高考数学选做题

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2024 年北京高考数学含答案

2024年北京高考数学一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ∪=（） A ．{}11x x −≤− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ∪=−<<. 故选C. 2．已知1i iz=−−，则z =（）． A ．1i −−B ．1i −+C ．1i −D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−. 故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（） A B ．2 C ．3D ．4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（）5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（）7．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N = 为（）.,AB CD ,E F 9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（） A ．12122log 22y y x x ++ C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+10．已知()()2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（）A ．3d =，1S C ．d 1S <D ．d =，1S >【答案】C可知任意两点间距离最大值故选C.二、填空题11．抛物线216y x =的焦点坐标为． 12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α∈，则cos β的最大值为．13．若直线()3y k x =−与双曲线2214x y −=只有一个公共点，则k 的一个取值为．可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ． 15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N kk M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 .【答案】①③④【详解】①，因为{}{},n n a b 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，①正确. ②，取()112,2,n n n n a b −−==−−则{}{},n n a b 均为等比数列，但当n 为偶数时，有()1122n n n n a b −−===−−，此时M 中有三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】(1)见解析因为2ED =，故1AE =，故故四边形AECB 为平行四边形，故而,PE ED ⊂平面PAD ，故故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()0,1,0,1,1,0,A B C −−则()(0,1,2,1,PA PB −−整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数 0 1 2 3 4单数800 100 60 30 10假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；从而设(:,AB y kx t k =+联立22142x y y kx t += =+ ，化简并整理得(22Δ168k t =−20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线． (1)当1k =−时，求()f x 的单调区间. (2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．已知集合(){}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．【答案】(1)():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω(2)不存在符合条件的Ω，理由见解析(3)见解析【分析】解法一：利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列Ω共有8项，可知：()()2122128,1,2,3,4n n n n b b a a n −−+−+==，检验即可；解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，分类讨论1357,,,a a a a 相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列。

新高考数学试卷各题分值

一、选择题新高考数学试卷选择题共有20题，每题2分，共40分。

选择题分为必做题和选做题两部分。

1. 必做题：共12题，每题2分，共24分。

主要考察考生对基础知识的掌握程度，包括实数、代数式、函数、三角函数、立体几何、解析几何等基础知识。

2. 选做题：共8题，每题2分，共16分。

考生从以下四个模块中选择一个模块进行作答，每个模块2题，每题2分。

（1）文科数学：概率统计、复数、线性规划等。

（2）理科数学：概率统计、复数、线性规划等。

（3）文综数学：地理、历史、政治等。

（4）理综数学：物理、化学、生物等。

二、填空题新高考数学试卷填空题共有10题，每题3分，共30分。

填空题主要考察考生对基础知识的运用能力，包括实数、代数式、函数、三角函数、立体几何、解析几何等基础知识。

三、解答题新高考数学试卷解答题共有6题，共70分。

解答题分为必做题和选做题两部分。

1. 必做题：共4题，每题18分，共72分。

主要考察考生对基础知识的综合运用能力，包括实数、代数式、函数、三角函数、立体几何、解析几何等基础知识。

2. 选做题：共2题，每题18分，共36分。

考生从以下四个模块中选择一个模块进行作答，每个模块1题，每题18分。

（1）文科数学：概率统计、复数、线性规划等。

（2）理科数学：概率统计、复数、线性规划等。

（3）文综数学：地理、历史、政治等。

（4）理综数学：物理、化学、生物等。

四、附加题新高考数学试卷附加题共有1题，共20分。

附加题主要考察考生对数学知识的深入理解和创新应用能力，题目难度较大。

综上所述，新高考数学试卷总分150分，各题分值分布如下：1. 选择题：40分2. 填空题：30分3. 解答题：70分（必做题：72分，选做题：36分）4. 附加题：20分考生在备考过程中，要根据各题分值分布，有针对性地进行复习，提高自己的数学水平。

