高等数学习题详解第7章多元函数微分学(精品文档)
高等数学高教版课后习题答案
z r 3 (2 s i n2 c o s s i n3 c o s 3 2 s i n c o s 2 ) 。
4．
dz 3 12t 2 。 dt 1 9t 2 24t 4 16t 6
5． 6．
dz e x (1 x) 。 dx 1 x 2 e 2 x
答案与提示
第七章 多元函数微分学
§ 1 多元函数的极限与连续 1． （1）0； （2）2； （3）0； （4）不存在； （5）0； （6）不存在； （7）0； （8）不存在。 8 2． （1） ln 2 ； （2）0； （3） ； （4）0。 5 3． （1）不连续； （2）不连续； （3）连续。 4． （1）当 x m 且 y n （ m, n Z ）时连续； （2）当 x 2 y 2 1 时连续； （3）除点 (a, b) 外都连续。 5． （1）当 | x || y | 时连续； （2）除点 (0, 0) 外都连续。 § 2 全微分与偏导数
（3）
2z ， cos xf1 sin 2 xf11 2 x
2z ， sin x sin yf12 xy
2z ； cos yf 2 sin 2 yf 22 2 y
（4）
2z 4 xy 3 f12 y 4 f 22 ， 2 yf1 4 x 2 y 2 f11 x 2
x 2 x y2 （2） J y x2 y2 y x y2 x 2 x y2
2
xdx ydy du x 2 y 2 ， 。 dv ydx xdy x2 y2
（3）
（4）
z z x xy y (ln x 1) ， x xy 1 ln x 。 x x
多元函数微分学的应用习题及详细解答
（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2
高等数学教学资料-第七章
kx3 k2 x6
1
k k
2
,
y 0
ykx3
其值随k的不同而变化，
故极限不存在．
确定极限不存在的方法：
（ 1 ） 令 P (x ,y ) 沿 y k 趋 向 x 于 P 0 (x 0 ,y 0 )， 若 极 限 值 与 k 有 关 ， 则 可 断 言 极 限 不 存 在 ；
（2）找两种不同趋近方式，使limf(x,y)存在， xx0 yy0 但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点 P0(x0,y0)处极限不存在．
内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；
例 {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0)既是边界点也是聚点．
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {x (,y)|x2y21 }
边界上的点都是聚点也都属于集合．
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中PP0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2 求证lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0
正 数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函数
z f ( x, y)当 x x0， y y0 时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
第7章多元函数的微分
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R 所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 球 面 方 程.
11
3.曲面与方程
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.
6
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
空间两点间距离公式
特殊地 若两点分别为M( x, y, z) , O(0,0,0) d OM x2 y2 z2
空间两点间距离公式与平面直角坐标系中两点间 距离公式有类似的表达形式，是平面两点间距离公式 的推广.
32
例 设函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
讨论 在（0，0）点处, 函数的极限是否存在.
解： 当P(x, y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,
lim
x0
f
( x,0)
lim
x0
x0 x2 02
lim0
x0
0
同样, 当P(x, y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,
如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的
每一点连续, 则称函数 f ( x, y) 在D内连续, 或称函数 f ( x, y)是 D内的连续函数.
35
同一元函数一样, 二元连续函数的和、差、 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的. 每个自变量的基本初等函数经有限次四则 运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数 称为多元初等函数, 在其定义区域内亦是 连续的.
高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
5
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
从几何上看，这时如果曲面 z f ( x, y) 在点
21
例6
求椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的内接长方体,
使长方体的体积为最大.
解 设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为
(x, y, z),则内接长方体的体积为8x构yz造, 函数
F
( x,
y,
z)
8 xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1),
得方程组
8
yz
2x a2
0,
8 xz
2y b2
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
8
例1 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
解 先解方程组
f x ( x, y) 3x2 6x 9 0,
x y 1 3，z 2 3 和 2
x y 1 3，z 2 3 2
dmax 9 5 3, dmin 9 5 3.
