高等数学微积分课件 多元函数
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多元函数微积分(课件)
3 V 为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
高数课件21多元函数微分学
设两点为 P( x1, x2,, xn ), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间
两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
1
2
重点
多元函数基本概念，偏导数， 全微分，复合函数求导，隐函 数求导，偏导数的几何应用， 多元函数极值。
难点
复合函数求导，多元函数极值。
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质
上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上
函数则可以类推，
因此这里基
本上只讨论二元函数。
一、多元函数的概念
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
( x, y) x 0, x y x；
8、 ( x, y) y 2 2x 0 .
3 x2 y2 1 2 x2 y2 4
x y2 0
x
y2
f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2
例1 求 解 所求定义域为
的定义域．
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)， 当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
高数D多元函数基本概念演示课件
Rn R R R
定义线性运算
的全体称为 n 维空间,
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
一个点,
称为该点的第 k 个坐
当所有坐标 标 . 称该元素为R n 中的零元,记作 O .
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
y=
k
x
l，im
x0
y2 sin x x2 y4
lim
x0
k 2 sin x 1 k4x2
0
y0
令 y
x, lim x0
y2 sin x x2 y4
lim x0
x sin x x2 x2
1 lim 2 x0
sin x x
1 2
y0
y2 4x D1x
可见极限 不存在
3) 一切多元初等函数在定义区域内连 续
练习 题 1.
题 2.
(1)定义 域 (2)定义
域
y
y x2 D
o
x
y
D o rR x
题 3.
定义域
y
lim
x
1 2
y0
f (x, y)
f
(1, 0) 2
2 ln 34
题
4.证明lim x0
y2 sin x x2 y4
不存在.
y 0
令
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
定义线性运算
的全体称为 n 维空间,
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
一个点,
称为该点的第 k 个坐
当所有坐标 标 . 称该元素为R n 中的零元,记作 O .
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
y=
k
x
l，im
x0
y2 sin x x2 y4
lim
x0
k 2 sin x 1 k4x2
0
y0
令 y
x, lim x0
y2 sin x x2 y4
lim x0
x sin x x2 x2
1 lim 2 x0
sin x x
1 2
y0
y2 4x D1x
可见极限 不存在
3) 一切多元初等函数在定义区域内连 续
练习 题 1.
题 2.
(1)定义 域 (2)定义
域
y
y x2 D
o
x
y
D o rR x
题 3.
定义域
y
lim
x
1 2
y0
f (x, y)
f
(1, 0) 2
2 ln 34
题
4.证明lim x0
y2 sin x x2 y4
不存在.
y 0
令
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
高数二多元函数微分学课件
条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数
《多元函数的微积分》课件
最优化问题
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
高等数学微积分课件--82多元函数的概念
方向导数与梯度
方向导数的定义
方向导数是函数在某点处沿某一特定方向的 变化率。
梯度的几何意义
梯度在几何上表示函数值在空间中上升最快 的方向。
梯度的定义
梯度是方向导数的最大值，表示函数在某点 处沿某一方向的最大变化率。
方向导数与梯度的关系
方向导数是梯度的组成部分，但方向导数的 值可能小于梯度。
07
多元函数的极值与最 值
多元函数的自变量x的取值范围。
值域
多元函数因变量y的取值范围。
多元函数的表示方法
1 2
解析法
使用数学表达式来表示多元函数，如z = f(x,y)。
图示法
通过图形来表示多元函数，可以直观地观察函数 的变化趋势和形状。
3
表列法
列出函数在不同点上的取值，便于计算和比较。
多元函数的图形表示
平面图
在二维平面上表示多元函数，通过绘制等高线、 等值线等方式来表现函数的值。
三维图
在三维空间中表示多元函数，通过绘制立体图形 来表现函数的值和变化趋势。
参数方程
通过参数方程来表示多元函数，便于分析和计算 。
03
多元函数的性质
连续性
总结词
连续性是多元函数的基本性质，表示 函数在某点的极限值等于该点的函数 值。
详细描述
在多元函数中，如果一个函数在某点 的所有方向上的极限都存在且相等， 则称该函数在该点连续。连续性是函 数光滑、可微的重要前提。
VS
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的 特殊形式，用于计算定积分的值。
重积分与曲面积分
重积分
重积分是多元函数积分的扩展，用于计算多 元函数在区域上的积分。
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
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f 4,3 2 42 32 2 16 9 41
f 5, y 2 52 y 2 2 25 y 2 50 y 2
A Function of Two Variables: A function f of two variables x and y is a rule that assigns to each ordered pair (x, y) in a given set D, called the domain, a unique value of f.