同时，考生要注重基础知识的学习，培养解题技巧，提高解题速度和准确率。

高考数学选做题知识点

高考数学选做题知识点高考是每个学生都要面对的重要考试，其中数学科目在很多学生心中都占据着重要的地位。

数学选做题的出现，为考生提供了更多展示自己数学能力的机会。

本文将介绍一些高考数学选做题的知识点，帮助考生更好地备考。

一、不等式不等式是高中数学中重要的内容，也是高考数学选做题的常见考点之一。

对于不等式的解集，有时候需要使用等价变形或者图像法来确定。

特别是在求解含有绝对值符号的不等式时，需要注意拆分绝对值进行分类讨论。

二、函数函数是数学中非常重要的概念，也是高考数学选做题中出现频率较高的知识点。

对于函数的概念要有清晰的理解，掌握函数的性质和性质的应用。

在对函数进行分析时，可以使用导数和极值的概念，辅助推导出函数的最值和单调性。

三、向量向量是高考数学选做题中的难点，也是需要考生充分理解和掌握的知识点。

对于向量的运算，需要熟悉加法和乘法的规则，并且理解向量的数量积和向量积的几何意义。

在解决向量问题时，可以使用向量的几何性质以及坐标表示，进行高效的推导和计算。

四、三角函数三角函数是高中数学中涉及内容较多的部分，也是高考数学选做题中的常考点。

对于三角函数的定义和性质，需要仔细掌握，熟悉单位圆和任意角的概念。

在解决三角函数问题时，可以利用三角函数之间的关系，进行三角函数的简化和变形。

五、立体几何立体几何是高考数学选做题中的重要考点之一，需要考生熟悉几何体的性质和定理，并能够应用到解决实际问题中。

对于计算几何体的表面积和体积，需要掌握正确的计算方法和公式。

在解决立体几何问题时，可以利用几何体之间的相似性和垂直性质，进行几何体的推导和计算。

六、概率统计概率统计是高考数学选做题中的重点内容，也是需要考生注重复习的知识点。

对于概率的计算，需要掌握加法原则和乘法原则，并能够灵活运用到各种概率问题中。

在解决统计问题时，可以利用频率分布和样本调查的方法，进行数据的整理和分析。

总结一下，以上提及的知识点仅仅是高考数学选做题中的一部分，但是它们却是考生必须要掌握的基础知识。

高考数学试卷选择题

甲醇现货采购合同书范本甲方（买方）：名称：_____________________地址：_____________________联系人：___________________电话：_____________________### 乙方（卖方）：名称：_____________________地址：_____________________联系人：___________________电话：_____________________### 鉴于：甲乙双方本着平等自愿、诚实信用的原则，经协商一致，就甲方购买乙方甲醇现货事宜达成如下合同：## 第一条产品描述1. 产品名称：甲醇2. 规格型号：________________3. 质量标准：符合国家标准GB/T338-20114. 包装方式：散装/桶装## 第二条采购数量及价格1. 采购数量：________________吨2. 单价：________________元/吨3. 总金额：________________元## 第三条交货时间及地点1. 交货时间：________________年____月____日前2. 交货地点：________________## 第四条运输方式及费用承担1. 运输方式：________________（如：公路、铁路、水运等）2. 费用承担：由乙方负责运输至甲方指定地点，运输费用由乙方承担。