25
例8. 求函数f(x, y)=xy在闭区域x2 y2 1上的
最大值与最小值
解 由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)得=x到=0函, 数在区域内 的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)下=0面.考虑函数在区域 的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设
微积分第2版-朱文莉第7章 多元函数微分学习题祥解
习题7.1(A)1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。
解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)；(2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。
2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D --并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。
解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限；C 点在第8卦限；D 点在第3卦限。
(1) A =(4,3,5)-(2) A 到x =A 到y =A 到z 5=；(3) A 到坐标面xy 5=；A 到坐标面yz 4=；A 到坐标面xz 3=。
3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。
解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即222222(4)1(7)35(2)z z两边平方, 解得149z, 于是所求点为14(0,0,)9M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。
解 由2222000()()()xx yy zz R ，得2222(1())(113())(12)R则3R ，从而球面方程为2222(1)(3)(2)3x yz5、下列各题中方程组各表示什么曲线？(1)2248,8;x y z z(2)2225,3;x y z x(3)2224936,1;x y z y (4)2244,2.x y z y解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。
6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。
(1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=；(2) 2222220,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
高等数学多元函数微分学习题集锦
第七章、多元函数微分法 习题课
解法3
隐函数求导法，
u = f ( x , y ( x , z ) ) = f ( x , y ( x , z ( x )) ) , dz ⎞ ⎛ du = f x + f y ⋅ ⎜ y x + yz ⋅ ⎟ , dx ⎠ dx ⎝ gx yx = − gy gz yz = − gy
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的 四面体体积最小，求切点坐标并求此最小体积
2
2
2
解
设 P ( x 0 , y 0 , z 0 )为椭球面上一点， 令
则 Fx′ |P =
2 x0 , F ′ | = 2 y0 , Fz′ |P = 2 z0 , y P a2 c2 b2 过 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面方程为
第七章 多元函数微分法及其应用 习 题 课
一、主要内容 二、典型例题 三、作业
一、主要内容
平面点集 平面点集 和区域 和区域
极 限 运 算 极 限 运 算 多元连续函数 多元连续函数 的性质 的性质
第七章、多元函数微分法 习题课
多元函数概念 多元函数概念
多元函数 多元函数 的极限 的极限
多元函数 多元函数 连续的概念 连续的概念
dz . 消去 d y 即可得 dx
第七章、多元函数微分法 习题课
⎧ x 2 + y 2 + z 2 − 3x = 0 例7. 求曲线 ⎨ 在点(1,1,1) ⎩2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 的切线与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
n1 = (2 x − 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) = (−1, 2 , 2 ) n 2 = (2 , − 3 , 5 )
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
感谢观看
Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
高等数学习题详解-第7章多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
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1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为Ay +Bz =0.又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为Ax +Cz +D =0.又点M 1和M 2都在平面上，于是A D C D +=⎧⎨+=⎩ 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0.显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，09. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.解：(1)表示直线、平面。
(2)表示圆、圆柱面。
(3)表示椭圆、椭圆柱面。
(4)表示抛物线、抛物柱面。
1. 下列各函数表达式:(1) 已知f (x ,y )=x 2+y 2,求(f x y -； (2)已知22(,f x y x y -=+求f (x ,y ).解：（1）2222(()f x y x y x xy y -=-+=-+ （2）2222(()2f x y x y x y -=+=-+所以22(,)2f x y x y =-2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) 221sin 1z x y =+-；(2) z =(3) (,))f x y x y =-；(4) 22(,)f x y =解：（1）由2210x y +-≠可得221x y +≠故所求定义域为D ={(x ,y )| 221x y +≠}表示xOy 平面上不包含圆周的区域。
（2）由221010x y ⎧-≥⎨-≥⎩可得1111x y y -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1111x y y -≤≤≥≤-且或}，表示两条带形闭域。
（3）由100x x y -≥⎧⎨->⎩可得1x y x ≥⎧⎨<⎩故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1x y x ≥<且}，表示xOy 平面上直线y=x 以下且横坐标1x ≥的部分。
（4）由2221310x y x y ⎧-≤--≤⎨-≥⎩可得22224x y y x ⎧≤+≤⎨≤⎩故所求的定义域为D ={(x ,y )| 22224x y y x ≤+≤≤且}。
3. 说明下列极限不存在：(1) 00lim x y x yx y→→-+；(2) 36200lim x y x yx y →→+.解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有(,)(0,0)0 (1)1lim lim (1)1x y x y kxx y k x k x y k x k →→=---==+++。
显然，此时的极限值随k 的变化而变化。
因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。
（2）当点P (x ,y )沿曲线3y kx =趋于点(0,0)时，有 33662262(,)(0,0)0 lim lim (1)1x y x y kxx y kx kx y k x k →→===+++。
