第三章 误差理论
误差理论
当数字末端的0不作为不效数 字时，要改写成用10n来表示
• 例:24600保留三位有效数字，应表 示为： • 2.46×104
• 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 PH 数值， 数值，其有效数字的位数取决于小数部 分数字的位数， 分数字的位数，因整数部分中说明该数 的方次。 PH值为12.68， 值为12.68 的方次。如PH值为12.68，即 [H+]=2.1× M,有效数字是两位 有效数字是两位， [H+]=2.1×10-13M,有效数字是两位， 而不是四位。 而不是四位。
误差和偏差
• 由于“真实值”无法准知道，因 由于“真实值”无法准确知道， 此无法计算误差。在实际工作中， 此无法计算误差。在实际工作中， 通常是计算偏差（ 平均值代替真 通常是计算偏差（用平均值代替真 实值计算误差，其结果是偏差） 实值计算误差，其结果是偏差）
四、精密度和偏差
• 1.精密度 精密度是指在相同条件下多次测定 1.精密度 结果之间相互接近的程度。（ 。（精密度用偏差表 结果之间相互接近的程度。（精密度用偏差表 示） • 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 • 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。所以 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。 偏差的大小是衡量分析结果的精密度高低的尺 偏差常用绝对偏差 相对偏差、 绝对偏差、 度。偏差常用绝对偏差、相对偏差、平均偏差 表示。 和相对平均偏差表示 和相对平均偏差表示。
误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
误差理论及数据处理第三章 课后答案
修正值=)(4321l l l l ∆+∆+∆+∆- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差: l δ=4321lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++±=2222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=∆，mm b 8.0-=∆，mm c 5.0=∆，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。
abc V = ),,(c b a f V = 2.115.446.1610⨯⨯==abc V)(44.805413mm =体积V 系统误差V ∆为：c ab b ac a bc V ∆+∆+∆=∆)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=立方体体积实际大小为：)(70.7779530mm V V V =∆-=222222lim )()()(c b a V cf b f a f δδδδ∂∂+∂∂+∂∂±= 222222)()()(c b a ab ac bc δδδ++±=)(11.37293mm ±=测量体积最后结果表示为:V V V V lim 0δ+∆-=3)11.372970.77795(mm ±=3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。
试求体积的标准差。
解：长方体的体积计算公式为：321a a a V ⋅⋅= 体积的标准差应为：232322222121)()()(σσσσa V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=现可求出：321a a a V ⋅=∂∂；312a a a V ⋅=∂∂；213a a a V⋅=∂∂ 若：σσσσ===321 则有：232221232322222121)()()()()()(a V a V a V a V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=σσσσσ221231232)()()(a a a a a a ++=σ若：321σσσ≠≠ 则有：232212223121232)()()(σσσσa a a a a a V ++=3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为mA I 5.0=σ，V U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。
第三章 误差的合成与分配
Δl = 500 − 499 = 1mm
⎛ l2 ⎞ ⎛ 5002 ⎞ ∂f = − ⎜ 2 − 1⎟ = − ⎜ − 1⎟ = −24 2 ∂h ⎝ 4h ⎠ ⎝ 4 × 50 ⎠ ∂f 500 l = = =5 ∂l 2h 2 × 50
误差传递系数为:
直径的系统误差:
∂f ∂f ΔD = Δl + Δh = 7.4mm ∂l ∂h
中国地质大学（武汉）
1 n ∂f Δϕ = ∑ ∂x Δxi cos ϕ i =1 i
n 1 ∂f Δϕ = ∑ ∂x Δxi − sin ϕ i =1 i
9
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 l = 500mm。已知，弓高的系统 误差 Δh = -0.1mm , 玄长的系统误 差 Δl = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
16
中国地质大学（武汉）
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
2、 相关系数估计
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
σy
2 n ⎛ ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ∂f ∂f 2 2 2 =⎜ ρσ σ ⎟ σ xn + 2 ∑ ⎜ ⎟ σ x1 + ⎜ ⎟ σ x2 + L + ⎜ ⎜ ∂x ∂x ij xi xj ⎟ ⎟ 1≤ i < j ⎝ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠ i j ⎝ ∂xn ⎠ ⎠ ρij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 2 2 2
误差理论与数据处理第三章(1)
误差合成→ 精度评估 误差分配→ 精度设计
第三章 主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
函数误差 随机误差的合成 未定系统误差与随机误差合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
第一节 函数误差
基本概念 一、函数系统误差 二、函数随机误差
1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计
a22
2 x2
an2
2 xn
用极限误差表示则
1imy
a2 2 1 lim x1
a2 2 2 lim x2
a2 2 n lim xn
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0
2
2
y
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
2
f xn
( f xn
)2
2 xn
N
2 n ( f
f
ximx jm
m1
)
1i j xi x j
N
若定义
N
ximx jm
K ij m1 N
相关系数的统计计算公式
由(xi,xj)的多组测量对应值(xik,xjk) 按如下
统计公式计算相关系数
(xi , x j )
(xik xi )(x jk x j ) k
对x1 x11 ,x12 ,,x1N