## 第五条质量验收1. 甲方在收到货物后____天内进行质量验收。

2. 如发现货物质量不符合合同约定，甲方有权要求乙方更换或退货。

## 第六条付款方式及期限1. 付款方式：银行转账/电汇/承兑汇票等。

2. 付款期限：甲方在验收合格后____天内支付全部货款。

## 第七条违约责任1. 如乙方未能按时交货，每逾期一天，应向甲方支付未交货部分货款____%的违约金。

2. 如甲方未能按时付款，每逾期一天，应向乙方支付未付款部分货款____%的滞纳金。

2024年高考数学试题(新课标I卷)解析版

2024年高考数学试题（新课标I 卷）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知集合A =x |-5<x 3<5 ，B ={-3,-1,0,2,3}，则A ∩B =A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}【答案】A【解析】A =(-35,35)⇒A ∩B ={-1,0}，选A.2.若zz -1=1+i ，则z =A.-1-i B.-1+iC.1-iD.1+i【答案】C【解析】z z -1=1+i ⇒z =1+i i =1-i ，选C.3.已知向量a =0,1 ，b =2,x ，若b ⊥b -4a ，则x =A.-2 B.-1C.1D.2【答案】D【解析】b ⊥b -4a ⇒2×2+x (x -4)=0⇒x =2，选D.4.已知cos α+β =m ，tan αtan β=2，则cos α-β =A.-3m B.-m3C.m 3D.3m【答案】A【解析】αcos βcos -αsin βsin =m ，αsin βsin =2αcos βcos ⇒αcos βcos =-m ，αsin βsin =-2m ，所以cos α-β =αcos βcos +αsin βsin =-3m ，选A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为A.23π B.33πC.63πD.93π【答案】B【解析】如图所示，h =3，圆锥母线长l =r 2+3，h h rrl由题知23πr =πr r 2+3⇒r =3⇒V 锥=13×π×32×3=33π．选B.6.已知函数f x =-x 2-2ax -a ,x <0,e x +ln x +1 ,x ≥0 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A.(-∞,0]B.-1,0C.-1,1D.[0,+∞)【答案】B 【解析】由题知-a ≥0,-a ≤1⇒-1≤a ≤0，选B.7.当x ∈0,2π 时，曲线y =sin x 与y =2sin (3x -π6)的交点个数为A.3 B.4C.6D.8【答案】C【解析】作出两个函数的图象，2π3π2ππ2Oxy 由图知，两个函数的交点个数为6，选C.【总结】五点作图法，处理作图，好像没有其他解法.8.已知函数f x 的定义域为R ，f x >f x -1 +f x -2 ，且当x <3时，f x =x ，则下列结论中一定正确的是A.f 10 >100 B.f 20 >1000C.f 10 <1000D.f 20 <10000【答案】B【解析】由已知得f (1)=1，f (2)=2，思路一：常规推理+计算因为f x >f x -1 +f x -2 ，所以f (3)>3，f (4)>5，f (5)>8，f (6)>13，f (7)>21，f (8)>34，f (9)>55，f (10)>89，f (11)>144，f (12)>233，f (13)>377，f (14)>610，f (15)>987，f (16)>1597，f (17)>2584，f (18)>4181，f (19)>6765，f (20)>10946，⋯，所以f (20)>f (19)>⋯>f (16)>1000，选B.思路二：推理+估算由题知，当x >3时，f (x )上不封顶，C ，D 错误；f (3)>3，f (4)>5，f (5)>8，f (6)>13，f (7)>21，f (8)>34，f (9)>55，f (10)>89，当x >4时，f (x )>f x -1 +f x -2 >2f (x -2)，所以f (20)>2f (18)>22f (16)>⋯>25f (10)>1000，A 错误，B 正确；故选B.【总结】需要耐心的计算.二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s 2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N 1.8,0.12 ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布x ,s 2，则(若随机变量Z 服从正态分布N μ,σ2 ，则P Z <μ+σ ≈0.8413)A.P X >2 >0.2 B.P X >2 <0.5C.P Y >2 >0.5 D.P Y >2 <0.8【答案】BC【解析】画个图，对于X ：μ=1.8，σ=0.1；对于Y ：μ=2.1，σ=0.1，1.81.7 1.92.12.0 2.22.0由题知P (X <1.9)=0.8413，所以P (X >2)1.9)=0.1587<0.2<0.5，A 错误，B 正确；因为P (Y <2.2)=0.8413，所以P Y >2 =P Y <2.2 =0.8413>0.8>0.5，C 正确，D 错误；故选BC.10.