最小值为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．347．已知⊙O 的半径是一元二次方程2690x x -+=的解，且点O 到直线AB 的距离为2，则⊙O 与直线AB 的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 8．已知O 的半径为8cm ，如果一点P 和圆心O 的距离为8cm ，那么点P 与O 的位置关系是（ ）A ．点P 在O 内B ．点P 在O 上C ．点P 在O 外D ．不能确定 9．如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且60COA ∠=º，设扇形AOC 、COB △、弓形BmC 的面积为1S 、2S 、3S ，则他们之间的关系是（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．132S S S <<D ．321S S S <<10．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）A ．52B ．62C ．21252π-D ．21162π- 11．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ． 若BAC BDC ∠=∠，则下列结论中正确的是（ ）①AE BE DE CE = ②ABE △与DCE 的周长比为BE CE③ADE ABC =∠∠ ④ABE DCE ADE BCE SS S S ⋅=⋅ A ．③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 12．如图，点,,A B C 为O 上三点，40OAB ∠=︒，则ACB ∠的度数等于（ ）A ．100︒B ．80︒C ．50︒D ．40︒二、填空题13．圆锥的底面半径是13_____． 14．如图，AB 、CD 是O 的两条弦，连接AD 、BC ．若60BAD ∠=︒，则BCD ∠的度数为______度．15．如图，ABC 内接于O ，∠BAC=70°，D 是BC 的中点，且∠AOD=156°，AE ，CF 分别是BC ，AB 边上的高，则∠BCF 的度数是____________．16．如图，在矩形ABCD 中，线段DF 平分ADC ∠交BC 边于点F ，点E 为BC 边上一动点，连接AE ，若在点E 移动的过程中，点B 关于AE 所在直线的对称点有且只有一次落在线段DF 上，则:BC AB =_____________．17．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则这个扇形的面积为_____cm 2． 18．如图，PA ，PB 是圆O 的切线，切点为A 、B ，∠P ＝50°，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，则∠ACB 等于_____．19．一个边长为4的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径_______．20．如图，在平面直角坐标系中，过点()11,0A 作x 轴的垂线交直线y x =于点B ，以О为圆心，1OB 为半径作弧，交x 轴于点2A ；过点2A 作x 轴的垂线交直线y x =于点2B ，以O 为圆心，2OB 为半径作弧，交x 轴于点3A ；过点3A 作x 轴的垂线交直线y x =于点3B ，以О为圆心，3OB 为半径作弧，交x 轴于点4A ，……，按此做法进行下去，设由11A B ，12A A ，弧21A B 围成的图形面积记为1S ，由22A B ，23A A ，弧32A B 围成的图形面积记为2S ，由33A B ，34A A ，弧43A B 围成的图形面积记为3S ，……，那么2020S 为_______：三、解答题21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若CA ＝CP ，∠A ＝30°．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若OA ＝1，求弦AC 的长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，D 为AB 延长线上的点，AC 为弦，且∠A ＝∠D ＝30°． （1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为1cm ，求图中阴影部分的面积．23．如图，AB 是O 的弦，半径OE AB ⊥，交AB 于点,G P 为AB 延长线上一点，PC 与O 相切于点,C CE 与AB 交于点F ．（1）求证：PC PF =；（2）连接,OB BC ，若3//,32,tan 4OB PC BC P ==，求FB 的长．24．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，连接BC 并延长，交AD 饿延长线于点E ．（1）求证：AE AB =；（2）若20AB =，16BC =，求CD 的长．25．已知EF 为O 的一条弦，OB EF ⊥交O 于点B ，A 是弦EF 上一点（不与E ，F 重合），连接BA 并延长交O 于点C ，过点C 作O 的切线交EF 的延长线于点D ．（1）如图1，若EF 在圆心O 的上方，且与OB 相交于点H ，求证：ACD △是等腰三角形；（2）如图2，若EF 是O 的直径，25AB =O 的半径为4，求线段DC 的长； （3）如图3，若EF 在圆心O 的下方，且与BO 的延长线相交于点H ，试判断线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系，并说明理由．26．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上．（1）若40AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数；（2）若3OC =，5OA =，求弦AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OC ，设弧CED 所在圆的半径为R ，则OC ＝R ，OM ＝6−R ，根据垂径定理求出CM ，根据勾股定理得出方程，求出即可．【详解】解：连接OC ，设弧CED 所在圆的半径为R ，则OC ＝R ，OM ＝6−R ，∵EM 经过圆心O ，EM ⊥CD 于M ，CD ＝4，∴CM ＝DM ＝2，在Rt △OMC 中，由勾股定理得：OC 2＝OM 2＋CM 2，R 2＝（6−R ）2＋22，R ＝103， 故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中． 2．B解析：B【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据相似三角形的判定对③④进行判断；根据垂径定理对⑤进行判断；根据圆周角定理对⑥进行判断．【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；②在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②错误；③等边三角形的三个角都是60°，根据“两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似”可判定等边三角形都相似，故③正确；④直角三角形只有一个直角可以确定对应相等，其他条件不确定，故④错误；⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故⑤错误；⑥圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故⑥正确．故选B．【点睛】本题考查了确定圆的条件，等弧的定义，相似三角形的判定，垂径定理，圆周角定理等知识．熟练掌握基本知识是解题的关键．3．A解析：A【分析】连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．【详解】解：连接AD，∵∠BOD=120°，AB是⊙O的直径，∴∠AOD=60°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA =60°，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠AED=90°，∵DE=1，∴AD=2DE=2，AE==故选：A．【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．4．B解析：B【分析】根据圆周角定理可知∠COB=90°，结合圆的对称性可知PCE 周长的最小值为CE C E '+，根据圆周角定理可得90CEC '∠=︒，再根据弧与圆心角的关系可知30CC E '∠=︒，解直角三角形即可．