同济大学《高等数学》8.4节 多元复合函数的微分法
§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
机动 目目录录 上上页页 下下页页 返返回回 结结束束
定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
机动 目目录录 上上页页 下下页页 返返回回 结结束束
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
目录 上页 下页 返回 结束
例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
目录 上页 下页 返回 结束
例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
多元复合函数的微分法
J (F,G) u v (u, v) G G
u v
在点P0不等于0,则
F(x, y,u, v) G(x, y,u, v)
0 0
可唯一确定函数
u u(x, y),v v(x, y) 满足此方程组及
uv00
u(x0, v0 ) v(x0, v0 )
Fu Fv
Gu Gv
Fu Fy
u 1 (F, G) Gu G y
y J (u, y)
Fu Fv
Gu Gv
乐经良
例 设函数 u u(x, y), v v(x, y)由方程组
x2 y2 uv 0 xy u2 v2 0
确定，求 u , v , u 及 v
( z )2 ( z )2
x
y
化为以 r,为 变量的形式
从变换关系看 宜对r,θ求导
乐经良
例 函数 z f (xy, x ) , f 有连续二阶偏导数，求
y
2z 及 2z x2 xy
例
F (x, y)
x2 y f (t, t 2 )dt,
a
f 可微, 求Fxy
x x y y
例 函数 y=y(x),z=z(x)由方程组
z x (x y)
F(x, y, z) 0
其中 , F 均可微，Fy Fz 0, 求 y，z
乐经良
8.5.3 一阶全微分形式的不变性
函数 z= f(u,v)的全微分
dz f du f dv, u v
例 设函数 u = f(x,y,z)可微，而 x=x(t),y=y(t),
z=z(t)均可导，试求复合函数 u f (x(t), y(t), z(t))
高等数学(微积分)课件--84多元复合微分法隐函数微分法
u ( x 2 y 2 ) (e xy ) f 1 f 2 y y y
2 y f1 xe xy f 2
21
z 1 f 1 f 2. 解 x y 2 z ( f 1) 1 v 1 ( f 2 ) f 12 ) 2 ( f 2 ) ( f 11 x x y x y x x 2 1 1 1 1 f 12 2 f 22 f 12 ( f 21 1 f 22 ) f 11 f 11 y y y y y 2 z z 1 ( ) ( f 1) ( f 2 ) xy y x y y y x 1 1 x ( 2 ) ( 2 ) f 2 [ f 22 ( 2 )] f 12 y y y y x 1 1 x 2 f 2 f 22 3 f 22 . 2 f 12 y y y y 22
§8.4复合微分法/隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 二、隐函数微分法
1
只依赖于一个自变量的二元复合函数 函数的求导法
定理：如果函数u=(t)及v=(t)都在点t可导,函 数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有可微,则复合函数 z=f((t), (t))在对应点t可导，且其导数可表示 dz z du z dv 为： dt u dt v dt
14
t2
课堂练习 答案
1： 0 2： 0
1 3 : f (2te 1) f ( cos t ) t 2 t
' u t2 ' v
1
15
全微分形式不变性
设函数z=f(x,y)可微,当x,y为自变量时,有全微分 z z 公式 dz dx dy 当x=x(s,t),y=y(s,t)为可微函 数时,对复合函数z=f(x(s,t),y(s,t)),仍有全微分：
§8.4多元复合函数微分法
w f u f v f1 yz f 2 x u x v x
f ( u, v ) f ( u, v ) , f 2 u v
2 f ( u, v ) 2 f ( u, v ) 2 f ( u, v ) 2 f ( u, v ) 记 f11 , f12 , f 21 , f 22 . 2 2 u uv vu v
x
2．若函数z=f(x, y)可微， y ( x ) 可导，则 z f [ x, ( x )] 的导数为
dz z z dy dx x y dx
z
y
x
3． 若w=f(u)可微， u ( x, y ) 的偏导数存在，
则 w f [ ( x, y )] 的偏导数为
w dw u , x du x
w dw u . y du y
dz . 例3 设 z u 2 , u ln t , v sint , 求 dt
2 v
解
dz z du z dv dt u dt v dt
1 2u2 u 2 2v ln 2 cos t t
由复合函数的偏导数公式，得
z u z v z u z v dz ( )dx ( )dy u x v x u y v y
z u u z v v ( dx dy) ( dx dy) u x y v x y
u x y v x y
2z 0. u v
可知当 时, x, y是关于 u, v的函数,
则函数z=f(x,y)可变为关于 u,v的函数 z=f [x(u,v),y(u,v)]=F(u,v). 把x,y看成自变量, u,v是中间变量, 则函数z=f(x,y)是由F(u,v)和
8.4多元复合函数的求导法则
dz z du dx u d x
z dv v dx
z
u v
vu
v 1
du dv v u ln u dx dx
x
x
如z x sin x ,( x 0, x 1)
d z z du z d v dv v 1 du v vu u ln u d x u d x v dx dx dx
z 与 f 不同, x x
分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
数学教研室
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
e sin v
z y
u
e x y [ y sin( x y ) cos( x y)]d x
所以 例1 .
z z z e sin v, u x y, v x y, 求 , . x y
u
数学教研室
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 例如, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
z
u v w
t t t
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
z
u v
x
y x
u x
u
f x f v x ;
u y
x y v f y fv y x y
2. 全微分形式不变性
不论 u , v 是自变量还是中间变量,
多元复合函数微分法
e t (cos t sin t ) cos t .
例3
设 w f ( x y z , xyz ) ， f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数，求 和 . x xz
解 令 u x y z, 记
f ( u , v ) f1 , u
v xyz;
u
f
y z
h g
t y x
t
x
x
h
t
t
x
du f f h h dt f g g h h dt ( ) ( ( )) dx x y x t dx z x y x t dx f f h f h dt f g f g h f g h dt x y x y t dx z x z y x z y t dx
ye xe dz z dx z dy ( e 2) ( e 2) z xe xy z ye xy z , z . y e 2 x e 2
xy
xy
小结：
1、链式法则（分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性 （理解其实质）
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
具有对x 和y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点 ( x , y ) 的两个偏
dz 三、设 z arctan( xy ) ,而 y e x ,求 . dx
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ), (其中f具 有一阶连续偏导
§8.4 多元复合函数的求导法则
设u ( x , y ), v ( x , y )在( x , y )有二阶连续偏导, z f ( u, v )在( u, v )有二阶连续偏导, 则复合函数z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在( x , y )有二阶连续偏导.
求导过程须注意:
u
x
y
z z du dv . v u
无论u, v是自变量还是中间变量 都有 ,
z z dz du dv u v
这就是一阶全微分形式不变性.
例11.设z f ( x y, xy), 求dz.
Solution1. dz
df ( x y, xy)
f1d ( x y) f2d ( xy)
f ( u, v ) f1 f1 , u
f (u, v) f 2 f 2 , v
f (u, v) f11 f11 uu
2
f (u, v) f12 f12 uv
2
f ( u, v ) f21 f21 vu
2
f (u, v) f 22 f 22 vv
y 例10.z f (u, v), f有连续的二阶偏导数，u x y, v , x 2 2
2
z z 求 2, . x xy y 2 Solution. z ( x, y ) f ( x y, ) x
y z 2 xyf 1 f 2 x x
2y 4y x y 2 2 z 2 yf1 3 f 2 4 x y f11 f12 2 f 22 xx x x x 1 y 3 z 2 xf1 2 f 2 2 x yf11 yf12 3 f 22 xy x x
高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析
word 完美格式第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。