设函数f x =x -1 2x -4 ，则A.x =3是f x 的极小值点B.当0<x <1时，f x <f x 2C.当1<x <2时，-4<f 2x -1 <0D.当-1<x <0时，f 2-x >f x【答案】ACD【解析】f '(x )=2(x -1)(x -4)+(x -1)2=3(x -1)(x -3)，作出f (x )的图象如图所示，x =1x =3所以x =1是f x 的极大值点，x =3是f x 的极小值点，A 正确；当0<x <1时，f (x )在(0,1)↗，因为x >x 2，所以f (x )>f (x 2)，B 错误；当1<x <2时，t =2x -1∈(1,3)，因为f (t )在(1,3)↘，所以f (t )∈(-4，0)，即-4<f 2x -1 <0，C 正确；当-1<x <0时，x -1<0，f 2-x -f x =(x -1)2(-2-x )-x -1 2x -4 =-2(x -1)3>0，所以f 2-x >f x ，D 正确；综上，选ACD.【总结】选项B 用了单调性法，选项C 转化为值域，选项D 用了最常见的作差法.11.造型Ժ可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F 2,0 的距离与到定直线x =a a <0 的距离之积为4，则OxyFA.a =-2B.点22,0 在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD 【解析】如图所示，OxyFx =aP对于A ，由题知，O 到点F 的距离等于与到定直线x =a a <0 的距离之积为4，所以(-a )∙2=4，解得a =-2，A 正确；对于B ，设点P (x ,y )是曲线C 上任意一点，则(x +2)(x -2)2+y 2=4，即(x -2)2+y 2=(4x +2)2，因为(22-2)2=(422+2)2，所以点22,0 在C 上，B 正确；对于C ，因为y 2=(4x +2)2-(x -2)2，记f (x )=(4x +2)2-(x -2)2，x >0，所以f '(x )=-32(x +2)3-2(x -2)=2[-16(x +2)3+2-x ]，发现f (2)=1，f '(2)=-12<0，所以存在0<x 1<2，使得当x ∈(x 1,2)时，f '(x )<0，所以f (x )在(x 1,2)↘，所以f (x )>f (2)=1，即f (x )的最大值一定大于1，C 错误；对于D ，y 02=(4x 0+2)2-(x 0-2)2≤(4x 0+2)2，所以y 0≤4x 0+2，D 正确；综上，选ABD.【总结】本题相对要难一点，选出来一个答案不难.三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作平行于y 轴的直线交C 于A ,B两点，若F 1A =13，AB =10，则C 的离心率为.【答案】32【解析】由题知|F 1F 2|=2c =12,F 2A =b 2a =5,c 2=a 2+b2 ，解得a =4,b =25,c =6，所以C 的离心率e =c a =32.13.若曲线y =e x +x 在点0,1 处的切线也是曲线y =ln x +1 +a 的切线，则a =.【答案】2ln 【解析】设f (x )=e x +x ，g (x )=ln x +1 +a ，则f '(x )=e x +1，g '(x )=1x +1，即f '(0)=2，所以f (x )在(0,1)处的切线方程为l ：y -1=2(x -0)，即y =2x +1，设l 与g (x )相切于点A (x 0,(x 0+1)ln +a )，则g '(x 0)=1x 0+1=2，解得x 0=-12，所以(-12+1)ln +a =0，解得a =2ln .14.甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.【答案】12【解析】因为甲出1一定输，要使甲的总分不小于2，则甲得3分或得2分.第一类：甲得3分只有一种可能：1-8，3-2，5-4，7-6.第二类：甲得2分（1）甲出3和出5赢，其余输，共1种：3-2，5-4，1-6，7-8；（2）甲出3和出7赢，其余输，共3种：3-2，7-6，1-4，5-8；3-2，7-4，1-6，5-8；3-2，7-4，1-8，5-6；（3）甲出5和出7赢，其余输，共7种：5-4，7-6，1-2，3-8；5-4，7-2，1-6，3-8；5-4，7-2，1-8，3-6；5-2，7-6，1-4，3-8；5-2，7-6，1-8，3-4；5-2，7-4，1-6，3-8；5-2，7-4，1-8，3-6；所以甲的总得分不小于2的共有12种可能，所以所求的概率p =12A 44=12.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知sin C =2cos B ，a 2+b 2-c 2=2ab .