显然，此时的极限值随k 的变化而变化。
因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。
4. 计算下列极限：(1) 01lim x x y e yx y →→++； (2)(,)(0,3)sin()lim x y x y x→;(3) 33(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++；(4)(,)(0, 0)limx y →.解：（1）因初等函数(,)x e yf x y x y+=+在(0,1)处连续，故有0011lim 201x x y e y e x y →→++==++（2）(,)(0,3)(,)(0,3)sin()sin()limlim 3x y x y xy xy y x xy →→==（3）33332233(,)(0,0)(,)(0,0)sin()sin()lim lim ()0x y x y x y x y x xy y x y x y→→++=-+=++ （4）(,)(0, 0)(,)(,)1limlim lim 4x y x y x y →→→===。
5. 究下列函数的连续性：(1) 22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩(2) 2222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩解：(1)22(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim ()0(0,0)x y x y x y x y f x y →→-=-==+所以f(x,y)在(0,0)处连续.(2) 22222222222(,)(0,0)0 1lim lim 1x y x y kxx y x kx k x y x k x k →→=---==+++ 该极限随着k 的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.6. 下列函数在何处间断？ (1) 221z x y =-；(2) ln z =解：(1)z 在{(x ,y )| x y =}处间断. (2)z 在{(x ,y )| 221x y +≥}处间断.习题7-31. 求下列函数偏导数：(1) z =x 3+3xy +y 3；(2) 2sin y z x=;(3) ln(3)z x y =-； (4) ln (00,1)y z x x y x y x =+>>≠， (5) z yu x =； (6) 22cos()z u x y e -=-+ 解：(1) 2233,33.z z x y x y x y ∂∂=+=+∂∂(2) 222sin 1,cos 2.y z z y y x y x x∂∂=-=∂∂ (3) 13,.33z z x x y y x y∂∂-==∂-∂-(4) 1111,ln .y y y y z z yx yx x x x xy x y y --∂∂=+=+=+∂∂(5)12,ln ().zzy y u z u z x x x x y y y-∂∂==-∂∂ 1ln ()zy u x x z y ∂=∂(6) 22sin()2,z ux y e x x-∂=--+∂ 2222sin()(2)2sin().z z z x y e y y x y e y --∂=--+-=-+∂22sin()()z z ux y e e z--∂=--+-∂ 22sin()z z e x y e --=-+ 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求f x (1,2)，f y (1,2);(2) 22(,)arctan x y f x y x y+=-;求(1,0)x f(3) 22arctan((,)sin(1)x f x y x e =-; 求(1,2)x f ；(4) (,,)ln()f x y z x yz =-, 求(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)x y z f f f . 解：(1) (,)2,(,)2.x y f x y x y f x y x y =-=-+ (1,2)220,(1,2)14 3.x y f f ∴=-==-+= (2) 21(,0)arctan ,(,0)1x f x x f x x ==+故因此11(1,0).112x f ==+ (3) 222arctan(1(,2)ln(4)sin(1)2x f x xx e =++-因此2222arctan(4)22arctan(12(,2)cos(1)224sin(1)x x x x x f x x x ex x e ++=+-++-所以arctan(11(1,2)25x f e =+.(4) 1(,,),(,,),(,,).x y z yz f x y z f x y z f x y z x yz x yz x yz --===---故11(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)0.22x y z f f f ==-=3．设r =，证明： (1) 2221r r r x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (2) 2222222r r r r x y z∂∂∂++=∂∂∂; (3) 2222222(ln )(ln )(ln )1r r r x y z r ∂∂∂++=∂∂∂.证明：r x ∂∂=,x r = 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：r y ∂∂,y r =r z ∂∂.z r=(1)()()2222222221x y z r r r r xy z r r++⎛⎫∂∂∂++=== ⎪∂∂∂⎝⎭(2) 22222223r x r x r r r x x r x r r r ∂--∂-∂===∂ 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：2222222323,r y r r r z y r z r -∂∂-==∂∂ 222222222233322.r x y r r r r r x y z r r--∂∂∂∴++===∂∂∂(3) 2222222(ln )1ln ln(),2r x x r x y z x x y z r∂=++==∂++ 22222442(ln )2r r x r r r x x x r r ∂-∂-∂==∂ 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：2222222424(ln )2(ln )2,.r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ 222222222242(ln )(ln )(ln )32()1r r r r x y z x y z r r∂∂∂-++∴++==∂∂∂.4. 求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂,22z y ∂∂,2z y x∂∂∂： (1) 322433z x x y x y x y =+--+； (2) ln()z x x y =+.解：(1) 222212631,246.z z x xy y x y x x∂∂=+--=+∂∂222361,6.z zx xy x y y∂∂=-+=-∂∂ (2) 2222211ln(),.()()x y x x y z z x y x x x y x y x x y x y +-+∂∂=++=+=∂++∂++222,.()z x z x y x y y x y ∂∂==-∂+∂+ 5. 某水泥厂生产A ,B 两种标号的水泥，其日产量分别记作x ,y (单位：吨)，总成本(单位：元)为C (x ,y )=20+30x 2+10xy +20y 2,求当x =4,y =3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：(,)6010,(,)1040,x y C x y x y C x y x y =+=+ (4,3)270,(,)160.x y C C x y ∴==经济含义:当A ,B 两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B 水泥产量不变，而A 水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A 水泥产量不变，而B 水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。