1.1.2-3《集合的基本关系与运算》导学案(人教A版必修1)

【学习目标】（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念.（2）能利用Venn 图表达集合间的关系；了解空集的含义.（3）理解交集与并集的概念；掌握交集与并集的区别与联系；会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题.（4）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义；正确理解补集的概念，正确理解符号“U C A ”的涵义；会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题.（5）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质；掌握集合的有关术语和符号；运用性质解决一些简单的问题.【导入新课】一、问题导入1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？（1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数.2.用适当的符号填空： 0 N ； Q ； -1.5 R.思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、思考导入：上节课我们学习了集合的运算，知道集合的元素满足的性质，那么集合有那种运算性质呢，这就是本节课研究的主要内容.新授课阶段一、子集、空集等概念比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；（2）{}C =汝城一中高一 班全体女生，{}D =汝城一中高一 班全体学生；（3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形.由学生通过观察得结论.1.子集的定义：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有 关系，称 （subset ）. 记作： ()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：如：（1）中A B ⊆集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =. 如（3）中的两集合E F =.2.真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称 （proper subset ）.记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）如：（1）和（2）中A B ，C D ；3.空集定义： 集合称为空集（empty set ），记作：∅.用适当的符号填空：∅ {}0； 0 ∅； ∅ {}∅； {}0 {}∅ 思考2：课本P 7 的思考题4.几个重要的结论：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）任何一个集合是它本身的子集；（4）对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆.说明：1. 注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；2.在分析有关集合问题时，要注意空集的地位.例1 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 68|，试求集合A 的所有子集. 解：例2 已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B φ≠，且B A ⊆,求m 的取值范围.解：例3 全集{}321,3,32S x x x =++，{}1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.解：二、交集、并集概念及性质思考1．考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：B A（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},1,2,3,4,5,6B C ==；（2）{}A x x =是有理数，{}{},B x xC x x ==是无理数是实数；由学生通过观察得结论. 1. 并集的定义：一般地，由所有属于 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B的 ________________________________（union set ）.记作：A ∪B （读作：“A 并B ”），即{},A B x x A ⋃=∈∈或x B .用Venn 图表示：这样，在问题（1）（2）中，集合A ，B 的并集是C ，即 A B ⋃= C 说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件.讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪B B ∪AA ∪B ＝A ⇒ , A ∪B ＝B ⇒ .巩固练习（口答）：①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ；②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ；③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ .2.交集的定义：一般地，由属于 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的 （intersection set ），记作A ∩B （读“A 交B ”）即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}用Venn 图表示：（阴影部分即为A 与B 的交集）常见的五种交集的情况：例 4 给出下列六个等式：①A A A ⋂=；②()U A C A U ⋃=；③()U A C A ⋂=∅；④()A A B A B ⋃⋂=⋂；⑤()()A B A B A B ⋃⋃⋂=⋂；⑥()A B A A ⋃⋂=（其中 ,A B 为全集U 的子集）.其中正确的有 个.解析：例5 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.(1)若AB =∅,求a 的取值范围； (2) 若A B B =,求a 的取值范围.A解: 三、 全集、补集概念及性质1.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为 （universe set ）,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念.2.