2020高考数学二轮复习分层特训卷方法技巧专练(六)文
2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题六函..
专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质［全国卷3年考情分析］年份全国卷I全国卷II全国卷HI2019函数图象的识别叮5函数解析式、函数图象与性质的综合问题・T12函数图象的识别顼7函数的奇偶性・T14函数的奇偶性与单调性的综合问题・Tii2018函数图象的识别叮3函数图象的识别叮7抽象函数的奇偶性及周期性2017利用函数的单调性、奇偶性解不等式叮5分段函数、解不等式叮15(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5〜10或第13〜15题的位置上，难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.考点一函数的概念及其表示［大稳定——常规角度考双基］1.［求函数的定义域］函数j=log2(2x-4)+^的定义域是()A.(2,3)B.(2,+8)C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+8)［2x—4>0,1解析：选D由题意得<解得x>2且x#=3,所以函数y=log2(2x—4)+x—37^0,x—j 的定义域为(2,3)U(3,+8).故选D.|10g3X,X>0,2.［分段函数求函数值］已知/•(*)=,,(0<a<l), 5./(-2)=5,/(-1)=3,a x+b, xWO则航一3))=()A.—2B.2C.3D.-3解析：选B由题意得，J[—2)=a~2+b=5,①犬一1)=「+方=3,②联立①②，结合OVaVl,得b=l,(10g3X,X>0,<1Y,,侦)+1,xWO,则犬一3)=(J)+1=9,AA—3))=/(9)=log39=2.故选B.2~x xW03.[分段函数解不等式](2018・全国卷I)设函数为)={'''则满足/(x+l)</(2x)1,x>0,的X的取值范围是()A.(一8,-1]B.(0,+°°)C.(-1,0)D.(—8,0)―x+lWO,解析：选D法一：①当，，人即xW—1时，[2xW0,f(x+l)<f(2x),即为2~(x+1,<2~2x,即一(x+l)<—2x,解得x<l.因此不等式的解集为(一8,-1],[x+lWO,②当时，不等式组无解.[2x>0x+l>0,③当f/即一1<x W0时，.2xW0,f(x+l)<f(2x),即为l<2~2x,解得x<0.因此不等式的解集为(一1,0).x+l>0,④当即x>OBt,f(x+l)=l,f(2x)=l,不合题意.2x>0,综上，不等式f(x+l)<f(2x)的解集为(一8,0).故选D.法二：5)='2~x,xWO, 1,x>0,/.函数的图象如图所示.结合图象知，要使f(x+l)<f(2x)9x+l<0, f［x+lNO,则需\ 2x<0, 或， Ax<0.故选D・［2x<0,、2xvx+14 .［分段函数求参数值或范围］已知函数处)=(1—2a) x+3〃，x<l,一 的值域为R,则实数0的取值范围是解析：当xNl 时，处)=2广21,(1—2«) x+3a, x<l,・.•函数f(x)=\ < 的值域为R,2X , xNll —2a>0,..•当xvl 时，y=(l —2g )x +30必须取遍(一8, 1］内的所有实数，贝吨 , 、 解l —2a+3a^l,得 OWqVj.答案：［o, 3［解题方略］1. 函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不 等式组，然后求出它们的解集即可.2. 分段函数问题的5种常见类型及解题策略［小创新——变换角度考迁移］求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解x, 0<x<l,0, x=l,——,x>l.(2 (1—x) ， OWxWL1. ［概念型新定义函数问题］已知函数f(x)=j 如果对任意的nex —1, 1V x W2,' V 'N*,定义为(x)= 〃个 (x)］｝,那么夭020(2)的值为()A. 0B.1C. 2D.3解析：选 B V/1(2)=/(2) = l, f 2(2)=fil) = 0, f 3(2)=f(0)=2, ,'.f…(2)的值具有周期性,且周期为3, ..捱02。
2020版新高考文科数学二轮冲刺复习解答题的解法研究技巧(21页)
2020版新高考文科数学二轮冲刺复习解答题的解法研究技巧一数形结合思想方法数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两方面的内容：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来说明函数的性质；二是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，比如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质．我们在解决数学问题时，应将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的互化，从而得到原题的解．总体目标：通过数形结合，抽象问题具体化，复杂问题简单化．解题途径：根据问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简．常见的手段：构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等．典例1记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，求定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值．【方法点睛】 利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论，正确作出函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则．典例2 关于x 的方程sin2x ＋3cos2x ＝a ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上有两个不同的根，求实数a 的取值范围．【方法点睛】 本题要解的是一个带参数的三角方程，直接解比较困难，可以从函数的角度来研究本方程的解．通过变形，左边看成函数y 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的一部分，右边看成y 2＝a ＋12的图象．因此，方程的解可通过“数形结合”方法轻松获得．对于三角方程的解的个数问题，经常可考虑此思想方法解决．典例3 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△P AB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【方法点睛】本题的想法看似简单，即设P(x0，y0)，分别写出直线AP和BP的方程，根据已知条件用x0，y0分别表示出△P AB与△PMN的面积，从而得到x0，y0的一个关系式，再结合点P(x0，y0)在椭圆x2＋3y2＝4上，得到第二个方程，从而问题转化为解方程组，这是很多学生很容易想到的做法，可是这看似简单的想法计算却非常不简单．如果能先作出图形，根据△P AB与△PMN的面积相等，得到M是NC中点，易知B为AC中点，从而AM，BN都是中线，因此P为△ANC的重心，而A，N，C三点横坐标易求得，故P点的横坐标也就易求出来了．代入椭圆，很快求出P点的纵坐标．在解析几何求解过程中，如果适当考虑其中的几何关系，计算量将大大减少，“数形结合”，事半功倍，提高解题效率．典例4已知函数f(x)＝|2x－3|－|x＋1|.(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集，求实数a的取值范围；(2)若存在x0∈R，使得2f(x0)≤－t2＋4|t|成立，求实数t的取值范围．【方法点睛】本题如果从不等式角度进行考虑，非常不好描述，而且不易求出正确解．根据题意，将不等式恒成立问题和存在性问题转化为函数值域与参数的比较问题，思路清晰明了，再通过数形结合，很快求出相关函数的值域，继而求出参数的取值范围．在求解过程中，“数形结合”大大简化了计算量．二转化与化归思想数学思想中的一条重要原则是转化与化归，不断地变更数学问题，使要解决的问题化难为易，或变未知为已知，或把某一数学分支中的问题转化为另外一个数学分支中的问题，最终求出原题的解．总体目标：化难为易，化生为熟，化繁为简．解题途径：函数、方程、不等式间的转化；数与形间的转化；一般与特殊的转化；整体与局部的转化；正面与反面的转化等等．常见的方法：换元法、数形结合法、构造法、设参法、特殊法，拆分与整合等．典例1设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．【方法点睛】将不等式恒成立问题转化为求函数的值域问题，在转化过程中，用到了构造函数法，次元、主元调换法，最后通过解不等式得到答案．典例2(2017·浙江高考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，求|a＋b|＋|a－b|的最小值和最大值．【方法点睛】 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．典例3 已知函数f (x )＝x ＋1e 2x .(1)当x ≥0时，f (x )≤m 2x ＋1(m >0)恒成立，求实数m 的取值范围； (2)求证：f (x )ln x <x ＋1ex ＋2.