【详解】解：如下图所示，连接CO 并延长至C '，连接CE ，OE ，EC '，∵45CAB ∠=︒，∴∠COB=90°，∴C 点与C '点关于AB 所在直线对称，故当P 为EC '与AB 的交点时，PCE 周长的最小，此时CP PE C E '+=，∵CD DE EB ==， ∴1303BOE BOC ∠=∠=︒ ，60COE BOC BOE ∠=∠-∠=︒， ∴30CC E '∠=︒，∵CC '为直径，∴90CEC '∠=︒，8CC AB '==，∴2214,()432CE CC C E CC CE '''===-=， ∴PCE 周长为CE EP CP ++，最小值为443CE C E '+=+，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，弧、圆心角的关系，勾股定理，圆的对称性，含30°角的直角三角形．能结合圆的对称性正确作出辅助线是解题关键．5．D解析：D【分析】连接OB 、OC ，则判断△OBC 是等边三角形，则∠BOC=60°，再根据圆周角定理，即可得到答案．【详解】解：连接OB 、OC ，如图：∵3OB OC BC cm ===，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠BAC=30°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题．6．A解析：A【分析】连接OB ,取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN DE ⊥于N ，先证明点C 的运动轨迹是以点(1,0)M 为圆心，1为半径的M ，设M 交MN 于点C '，解得直线DE 与坐标轴的交点，即可解得OD OE 、的长，再由勾股定理解得DE 的长，接着证明DNM DOE 解得MN 的长，最后当点C 与点C '重合时， 此时CDE △面积的最小值，据此解题．【详解】解：如图，连接OB ,取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN DE ⊥于N ，,AC CB AM OM ==112MC OB ∴== C ∴的运动轨迹是以点(1,0)M 为圆心、半径为1的圆，设M 交MN 于点C '， 直线DE 的解析式为334y x =-， 令0x =，得3y =- (0,3)E ∴-令0y =，得4x =(4,0)D ∴3,4,OE OD ∴==3DM =22345DE ∴+=,MDN ODE MND DOE ∠=∠∠=∠DNM DOE ∴MN DM OE DE ∴= 335MN ∴= 95MN ∴= 94155C N '∴=-= 当点C 与点C '重合时，此时CDE △面积的最小值11452225DE C N '=⋅=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．7．A解析：A【分析】解方程确定圆的半径为3，圆心距d=2,比较半径与圆心距的大小，根据法则判断即可.【详解】∵2690x x-+=，∴123x x==，∴圆的半径为3，∵点O到直线AB的距离为2，即d=2，∴d＜R，∴直线与圆相交，故选A.【点睛】本题考查了用半径、圆心距判定直线和圆的位置关系，熟练解方程，熟记d，R法则是解题的关键.8．B解析：B【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可；【详解】∵圆的半径为8cm，P到圆心O的距离为8cm，即OP=8，∴点P在圆上故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种：设OO的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外→d>r；点P在圆上→d=r；点P在圆内→d<r；9．B解析：B【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【详解】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB ＝120°，则∠COD ＝60°．∴S 扇形AOC ＝22603606ππ=R R ； S 扇形BOC ＝221203603ππ=R R ． 在三角形OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OD ＝2R ，CD ＝3R ，BC ＝3R ， ∴S △OBC ＝23R ，S 弓形＝2233R R π-＝2(433)π-R ， 2(433)π-R ＞26πR ＞23R ， ∴S 2＜S 1＜S 3．故选：B ．【点睛】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．10．D解析：D【分析】由题意得到四边形ABCD 为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，可求出AB=2π，则OP=12AB=4π，在Rt △OEP 中，利用勾股定理可计算出EP ，即可得到两圆的公共弦长EF ． 【详解】解：∵AB ，CD 为两等圆的公切线，∴四边形ABCD 为矩形，BC=2，设中间一块阴影的面积为S ，∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，∴BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，∴AB=2π．如图，EF 为公共弦，PO ⊥EF ，OP=12AB=4π， ∴EP=22OE OF -=222161()4ππ--=， ∴EF=2EP=21162π-． 故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，公切线，连心线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据相似三角形可得①②正确，由四点共圆可知③不符合题意，面积比转化成边长比可得④正确．【详解】解：∵BAC BDC ∠=∠，AEB DEC ∠=∠∴ABE DCE ∴AE BE DE CE= ∴①正确；相似三角形周长比等于相似比，②正确∵BAC BDC ∠=∠，且△BDC 和△BAC 共有底BC∴得到A ，B ，C ，D 四点共圆；若ADE ABC =∠∠，则=ADE ABC ACB =∠∠∠，则AB=AC ，但题目中并没有告诉这个条件，所以③不一定正确；∵△ABE 和△ADE 共有高， ∴ABEADE SBE S DE =， ∵△CBE 和△CDE 共有高， ∴BCE DCE BE S DE S = ∴ABEBCEADE DCE S BE S S DE S ==即，ABE DCE ADE BCE S S S S ⋅=⋅，故 ④正确；∴①②④正确，选C.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判断及其性质，解决本题的关键是合理作辅助圆，熟练掌握相似三角的性质定理．12．C解析：C【分析】根据等边对等角得到40OBA OAB ∠=∠=︒，利用三角形内角和可得100AOB ∠=︒，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵OA OB =，∴40OBA OAB ∠=∠=︒，∴100AOB ∠=︒， ∴1502ACB AOB ∠=∠=︒， 故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 二、填空题13．180°【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为2进而求得展开图的弧长然后根据弧长公式即可求解【详解】解：设圆锥的母线为a 根据勾股定理得：a ＝＝2设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°根据题意得2π•1解析：180°【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为2，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【详解】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得：a 2，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n °，根据题意得2π•1＝2180n π⋅⋅，解得n ＝180， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°．故答案为：180°．【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.14．