（1）求B ；（2）若△ABC 的面积为3+3，求c .【答案】（1）B =π3；（2）2 2.【解析】（1）因为a 2+b 2-c 2=2ab ，所以C cos =a 2+b 2-c 22ab =2ab 2ab=22，因为0<C <π，所以C =π4，又sin C =2cos B ，所以22=2B cos ，即B cos =12，因为00，所以S =12ac B sin =12k 2A sin B sin C sin =12k 2∙6+24∙32∙22=3+3，所以k 2=16，即k =4，所以c =k C sin =4×22=2 2.16.(15分)已知A 0,3 和P (3,32)为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上两点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9,求直线l 的方程.【答案】（1）12；（2）x -2y =0或3x -2y -6=0.【解析】（1）由题知b =3,9a 2+94b2=1，解得a =23,b =3 ，所以c =a 2-b 2=3，所以椭圆C的离心率e=ca=12.（2）由（1）知，椭圆C的方程为x212+y29=1.O xyPABD当直线l的斜率不存在时，B(3,-32)，此时S=92，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=k(x-3)+3 2，代入x212+y29=1，整理得(3+4k2)x2-8k(3k-32)x+36k2-36k-27=0，设B(x1,y1)，由韦达定理得3+x1=8k(3k-32)3+4k2,3x1=36k2-36k-273+4k2所以|BP|=1+k2|x1-3|=1+k2(8k(3k-32)3+4k2)2-364k2-4k-33+4k2=43k2+13k2+9k+2744k2+3，点A到直线PB的距离h2=|3k+32|k2+1，所以△ABP的面积S=12|BP|∙h2=|3k+32|k2+1=9，解得k=12或32，所以直线l的方程为y=12x或y=32x-3.综上，直线l的方程为x-2y=0或3x-2y-6=0.17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，P A=AC=2，BC=1，AB=3.（1）若AD⊥PB，证明:AD⎳平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为427，求AD.AB CDP 【答案】（1）略；（2）3.【解析】（1）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以P A ⊥BC ，P A ⊥AD ，因为AC =2，BC =1，AB =3，所以AB 2+BC 2=AC 2，即AB ⊥BC ，又P A ∩AB =A ，P A ,AB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，因为PB ⊥AD ，P A ∩PB =P ，P A ,PB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⎳BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ⎳平面PBC .（2）过D 作DQ ⊥平面ABCD ，以DA ,DC ,DQ 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，A BCDPz xyQ设DA =a ，DC =b ，则D (0,0,0)，A (a ,0,0)，C (0,b ,0)，P (a ,0,2)，且a 2+b 2=4，①所以AC =(-a ,b ,0)，AP =(0,0,2)，DC =(0,b ,0)，DP =(a ,0,2)，设平面APC 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则AC∙n 1=0,AP ∙n 1=0 ，即-ax 1+by 1=0,2z 1=0 ，令x 1=b ，则n 1=(b ,a ,0)，设平面PCD 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则DC∙n 2=0,DP ∙n 2=0 ，即by 2=0,ax 1+2z 1=0 ，令x 1=2，则n 2=(2,0,-a )，所以‹n 1,n 2›cos =n 1∙n 2|n 1||n 2|=2ba 2+b 2a 2+4=ba 2+4，设二面角A -CP -D 的平面角为θ，则θsin =427，所以|θcos |=|‹n 1,n 2›cos |=b a 2+4=17，即7b 2=a 2+4，②由①②得a =3,b =1，所以AD =a = 3.【总结】本题建系可以设两个变量，也可以设一个变量，注意运算.18.(17分)已知函数f x =lnx2-x+ax +b x -1 3.（1）若b =0，且f x ≥0，求a 的最小值；（2）证明:曲线y =f x 是中心对称图形；（3）若f x >-2当且仅当1<x <2，求b 的取值范围.