【方法点睛】对于恒成立问题和存在性问题，经常可考虑用分离变量的办法将不等式问题转化为两个函数值域的问题．在求函数值域时，经常用构造法，通过导数来分析单调性，求得函数的值域，继而建立与参数有关的不等式，最终求得参数的取值范围．当然在本题中导函数的零点不易求出，我们用了设而不求的方法，间接解决问题．实际上，在解决数学题时“无处不转化”．典例4已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点为抛物线y＝x2－8与x轴的交点．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，若AD⊥BD，且D(3,0)，求△ABD面积的最大值．【方法点睛】在求椭圆方程时，经常把条件转化为方程组，方程组解出来即得到椭圆方程．在解答圆锥曲线相关问题时，经常借助相关点的坐标来研究相关性质，如定点、共线、最值等问题．转化的基本方向：消元，降次，化简．三分类整合思想方法在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究，这就是分类整合思想方法．分类整合是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练学生的思维条理性和概括性，因此在高考试题中占有重要的位置．总体目标：大化小，整体化为部分，一般化为特殊．解题途径：根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别进行研究，研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起．常见的方法：化整为零、积零为整、构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等．典例1(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．【方法点睛】本题(1)(2)问都涉及到绝对值不等式，要把绝对值去掉，解答才得以继续进行，在第(1)问中，通过对变量x进行分类讨论，绝对值不等式转化为一次不等式，原不等式从而得到解答；(2)问中对参数a进行讨论，去掉绝对值，求出参数范围．典例2设b∈R，数列{a n}的前n项和S n＝3n＋b，试判断{a n}是否是等比数列？并说明理由．【方法点睛】本题中参数b的值影响着a1的值，进而影响着数列的通项公式．因此需要对参数b分类讨论，并以a1的值是否满足a n＝2·3n－1为标准．典例3设a>0，求f(x)＝2a(sin x＋cos x)－sin x cos x－2a2的最大值和最小值．【方法点睛】本题通过作变量代换t＝sin x＋cos x，将原函数变成关于t 的二次函数(带参数a)，然后根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，继而求出原函数的最大值．典例4已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【方法点睛】参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．四函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的．总体目标：动态化静态，抽象化具体，函数方程相互转化．解题途径：根据研究问题的需要，通过构造方程或函数，然后研究方程和函数的性质，从而解决原问题．常见的方法：构造法、转化法、动静结合、数形结合、分离变量法等等．典例1(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．【方法点睛】 本题已知数列的属性(等差或等比数列)，因此可以构造关于a 1和d (q )的方程组，通过a 1和d (q )，从而求出数列的通项公式，将前n 项和S n 表示为n 的函数，继而求出其最小值．求解过程体现方程思想和函数思想．典例2 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求tan θ的值．【方法点睛】 本题表面看是一个未知数θ，但是很难直接求出其大小．本题通过韦达定理构造一个一元二次方程，其两根分别为sin θ，cos θ，求出方程的两个解(也就是sin θ，cos θ的值)，从而求出tan θ的值．典例3 (2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.【方法点睛】 本题第(1)问是个不等式问题，我们将其转化为函数问题解决．通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最大值为0，从而证明了原不等式，充分体现了函数思想的应用．第(2)问是函数零点个数问题，通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最值，从而讨论出不同a 的值得到不同的零点个数．典例4 设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．【方法点睛】几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法．典例5(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【方法点睛】 本题第(1)问先将直线和椭圆的参数方程化为普通方程，然后联立，求出交点坐标．第(2)问先将C上的点到直线的距离用θ表示出来，判断3cosθ＋4sinθ的范围，讨论a，去掉绝对值得到距离的最大值的方程，求得a 最后结果．。
2020高考数学二 三轮复习方法
2020高考数学二轮复习方法真抓实干实现飞跃高三数学备课组一、指导思想通过第一轮复习，学生大都已掌握了基本概念、性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。
第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。
我们的指导思想是：强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。
整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，发展应试能力，掌握通性通法。
我们的的思路，目标和要求是：一是教师对《考试说明》、《题型示例》深入研究、透彻理解，把握到位，明确“考什么”、“怎么考”．二是教师讲解、学生练习体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是知识讲解、练习检测等内容增强科学性、针对性，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是练习检测与高考对路，不拔高，不降低，难度适宜，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法．二、时间安排：1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为4月20——5月20日。
2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月21日——5月30日。
三、上好第二轮复习课的几点措施：（一）.明确“主体”，突出重点。
第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌．只有这样，才能讲深讲透，讲练到位．因此,每位教师要研究2018-2019高考试题.第二轮复习的形式和内容形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。
（1）集合、函数与导数。
此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
主要解决：简单数集的运算、充要条件的判定、含参数的集合关系问题中参数范围的确定方法，函数本身的性质问题、反函数问题、定义法和导数解决函数的单调性问题、导数法求最值、与函数有关的应用问题。
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题中难提分突破特训六2
( | |) | | | | b
b
b
b
|x＋a|＋ x－ x－ a＋
所以 f(x)＝2
3 ＋ 3 ≥2 3 ，等号在 x＝3时成立，
| | | | b
b
a＋
a＋
所以 f(x)的最小值为 2 3 ，从而 2 3 ＝2.
因为 a>0，b>0，所以 3a＋b＝3.
中难提分突破特训(六)
1．如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且 AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点，连接 CG，EF，BG.
(1)求证：EF⊥平面 BCG； (2)求三棱锥 D－BCG 的体积． 解 (1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°， ∴△ABC≌△DBC， ∴AC＝DC，∵G 为 AD 的中点， ∴AD⊥CG，BG⊥AD，CG∩BG＝G， ∴AD⊥平面 BCG， ∵E，F 分别为 AC，DC 的中点，∴EF∥AD， ∴EF⊥平面 BCG1. (2)过 E 作 EO⊥BC 于点 O，连接 GE，
( ] [ ) 1
3
1
3
1
－∞，－ － ，＋∞
所以|x＋1|≥2，解得 x≤－2或 x≥－2，所以所求不等式的解集为
2∪ 2
.
(2)解法一：因为 f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|
＝Error!
