2018年高考数学(理)复习：第2部分 数学思想专项练3 分类讨论思想含答案

数学思想专项练(三) 分类讨论思想
(对应学生用书第125页)
题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论
1．已知数列{a n}的前n项和S n＝P n－1(P是常数)，则数列{a n}是( ) A．等差数列B．等比数列
C．等差数列或等比数列D．以上都不对
D [∵S n＝P n－1，
∴a1＝P－1，a n＝S n－S n－1＝(P－1)P n－1(n≥2)．
当P≠1且P≠0时，{a n}是等比数列；
当P＝1时，{a n}是等差数列；
当P＝0时，a1＝－1，a n＝0(n≥2)，此时{a n}既不是等差数列也不是等比数列．]
2．已知实数m是2,8的等比中项，则曲线x2－y2
m
＝1的离心率为( )
A. 2 B．
3 2
C. 5 D．5或
3 2
D [由题意可知，m2＝2×8＝16，∴m＝±4.
(1)当m＝4时，曲线为双曲线x2－y2
4
＝1.
此时离心率e＝ 5.
(2)当m＝－4时，曲线为椭圆x2＋y2
4
＝1.
此时离心率e ＝
32
.]
3．已知二次函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 等于( ) 【07804150】
A ．－3
B ．－3
8
C ．3
D ．3
8
或－3
D [当a ＞0时，f(x)在[－3，－1]上单调递减，在[－1,2]上单调递增，故当x
＝2时，f(x)取得最大值，即8a ＋1＝4，解得a ＝3
8.当a ＜0时，易知f(x)在x
＝－1处取得最大，即－a ＋1＝4，∴a ＝－3.
综上可知，a ＝3
8
或－3.故选D.]
4．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是
________．
(－1,0)∪(0，＋∞) [因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0； 当q ≠1时，S n ＝a 11－q n
1－q >0，
即1－q n 1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
1－q>0，
1－q n >0
①
或⎩⎪⎨
⎪⎧
1－q<0，1－q n <0，
②
由①得－1<q<1，由②得q>1.
故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]
5．若x ＞0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________．
(－∞，－2]∪[2，＋∞) [当x ＞1时，y ＝lg x ＋1lg x
≥2lg x ·
1
lg x ＝2，当
且仅当lg x ＝1，即x ＝10时等号成立；当0＜x ＜1时，y ＝lg x ＋1
lg x
＝－
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1lg x ≤－2－lg x
1－lg x
＝－2，当且仅当lg x
＝
1
lg x ，即x ＝1
10
时等号成立．∴y ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．] 6．已知函数f(x)＝a x ＋b(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.
－3
2 [当a ＞1时，函数f(x)＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a －1＋
b ＝－1，a 0＋b ＝0
无解．当0＜a ＜1时，函数f(x)＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函
数，由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
a －1＋
b ＝0，a 0＋b ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝－2，
所以a ＋b ＝－3
2
.]。