高等数学 多元函数微分法及其应用

2u 2 ax b e cos by, 2 y
2u 2 ax a e cos by, 2 x
2u 2u ax abe sin by, abe ax sin by. xy yx
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例3. 求函数 z e z 解: e x2y x
( 3) lim(1 sin xy) ;
x 0 y 0 1 xy
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x2 y2 (4) lim 4 4 x x y y
【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧
sin( xy) ya 【解】 (1)原式 lim x 0 xy y a
1 ( 2)原式 lim[(1 ) ] x x y a
1 2
x2
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二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类
1.一般来说，讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可 偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是 分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义 判断. lim f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) 内含三条，缺一不可 ［连 续］ x x
x2 y2 1 4 , 4 2 x y
x2 y2 1 1 lim 2 2 lim ( 2 2 ) 0 x x y x y x y y
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【法Ⅱ】——夹逼准则
x2 y2 2 x4 y4 0 4 4 4 4 x y x y 2 x , y 0 4 4 x y
z 2 z z 2 z f yx ( x , y ) f xy ( x , y ) , x y yx y x xy
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1. 【高阶偏导数的定义】
f x ( x x , y ) f x ( x , y ) 【定义式】 f xx ( x , y ) lim x 0 x f x ( x , y y ) f x ( x , y ) 其余类推 f xy ( x , y ) lim y 0 y
初等函数.(1,0)定义域 内点.连续. 代入法 换元,化为一元 函数的极限
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x 2 y 2 sin x 2 y 2 【例3】 求 lim 2 2 32 x 0 ( x y ) y 0
【阅读与练习】 求下列极限 x2 sin( xy ) 1 x2 y2 (1) lim (a 0); ( 2) lim (1 ) ; x 0 x x x y a y a
x2 y 0 2 y 0 2 x y
lim f ( x , y ) 0 f (0,0)
x 0 y 0
即f ( x, y)在点(0,0)处是连续的 .
机动 目录 上页 下2】 求 z x 2 3 xy y 2 在点 (1,2) 处的偏导数．

0
其中z f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 ) , ( x )2 ( y )2
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2.【二元函数在区域内的偏导数】
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
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f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) 包括高阶偏 ［可偏导］ f x ( x0 , y0 ) lim h0 导数定义等 h
y y0
0
［可 微］
点 ( x0 , y0 )可微 lim
0
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y ] z [ f x
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例4. 计算函数 z xy y e , 解: x
在点 (2,1) 处的全微分. z xy x e y
z e2 , x (2,1)
z 2e 2 y (2,1)
例5. 计算函数 解: d u
?
的全微分.
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z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x
同理可以定义函数 z f ( x , y )对自变量 y 的偏
z f 导数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ). y y
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3.【多元函数的偏导数】
x2y
2 z x2y e 2 x 2 2 z z x2y x2y 4e 2e 2 y x y 3 2 z z x2y ( ) 2 e y x 2 x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
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4. 【偏导数的几何意义】
设 M0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
【解】
z 2x 3 y ; x
x 1 y 2
z 3x 2 y . y
z x z y
2 1 3 2 8 , 3 1 2 2 7 .
x 1 y 2
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【例 3】设 z x ( x 0, x 1) ，
如图
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z
Ty
M0
z f ( x0 , y ) x x0
Tx
z f ( x , y0 ) y y0
o
x0
y0

y
x

( x0 , y0 )
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【5.几何意义】
在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率 tan .
2z 6 x 2 y 9 y 2 1, x y
2z 6 x 2 y 9 y 2 1. yx
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【例 2】设 u e ax cos by ，求二阶偏导数.
【解】
u aeax cos by, x
u beax sin by; y
一、关于多元函数极限的题类
xy 【例1】 求 lim 2 2 x 0 x y y0 【解】 取路径 y = k x，则
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二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算 也更困难：
xy kx 2 k lim 2 2 lim 2 2 2 , 与k有关,故不存在. x 0 x 0 (1 k ) x x y 1 k y kx ln( x e y ) 【例2】 计算 lim 2 2 x 1 x y y 0
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(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。 (3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 3 z 3 2 3 【例 1】设 z x y 3 xy xy 1，求二阶偏导数及 3 . x z z 2 2 3 2 x 3 y 9 xy2 x; 【解】 3 x y 3 y y, y x 2 2 3 z z 3 z 2 2 2 x 18 xy; 6 xy , 6 y , 2 2 y x x 3
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偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截的曲线
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x2 y 2 2 , x y 0 2 2 【例1】 设f ( x , y ) x y , 2 2 0 , x y 0 问f ( x, y )在点(0,0)处是否连续 ？ x2 y f ( x , y ) lim 2 【解】 lim 2 x 0 x 0 x y y 0 y 0
x 0 y 0
x x x2 y2
e0 1
] e
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( 3)原式 lim[(1 sin xy)
1 sin xy sin xy xy
x2 y2 x2 y2 (4) 【法Ⅰ】 原式 lim 4 4 2 2 0 x x y x y y
偏导数 f y ( x 0 , y 0 ) 就是曲面被平面 x x 0 所截得的 曲线在点 M 0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的斜率 tan .
2 2 x y z 5. 曲线 4 在点( 2,4,5)处的切线对于 x 轴 y 4 zx ( 2,4,5 ) tan 的倾角是多少?
函数 z f ( x , y )的二阶偏导数按变量的不同分为以下两类：
①［二阶纯偏导数］ z 2 z z 2 z 2 f yy ( x , y ) 2 f xx ( x , y ), x x x y y y ②［二阶混合偏导数］
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u = f ( x , y , z ) 在 ( x , y , z) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y