( ) ( ) b
பைடு நூலகம்
b
b
－∞，
，＋∞
所以函数 f(x)在
3 上为减函数，在 3
上为增函数，所以当 x＝3时，函数 f(x)取得最
(2)将Error!代入 y2＝2ax 得， t2－2 2at＋8a＝0，
(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训 全集 理
中难提分突破特训(一)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2c －b a ＝cos Bcos A .(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边上一点，且CD ＝2DB ，b ＝3，AD ＝21，求a . 解 (1)由已知，得(2c －b )cos A ＝a cos B ， 由正弦定理，得(2sin C －sin B )cos A ＝sin A cos B ， 整理，得2sin C cos A －sin B cos A ＝sin A cos B ， 即2sin C cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C . 又sin C ≠0，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)如图，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，又CD ＝2DB ，∠BAC ＝π3，所以ED ＝13AC ＝1，∠DEA ＝2π3.由余弦定理可知，AD 2＝AE 2＋ED 2－2AE ·ED cos2π3， 解得AE ＝4，则AB ＝6. 又AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以在△ABC 中，由余弦定理，得a ＝BC ＝3 3.2．已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝ 2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由；(2)当四面体A －BCD 的体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值． 解 (1)若AB ⊥CD ，由AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，得AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC .所以AB 2＋a 2＝BC 2，即12＋a 2＝(2)2，所以a ＝1. 若AD ⊥BC ，由AD ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，得AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC ，所以AD 2＋a 2＝CD 2，即(2)2＋a 2＝12， 所以a 2＝－1，无解，故AD ⊥BC 不成立． (2)要使四面体A －BCD 的体积最大， 因为△BCD 的面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可， 此时平面ABD ⊥平面BCD ，过点A 作AO ⊥BD 于点O ，则AO ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，则易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，33，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，显然，平面BCD 的一个法向量为OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63.设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，33，0，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，63，所以⎩⎨⎧6x ＝3y ，23y ＝6z ，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)．观察可知二面角A －CD －B 为锐二面角， 故二面角A －CD －B 的余弦值为|cos 〈OA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪26363×1＋2＋4＝277.3．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (－2,1)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最小值； (3)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意，设P (x ，y )， 则|AP |＝2|OP |，即|AP |2＝4|OP |2， 所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)， 整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知轨迹C 是以C (－1,0)为圆心，以2为半径的圆． 又因为(－2＋1)2＋12<4，所以点B 在圆内， 所以当线段MN 的长度最小时，BC ⊥MN ， 所以圆心C 到直线MN 的距离为 |BC |＝(－2＋1)2＋(1－0)2＝2， 此时，线段MN 的长为|MN |＝2|CM |2－|BC |2＝2×4－2＝22， 所以，线段MN 长度的最小值为2 2.(3)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ， 所以圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2. 因为圆Q 与圆C 有公共点， 又圆Q 与圆C 的两圆心距离为|CQ |＝(t ＋1)2＋(t －0)2＝2t 2＋2t ＋1， 所以|2－t |≤|CQ |≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t ≤3. 所以实数t 的取值范围是[－3＋23，3]．4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，直线C 2的普通方程为y ＝33x .以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 1的极坐标方程为(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－3)2＝4， 即ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0. 因为直线C 2过原点，且倾斜角为π6，所以直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(2)设点A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，θ＝π6，得ρ2－(33＋3)ρ＋14＝0， 所以ρ1＋ρ2＝33＋3，ρ1ρ2＝14， 又ρ1>0，ρ2>0，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA ||OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝33＋314.5．设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )≥4，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x |＋2|x －1|， 当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1； 当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f (x )≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见，f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 当x ＝a 时，f (x )取得最小值a . 所以，a 的取值范围为[4，＋∞)．中难提分突破特训(二)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2kn (k ∈N *)，S n 的最小值为－9. (1)确定k 的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n·a n ，求数列{b n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1. 解 (1)由已知得S n ＝n 2－2kn ＝(n －k )2－k 2， 因为k ∈N *，当n ＝k 时，(S n )min ＝－k 2＝－9， 故k ＝3.所以S n ＝n 2－6n .因为S n －1＝(n －1)2－6(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2－6n )－[(n －1)2－6(n －1)]， 得a n ＝2n －7(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，综上，a n ＝2n －7. (2)依题意，b n ＝(－1)n ·a n ＝(－1)n(2n －7)， 所以T 2n ＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n －7)＋2．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时，y 的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x －y －4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列以及期望．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 解 (1)散点图如图所示．(2)依题意，x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220， ∑i ＝15x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1，∴a ^＝7.6－1.1×6＝1，∴线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ^＝23.(3)可以判断，落在直线2x －y －4＝0右下方的点满足2x －y －4>0，故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3， P (ξ＝1)＝C 22C 13C 35＝310，P (ξ＝2)＝C 12C 23C 35＝610＝35，P (ξ＝3)＝C 33C 35＝110，故ξ的分布列为故E (ξ)＝1×310＋2×35＋3×110＝1810＝95.3．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，AD ⊥AB ，DC ＝2AD ＝2AB ＝2，AA 1＝4，点M 为C 1D 1的中点．(1)求证：平面AB 1D 1∥平面BDM ；(2)求直线CD 1与平面AB 1D 1所成角的正弦值． 解 (1)证明：由题意得，DD 1∥BB 1，DD 1＝BB 1， 故四边形DD 1B 1B 为平行四边形，所以D 1B 1∥DB ， 由D 1B 1⊂平面AB 1D 1，DB ⊄平面AB 1D 1，故DB ∥平面AB 1D 1， 由题意可知AB ∥DC ，D 1C 1∥DC ，所以，AB ∥D 1C 1. 因为M 为D 1C 1的中点，所以D 1M ＝AB ＝1，所以四边形ABMD 1为平行四边形，所以BM ∥AD 1， 由AD 1⊂平面AB 1D 1，BM ⊄平面AB 1D 1，所以BM ∥平面AB 1D 1，又由于BM ，BD 相交于点B ，BM ，BD ⊂平面BDM ， 所以平面BDM ∥平面AB 1D 1.(2)由题意，以D 为坐标原点，分别以D A →，D C →，DD 1→方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点D 1(0,0,4)，C (0,2,0)，A (1,0,0)，B 1(1,1,4)，AD 1→＝(－1,0,4)，AB 1→＝(0,1,4)，设平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 有⎩⎪⎨⎪⎧AD 1→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋4z ＝0，y ＋4z ＝0，令z ＝1，则n ＝(4，－4,1)，CD 1→＝(0，－2,4)， 令θ为直线CD 1与平面AB 1D 1所成的角， 则sin θ＝|cos 〈CD 1→，n 〉|＝|CD 1→·n ||CD 1→||n |＝216555.4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值． 解 (1)由ρ－2cos θ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0， 即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1. 设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)， 由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. ∵|MC 2|＝(3cos θ－1)2＋4sin 2θ ＝5cos 2θ－6cos θ＋5，∴当cos θ＝35时，|MC 2|min ＝455，∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1.5．已知不等式|2x －3|<x 与不等式x 2－mx ＋n <0(m ，n ∈R )的解集相同且非空． (1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值． 解 (1)当x ≤0时，不等式|2x －3|<x 的解集为空集，不符合题意； 当x >0时，|2x －3|<x ⇒－x <2x －3<x ⇒1<x <3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3，∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1， ∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ，∴a 2＋b2＋c 2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号. ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值是1.中难提分突破特训(三)1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝BB 1，∠B 1BC ＝60°，B 1C 1⊥AB 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)若AB ⊥AC ，且AB 1＝BB 1，求二面角A 1－CB 1－C 1的余弦值． 