【答案】（1）-2；（2）略；（3）[-23,+∞).【解析】（1）由x2-x>0，得0<x <2，所以f (x )的定义域为(0,2)，当b =0时，f (x )=ln x 2-x +ax ，f '(x )=1x +12-x +a ≥0，因为1x +12-x ≥(1+1)2x +2-x =2，当且仅当x =1时取等号，所以f '(x )min =2+a ≥0，解得a ≥-2，所以a 的最小值为-2；（2）发现f (1)=a ，猜测f (x )关于(1,a )对称，下面尝试证明此结论，因为f (1+x )+f (1-x )=ln 1+x 1-x +a (1+x )+bx 3+ln 1-x1+x+a (1-x )+b -x 3=2a ，所以f (x )关于(1,a )对称.（3）当且仅当1<x <2时f (x )>-2，则f (1)=a =-2，所以f (x )=ln x2-x-2x +b x -1 3，f '(x )=1x +12-x -2+3b (x -1)2=(x -1)22(2-x )+3b (x -1)2=(x -1)2[2x (2-x )+3b ]~2x (2-x )+3b ，发现f '(1)=2+3b ≥0，则b ≥-23，当b ≥-23时，2x (2-x )+3b ≥2x (2-x )-2=2(x -1)22(2-x )≥0，即f '(x )≥0，所以f (x )在(0,2)↗，因为f (1)=-2，所以f (x )>-2=f (1)⇔1<x <2，符合题意；当b <-23时，则2x (2-x )∈[2,+∞)，f '(x )∈[3b +2,+∞)，存在1<x 1<2，使得当x ∈(1,x 1)时，f '(x )<0，f (x )在(1,x 1)↘，所以f (x )<f (1)=-2，不符合题意；综上，实数b 的取值范围是[-23,+∞).19.(17分)设m 为正整数，数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是i ,j -可分数列.（1）写出所有的i ,j ,1≤i <j ≤6，使得数列a 1,a 2,⋯,a 6是i ,j -可分数列；（2）当m ≥3时，证明:数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是2,13 -可分数列；（3）从1,2,⋯,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明:P m >18.【答案】（1）(1,2)，(5,6)，(1,6)；（2）略；（3）略.【解析】（1）对于特殊的情况，我们不难分析出来，要么一边删除2个，要么两边各删除1个，所以满足题意的(i ,j )为：(1,2)，(5,6)，(1,6).（2）下标和项是成等差的充要条件，即m ,n ,k 成等差⇔a m ,a n ,a k 成等差（证明略）.首先我们证明，当m =3时成立，那么m ≥3时都会成立.当m =3时，4m +2=14，那么当m >3时，整个{a n }可以拆成两段，为1≤n ≤14和n >14，不管m 取值如何，都有4m -12个数，也就是可以分成m -3组，而这m -3组只要按照原来的顺序依次分组，显然都是等差数列.如：m =6，前面14个按照m =3分组，后面的按照顺序，每4个一组，显然这样分满足题意.下面证明m =3时成立，可以采用列举法，只要有一种方法成立就行，去掉i =2,j =13，可以分为{1,4,7,10}，{5,8,11,14}，{3,6,9,12}这三组，满足题意.（3）设在给定m 的情况下，(i ,j )的组数为b m ，当m 变成m +1时，数列就变成了a 1,a 2,a 3,a 4,a 5，⋯，a 4m +2,a 4m +3,a 4m +4,a 4m +5,a 4m +6，这里可以分成3组，前4个一组即{a 1,a 2,a 3,a 4}，中间的一组，后4个一组即{a 4m +3,a 4m +4,a 4m +5,a 4m +6}，此时我们要在这里面删除2个数，那么会有以下几种情况：一、两个都在中间中间有4m -2个数，且为等差数列，删除2个的话，总数为b m -1种；二、一个在第一组，一个在中间组或两个都在第一组第一组和中间组连起来，会变成4m +2个数的等差数列，这里面总共有b m 种方法，但是要去掉两个都在中间的情况，共有b m -b m -1种；三、一个在中间组，一个在最后一组，或者都在最后一组和上面一样，也是共有b m -b m -1种；四、一个在第一组，一个在最后一组此时，将a 1,a 4m +6同时删除是肯定可以的，这算一种；然后，从（2）的结果来看，把a 2,a 4m +5同时删除也是可以的，因为m =3成立之后，当m >3时，只是相当于往中间加了4个连续的等差数而已，其它是不变的，这也算一种.综上，就会有b m +1≥b m -1+2(b m -b m -1)+2=2b m -b m -1+2，因为b 0=0,b 1=3，所以b m ≥m 2+2m ，如果你是随便删除，总共有C 24m +2=8m 2+6m +1种，所以P m =b m C 24m +2≥m 2+2m 8m 2+6m +1>18.。

