《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
同济六版高数第一册第一单元.ppt
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
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函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
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函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
同济六版高等数学第一章第七节课件
无穷大量的定义
如果当x趋于某值时，函数f(x)趋于无穷大，则称f(x) 为无穷大量。
无穷小量与无穷大量的关 系
两者之间存在密切的联系，无穷小量是无穷 大量的极限状态，而无穷大量则是无穷小量 的极限状态。
03
导数的概念与性质
导数的定义与几何意义
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，即函数在该点的变化率。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行不定积分， 将其中一个函数作为u，另一个函数
作为v'，然后进行不定积分。
换元积分法
通过引入新的变量替换原函数中的自 变量，将不定积分转化为容易计算的
形式。
积分的应用
求面积
不定积分可以用来计算平面曲线下方的面积。
求长度
不定积分可以用来计算曲线在某个区间上的 长度。
物理应用
于这个值时的极限为A。
极限的性质
包括唯一性、有界性、局部 保号性等。这些性质对于理
解和应用极限非常重要。
极限的计算
包括直接代入法、因式分解 法、等价无穷小替换法等， 这些方法可以帮助我们计算 函数的极限。
无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义
如果当x趋于某值时，函数f(x)趋于0，则称f(x) 为无穷小量。
同济六版高等数学第 一章第七节课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 函数与极限 • 导数的概念与性质 • 导数的应用 • 不定积分 • 定积分 • 总结与回顾
01
引言
本章概述
01
本章主要介绍极限的概念、性质及其在数学分析中的基础地位。
02
通过本章学习，学生将了解极限在研究函数、导数、积分等数
学概念中的作用。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
高等数学同济大学第六版1-01-函数课件
x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x
2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他 用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质 变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函 数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。 微积分的研究是以极限的思想为基 本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。 但根本上，微积分这一学说的诞生 的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:
【同济第六版高数】第01章函数与极限教案与习题讲解(2)
第一章 函数与极限§1. 2 数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子:{1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ , 1+n n ⋅ ⋅ ⋅; {2n }: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n , ⋅ ⋅ ⋅;{n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ;{n n n 1)1(--+}: 2, 21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ . 它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+. 数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数:x n =f (n ),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义：对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11lim =+∞→n n n ,021lim =∞→n n , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n}, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.数列极限的几何解释: 例题:例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n 1, 即ε1>n . 证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -1|=ε<=--+-n n n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 例2. 证明0)1()1(lim2=+-∞→n n n . 分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n . 对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn . 证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n , 所以0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 例3. 设|q |<1, 证明等比数列1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使|x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。
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tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证:
lim lim lim lim lim lim
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin 5 x
lim ( x) lim ( x) 1 1 lim arcsin x sin lim x sin 0 x 0 x x 0 x
tan x sin x 例3. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2 x 0
n
(2) 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 ) sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
2. 等价无穷小替换定理
Th 2
思考与练习
P59 题1 , 2
作业 P59 3 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3)
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第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断
一、 函数连续性的定义
利用和差代替与取大规则
说明
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内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小
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常用等价无穷小 :
x3
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(1 1 . 例4. 求 lim x 0 cos x 1
解:
1 x2 )3
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例5. 证明: 当
证:
时,
ln(1 x) ~ x
ln( 1 x ) ln(1 ( x )) ~ ( x ) ln( 1 x ) 与ln(1 x)不等价
z 0
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例6. 求
解: 令 t x , 则
t t lim (1 1 ) t
lim
1
t
( x) 1 lim ( 1 ) e, 则 说明 ：若利用 ( x) ( x )
1 ) x lim ( 1 原式 x x
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例如 , 当 x 0 时
x 3 o( 6 x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 cos x lim 2 x 0 x
故 时
2 x 2 sin 2 lim 2 x 0 4( x ) 2
1 2
是关于 x 的二阶无穷小, 且
n
sin π n
cos π n
说明: 计算中注意利用
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2. 证 : 当 x 0 时 , 设 n x n 1, 则
n 1 (1 n 1)
x n 1 1 1 (1 x ) (1 n )
n 1 (1 n1 ) 1
n n
n lim lim (1 n1 ) 1
使 lim f ( xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n
, 使 的不同数列 xn 及 xn
n
) lim f ( xn ) lim f ( xn
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例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2n π 2n π π 2 有
1 1 2. lim x sin ____ ; x x 1 n e 1 4. lim (1 ) ____ ; n n
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
第七节 无穷小的比较
2
sin t t
1
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例4. 求
解: 原式 = lim
x 2 sin 2 2 2
x 0
x
1 lim 2 x0
x sin 2
x 2
1 12 2
2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π An n R 2 sin π cos n n
π n
R
证明: 证: lim An lim π R 2 π n n
(n 1, 2 ,)
1 lim sin lim sin 2n π 0 n xn n 1 lim sin lim sin(2n π π ) 1 2 n n xn
不存在 .
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由定理 1 知
2. 函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x U ( x0 , ) 时, g ( x) f ( x) h( x) , 且
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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~ 1 x sin x lim 例如, lim 3 3 x 0 3 x x 0 x 3 x (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价, lim . 则 ~ , 且 lim
1 cos
1 x2 x～ 2
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例1. 证明: 当
证:
时,
～
n 1 n 1 n2 ( a b ) a b ( a b ) a b
n
n
～
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例2. 证明:
证:
因此
即有等价关系:
说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
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第一章
引例 . x 0 时 , 3 x , x , sin x 都是无穷小, 但
sin x 1 x lim , 0, lim x 0 3 x 3 x 0 3 x sin x lim 2 , x 0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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2
定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
O C A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积 即 故有 亦即 显然有
1 sin x 2
1 x
B D
1 tan x 2
(0 x π ) 2 (0 x π ) 2
sin x x tan x
sin x cos x 1 x
注
注
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例2. 求
1 e 1
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例7. 求
解: 原式 =
1 ) 2 ]2 lim [(sin 1 cos x x x
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
e
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内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用
2x x tan 2 x sin x lim 1 例如, lim 2 1 x 1 x 0 x x 0 2
(见下页例3) 注意 ~ 时此结论未必成立！
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(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有 界, 则 例如,
n
1 n1 1
e
(P53~54)
n 1 1)n 1） lim (1 1 ) lim [( 1 （ 1 ] e n n n n
x
x lim (1 1 ) e x
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当
时, 令 x (t 1) , 则
1 ) (t 1) lim (1 t 1 t
O
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x0
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x
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定理1. lim f ( x) A
x x0 ( x )
xn x0 , f ( xn ) 有定义
有 lim f ( xn ) A .
n
且
( xn )
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
n
xn x0 ,
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定理1.
证:
～
o( )