【分析】利用同圆中同弧上的圆周角相等求解即可【详解】∵∴故答案为：60°【点睛】本题考查了圆的基本性质熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键解析：【分析】利用同圆中，同弧上的圆周角相等求解即可．【详解】∵BAD ∠=BCD ∠，60BAD ∠=︒∴60BCD ∠=︒，故答案为：60°．【点睛】本题考查了圆的基本性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．15．23°【分析】连接OBOC 根据垂径定理求出再根据角的性质计算出根据计算出从而能够求出最后根据⊥求出的大小【详解】连接OBOC ∵D 是BC 的中点∴∵∴∴∵⊥∴故答案为：【点睛】本题考查圆的垂径定理圆周角解析：23°【分析】连接OB 、OC ，根据垂径定理求出BOD ∠，再根据角的性质计算出AOB ∠，根据OA OB =计算出ABO ∠，从而能够求出ABC ∠，最后根据CF ⊥AB ，求出BCF ∠的大小．【详解】连接OB 、OC∵OB OC =，D 是BC 的中点 ∴1702BOD BOC BAC ===︒∠∠∠ 1567086AOB AOD BOD =-=︒-︒=︒∠∠∠∵OA OB =∴18086472ABO ︒-︒==︒∠ 907020OBC =︒-︒=︒∠∴472067ABC ABO OBC =+=︒+︒=︒∠∠∠∵CF ⊥AB∴90906723BCF ABC =︒-=︒-︒=︒∠∠故答案为：23︒【点睛】本题考查圆的垂径定理，圆周角和圆心角关系，以及直角三角形的性质，属于基础题． 16．：1【分析】先找到点B 关于AE 所在直线的对称点H 由直角三角形的性质可求解【详解】解：如图以点A 为圆心AB 为半径的圆与DF 相切于点H 则点H 为点B 关于AE 所在直线的对称点∴AB=AHAH ⊥DF ∵DF 平分解析：2：1【分析】先找到点B 关于AE 所在直线的对称点H ，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，以点A 为圆心，AB 为半径的圆与DF 相切于点H ，则点H 为点B 关于AE 所在直线的对称点，∴AB=AH ，AH ⊥DF ，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF=45°，∴∠ADF=∠DAH=45°，∴AH=DH，∴AB，∴BC：：1，1．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．17．3π【分析】根据扇形的面积公式即可求解【详解】解：扇形的面积＝＝3πcm2故答案是：3π【点睛】本题考查了扇形的面积公式正确理解公式是解题的关键解析：3π【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：扇形的面积＝21203360π⨯＝3πcm2．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．18．65°或115°【分析】连接OAOB进而求出∠AOB=130°再分两种情况：当C在劣弧AB上当C在劣弧AB上理由圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】解：如图连接OAOB∵PAPB分别切解析：65°或115°．【分析】连接OA，OB，进而求出∠AOB=130°，再分两种情况：当C在劣弧AB上，当C在劣弧AB 上，理由圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可得出结论．【详解】解：如图，连接OA、OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP＝∠OBP＝90°；在四边形APBO中，∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°①当点C在优弧AB上时，∠ACB＝12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠ACB＝65°；当点C在劣弧AB上时，记作C'，由①知，∠ACB＝65°，∵四边形ACBC'是⊙O的内接四边形，∴∠AC'B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣65°＝115°，故答案为：65°或115°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠AOB是解本题的关键．19．【分析】先求出正多边形边数为6再根据正六边形性质即可求解【详解】解：设正多边形的边数为n由题意得解得n=6∴正多边形为正六边形∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形∴该正多边形的半径等于解析：4【分析】先求出正多边形边数为6，再根据正六边形性质即可求解．【详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得()21803602n-︒=︒⨯，解得 n=6∴正多边形为正六边形，∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，∴该正多边形的半径等于4．故答案为：4【点睛】本题考查了正多边形的相关概念，和正六边形的性质，熟知相关概念是解题关键．20．【分析】根据点A的取法罗列出部分点A的横坐标由此可发现规律即的横坐标为：再结合已知即可得到答案【详解】观察发现规律：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：故答案为：【点睛】本题解析：20172018π-22【分析】根据点A的取法，罗列出部分点A的横坐标，由此可发现规律，即n A的横坐标为：)12n-，再结合已知即可得到答案．【详解】观察，发现规律：1A 的横坐标为：1，2A 的横坐标为：2，3A 的横坐标为：()22，⋯，∴n A 的横坐标为：()12n -n B ∴的横坐标为：()12n -()()()404020192019201720182020452122223602S ππ⨯⨯∴=-⨯⨯=⋅-故答案为：2017201822π⋅-．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及规律型中的点的变换，解题关键是找出n A 的横坐标为：()12n -这一规律．三、解答题21．（1）见解析；（2）AC ＝3．【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，∠P=30°，求出∠ACP 的度数，则可求出答案；（2）连接BC ，由勾股定理可求出答案．【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图1，∵OA ＝OC ，∠A ＝30°，∴∠A ＝∠ACO ＝30°，∵CA ＝CP ，∴∠A ＝∠P ＝30°，∴∠ACP ＝180°﹣∠A ﹣∠P ＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠OCP ＝∠ACP ﹣∠ACO ＝120°﹣30°＝90°，∴OC ⊥CP ，∴CP 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，连接BC，∵OA＝OB＝1，∴AB＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴BC＝12AB＝1，∴AC＝22AB BC-＝3．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．22．（1）见解析；（2）36π-【分析】（1）连接OC．由圆周角定理得：∠COD＝2∠A ＝60°．根据三角形内角和可求∠OCD＝90°即可；（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积即可．【详解】解：（1）证明：连接OC，∵∠A ＝∠D＝30°，由圆周角定理得：∠COD＝2∠A ＝60°．∴∠DCO＝180°﹣∠COD-∠D=180°-60°﹣30°＝ 90°，∴OC⊥CD．∵OC为半径，∴DC 是⊙O 切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D ＝30°，OC ＝1cm ，∴OD ＝2cm ，由勾股定理得：DC ＝3cm ． ∴图中阴影部分的面积21601313236026OCD OB SS S 扇形C ． 【点睛】此题综合考查了圆周角性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，解题的关键是用割补法求引用面积阴影部分的面积OCD OB SS S 扇形C ．23．（1）见解析；（2）2FB =【分析】（1）由切线的性质可得∠OCP=90°，由等腰三角形的性质可得∠E=∠OCE ，可得∠CFP=∠FCP ，可得PC=PF ；（2）过点B 作BH ⊥PC ，垂足为H ，由题意可证四边形OCHB 是正方形，由勾股定理可得BH=CH=3，可求PH ，BP 的长，即可求BF 的长．