解 (1)证明：如图，取BC 的中点O ，连接AO ，OB 1.因为BC ＝BB 1，∠B 1BC ＝60°， 所以△BCB 1是等边三角形， 所以B 1O ⊥BC ，又BC ∥B 1C 1，B 1C 1⊥AB 1， 所以BC ⊥AB 1， 所以BC ⊥平面AOB 1，所以BC ⊥AO ，由三线合一可知△ABC 为等腰三角形， 所以AB ＝AC .(2)设AB 1＝BB 1＝2，则BC ＝BB 1＝2. 因为AB ⊥AC ，所以AO ＝1. 又因为OB 1＝3，所以OB 21＋AO 2＝AB 21，所以AO ⊥OB 1.以O 为坐标原点，向量OB →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，C (－1,0,0)，A 1(－1，3，1)，B 1(0，3，0)，CA 1→＝(0，3，1)，CB 1→＝(1，3，0)，设平面A 1B 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CA 1→·n ＝0，CB 1→·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＋z ＝0，x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，－1，3)，由(1)可知，平面CB 1C 1的法向量可取OA →＝(0,0,1)， 所以cos 〈OA →，n 〉＝OA →·n |OA →||n |＝217，由图示可知，二面角A 1－CB 1－C 1为锐二面角，所以二面角A 1－CB 1－C 1的余弦值为217. 2．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)锐角△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，AD ＝2BD ＝2，求边a .解 (1)∵f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴f (x )＝2sin x sin x ·12＋2sin x cos x ·32＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)∵x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2A －π6＝π2＋k π，k ∈Z .∴A ＝π3＋k π2，k ∈Z .又△ABC 是锐角三角形，∴A ＝π3.在△ABD 中，∠BAD ＝π6，BD ＝2，AD ＝2，由正弦定理，得212＝2sin B ， ∴sin B ＝22.∴B ＝π4. ∴C ＝π－π3－π4＝5π12.∠CDA ＝π4＋π6＝5π12.∴AC ＝AD ＝2.在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin60°＝2sin45°，∴BC ＝a ＝ 6.3．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．参考公式和数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解 (1)x －＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．(2)列联表如下：K 2＝100×(10×30－20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． (3)若选方案一：则需付款10×12－10＝110元；若选方案二：设付款X 元，则X 的可能取值为84,96,108,120.P (X ＝84)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， P (X ＝96)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38，P (X ＝108)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝120)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， 所以E (X )＝84×18＋96×38＋108×38＋120×18＝102.因为102<110，所以选择方案二更划算．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．解 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2，又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3.又∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12×2×23＝2 3.5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式：f (x )<4－|x －1|；(2)已知m >0，n >0，m ＋n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0，不等式|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．解 (1)由题意得不等式为|3x ＋2|＋|x －1|<4.①当x ≥1时，原不等式化为4x ＋1<4，解得x <34，不符合题意；②当－23<x <1时，原不等式化为2x ＋3<4，解得x <12，∴－23<x <12；③当x ≤－23时，原不等式化为－4x －1<4，解得x >－54，∴－54<x ≤－23.综上可得－54<x <12，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12. (2)∵m >0，n >0，m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·mn ＝4.当且仅当m n ＝nm且m ＋n ＝1，m >0，n >0，即m ＝n ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4. 由题意得|x －a |－|3x ＋2|≤4(a >0)恒成立，①当x ≥a 时，可得x －a －3x －2≤4恒成立，即－a ≤2x ＋6恒成立，∴－a ≤(2x ＋6)min＝2a ＋6，由a >0，可得上式显然成立；②当－23<x <a 时，可得a －x －3x －2≤4恒成立，即a ≤4x ＋6恒成立，∵4x ＋6>103，∴a ≤103；③当x ≤－23时，可得a －x ＋3x ＋2≤4恒成立，即a ≤2－2x 恒成立，∴a ≤(2－2x )min ＝103.综上可得0<a ≤103，∴正数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103.中难提分突破特训(四)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A . (1)求c b的值；(2)设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解 (1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即c b ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233， 即4b 2＋3－b22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1.2．现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标．(1)10名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下： 实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376 实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?(2)实验过程中测得时间t (分)与10名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中位数y (Hz)的9组对应数据(t ，y )为(0,87)，(20,84)，(40,86)，(60,79)，(80,78)，(100,78)，(120,76)，(140,77)，(160,75)．建立y 关于时间t 的线性回归方程；(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800； 参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ^＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y －)∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －－b ^t . 解 (1)根据题意得到茎叶图如下图所示，由图中数据可得x －1＝110×(346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376)＝363，x －2＝110×(313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，∴x －1－x －2＝363－333＝30(N)， ∴故实验前后握力的平均值下降了30 N.(2)由题意得t ＝19×(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160)＝80，y －＝19×(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75)＝80，∑9i ＝1(t i －t )2＝(0－80)2＋(20－80)2＋(40－80)2＋(60－80)2＋(80－80)2＋(100－80)2＋(120－80)2＋(140－80)2＋(160－80)2＝24000，又∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800， ∴b ^＝∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)∑9i ＝1(t i －t )2＝－180024000＝－0.075， ∴a ^＝y －－b ^t ＝80－(－0.075)×80＝86，∴y 关于时间t 的线性回归方程为y ^＝－0.075t ＋86.(3)9组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了．3．如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝12CD ＝2，PD ＝PB ＝6，PD⊥BC .(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为π3？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由． 解 (1)证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，∠ADC ＝π2，所以BD ＝22，又因为CD ＝4，∠BDC ＝π4.根据余弦定理得BC ＝22， 所以CD 2＝BD 2＋BC 2，故BC ⊥BD .又因为BC ⊥PD ，PD ∩BD ＝D ，且BD ，PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD . (2)由(1)得平面ABCD ⊥平面PBD ， 设E 为BD 的中点，连接PE ，因为PB ＝PD ＝6，所以PE ⊥BD ，PE ＝2，又因为平面ABCD ⊥平面PBD ，平面ABCD ∩平面PBD ＝BD ， 所以PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为坐标原点，分别以AD →，AB →，E P →的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,4,0)，D (2，0,0)，P (1,1,2)， 假设存在M (a ，b ，c )满足要求， 设CM CP＝λ(0≤λ≤1)，即CM →＝λCP →， (a －2，b －4，c )＝λ(－1，－3,2)，得a ＝2－λ，b ＝4－3λ，c ＝2λ， 则M (2－λ，4－3λ，2λ)，易得平面PBD 的一个法向量为BC →＝(2,2,0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABM 的一个法向量， AB →＝(0,2,0)，AM →＝(2－λ，4－3λ，2λ)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，(2－λ)x ＋(4－3λ)y ＋2λz ＝0，不妨取n ＝(2λ，0，λ－2)．因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为π3，所以|cos 〈B C →，n 〉|＝|4λ|22×4λ2＋(λ－2)2＝12， 解得λ＝23，λ＝－2(不符合题意，舍去)．故存在点M 满足条件，且CM CP ＝23.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解 (1)∵ρ＝21－cos θ，∴ρ－ρcos θ＝2，即ρ＝ρcos θ＋2. ∵x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝(x ＋2)2， 化简得y 2－4x －4＝0.∴曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，∴2x ＋y ＋4＝0.∴曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0，表示直线2x ＋y ＋4＝0. ∵M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，∴|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1,2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋122＋345≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．∴|M 1M 2|的最小值为3510.5．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式f (2x )－f (x ＋1)≥2的解集；(2)若a >0，b >0且a ＋b ＝f (3)，求证：a ＋1＋b ＋1≤2 2. 解 (1)因为f (x )＝|x －1|， 所以f (2x )－f (x ＋1)＝|2x －1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，1－3x ，0<x <12，x －1，x ≥12，由f (2x )－f (x ＋1)≥2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－3x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x －1≥2.