对x2 x21,x22 ,,x2N 对xn xn1 ,xn2 ,,xnN
函数y的随机误差为：
y1
f x1
x11
f x2
x21
f xn
xn1
y2
f x1
x12
3 误差理论(第三章 误差的合成与分配)-李伟红
将右侧方程组中的每个方程两边平方, 可得
第一节 函数误差 二、函数随机误差计算
将方程组两边相加可得
将上式等号两边除以N, 根据
可得函数标准差
第一节 函数误差 二、函数随机误差计算
函数标准差计算公式
第一节 函数误差 二、函数随机误差计算
三角函数标准差计算
1） 正弦函数形式为: 函数随机误差：
2） 余弦函数形式为: 函数随机误差： 3） 正切函数形式为： 函数随机误差： 4） 余切函数形式为: 函数随机误差：
f f 2 y x12 x2 x1 x2
2
f 2 f 2 f 2 cos x x1 x x2 x xn 1 2 n
cot f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 sin x x1 x x 2 x xn 1 2 n
2 2
sin f x1, x2 ,, xn
2
f 2 xn xn
2
1 cos
f 2 f 2 f 2 x x1 x x 2 x xn 1 2 n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
f f x1 x2 可得： y y f ( x1 , x2 ,..., xn ) x1 x2
得到
f xn xn
y
f f x1 x2 x1 x2
第三章 误差分析理论
第三章误差分析理论测量的目的是确定被测量的量值，然而由于下列因素的存在：1．测量设备的不完善；2．测量方法的不完善；3．测量环境的影响；4．测量人员的能力有限；使得测量值与被测量的真值之间，不可避免地存在差异，这种差异的数值表现即为误差。
一、误差概述测量是将被测的物理量与所规定的参考标准进行比较的过程。
例如，测量某一起重机械的外形尺寸大小，就是用米尺与其比较。
至于测量的标定就是为了提供进行比较的参考标准。
实验测定某一机械量，目的在于测出该机械量的真值。
但是在实测中，只能得到在一定程度上接近于真值的测量值，因此测量结果必然产生失真，这种失真则称为误差，即误差＝测量值－真值用符号表示为第一节误差的分类μ-=∆i x x真值：与给定的特定量的定义一致的值。
理论真值：已知的，如三角形内角和为180°约定真值：不确定的，根据多次测量给出，如平均值误差必然存在：误差产生的必然性已被大量实践所证实，也就是说，一切实验结果都会产生误差。
随着科技的发展，测量误差控制得越来越小，但不论小到什么程度误差总是存在的。
在实际测量中，对给定的测量任务只需达到规定的精度要求就行了，决不是精度愈高愈好，否则将导致浪费。
因此，在实际测量中，必须根据测量目的，全面考虑测量的可靠性、精度、经济性和使用简便性。
（一）按误差本身因次分类1.绝对误差某被测量的绝对误差定义为该量的测量值与真值之差，即：绝对误差＝测量值－真值绝对误差可为正或负。
例1：某一标准长度，其约定真值为X ＝100.02mm ，现有A 、B 两台仪器对其进行测量，测量结果如下：X A ＝100.05mm ，X B ＝100.00mm ，试比较两台仪器绝对误差的大小。
解：A仪器的测量误差为：V A ＝X A －X ＝100.05－100.02＝0.03mmB仪器的测量误差为：V B ＝X B －X ＝100.00－100.02＝-0.02mm由于|V A |>|V B |,所以B仪器的绝对误差小。
大学物理误差理论
多源误差综合
研究多源误差的综合影响和作用机制， 提高系统误差的评估和控制水平。
智能化误差处理
结合人工智能和机器学习方法，实现 误差的智能化识别、评估和补偿。
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产生原因
随机误差的产生通常与测量条件、环 境因素、测量者的操作习惯等偶然因 素有关。
减小方法
可以通过增加测量次数，取多次测量 的平均值来减小随机误差。
系统误差
定义
产生原因
系统误差是由于测量系统本身的不完善、 测量设备的不准确、测量方法的局限性等 因素引起的测量结果偏差。
系统误差的产生通常与测量设备、测量方 法、环境条件等有关，具有一定的规律性 和重复性。
特性
粗大误差具有明显性和不可预 测性，通常表现为异常值或离 群值。
减小方法
在数据处理过程中，应识别并 剔除粗大误差，通过加强操作 规范和数据审核来避免粗大误
差的出现。
误差的传递与合成
误差传递
误差的传递是指一个测量结果中包含的各个误差分量对最终 结果的影响。通过误差传递公式，可以计算出各个误差分量 对最终结果的贡献。
特性
减小方法
系统误差具有重复性、规律性和可预测性 ，即多次测量的结果呈现相同或相似的偏 差，可以通过校准和修正来减小。
可以通过校准测量设备、改进测量方法、 控制环境条件等方法来减小系统误差。
粗大误差
定义
粗大误差是由于测量过程中出 现异常情况或人为错误引起的
明显偏差。
产生原因
粗大误差的产生通常与测量者 的疏忽、操作错误、记录错误 等有关。
不确定度评定方法
不确定度的评定方法包括A类和B类两种，A类方法基于多 次测量结果，B类方法基于经验和标准。
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图3-1 误差统计直方图
2016年2月11日星期四
◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)； (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率大(聚中性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的频率大致相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
(抵偿性)：
1 2 n lim lim 0 n n n n 特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
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2016年2月11日星期四
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
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2016年2月Hale Waihona Puke 1日星期四长安大学地测学院
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2016年2月11日星期四
用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。 各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
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2016年2月11日星期四
标准差 的数学意义
1 y f () e 2
2
2 2 2
y
较小 较大
上式中， 称为方差：
表示的
2 n 2
x=
[ ] lim lim n n n n
2 2 1 2 2
2
(f)式两边除以K，得(g)式：
i , j 1 i j
i
j
i
j
(f)
<<前面各项
K
2 1
2 1
K
2 2
2 2
K
2 n
2 n
K
由偶然误差的抵偿性知：
i , j 1 i j
f f
i
n
j
x x (g)
i j
K
x x lim 0
i j n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
(3-26)
上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。
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2016年2月11日星期四
通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。
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2016年2月11日星期四
P() f ()d
km
2 m
e
2m
d
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
P( km)
km
1 e 2 m
2 2 2m
d
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.4 P(||3m)=0.997=99.7 测量中，一般取三倍中误差(3m)作为容许误差，也称为限差：
m1=2.7是第一组观测值的中误差；
m2=3.6是第二组观测值的中误差。
m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，
其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：
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2016年2月11日星期四
2.容许误差(极限误差)
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间 d内的概 2 率为： 1 2
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2016年2月11日星期四
二、衡量精度的指标 1.方差与中误差
由正态分布密度函数
y
2 2
x
式中
1 e 2
x a 2
正态分布曲线(a=0)
a、
e =2.72828… 为常数；
2 2
2
令： x a ，上式为：
x=
1 y f () e 2
二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx (x为观测值，K为x的系数) dZ Kdx 全微分 2 得中误差式 mZ K 2 mx Km x
例：量得 1 : 1000 地形图上两点间长度 l =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
离散程度
称为标准差：
[2 ] [] lim lim n n n n
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2016年2月11日星期四
测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
中误差:
观测次数无限多时，用标准差
表示偶然误差的离散情形：
[] n
lim
n
(f)
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f x f x f x 2 f f x x
2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 n 2 n n
f x f x f x 2
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|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
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3.相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=200米,m1=0.02m； S2=1000米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。 解：
求全微分
d S 1000d l mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m S 168.5m 0.2m
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中误差式
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2.线性函数的中误差 设有函数式 Z k x k x k x 1 1 2 2 n n 全微分 dz k1dx1 k2 dx2 kn dxn
3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。
三、测量误差的处理原则
多余观测
四、测量平差
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§3.3
偶然误差的特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内 角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
(d)
(k ) (k ) ( k ) f1x1( k ) f 2 x2 f n xn
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2 2 2 f12 x12 f 22 x2 f n2 xn 2 f1 f 2 x1x2
规律性变化，具有积累性。 例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪i角误差 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) …… …… ● 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)
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2 z 2 1 2 x1 2 2 2 x2 2 n
2 xn
(h)
考虑
fi
F xi
，代入上式，得中误差关系式：
2 2 2
F 2 F 2 F 2 mZ x m1 x m2 x mn 1 2 n
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：
2 2 2 [] 1 2 n m n n
上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：
i=i - X
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P123表5-2
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2 2 2 2 中误差式 mZ k12 m12 k2 m2 kn mn 例：设有某线性函数
图3-2 误差频率直方图
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§3.2
衡量精度的指标
一、精度的概念:
准确度（外部精度） 测量成果与真值接近的程度 系统误差越小，准确度越高
精密度（内部精度） 观测值之间的离散程度 偶然误差越小，准确度越高 精度是准确度与精密度的统称，无系 统误差时二者统一
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2 1 2 2 2 2 2 n 2 n
f x f x f x
2
K
2 1
K
K
K
即
m f m f m f m
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2 z
2 1
2 x1
2 2
2 x2
2 n
2 xn
(h)
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m f m f m f m
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 观测误差与模型误差 ● 独立观测和非独立观测