【详解】解：（1）连接OC ．OE AB ⊥，90EGF ∴∠=︒． PC 与C 相切于点C ，90OCP ∠=︒，90E EFG OCF PCF ∴∠+∠=∠+∠=︒．OE OC =，E OCF ∴∠=∠，EFG PCF ∴∠=∠．EFG PFC ∠=∠，PCF PFC ∴∠=∠，PC PF ∴=．（2）过点B 作BH PC ⊥于点H ．//,90OB PC OCP ∠=︒，90BOC ∴∠=︒．OB OC =，∴四边形OCHB 是正方形，∴BH=CH ，∵BH2+CH 2=BC 2，BC=∴BH=CH=3，在Rt BHP 中，4tan BH PH P==， ∴PF=PC=3+4=7，5BP =，752FB ∴=-=．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，以及锐角三角函数等知识，需要学生灵活运用所学知识．24．（1）见解析；（2）485CD =【分析】（1）连接AC 、OC ，由题意易得OC CD ⊥，进而可得//OC AE ，然后有2AE OC =，最后根据圆的基本性质可求解；（2）由题意及（1）可得12CE CB ==，20AE AB ==，进而可得12AC =，然后根据等积法可求解．【详解】（1）证明：连接AC 、OC ，∵CD 是O 的切线，∴OC CD ⊥，∵CD AE ⊥，∴//OC AE ，∵O 是AB 中点，∴OC 是ABE △的中位线，∴2AE OC =，∵22AB OA OC ==，∴AE AB =；（2）解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒， ∵20AB =，16BC =，AB=AE∴16CE CB ==，20AE AB ==，∴在Rt △ACB 中，由勾股定理可得12AC =， ∵1122ACE S AE CD AC CE =⋅=⋅， ∴20CD 1612⨯=⨯， ∴485CD =． 【点睛】 本题主要考查切线的性质定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．25．（1）见解析；（2）线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由见解析．【分析】（1）连接OC ，由题意易得OC DC ⊥，∠B=∠OCB ，则有9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，进而可得DAC DCA ∠=∠，然后问题可求证； （2）连接OC ，则OC DC ⊥，由勾股定理可得2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，然后再由勾股定理可求DC 的长；（3）连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ，由题意可得9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，则有DA DC =，进而可得CED DCF ∠=∠，然后有CDF EDC ∽△△，则根据相似三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB ，∴9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90DAC BAH B ∠=∠=︒-∠，∴DAC DCA ∠=∠，∴DA DC =，∴ACD △是等腰三角形；（2）如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵在Rt ABO △中，25AB =，O 的半径为4，∴2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，∴在Rt OCD △中，()22242x x +=+， ∴3x =，即线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由：如图，连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ， ∵DC 为O 的切线，∴9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90BAH HBA ∠=︒-∠，CAD BAH ∠=∠，∴∠=∠DCA CAD ，∴DA DC =，∵CG 是O 的直径，∴90CFG ∠=︒，∴90CED CGF GCF ∠=∠=︒-∠，又∵90DCF GCF ∠=︒-∠，∴CED DCF ∠=∠，又∵D D ∠=∠，∴CDF EDC ∽△△， ∴DC DF DE DC=， ∴2DC DE DF =⋅，∴2DA DE DF =⋅．【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质及切线的性质定理，熟练掌握相似三角形的性质及切线的性质定理是解题的关键．26．（1）20°；（2）8【分析】（1）欲求DEB ∠，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解； （2）利用垂径定理可以得到142A C B C B A ===，从而得到结论． 【详解】解：（1）OD AB ⊥，∴AD BD =，11402022DEB AOD ∴∠=∠=⨯︒=︒． （2）3OC =，5OA =，且⊥OD AB ，4AC ∴=，OD AB ⊥，∴12AD BD AB ==， 142AC BC AB ∴===， 8AB ∴=．【点睛】 此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出4AC CB ==是解题关键．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》检测卷(答案解析)(2)
一、选择题1．已知一个扇形的半径长为3，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（ ）A ．12πB ．πC ．3π2D ．3π2．如图，PA PB 、分别与О相切于A B 、两点，点C 为О上一点，连接AC 、,BC 若50P ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．115B ．130C ．65D ．753．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，BD 平分∠ABC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，已知DE =2，DB =6，则阴影部分的面积为（ ）A ．2π-33B ．4π-63C ．4π-33D ．π-23 4．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD =120°，点C 为弧BD 的中点，AC 交OD 于点E ，DE =1，则AE 的长为（ ）A 3B 5C ．23D ．255．在ABC ∆中，6,8,10AB BC AC ===，则这个三角形的外接圆和内切圆半径分别是（ ）A ．5,1B ．4,3C ．5,2D ．5,46．如图．PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，AB ．若 OA =1，∠APB =60°，则△PAB 的周长为（ ）A ．23B ．4C ．33D ．23+2 7．如图，P 是正方形ABCD 内的一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转到与△CBP '重合，若PB ＝3，则点P 经过的路径长度为（ ）A ．23B ．32C ．32πD ．34π 8．如图，ABC 中，10,8,4AB AC BC ===，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交BC 的延长线于点D ，则CD 长为（ ）A ．10B ．9C ．45D ．89．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，6为半径的O 与直线(0)y x b b =-+>交于A ，B 两点，连接,OA OB ，以,OA OB 为邻边作平行四边形OACB ，若点C 恰好在O 上，则b 的值为（ ）A ．33B ．23C ．32D ．22 10．如图，O 是ABC 的外接圆，BC 的中垂线与AC 相交于D 点，若60A ∠=︒，70B ∠=︒，则AD 的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．20︒D ．3011．