解得x ≤－1或x ∈∅或x ≥3，所以不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (2)证明：a ＋b ＝f (3)＝2，又a >0，b >0， 所以要证a ＋1＋b ＋1≤22成立， 只需证(a ＋1＋b ＋1)2≤(22)2成立， 即证a ＋b ＋2＋2(a ＋1)(b ＋1)≤8， 只需证(a ＋1)(b ＋1)≤2成立， 因为a >0，b >0，所以根据基本不等式 (a ＋1)(b ＋1)≤(a ＋1)＋(b ＋1)2＝2成立，故命题得证．中难提分突破特训(五)1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，b n ＝a nn. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n， 又b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，即b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝1－12n －1， ∴b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n 2n －1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1， ①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n2n ， ② ①－②，得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.2．如图，在直角梯形ABED 中，AB ∥DE ，AB ⊥BE ，且AB ＝2DE ＝2BE ，点C 是AB 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置．(1)求证：平面PBC ⊥平面PEB ；(2)若PE 与平面PBC 所成的角为45°，求平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值． 解 (1)证明：∵AB ∥DE ，AB ＝2DE ，点C 是AB 的中点， ∴CB ∥ED ，CB ＝ED ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴CD ∥EB ， 又EB ⊥AB ，∴CD ⊥AB ，∴CD ⊥PC ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面PBC ， ∴EB ⊥平面PBC ，又EB ⊂平面PEB ，∴平面PBC ⊥平面PEB . (2)由(1)知EB ⊥平面PBC ，∴∠EPB 即为PE 与平面PBC 所成的角， ∴∠EPB ＝45°，∵EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ， ∴△PBE 为等腰直角三角形， ∴EB ＝PB ＝BC ＝PC ， 故△PBC 为等边三角形，取BC 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥BC ， ∵EB ⊥平面PBC ，又EB ⊂平面EBCD ， ∴平面EBCD ⊥平面PBC ，又PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥平面EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，设BC ＝2，则B (0,1,0)，E (2,1,0)，D (2，－1,0)，P (0,0，3)， 从而DE →＝(0,2,0)，PE →＝(2,1，－3)， 设平面PDE 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DE →＝0，m ·PE →＝0，得⎩⎨⎧2y ＝0，2x ＋y －3z ＝0，令z ＝2得m ＝(3，0,2)，又平面PBC 的一个法向量n ＝(1,0,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝37＝217，所以，平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为217. 3．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11 kg)频数分布表如下(单位：kg)：以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2≈4.请估计该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比；(2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个．若水果质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y 元，求Y 的分布列和数学期望．附：若ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.解 (1)x －＝1100×(2×10＋4×30＋6×40＋8×15＋10×5)＝5.5，由正态分布知，P (5.5<X <9.5)＝P (μ<ξ<μ＋2σ)＝12P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝12×0.9544＝0.4772.该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比为47.72%.(2)由题意知，从质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中抽取的个数分别为1,3,4，Y 的取值为6,8,10,12.则P (Y ＝6)＝C 11C 13C 28＝328；P (Y ＝8)＝C 23＋C 11C 14C 28＝728＝14； P (Y ＝10)＝C 13C 14C 28＝1228＝37；P (Y ＝12)＝C 24C 28＝628＝314.所以Y 的分布列为E (Y )＝6×328＋8×14＋10×37＋12×314＝192＝9.5.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解 (1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立C 1，C 2的极坐标方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3，所以C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3.(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程，得ρ1＝4sin β， 代入C 2的极坐标方程，得ρ2＝sin βcos 2β，∴|OA ||OB |＝4sin βsin βcos 2β＝4cos 2β， ∵π6≤β≤π3，∴1≤4cos 2β≤3， ∴|OA ||OB |的取值范围为[1,3]． 5．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |. (1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|， ∴f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1－(3－2x )≥1 ①或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1－(3－2x )≥1②或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1－(2x －3)≥1.③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32，综上可得，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max . ∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4， ∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|， 故g (x )min ＝|a ＋1|，∴|a ＋1|≥4，∴a ＋1≥4或a ＋1≤－4，解得a ≥3或a ≤－5， 故a 的取值范围为{a |a ≥3或a ≤－5}．中难提分突破特训(六)1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且3(b 2＋c 2－a 2)＝4S .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，当b ＋2c 取得最大值时，求cos B .解 (1)由已知3(b 2＋c 2－a 2)＝4S ＝2bc sin A ， 由余弦定理得23bc cos A ＝2bc sin A ，所以tan A ＝3， 因为A ∈(0，π)，故A ＝π3.(2)由正弦定理得3sinπ3＝b sin B ＝csin C ，即b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，因此b ＋2c ＝2sin B ＋4sin C ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝4sin B ＋23cos B ＝27sin(B ＋φ)，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan φ＝32，则sin φ＝37＝217，故b ＋2c ≤27，当且仅当B ＋φ＝π2，即B ＝π2－φ时取等号，故此时cos B ＝sin φ＝217. 2．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1＝AB，D 为BB 1的中点．(1)若E 为AB 1上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求EB 1AB 1的值； (2)在(1)的条件下，设异面直线AB 1与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面AB 1C 1所成角的正弦值．解 (1)如图，取AB 的中点M ，连接CM ，MD，有MD ∥AB 1，因为AC ＝BC ，所以CM ⊥AB ，又因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1， 又因为平面ABC ∩平面ABB 1A 1＝AB ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1， 又因为DE ⊂平面ABB 1A 1， 所以CM ⊥DE ，又因为DE ⊥CD ，CD ∩CM ＝C ，CD ⊂平面CMD ，CM ⊂平面CMD ， 所以DE ⊥平面CMD ，又因为MD ⊂平面CMD ， 所以DE ⊥MD ，因为MD ∥AB 1，所以DE ⊥AB 1，连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝O ，因为ABB 1A 1为正方形， 所以A 1B ⊥AB 1，又因为DE ⊂平面AA 1B 1B ，A 1B ⊂平面AA 1B 1B ， 所以DE ∥A 1B ，又因为D 为BB 1的中点，所以E 为OB 1的中点， 所以EB 1AB 1＝14. (2)如图，以M 为坐标原点，分别以MA ，MO ，MC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2a ，由题意可知∠CDM ＝45°， 所以AB 1＝22a ， 所以DM ＝CM ＝2a ，所以A (a,0,0)，B 1(－a,2a,0)，C 1(0,2a ，2a )，D (－a ，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，32a ，0， 所以AB 1→＝(－2a,2a,0)，B 1C 1→＝(a,0，2a )， DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，0，设平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1→·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，得平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(2，2，－1)． 所以cos 〈DE →，n 〉＝DE →·n |DE →||n |＝222×5＝255.所以直线DE 与平面AB 1C 1所成角的正弦值为255.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线PA 1，PA 2与椭圆E 的另外两个交点分别为M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值．解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋2b2＝1，b 2－a 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1. (2)证明：不妨设A 1(0,2)，A 2(0，－2)．P (x 0,4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线PA 1的方程为y ＝2x 0x ＋2，直线PA 2的方程为y ＝6x 0x －2.点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6x3＋x 20，y 1＝2x 20－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x27＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x 03＋x 20，2x 20－63＋x 20，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 027＋x 20，－2x 20＋5427＋x 20. 直线MN 的方程为y －2x 20－63＋x 20＝－x 20－96x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6x 03＋x 20， 即y ＝－x 20－96x 0x ＋1.故直线MN 恒过定点B (0,1)．又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 的周长＝|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解 (1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)两边同乘以ρ得， 曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，消去t ，得直线l ：x－y ＋2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t 代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ>0得a >4， 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 1，22t 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 2，22t 2， 则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5. 