新高考数学试卷大题型

一、选择题选择题是新高考数学试卷中常见的题型，主要考查学生对基本概念、基本公式、基本定理的理解和应用。

以下列举几种常见的选择题题型：1. 基本概念判断题：考查学生对基本概念的理解程度，如判断正误、选择正确概念等。

2. 计算题：考查学生的计算能力，如求值、化简等。

3. 推理题：考查学生的逻辑思维能力，如判断推理、选择结论等。

4. 应用题：考查学生将数学知识应用于实际问题的能力，如几何图形、函数问题等。

二、填空题填空题主要考查学生对基本概念、基本公式、基本定理的记忆和应用。

以下列举几种常见的填空题题型：1. 基本概念填空题：考查学生对基本概念的记忆，如填入正确的概念、术语等。

2. 计算题：考查学生的计算能力，如求值、化简等。

3. 推理题：考查学生的逻辑思维能力，如填入推理步骤、结论等。

4. 应用题：考查学生将数学知识应用于实际问题的能力，如几何图形、函数问题等。

三、解答题解答题是新高考数学试卷中分值较高、难度较大的题型，主要考查学生的综合运用能力和创新思维能力。

以下列举几种常见的解答题题型：1. 几何题：考查学生对几何图形的认识、计算和分析能力，如三角形、四边形、圆等。

2. 函数题：考查学生对函数概念、性质、图像的理解和运用能力，如一次函数、二次函数、指数函数等。

3. 不等式题：考查学生对不等式概念、性质、解法等的应用能力，如一元一次不等式、一元二次不等式等。

4. 综合题：考查学生对数学知识综合运用和创新能力，如实际问题、创新题等。

四、探究题探究题是新高考数学试卷中的一种新型题型，主要考查学生的探究精神和创新思维。

以下列举几种常见的探究题题型：1. 探究性质题：考查学生对数学性质、定理的探究能力，如探究函数的性质、几何图形的性质等。

2. 创新题：考查学生的创新思维能力，如设计新的数学模型、提出新的解题方法等。

3. 综合探究题：考查学生对数学知识的综合运用和创新能力，如探究数学知识在实际问题中的应用等。

高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。

高考数学最后一道选做题

高考数学最后一道选做题高考数学最后一道选做题：题目：某班级有60个学生，其中男生和女生各占总人数的4/9和1/3，女生是男生人数的两倍，并且男生和女生中都有一部分人参加了体育锻炼。

已知参加体育锻炼的男生人数是男生总人数的1/3，不参加体育锻炼的女生人数是女生总人数的2/7。

问：这个班级中，参加体育锻炼的学生共有多少人？解答：我们先设男生总人数为3x，女生总人数为2x。

由题意得：3x + 2x = 60解得：x = 12男生总人数为3x = 3 × 12 = 36女生总人数为2x = 2 × 12 = 24参加体育锻炼的男生人数为男生总人数的1/3，即 36 × (1/3) = 12不参加体育锻炼的男生人数为 36 - 12 = 24不参加体育锻炼的女生人数为女生总人数的2/7，即 24 × (2/7) = 6参加体育锻炼的女生人数为女生总人数减去不参加体育锻炼的女生人数，即 24 - 6 = 18所以，这个班级中参加体育锻炼的学生共有12 + 18 = 30人。