如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，其中C 、D 在AB 下方，E 在AB 上方，则∠C +∠D 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．80°D ．90°12．如图，在扇形BOC 中，∠BOC ＝60°，点D 为弧BC 的中点，点E 为半径OB 上一动点，若OB ＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）A ．2＋6πB ．323＋3πC ．322＋6πD ．22＋3π 二、填空题13．如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径2OA =，45AOB ∠=︒，则点 O 所经过的最短路径的长是 ______ ．14．如图，等边△ABC 内接于☉O ，BD 为⊙O 内接正十二边形的一边，CD=52，则图中阴影部分的面积等于_________．15．如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上画出一个圆心角为90的扇形．若随机在圆及其内部投针，则针孔扎在扇形（阴影部分）的概率为____．16．如图，C ∠是O 的圆周角，45C ∠=︒，则AOB ∠的度数为____．17．如图，ABC 内接于O ，30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，若O 的半径为4，则CD 的长为______．18．正六边形的半径为1,则正六边形的面积为________．19．在数学课上，老师提出如下问题：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 外，AC ，BC 分别与⊙O 交于点D ，E ，请你作出ABC 中BC 边上的高．小文说：连结AE ，则线段AE 就是BC 边上的高．老师说：“小文的作法正确”请回答：小文的作图依据是__________．20．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 是AD 上的动点（不与端点重合），在矩形ABCD 内找点F ，使得EF AD ⊥，且满足2·AF AE AD =，则线段BF 的最小值是__________．三、解答题21．已知O 的直径4AB =，C 为O 上一点，2AC =．（1）如图①，点P 是BC 上一点，求APC ∠的大小：（2）如图②，过点C 作O 的切线MC ，过点B 作BD MC 于点D ，BD 与O 交于点E ，求DCE ∠的大小及CD 的长．22．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4（1）试在图中作出ABC 绕A 顺时针方向旋转90°后的图形11AB C △；（2）求1BB 的长．23．已知EF 为O 的一条弦，OB EF ⊥交O 于点B ，A 是弦EF 上一点（不与E ，F 重合），连接BA 并延长交O 于点C ，过点C 作O 的切线交EF 的延长线于点D ．（1）如图1，若EF 在圆心O 的上方，且与OB 相交于点H ，求证：ACD △是等腰三角形；（2）如图2，若EF 是O 的直径，25AB =，O 的半径为4，求线段DC 的长； （3）如图3，若EF 在圆心O 的下方，且与BO 的延长线相交于点H ，试判断线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系，并说明理由．24．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上．（1）若40AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数；（2）若3OC =，5OA =，求弦AB 的长．25．如图，已知BC 是O 的直径，AC 切O 于点C ，AB 交O 于点D ，E 为AC 的中点，连接CD ，DE ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若8BD =，6CD =，求AC 的长．26．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点B 的坐标为（1，0）（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出将△ABC 绕原点O 按逆时针旋转90°所得的△A 2B 2C 2，求出A 运动经过的路径的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据计算公式直接套用求解即可．【详解】根据题意，得260333602S ππ⨯⨯==， 故选C ．【点睛】本题考查了扇形的面积计算问题，熟记扇形面积计算公式，准确判断计算条件是解题的关键．2．A解析：A【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=130°，再利用圆周角定理可求∠ADB=65°，再根据圆的内接四边形对角互补可求∠ACB ．【详解】解：如图所示，连接OA 、OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD 、BD ，∵ AP 、BP 是切线，∠P=50°，∴ ∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，∴∠ADB=65°，又∵圆的内接四边形对角互补，∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-65°=115°．故选：A ．本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解题的关键是连接OA 、OB ，求出∠AOB ．3．A解析：A【分析】证明△DAE ~△DBA ，求得DA 23=，由AB 是⊙O 的直径，利用勾股定理求得⊙O 的直径，求得∠ABD=30︒，∠COD=60︒，再利用OCD OCD S S S=-阴影扇形即可求解． 【详解】连接OC 、OD 、AD ，∵BD 平分∠ABC ，∴AD CD =，∴∠DAC=∠DBA ，∴△DAE ~△DBA ，∴DA DE DB DA =，即26DA DA=， ∴212DA =，∴DA 23=， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90︒，∴222AD BD AB +=，∴AB=43∴⊙O 的半径为3∵DA=OA=OD 23=， ∴△DOA 是等边三角形，∴∠COD=∠AOD=60︒，∴OCD OCD S S S =-阴影扇形(2602312323603602π⨯=-⨯︒233π=-【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形与等边三角形的面积等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．4．A解析：A【分析】连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．【详解】解：连接AD，∵∠BOD=120°，AB是⊙O的直径，∴∠AOD=60°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA =60°，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠AED=90°，∵DE=1，∴AD=2DE=2，AE=2222-=-=，213AD DE故选：A．【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．5．C解析：C【分析】首先根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，得其斜边是10，即可求得外接圆半径和内切圆半径．【详解】∵AC=6，BC=8，AC=10，2226810+=，∴222AC BC AC+=，∴△ABC是直角三角形，且斜边是AC=10，∴其外接圆的半径为5，三角形的内切圆半径=681022+-=，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆，勾股定理的逆定理；解题的关键是灵活运用勾股定理的逆定理判断△ABC是以AC为斜边的直角三角形．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明6．C解析：C【分析】根据切线的性质和切线长定理证明△PAB是等边三角形，PA⊥AO，根据直角三角形性质求出PA，问题得解．【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，∴PA=PB，∠APO=12∠APB=30°，PA⊥AO，∴△PAB是等边三角形，∵PA⊥AO，∠APO==30°，∴OP=2OA=2，∴PA=∴△PAB的周长为故选：C【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定，含30°角直角三角形性质，勾股定理等知识，考查知识点较多，熟知相关定理并能熟练运用是解题关键．