5．已知函数f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |.(1)当a ＝1，b ＝0时，求不等式f (x )≥3|x |＋1的解集； (2)若a >0，b >0，且函数f (x )的最小值为2，求3a ＋b 的值． 解 (1)当a ＝1，b ＝0时，由f (x )≥3|x |＋1，得2|x ＋1|≥1， 所以|x ＋1|≥12，解得x ≤－32或x ≥－12，所以所求不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)解法一：因为f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x －2a ＋b ，x <－a ，－x ＋2a ＋b ，－a ≤x ≤b 3，5x ＋2a －b ，x >b3，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b3上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，＋∞上为增函数，所以当x ＝b3时，函数f (x )取得最小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 3＋a ＝2. 因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.解法二：f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3，等号在－a ≤x ≤b3时成立，因为当x ＝b3时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3的最小值为0，所以f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，等号在x ＝b3时成立，所以f (x )的最小值为2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，从而2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＝2.因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.- 31 -。
(山东专版)高考数学二轮专题复习与策略 第2部分 必考补充专题 技法篇 6招巧解客观题,省时、省力得
必考补充专题技法篇 6招巧解客观题，省时、省力得高分教师用书理必考补充专题中的4个突破点在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，构建知识体系，讲解客观题解法，其余以练为主.建知识网络明内在联系[高考点拨] 必考补充专题涉及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考中常以“四小”的形式呈现．本专题的考查也是高考中当仁不让的高频考点，考查考生应用新知识解决问题的能力和转化与化归能力等．综合近年高考命题规律，本专题主要从“集合与常用逻辑用语”“不等式与线性规划”“算法初步、复数、推理与证明”“排列组合、二项式定理”四大角度进行精练，引领考生明确考情，高效备考．技法篇：6招巧解客观题，省时、省力得高分[技法概述] 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有75分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．解法1 直接法直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果.直接法是求解填空题的常用方法.在用直接法求解选择题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度.(1)(2016·高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3(2)(2015·某某高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为______．[解题指导] (1)先求点P 坐标，再求点P ′的坐标，最后将点P ′的坐标代入y ＝sin 2x 求s 的最小值．(2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量m ，n 的值． (1)A (2)－3 [(1)因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.(2)∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.][变式训练1] (2015·某某高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元B [由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．] 解法2 等价转化法所谓等价转化法，就是通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.(1)(2016·某某模拟)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)(2015·某某高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.[解题指导] (1)把向量AM →，NM →用AB →，BC →表示，再求数量积．(2)利用∠AOB ＝120°，得到圆心到直线的距离，最后用点到直线的距离公式求解．(1)C (2)2 [(1)依题意有AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →，NM →＝NC →＋CM →＝13DC →－14BC →＝13AB →－14BC →，所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14BC →＝13AB →2－316BC →2＝9.故选C.(2)如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.][变式训练2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为( ) 【导学号：67722071】A ．2B.32 C ．1D.12(2)若直线y ＝kx ＋1(k ∈R)与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值X 围是________．(1)D (2)[－1,3] [(1)因为AC →＝AD →＋DC →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →，所以AC →·BE →＝(AD →＋DC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12DC →＝AD →2＋12AD →·DC →－12DC 2，所以1＋12|DC →|·cos 60°－12|DC →|2＝1，|DC →|＝12，故AB 的长为12.(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，则直线与圆恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，即02＋12－2a ×0＋a 2－2a －4≤0，即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3.]解法3 特殊值法在解决选择题和填空题时，可以取一个或一些特殊数值或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等来确定其结果，这种方法称为特值法.特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.(1)(2015·某某高考)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．q ＝r >pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q(2)(2015·某某高考)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] (1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a ，b 取特殊值处理，如a ＝1，b ＝e.(2)正常来说分析不等式k sin x cos x ＜x 成立的条件很复杂，也没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对x 取特殊值进行分析，这样既快又准确．(1)C (2)B [(1)根据条件，不妨取a ＝1，b ＝e ，则p ＝f (e)＝ln e ＝12，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 2＞f (e)＝12，r ＝12(f (1)＋f (e))＝12，在这种特例情况下满足p ＝r ＜q ，所以选C.(2)若对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x ＜x 成立，不妨取x ＝π4，代入可得k ＜π2，不能推出k ＜1，所以是非充分条件；因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，恒有sin x ＜x ，若k ＜1，则k cos x ＜1，一定有k sin x cos x ＜x ，所以选B.][变式训练3] (1)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5(2)(2016·某某模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.(1)B (2)45 [(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8＜4×5成立．(2)令a ＝b ＝c ，则A ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12.从而cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.]解法4 数形结合法数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维有机结合，通过对规X 图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法.(1)(2016·某某模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x＋y 的最大值是( )【导学号：67722072】A ．－1B ．－2C ．－5D ．1(2)(2015·某某高考)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______．[解题指导] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x ，y 的值，从约束条件中不可能解出对应的x ，y 的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值．(2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转化为求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确定交点个数即可．(1)A (2)2 [(1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界，当直线y ＝2x ＋z 过A 点时z 最大，又A (1,1)，因此z 的最大值为－1.(2)f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|. 由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．] [变式训练4] (1)(2016·某某模拟)方程x lg(x ＋2)＝1的实数根的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不确定(2)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[0,2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f (－3)＝f (1)＝0，则不等式x 3f (x )＜0的解集为________．(1)B (2)(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞) [(1)方程x lg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x，在同一坐标系中画出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不同的实数根．(2)由题意可画出y ＝f (x )的草图，如图．①x ＞0，f (x )＜0时，x ∈(0,1)∪(3，＋∞)； ②x ＜0，f (x )＞0时，x ∈(－3，－1)．故不等式x 3f (x )＜0的解集为(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞)．] 解法5 构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.(1)(2016·某某一模)已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＞xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)(2)如图1，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．图1[解题指导] (1)构造函数g (x )＝f xx，可证明函数g (x )在(0，＋∞)上是减函数，再利用 x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )求解． (2)以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，则球O 是此正方体的外接球，从而球O 的直径是正方体的体对角线长．(1)C (2)6π [(1)设g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xf ′x －f xx 2，又因为f (x )＞xf ′(x )，所以g ′(x )＝xf ′x －f xx 2＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )＝f x x 为(0，＋∞)上的减函数，又因为x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )，则有1x＜x ，解得x ＞1，故选C.