思路分析：这道数学题主要考察了学生们理解和应用比例关系的能力。

解题的关键是根据题目提供的条件建立方程组，通过求解方程组找到对应的变量值，最终得出题目要求的结果。

在解题过程中，我们首先根据题意得到男生和女生的比例关系，并设男生总人数为3x，女生总人数为2x。

然后根据题目给出的条件，继续建立方程，求解得到x的值。

接下来，根据已知的男生总人数和女生总人数，计算出参加和不参加体育锻炼的男生和女生人数。

最后，将参加体育锻炼的男生人数和女生人数相加，得出最终答案。

解题过程中需要注意细节，如比例的转换、分数的计算和方程的简化等。

同时，要善于进行数据分析和计算，将题目中提供的信息有效地转化为数学语言，并根据所需结果进行相应的运算，最终得出正确的答案。

参考内容：在解答这道高考数学题时，我们主要运用了比例关系的计算方法、方程的建立与求解以及分数的计算等知识点。

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如何备考选做题？
1、理解参数的几何意义参数方程以直线、圆、椭圆参数方程为重点，要加强直线参数方程的参数几何意义的认识与应用，以简化运算。 2、理解极坐标的概念利用极径、极角的概念来解决问题。 3、注意分类讨论思想的运用。 4、利用绝对值不等式的性质时，注意分拆、组合、添项、拆项方法的运用。 5、熟悉有关函数最值问题（如恒成立与存在性问题）。
高考数学选做题
临武一中骆建红
高考选做题，白送分的题吗？
本应为成绩增长点，很多同学却在这上面失分。对于竞争激烈的高考，十分可惜。
中ห้องสมุดไป่ตู้题
考向分析
一、坐标系与参数方程 1、转化：极坐标与直角坐标的转化；三种形式方程的转化 2、特殊曲线的极坐标方程求解 3、运用参数方程（设点）和极坐标方程（极径、极角）解决有关几何量（如长度、面积等）及最值问题。 4、伸缩变换等。二、不等式选讲 1、绝对值不等式的求解与性质运用。 2、绝对值不等式与函数问题综合，求解参数范围问题，这是高考命题的最热点。 3、不等式的证明（基本不等式与柯西不等式的应用）。
猜想？？？
2018年的高考选做题，会有什么样的变化？哪道题会相对容易些，哪道题会更难些？
如何选择做哪道题？
•坐标系与参数方程题目考查直观思维能力较多，更适合成绩一般的考生。 •不等式选讲考查抽象思维能力多些，基础好的学生更擅长，也更乐意选择该题目。
建议：
备考过程中全面掌握两类题型的解法。可要求学生考试中选做一题，考试结束后再完成另一题。
改革后的《考试大纲》，把“不等式选讲”列为必考内容， “坐标系与参数方程”不再列为考试内容。
如何备考选做题？
运算量有加大趋势，难度有所增加
• 在参数方程与极坐标问题的解答中，很多同学完全依赖化成普通方程和直角坐标解决，这当然是一种解决方法。 • 很多时候化普和化直会导致人为的增大计算量，而且有的问题也不是化普通方程和直角坐标能解决的。 • 基础的、简单的可以化普和化直，而能力题就需要用到参数的概念和极径、极角的概念。
如何备考选做题？
坐标系与参数方程问题，基础好一点的考生可以不着急转化，而应在理解几何意义、几何图形的基础上解决问题。要注意灵活利用几何性质及有关结论来求解，减少运算量，提高解题的速度和准确度.
小结：
1、必须掌握一种方法：化直角坐标方程求解。 2、学会灵活运用（直接用）参数方程和极坐标方程来解题，以减少运算量。 ——仔细研读近几年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）选做题的解答