7．C解析：C【分析】根据旋转的性质，可得BP′的长，∠PBP′的度数，得到P点运动轨迹为四分之一圆，圆的半径为3，根据弧长公式即可求解．【详解】由旋转的性质，得BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°，P点运动轨迹为四分之一圆，圆的半径为3，∴弧PP ' =90331801802n r πππ⨯⨯== 故选C ．【点睛】 此题考查旋转的性质、正方形的性质、弧长公式，重点是熟记弧长公式．8．B解析：B【分析】如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，可得AD=AB=10，根据垂径定理可得DE=BE ，得CE=BE-BC=DE-4，再根据勾股定理即可求得DE 的长，进而可得CD 的长．【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，∴AD=AB=10，根据垂径定理，得DE=BE ，∴CE=BE-BC=DE-4，根据勾股定理，得AD 2-DE 2=AC 2-CE 2，102-DE 2=82-（DE-4）2，解得DE=132， ∴CD=DE+CE=2DE-4=9，故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．9．C解析：C【分析】如图，连接OC 交AB 于T ．想办法求出点T 的坐标，利用待定系数法即可解决问题．【详解】解：如图，连接OC 交AB 于T ，设直线AB 交x 轴于M ，交y 轴于N ．∵直线AB的解析式为y=-x+b，∴N（0，b），M（b，0），∴OM=ON，∴∠OMN=45°，∵四边形OACB是平行四边形，OA=OB，∴四边形OACB是菱形，∴OC⊥AB，∴∠COM=45°，∵OC=6，∴C（3232∵OT=TC，∴T（322，322），把T点坐标代入y=-x+b，可得b=32故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，菱形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．C解析：C【分析】首先连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，由∠B＝70°，∠A＝60°，又由△ABC的边BC 的垂直平分线与△ABC的外接圆相交于点D，根据圆周角定理，即可求得∠AOB与∠BOE 的度数，继而求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，∵OD 是△ABC 的边BC 的垂直平分线，∴∠BOE ＝12∠BOC ， ∵∠BAC ＝12∠BOC ， ∴∠BOE ＝∠BAC ，∵∠A ＝60°，∠B ＝70°，∴50∠=°ACB ，∴∠BOE ＝∠BAC ＝60°，∴∠BOD ＝180°−∠BOE ＝180°−60°＝120°，∵∠AOB ＝2∠ACB ＝100°，∴AB 的度数为：100°，∴AD 的度数为：120°−100°＝20°．故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．11．D解析：D【分析】连接OE ，根据圆周角定理即可求出答案．【详解】解：连接OE ，根据圆周角定理可知：∠C ＝12∠AOE ，∠D ＝12∠BOE ， 则∠C +∠D ＝12（∠AOE +∠BOE ）＝90°， 故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，解题关键是连接半径，构造圆心角，依据圆周角与圆心角的关系进行计算．12．D解析：D【分析】作点C 关于OB 对称点点A ，连接AD 与OB 的交点即为E ，此时CE+ED 最小，进而得到阴影部分的周长最小，再由勾股定理求出AD 的长，由弧长公式求出弧CD 的长．【详解】解：阴影部分的周长=CE+ED+弧CD 的长，由于C 和D 均为定点，E 为动点，故只要CE+ED 最小即可，作C 点关于OB 的对称点A ，连接DA ，此时即为阴影部分周长的最小值，如下图所示：∵A 、C 两点关于OB 对称，∴CE=AE ，∴CE+DE=AE+DE=AD ，又D 为弧BC 的中点，∠COB=60°，∴∠DOA=∠DOB+∠BOA=30°+60°=90°，在Rt △ODA 中，2222=+=DA OD OA ，弧CD 的长为302=1803ππ⨯⨯， ∴阴影部分周长的最小值为2+3π，故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形求线段的最小值，弧长公式，勾股定理等，本题的关键是找出阴影部分周长最小值时点E 的位置进而求解．二、填空题13．【分析】利用弧长公式计算即可【详解】解：如图点的运动路径的长的长的长故答案是：【点睛】本题考查轨迹弧长公式等知识解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题 解析：52π． 【分析】利用弧长公式计算即可．【详解】解：如图，点O 的运动路径的长1OO =的长1223O O O O ++的长902452902180180180πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++ 52π=， 故答案是：52π． 【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．【分析】首先连接OBOCOD 由等边△ABC 内接于⊙OBD 为内接正十二边形的一边可求得∠BOC ∠BOD 的度数则证得△COD 是等腰直角三角形并利用勾股定理求得圆的半径最后利用S 阴影=S 扇形OCD-S △O解析：252542π- 【分析】首先连接OB ，OC ，OD ，由等边△ABC 内接于⊙O ，BD 为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC ，∠BOD 的度数，则证得△COD 是等腰直角三角形，并利用勾股定理求得圆的半径，最后利用S 阴影=S 扇形OCD -S △OCD 进行计算后即可得出答案．【详解】解：连接OB ，OC ，OD ，∵等边△ABC 内接于⊙O ，BD 为内接正十二边形的一边，∴∠BOC ＝13×360°＝120°，∠BOD ＝112×360°＝30°， ∴∠COD ＝∠BOC−∠BOD ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝45°，∴OC 2+ OD 2＝CD 2．即2OC 2=50，∴OC=5， ∴S 阴影=S 扇形OCD -S △OCD=90251252555360242ππ-⨯⨯=-． 故答案为：252542π-． 【点睛】此题考查了正多边形与圆、扇形面积的计算等知识，掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用是解题的关键． 15．【分析】连接AC 根据圆周角定理得出AC 为圆的直径解直角三角形求出AB 求出扇形面积和面积两者的面积比即是针孔扎在扇形（阴影部分）的概率【详解】解：连接AC ∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 解析：12【分析】连接AC ，根据圆周角定理得出AC 为圆的直径，解直角三角形求出AB ，求出扇形面积和O 面积，两者的面积比，即是针孔扎在扇形（阴影部分）的概率．【详解】解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形，即∠ABC=90︒， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC （扇形的半径相等），∵AB 2+BC 2=22，∴m ，∴S 阴影部分=2903602ππ︒⨯=︒（m 2），则：P 针孔扎在扇形（阴影部分）=212==2OS S OA =阴影部分ππ故答案为：12． 【点睛】 本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．16．【分析】根据圆周角定理计算即可；【详解】∵∴；故答案是【点睛】本题主要考查了圆周角定理准确分析计算是解题的关键解析：90︒【分析】根据圆周角定理计算即可；【详解】∵45C ∠=︒，∴290AOB C ∠=∠=︒；故答案是90︒． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，准确分析计算是解题的关键．17．【分析】连接COOB 则∠O ＝2∠CAB ＝60°得到△BOC 是等边三角形求得BC ＝4根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：如图连接COOB ∵则∠O ＝2∠CAB ＝60°∵OC ＝OB ∴△BOC 是解析：【分析】连接CO ，OB ，则∠O ＝2∠CAB ＝60°，得到△BOC 是等边三角形，求得BC ＝4，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，连接CO ，OB ，∵30CAB ∠=︒则∠O ＝2∠CAB ＝60°，∵OC ＝OB ，∴△BOC 是等边三角形，∵⊙O 的半径为4，∴BC ＝4，∵CD ⊥AB ，∠CBA ＝45°，∴CD 2BC 2×4=2， 故答案为：2【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．【分析】正六边形的面积有6个全等的边长为1的等边三角形面积组成计算一个等边三角形的面积乘以6即可【详解】如图所示等边三角形ABC 的边长为1∵OC 是AB 上的高∴AC=CB=∠AOC=∠AOB=30°∴ 332【分析】正六边形的面积有6个全等的边长为1的等边三角形面积组成，计算一个等边三角形的面积，乘以6即可.【详解】如图所示，等边三角形ABC 的边长为1，∵OC 是AB 上的高，∴AC=CB=12，∠AOC=12∠AOB=30°， ∴222211()2OA AC -=- =3 ∴12AOB S AB OC =⋅=13122⨯⨯=3，∴正六边形的面积为：333642⨯=.故答案为33.【点睛】本题考查了正多边形的面积，熟练把多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键.19．半圆（或直径）所对的圆周角是直角【分析】根据直径所对的圆周角是直角即可得出结论【详解】解：∵半圆（或直径）所对的圆周角是直角∴连结AE 则线段AE就是BC边上的高故答案为：半圆（或直径）所对的圆周角是解析：半圆（或直径）所对的圆周角是直角【分析】根据直径所对的圆周角是直角即可得出结论．【详解】解：∵半圆（或直径）所对的圆周角是直角，∴连结AE，则线段AE就是BC边上的高．故答案为：半圆（或直径）所对的圆周角是直角．【点睛】本题考查了作图-基本作图，掌握圆周角定理是解答此题的关键．20．2【分析】连结FD由可证△FAE∽△DAF可得∠DFA=90°可知点F在以AD中点为圆心3为半径的半圆上运动由BFO三点共线时利用两点之间线段最短知BF 最短在Rt△ABO中由勾股定理得BO=可求BF解析：2【分析】连结FD，由2·AF AE AD=可证△FAE∽△DAF，可得∠DFA=90°，可知点F在以AD中点为圆心，3为半径的半圆上运动，由B、F、O三点共线时，利用两点之间线段最短知BF最短,在Rt △ABO 中，由勾股定理得BO=22AB +AO =5，可求BF=5-3=2．【详解】连结FD ，∵2·AF AE AD =，∴AF AD AE AF=， ∵∠FAE=∠DAF ，∴△FAE ∽△DAF ，∴∠FEA=∠DFA ，∵EF AD ⊥，即∠FEA=90°，∴∠DFA=90°，∴点F 在以AD 中点为圆心，3为半径的半圆上运动，当B 、F 、O 三点共线时，BF 最短,在Rt △ABO 中，由勾股定理得，BO=22AB +AO =5，BF=5-3=2，BF 的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，圆周角性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握三角形相似的判定方法和性质的应用，会根据直角确定点F 在圆周上运动，利用两点之间线段最短解决问题是关键．三、解答题21．（1）30°；（2）30DCE ∠=︒；3CD =【分析】（1）连接OC ，由AB 是圆O 的直径，AB=2AC ，得到AOC △为等边三角形，根据等边三角形的性质得到60AOC ∠=︒，即可得到结论（2）连接OE ，OC ，根据切线的性质得到MC OC ⊥，得到EOB △是等边三角形，根据等边三角形的性质得到60EOB ∠=︒，求得18060COE EOB AOC ∠=︒-∠-∠=︒，推出OCE △是等边三角形，于是得到2CE OC ==，60EOC ∠=︒，根据勾股定理即可得到结论【详解】.解：（1）如图，连接OC ．O 的直径4AB =，2OA OC ．2AC =，OA OC AC ∴==．AOC ∴是等边三角形．60AOC ∴∠=︒．3102PC C A AO ∴∠=∠=︒． （2）如图，连接OC ，OE ．MC 是O 的切线，MC OC ∴⊥．BD MC ⊥，90MCO CDB ∴∠=∠=︒．//BD OC ∴．60B AOC ∴∠=∠=︒．OB OE =，EOB ∴是等边三角形．60EOB ∴∠=︒．18060COE EOB AOC ∴∠=︒-∠-∠=︒．OC OE =，OCE ∴是等边三角形．2CE OC ∴==，60ECO ∠=︒．9030DCE ECO ∴∠=︒-∠=︒在Rt CDE △中，2CE =， 112DE CE ∴==，2222213CD CE DE =-=-=． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，22．（1）见解析；（2）52π． 【分析】（1）根据△ABC 绕A 顺时针方向旋转90°，即可得到△AB 1C 1；（2）根据弧长计算公式，即可得出点B 运动路径的长．【详解】解：（1）如图所示，△AB 1C 1即为所求；（2）Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴2222AB AC BC 345=++=又∠BAB 1=90°，∴点B 的运动路径的长为：90551802ππ⨯=． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 23．（1）见解析；（2）线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由见解析．【分析】（1）连接OC ，由题意易得OC DC ⊥，∠B=∠OCB ，则有9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，进而可得DAC DCA ∠=∠，然后问题可求证； （2）连接OC ，则OC DC ⊥，由勾股定理可得2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，然后再由勾股定理可求DC 的长；（3）连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ，由题意可得9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，则有DA DC =，进而可得CED DCF ∠=∠，然后有CDF EDC ∽△△，则根据相似三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB ，∴9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90DAC BAH B ∠=∠=︒-∠，∴DAC DCA ∠=∠，∴DA DC =，∴ACD △是等腰三角形；（2）如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵在Rt ABO △中，25AB =，O 的半径为4，∴2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，∴在Rt OCD △中，()22242x x +=+， ∴3x =，即线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由：如图，连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ， ∵DC 为O 的切线，∴9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90BAH HBA ∠=︒-∠，CAD BAH ∠=∠，∴∠=∠DCA CAD ，∴DA DC =，∵CG 是O 的直径，∴90CFG ∠=︒，∴90CED CGF GCF ∠=∠=︒-∠，又∵90DCF GCF ∠=︒-∠，∴CED DCF ∠=∠，又∵D D ∠=∠，∴CDF EDC ∽△△， ∴DC DF DE DC=， ∴2DC DE DF =⋅，∴2DA DE DF =⋅．【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质及切线的性质定理，熟练掌握相似三角形的性质及切线的性质定理是解题的关键．24．（1）20°；（2）8【分析】（1）欲求DEB ∠，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解； （2）利用垂径定理可以得到142A C B C B A ===，从而得到结论． 