In general we will not consider the composition of two multi-variable functions.
Domains of Functions of Several Variables:
Unless the domain is given, assume the domain is the set of all points for which the equation is defined. For example, consider the functions
f x , y 2x 2 y 2 or g x , y , z 2xe yz or
h x1 , x2, x3, x 4 2x1 x2 4x3 x 4
Hopefully you can see the notation for functions of several variables is similar to the notation you’ve used with single variable functions.
w g x , y , z 2xe yz or
z f x , y 2x 2 y 2 or
h x1 , x2, x3, x 4 2x1 x2 4x3 x 4
The function z = f(x, y) is a function of two variables. It has independent variables x and y, and the dependent variable z. Likewise, the function w = g(x, y, z) is a function of three variables. The variables x, y and z are independent variables and w is the dependent variable. The function h is similar except there are four independent variables.
When finding values of the several variable functions instead of just substituting in an x-value, we will substitute in values for each of the independent variables:
In this lesson we will discuss: o Notation of functions of several variables o Domain of functions of several variables o Graphs of functions of several variaseveral variables
For example, for the two-variable functions f and g:
f
g x , y f x , y g x , y
f g x , y f x , y g x , y
f f x , y x , y , Provided g x , y 0 g g x , y
Notation for Functions of Several Variables
Previously we have studied functions of one variable, y = f(x) in which x was the independent variable and y was the dependent variable. We are going to expand the idea of functions to include functions with more than one independent variable. For example, consider the functions below:
This occurs in quadrant I and quadrant III. The domain is highlighted below. Note the x-axis and the y-axis are NOT in the domain. y x
Graphs of Functions of Several Variables As you learned in 2-dimensional space the graph of a function can be helpful to your understanding of the function. The graph gives an illustration or visual representation of all the solutions to the equation. We also want to use this tool with functions of two variables. The graph of a function of two variables, z = f(x, y), is the set of ordered triples, (x, y, z) for which the ordered pair, (x, y) is in the domain. *The graph of z = f(x, y) is a surface in 3-dimensional space. The graph of a function of three variables, w = f(x, y, z) is the set of all points (x, y, z, w) for which the ordered triple, (x, y, z) is in the domain. *The graph of w = f(x, y, z) is in 4 dimensions. We can’t draw this graph or the graphs of any functions with 3 or more independent variables.
Chapter 8: Functions of Several Variables
Section 8.1 Introduction to Functions of Several Variables
Written by Karen Overman
Instructor of Mathematics
Tidewater Community College, Virginia Beach Campus Virginia Beach, VA With Assistance from a VCCS LearningWare Grant
Example 1: Find the domain of the function: f x , y
25 x 2 y 2
Solution: The domain of f(x, y) is the set of all points that satisfy the inequality:
The highlighted area is the domain to f.
x
Example 2: Find the domain of the function:
g x , y , z x 2 y 2 z 2 16
Solution: Note that g is a function of three variables, so the domain is NOT an area in the xy-plane. The domain of g is a solid in the 3-dimensional coordinate system. The expression under the radical must be nonnegative, resulting in the inequality:
x 2 y 2 z 2 16 0 or x 2 y 2 z 2 16
This implies that any ordered triple outside of the sphere centered at the origin with radius 4 is in the domain.
For example, using the function f on the previous slide, we will evaluate the function f(x, y) for (2, 3) , (4, -3) and (5, y).
f x , y 2x 2 y 2 f 2,3 2 22 32 2 4 9 17
Example 3: Find the domain of the function: h x , y lnxy
Solution: We know the argument of the natural log must be greater than zero.