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.][变式训练5] (1)(2016·某某高三诊断)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)． (1)B (2)①②④ [(1)因为f (x ＋2)为偶函数， 所以f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称， 所以f (x )的图象关于x ＝2对称， 所以f (4)＝f (0)＝1， 设g (x )＝f xex(x ∈R)，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e xex2＝f ′x －f xex，又因为f ′(x )＜f (x )， 所以g ′(x )＜0(x ∈R)，所以函数g (x )在定义域上单调递减， 因为f (x )＜e x⇔g (x )＝f xex＜1，而g (0)＝f 0e＝1，所以f (x )＜e x⇔g (x )＜g (0)，所以x ＞0，故选B.(2)用正方体ABCD A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．故正确的结论为①②④.]解法6 排除法排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.排除法适用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件，在剩余的选项内找出矛盾，这样逐步筛选，直至得出正确的答案.(1)(2016·北师大附中模拟)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )【导学号：67722073】A BC D(2)(2015·某某高考)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x [解题指导] (1)根据函数的奇偶性和x →＋∞时函数值的正负，以及x →0且x ＞0时函数值的正负，排除可得答案．(2)可验证当x ＜0时，等式成立的情况．(1)D (2)D [(1)函数y ＝cos 6x 为偶函数，函数y ＝2x －2－x为奇函数，故原函数为奇函数，排除A.又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当x →＋∞时，2x －2－x →＋∞且|cos 6x |≤1，∴y ＝cos 6x 2x －2－x →0(x →＋∞)，排除C.∵y ＝cos 6x 2x －2－x ＝2x ·cos 6x 4x －1为奇函数，不妨考虑x ＞0时函数值的情况，当x →0时，4x →1,4x －1→0,2x →1，cos 6x →1，∴y →＋∞，故排除B ，综上知选D.(2)当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.] [变式训练6] (1)(2015·某某高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(2)(2015·高考)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0(1)D (2)C [(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．]客观题常用的6种解法已初步掌握，在突破点19～22的训练中一展身手吧！。
2020高考文科数学二轮分层特训卷：方法技巧专练(六) Word版含解析
专练(六)技法16 分类讨论思想1．已知a >0，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0 答案：D解析：∵a >0，b >0，且a ≠1，b ≠1， ∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1， ∴(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1， ∴(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 综上可知，选D.2．[2019·武昌调研]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．1或3 答案：C解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎨⎧4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎨⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3.3．[2019·福建泉州新世纪中学质检]若双曲线x 23－m ＋y 2m －1＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，则m 的值为( )A ．－1 B.13 C.113 D ．－1或13 答案：B解析：根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎨⎧3－m >0，m －1<0，解得m <1，此时渐近线方程为y ＝±1－m 3－mx ，由题意得，1－m3－m＝12，解得m ＝13； ②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎨⎧3－m <0，m －1>0，解得m >3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3x ，由题意得，m －1m －3＝12，无解．综上可知m ＝13.故选B.4．[2019·湖北武汉调研]已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143C ．3或143D ．3或－113 答案：D解析：先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z ＝x ＋ay 的最大值只需直线的截距最大，当a >0时，－1a <0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去．当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <1，即a <－1，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >1，即－1<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去；综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.5．[2019·江西师范附属中学模拟]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x <22x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案：A解析：①当2－a ≥2，即a ≤0时，22－a －2－1＝1， 解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2； ②当2－a <2即a >0时，－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，舍去． 所以f (a )＝－2.故选A.6．[2019·安徽阜阳二模]等比数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝2，a 3＋a 6＋a 9＝18，则{a n }的前9项和S 9＝________.答案：14或26解析：由题意得q 2＝a 3＋a 6＋a 9a 1＋a 4＋a 7＝9，q ＝±3，①当q ＝3时，a 2＋a 5＋a 8＝3(a 1＋a 4＋a 7)＝6，S 9＝2＋6＋18＝26；②当q ＝－3时，a 2＋a 5＋a 8＝－3(a 1＋a 4＋a 7)＝－6，S 9＝2－6＋18＝14.所以S 9＝14或26.7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，则曲线Γ的离心率等于________．答案：32或12解析：设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝43c ，且|PF 1|>|PF 2|.若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝12；若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝32.故曲线Γ的离心率等于32或12.8．[2019·辽宁沈阳期末]f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x )＝f (－x )，且x ≥0时，f (x )＝x 3，若对任意的x ∈[2t －1,2t ＋3]，不等式f (3x －t )≥8f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)∪{0}解析：f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝x 3，在x >0上为单调增函数，f (3x －t )≥8f (x )＝8x 3＝f (2x )， |3x －t |≥|2x |，所以(3x －t )2≥(2x )2， 化简得5x 2－6xt ＋t 2≥0.(*) ①当t ＝0时显然成立；②当t >0时，(*)式解为x ≤t5或x ≥t ，对任意x ∈[2t －1,2t ＋3]，(*)式恒成立，则需t ≤2t －1，或t ≥1；③当t <0时，(*)式解为x ≤t 或t ≥t5，对任意x ∈[2t －1,2t ＋3]，(*)式恒成立，则需2t ＋3≤t ，故t ≤－3. 综上所述，t ≤－3或t ≥1或t ＝0.9．[2019·湖南师大附中3月月考]设函数f (x )＝x 22－a ln x －12，a ∈R .(1)若函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；(2)若在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax ，其中x ∈[1，e]．①当a ≤1时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在[1，e]上单调递增， 又f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．②当a ≥e 2时，f ′(x )≤0恒成立，f (x )在[1，e]上单调递减， 又f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．③当1<a <e 2时，若1≤x <a ，则f ′(x )<0，f (x )在[1，a )上单调递减，又f (1)＝0，所以f (a )<f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1，a )上有唯一的零点， 若a <x ≤e ，则f ′(x )>0，f (x )在(a ，e]上单调递增， 要使函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，只需f (e)<0，即e 22－a －12<0，解得e 2>a >e 2－12. 综上，实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a |a ≤1或a >e 2－12. (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－a ln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g (x )＝x ＋1x －a ln x ＋ax 在[1，e]上的最小值小于零．g ′(x )＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝(x ＋1)(x －a －1)x 2，x ∈[1，e]．①当a ＋1≥e ，即a ≥e －1时，g (x )在[1，e]上单调递减，所以g (x )的最小值为g (e)，由g (e)＝e ＋1＋a e －a <0可得a >e 2＋1e －1，因为e 2＋1e －1>e －1，所以a >e 2＋1e －1.②当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (x )在[1，e]上单调递增，所以g (x )的最小值为g (1)，由g (1)＝1＋1＋a <0可得a <－2.③当1<a ＋1<e 时，即0<a <e －1时，g (x )在[1，a ＋1)上单调递减，在 (a ＋1，e]上单调递增，可得g (x )的最小值为g (a ＋1)，因为0<ln(a ＋1)<1，所以0<a ln(a ＋1)<a ，从而g (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1－a ln(a ＋1)＋aa ＋1＝a ＋2－a ln(a＋1)>2，所以g (a ＋1)<0不成立，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. 10．[2018·全国卷Ⅰ，20]设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .解析：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1. (2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为kBM ＋kBN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k＝－8＋8＝0.k所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.。
2020版高考理科数学二轮专题提分教程全国通用版应试技巧篇(88张)
5．如图，CD，BE 分别是边长为 4 的等边△ABC 的中线，圆 O 是△ABC 的内切圆，线段 OB 与圆 O 交于点 F.在△ABC 中随机取一点，则此点取自图 中阴影部分的概率是( )
3π π
3π
3π
A. 54 B.18 C. 27 D. 108
命题意图 本题考查运用平面几何知识求几何概型的概率．
建议教师组织专门特训，向学生说明特训的目的，在考试时应使用的思 想方法、解题方法、应试技巧等，进行有针对性使用！在讲评时，教师也应 重点讲评应试技巧在每一题中是怎样使用的！为方便您理解，我们特意命制 了一套样题供您参考．
本套试卷知识点覆盖全面，试题常规，难度中等，着重 考查基础知识、基本方法与基本技能，着重考查数学的四大思想和选、填题 的特殊技法，着重考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力、 数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．
相等可得ab＋＝1.a2＋b2＝2，
∴ a＝43， b＝1，
故 z＝34＋i，∴选 B.