【详解】解：（1）OD AB ⊥，∴AD BD =，11402022DEB AOD ∴∠=∠=⨯︒=︒． （2）3OC =，5OA =，且⊥OD AB ，4AC ∴=，OD AB ⊥， ∴12AD BD AB ==， 142AC BC AB ∴===， 8AB ∴=．【点睛】此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出4AC CB ==是解题关键．25．（1）证明见解析；（2）152 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，EDC ECD ∠=∠，ODC OCD ∠=∠，然后利用等量代换即可得出DE OD ⊥，从而证明结论；（2）首先根据勾股定理求出BC 的长度，然后证明BCD BAC ∽△△，最后利用CD BD AC BC=求解即可． 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BDC ∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∵E 为AC 的中点，∴12DE EC AC ==， ∴EDC ECD ∠=∠，∵OD OC = ， ∴ODC OCD ∠=∠，∵AC 切O 于点C ，∴AC OC ⊥，∴90EDC ODC ECD OCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴DE OD ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）解：在Rt BCD 中，∵8BD =，6CD =， ∴2210BC BD CD =+=∵90BDC BCA ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BCD BAC ∽△△，∴CD BD AC BC=， 即6810AC =， ∴152AC =． 【点睛】 本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析；2π【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可；（2）根据旋转的性质画图即可；利用公式求弧长即可．【详解】（1）如图所示：（2）OA 222222+=,A 90222ππ⨯=； 【点睛】本题考查了利用旋转变换与轴对称变换作图以及求弧长，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置，熟练运用弧长公式是解题的关键．。
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北师大版九年级数学圆
测试题及答案
Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
九年级数学圆测试题
一、选择题
1．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距
离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）
A ．
2b a + B ．2b
a - C ．22
b a b a -+或
D ．b a b a -+或 2．如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）
A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120°
4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°
5．如图24—A —3，小明同
学设计了一个
测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个
单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位
6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ）
图24—A
图24—A
图24—A —2
图24—A
图24—A
A ．80°
B ．50°
C ．40°
D ．30°
7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10
8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π
9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的
面积是（ ）
A ．16π
B ．36π
C ．52π
D ．81π
10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．
310 B ．5
12
C ．2
D ．3 11．如图24—A —7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、
E 、
F 、C 、
G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ） A ．D 点 B ．E 点 C ．F 点 D ．G 点 二、填空题
12．如图24—A —8，在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，则∠AOC= 。
图24—A
图24—A
13．如图24—A —9，AB 、AC 与⊙O 相切于点B 、C ，∠A=50゜，P 为⊙O 上异于B 、C 的一个动点，则∠BPC 的度数为 。
14．已知⊙O 的半径为2，点P 为⊙O 外一点，OP 长为
3，那么以P 为圆心且与⊙O
相切的圆的半径为 。
15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积是 。
16．扇形的弧长为20πcm ，面积为240πcm 2，则扇形的半径为 cm 。
17．如图24—A —10，半径为2的圆形纸片，沿半径OA 、OB 裁成1：3两部分，用得到的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径分别为 。
18．在Rt △ABC 中，∠C=90゜，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作圆与斜边AB 相切，则R 的值为 。
19．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为 。
20．已知扇形的周长为20cm ，面积为16cm 2，那么扇形的半径为 。
21．如图24—A —11，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为 cm 。
三．解答题
22．如图24—A —13，AD 、BC 是⊙O 的两条弦，且AD=BC ，
图24—A
图24—A
图24—A —
图24—A —
求证：AB=CD 。
23．如图24—A —14，已知⊙O 的半径为8cm ，点A 为半径OB 的延长线上一点，射线AC 切⊙O 于点C ，BC 的长为cm π38
，求线段AB 的
长。
24．已知：△ABC 内接于⊙O ，过点A 作直线EF 。
（1）如图24—A —15，AB 为直径，要使EF 为⊙O 的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：
① ；② ；③ 。
（2）如图24—A —16，AB 是非直径的弦，∠CAE=∠B ，求证：EF 是⊙O 的切线。
答案
一、选择题
1．D 2．D 3．C 4．C 5．B 6．D
7．D 8．B 9．B 10．A 11．A 二、填空题
12．30゜ 13．65゜或115゜ 14．1或5 15．15π 16．24
17．2
321或 18．1360 19．8 20．2或8 21．3
22．证明：∵AD=BC ，∴AD=BC ，∴AD+BD=BC+BD ，即AB=CD ，∴AB=CD 。
23．解：设∠AOC=︒n ，∵BC 的长为cm π38，∴1808
38⨯=ππn ，解得︒=60n 。
∵AC 为⊙O 的切线，∴△AOC 为直角三角形，∴OA=2OC=16cm ，∴AB=OA-OB=8cm 。
24．（1）①BA ⊥EF ；②∠CAE=∠B ；③∠BAF=90°。
（2）连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， 则AD 为⊙O 的直径，∴∠D+∠DAC=90°。
⌒ 图24—A —
图24—A —15 图24—A —
⌒
∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B，又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE，
∴∠DAC+∠EAC=90°，
∴EF是⊙O的切线。