补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集（plementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中的补集”，即{},U C A x x U x A =∈∉且.用Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析例6 已知222{|190},{|560}A x x ax a B x x x =-+-==-+=,是否存在实数a ,使A ,B 同时满足下列三个条件:①A B ≠,②A B B ⋃=,③∅()A B ⋂.若存在,试求出a 的值;若不存在,请说明理由.解:例7 设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，{|N n =方程20x x n -+= 有实数根}，求()U C M N ⋂.解：课堂小结1.2.3.作业1. 习题1.1 A 组，第9，10；B 组第4题；2. 习题1.1，第6，7；3. 见同步练习拓展提升1.设集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为 （ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆2.设集合{}2|1A y y x ==-，{}2|1B x y x ==-，则下列关系中正确的是（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．[1,)A B ⋂=+∞3.下列说法中，正确的是 （ ）A.任何一个集合必有两个子集B.若,A B φ=则,A B 中至少有一个为φC.任何集合必有一个真子集D.若S 为全集，且,AB S =则A B S == 4.若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = .5. 已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________.6.设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ⊆⋂的集合 C 为 .7.设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.参考答案新授课阶段一、子集、空集等概念1. 有包含 集合A 是集合B 的子集2. 集合A 是集合B 的真子集3. 不含有任何元素的例 1.解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为2,4,5，即 {}5,4,2=A . ∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.例2. 解：由题设知12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩， 解之得，23m ≤≤.例 3.解：假设这样的x 存在， ∵{},0=A C S ∴0S ∈，且|21|x S -∈.易知32320x x x ++=，且|21|3x -=，解之得，2x =-. 当2x =-时，{1,3,0},{1,3}S A ==，符合题设条件. ∴存在实数2x =-满足{},0=A C S .二、交集、并集概念及性质1. 集合A 或属于集合B 并集2.集合A 且属于集合B 交集例4 解析：④、⑤不正确，如{1,2},{2,4}A B ==.例5解:(1)A B =∅, ∴135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解之得12a -≤≤.(2) A B B =, ∴A B ⊆. ∴31a +<-或5a >， 4a <-或5a >.∴若A B =∅,则a 的取值范围是[1,2]-；若A B B ⋃=,则a 的取值范围是(,4)(5,)-∞-⋃+∞.三、 全集、补集概念及性质 1.全集例 6 解:{2,3}B =, ∵A B B ⋃=, ∴B A ⊆, ∵∅()A B ⋂, ∴B ≠∅,又A B ≠,∴{2}A =或{3}A =. 当{2}A =时,有2()4194a a --=⎧⎨-=⎩,此方程组无解.当{3}A =时,有2()6199a a --=⎧⎨-=⎩,此方程组也无解. ∴不存在满足条件的实数a . 例7解：当0m =时，1x =-，即0M ∈；当0m ≠时，140,m ∆=+≥即14m ≥-，且0m ≠ ∴14m ≥-，∴1|4U C M m m ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭.而对于N ，140,n ∆=-≥即14n ≤，∴1|4N n n ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭.∴1()|4U C M N x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭. 课堂小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；用Venn 图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用；2. 交集、并集的概念及符号；并用Venn 图直观地把两个集合之间的关系表示出来，要注意数轴在求交集和并集中的运用；3. 补集、全集的概念；补集、全集的符号；图示分析（数轴、Venn 图）；拓展提升1. D2. D 【提示】{|0}A y y =≥，{|11}B x x x =≥≤-或.3. D 【提示】A 错，因为空集只有一个子集；B 错，如{1,2},{3,4}A B ==，有；AB φ=；C 错，空集就没有真子集.4.2,2,0-或【提示】AB B =，∴B A ⊆, ∴24x =或2x x =,且21x ≠.对所得到的x 进行检验即得.5.{|0}y y ≤ 【提示】A 表示函数221y x x =-+-的值域，B 表示函数21y x =+的值域.6.{(1,2)}或∅【提示】{(1,2)}A B ⋂=，{(1,2)}C ⊆.7.解：{}2,1A =--，由(),U C A B B A =∅⊆得，∵方程2(1)0x m x m +++=的判别式:22(1)4(1)0m m m ∆=+-=-≥, ∴B ≠∅,∴{}1B =-或{}2B =-或{}1,2B =--.①若{}1B =-,则1m =.②若{}2B =-,则应有(1)(2)(2)4m -+=-+-=-且(2)(2)4m =-⋅-=,这两式不能同时成立, ∴{}2B ≠-；③若{}1,2B =--,则应有(1)(1)(2)3m -+=-+-=-且(1)(2)2m =-⋅-=,由这两式得2m =.经检验知1m =和2m =符合条件.∴1m =或2.。