3．等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a1＋a2＋a3＝7，则 a3＋a4＋a5 ＝( )
A．14 B．21 C．28 D．63 命题意图 本题需要将问题转化为基本量(首项和公比)的运算，另外还需 注意数列中不同两项之间的关系式的灵活应用，以减少计算量．
特训样题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时
间 120 分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M＝{y|y＝2－x＋1，x∈R}，M∩N＝N，则集合 N 不可能是 ()
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专练(六)技法16 分类讨论思想1．已知a >0，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0 答案：D解析：∵a >0，b >0，且a ≠1，b ≠1， ∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1， ∴(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 综上可知，选D.2．[2019·武昌调研]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n＋3恒成立，则a 1的值为( )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．1或3 答案：C解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3.3．[2019·福建泉州新世纪中学质检]若双曲线x 23－m ＋y 2m －1＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，则m 的值为( )A ．－1 B.13C.113 D ．－1或13答案：B解析：根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，m －1<0，解得m <1，此时渐近线方程为y ＝±1－m3－mx ， 由题意得，1－m 3－m ＝12，解得m ＝13；②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m <0，m －1>0，解得m >3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3x ， 由题意得，m －1m －3＝12，无解． 综上可知m ＝13.故选B.4．[2019·湖北武汉调研]已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143C ．3或143D ．3或－113答案：D解析：先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1az ，目标函数z＝x ＋ay 的最大值只需直线的截距最大，当a >0时，－1a<0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去．当a <0时，－1a>0，③若0<－1a<1，即a <－1，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >1，即－1<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去；综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.5．[2019·江西师范附属中学模拟]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x <22x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案：A解析：①当2－a ≥2，即a ≤0时，22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2； ②当2－a <2即a >0时，－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，舍去．所以f (a )＝－2.故选A.6．[2019·安徽阜阳二模]等比数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝2，a 3＋a 6＋a 9＝18，则{a n }的前9项和S 9＝________.答案：14或26 解析：由题意得q 2＝a 3＋a 6＋a 9a 1＋a 4＋a 7＝9，q ＝±3，①当q ＝3时，a 2＋a 5＋a 8＝3(a 1＋a 4＋a 7)＝6，S 9＝2＋6＋18＝26； ②当q ＝－3时，a 2＋a 5＋a 8＝－3(a 1＋a 4＋a 7)＝－6，S 9＝2－6＋18＝14. 所以S 9＝14或26.7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，则曲线Γ的离心率等于________．答案：32或12解析：设|F 1F 2|＝2c (c >0)， 由已知|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝43c ，且|PF 1|>|PF 2|.若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ， 离心率e ＝12；若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝32.故曲线Γ的离心率等于32或12.8．[2019·辽宁沈阳期末]f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x )＝f (－x )，且x ≥0时，f (x )＝x 3，若对任意的x ∈[2t －1,2t ＋3]，不等式f (3x －t )≥8f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)∪{0}解析：f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝x 3，在x >0上为单调增函数，f (3x －t )≥8f (x )＝8x 3＝f (2x )，|3x －t |≥|2x |，所以(3x －t )2≥(2x )2， 化简得5x 2－6xt ＋t 2≥0.(*)①当t ＝0时显然成立；②当t >0时，(*)式解为x ≤t5或x ≥t ，对任意x ∈[2t －1,2t ＋3]，(*)式恒成立，则需t ≤2t －1，或t ≥1；③当t <0时，(*)式解为x ≤t 或t ≥t5，对任意x ∈[2t －1,2t ＋3]，(*)式恒成立，则需2t ＋3≤t ，故t ≤－3. 综上所述，t ≤－3或t ≥1或t ＝0.9．[2019·湖南师大附中3月月考]设函数f (x )＝x 22－a ln x －12，a ∈R .(1)若函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；(2)若在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax，其中x ∈[1，e]．①当a ≤1时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在[1，e]上单调递增， 又f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意． ②当a ≥e 2时，f ′(x )≤0恒成立，f (x )在[1，e]上单调递减， 又f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意． ③当1<a <e 2时，若1≤x <a ，则f ′(x )<0，f (x )在[1，a )上单调递减， 又f (1)＝0，所以f (a )<f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1，a )上有唯一的零点， 若a <x ≤e ，则f ′(x )>0，f (x )在(a ，e]上单调递增，要使函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，只需f (e)<0，即e 22－a －12<0，解得e 2>a >e 2－12.综上，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤1或a >e 2－12. (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－a ln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g (x )＝x ＋1x－a ln x ＋ax在[1，e]上的最小值小于零． g ′(x )＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝(x ＋1)(x －a －1)x 2，x ∈[1，e]．①当a ＋1≥e ，即a ≥e －1时，g (x )在[1，e]上单调递减，所以g (x )的最小值为g (e)，由g (e)＝e ＋1＋a e －a <0可得a >e 2＋1e －1，因为e 2＋1e －1>e －1，所以a >e 2＋1e －1.②当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (x )在[1，e]上单调递增，所以g (x )的最小值为g (1)，由g (1)＝1＋1＋a <0可得a <－2.③当1<a ＋1<e 时，即0<a <e －1时，g (x )在[1，a ＋1)上单调递减，在 (a ＋1，e]上单调递增，可得g (x )的最小值为g (a ＋1)，因为0<ln(a ＋1)<1，所以0<a ln(a ＋1)<a ，从而g (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1－a ln(a ＋1)＋aa ＋1＝a ＋2－a ln(a ＋1)>2，所以g (a ＋1)<0不成立，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.10．[2018·全国卷Ⅰ，20]设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .解析：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为kBM ＋kBN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).① 将x 1＝y 1k＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k＝0.所以kBM ＋kBN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .。