高数多元函数微分学
高数多元函数微分学-偏导数
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
13
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
如图
14
几何意义:
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0
x 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0Tx 对 轴的
当( x , y ) (0,0)时,
( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
求 f ( x , y )的二阶混合偏导数 .
解
3 x 2 y( x 2 y 2 ) 2 x x 3 y 3 x2 y 2 x4 y f x ( x, y) 2 2 2 2 2 2 2 2, (x y ) x y (x y ) x3 2 x3 y2 f y ( x, y) 2 2 2 2 2, x y (x y )
( y | y |)
2
| y| 2 . 2 x y
7
z y
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 yห้องสมุดไป่ตู้
x2 y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x y )
( y 0)
x 1 2 sgn 2 x y y
z 2 z z 2 z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ) y x xy x y yx
纯偏导
混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
16
例6
设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1 ，
高数课件21多元函数微分学
设两点为 P( x1, x2,, xn ), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间
两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
1
2
重点
多元函数基本概念，偏导数， 全微分，复合函数求导，隐函 数求导，偏导数的几何应用， 多元函数极值。
难点
复合函数求导，多元函数极值。
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质
上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上
函数则可以类推，
因此这里基
本上只讨论二元函数。
一、多元函数的概念
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
( x, y) x 0, x y x；
8、 ( x, y) y 2 2x 0 .
3 x2 y2 1 2 x2 y2 4
x y2 0
x
y2
f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2
例1 求 解 所求定义域为
的定义域．
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)， 当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
高数红宝书——第五章 多元函数微分学
如 ②全 导（只有多空间曲线才存在全导）
而 归结为一元函数求导，符合下列叠加原理： ， 称为全导。
陈氏第8技 关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。
● 如果（表达式，表达式，表达式），如 ，则用符号1， 2，3 分别代表对第1、第2、第3项求偏导，如。注意而。
● 一般情况下。因为为隐式求偏导，表示把复合函数中的当成不变 量，对的偏导，而为显式求偏导表示把复合函数中的和都当成不变量， 对的偏导。例如：
【例30】 求函数 在条件下的极值 解： 先计算在条件的极值即可使用拉氏乘数法则
或 当λ=1时不适题意，故λ≠1 代入方程组可得 及 又
故分别为的极小值点的极小值点为： 【例31】 求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭域D上的最大值与最小 值。
解：① 在D内只有驻点(2，1)
②求在D的边界上的最值 在边界和上 在边界 上，代入
驻点有三类： 第一类： 第二类： 第三类：边界上的最值 综合上述结果，可得
评 注 由于积分是个区域， 故需要讨论被积函数的无条件极值和有条 件极值；如果题中所给积分曲线或曲面积分，则只需讨论有条件极值。 【例34】求证：， 其中：。 证明：等效于求函数的最大值与最小值。 先求开区域 上的极值，再求边界上的极值，一起比较得出最大值与最 小值。 【例35】求坐标原点到曲线的最短距离。
正定
负定
不定时
形象记忆法： 无根取极值，负负得正。 ④条件极值：对自变量有附加条件（一般以方程的形式给出）的极 值。 利用拉格朗日乘数法求解 一般根据实际问题来判断求得的点是否为极值点以及是极大值还是极 小值。 ⑤最值求法：比较区域内驻点的极值和边界曲线上的最大值与最小
值，其中最大的就是 最大值，最小的就是最小值。
高数多元函数微分学教案 第五讲 隐函数的求导公式
第五讲 隐函数的求导公式授课题目：§8.4 隐函数的求导公式教学目的与要求：会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。
教学重点与难点：重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。
难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。
讲授内容：一、一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. （2） 公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F 【x , f (x )】≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=，00==x dx dy ; 332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 1022-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂ （4） 公式（4）的推导：将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F 【x , y , f (x , y )】≡0, 将它的两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设函数由方程3.=+-xy z e z 所确定, 求22x z ∂∂． 解 设F (x , y , z )= 3.-+-xy z e z , 则F x =y , F z =1-z e , zz z x e y e y F F x z -=--=-=∂∂11,3222222)1()1(1)1()(z z z z z z e e y e e y ye e x z e y x z -=--⋅=-∂∂--=∂∂ 二、方程组的情形 在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=．一般地，方程组 ⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5） 如何根据原方程组求u , v 对x 和,y 的偏导数？介绍二阶行列式、简要介绍解线性方程的克莱姆法则。
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用第一讲 多元函数的基本概念授课题目：§8.1多元函数的基本概念教学目的与要求：1、理解多元函数的概念．2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质．教学重点与难点：重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容：一、平面点集 n 维空间1、平面点集平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即R 2=R ⨯R={(x , y )：x , y ∈R }坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }.例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )：x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P ：|OP |<r }.回顾数轴上点的邻域。
邻域：设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体，称为点P 0的δ邻域，记为U (P 0, δ)，即}||{),(00δδ<=PP P P U ：或 })()(),{(),(20200 y y x x y x P U δδ<-+-=：. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ，即 }||0{),(00δδ<<=P P P P U ：.如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U．.点与点集之间的关系：任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种：（1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点．（2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点．（3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点．E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E ．E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ．（4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点．由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ．例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.，则满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点；满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点；它们都不属于E ；满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点；它们都属于E ；点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点．开集：如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集．闭集：如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是开集；E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是闭集； 集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集．连通性：如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集．区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域． 例如，E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}．有界集：对于平面点集E , 如果存在某一正数r ，使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集．例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域；集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域；集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.．2．n 维空间设n 为取定的一个自然数，我们用表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合记为R n ，即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )：x i ∈R ，i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间．R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与点y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )之间的距离，记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ．R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中，通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x ． 采用这一记号，结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x ．二、多元函数概念回顾一元函数的概念。
高数下多元微分学复习
。
解：
z x
2xy
1 y2
，
2z xy
2x2
2 y3
。
7．已知 z ln ex ey ，求 z 和 2 z 。 x xy
解：
z x
ex ex ey
，
2z xy
exey ex ey
。
2
8．设 z exy yx2 ，则 zx 1,2 [ C ]。
(A) e 4 ； (B) e2 4 ；(C) 2e2 4 ；(D) 2e 4 。
9．已知
f
x,
y
cos x cos x
y y
，求
fy
,
4
。
解：
f
,
y
cos y cos y
1，故
fy
,
4
0。
10．已知 f x, y, z ex2 y2 z2 ，求 fyy 5,1, 0 。 解： f 5, y,0 e25y2 ， f y 5, y,0 2 ye25 y2 ，
f yy 5, y, 0 2 4 y2 e25y2 ， fyy 5,1,0 6e26 。
11．试证函数 z y arcsin x 满足 x z y z 0 。
x
y
x y
解：
z x
y x2
arcsin
x y
y x
1 1
1 x y2 y
y x2
arcsin
x y
x
y； y2 x2
2 x2 y2 z2
x2 y2 z2
15．若 z f x, y 在点 x0, y0 处有连续一阶偏导数，
则 f x, y 在 x0, y0 处 [ B ]。
(A)不一定可微；
完整版高数一知识点
完整版高数一知识点一、导数与微分高等数学中，导数是一种表示函数变化率的工具。
它是研究函数在某一点上的局部性质和变化趋势的基本概念。
导数可以通过极限的概念进行定义，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
导函数的计算方法包括：1. 基本函数的导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
2. 四则运算法则：求导的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
3. 复合函数的求导：使用链式法则求解复合函数的导数。
微分是导数的应用之一，用于研究函数的近似变化。
微分的计算方法包括：1. 微分的定义：微分可以通过导数来进行计算，表示函数在某一点上的变化量。
2. 微分的近似计算：使用微分近似计算可以帮助我们在没有具体数值的情况下估计函数的变化。
二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。
不定积分可以表示函数的面积、函数的平均值等。
计算不定积分的方法包括：1. 基本积分公式：根据一些基本函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式。
2. 积分的线性性质：积分具有线性性质，即函数的线性组合的积分等于各组成函数的积分之和。
3. 特殊函数的积分：对于一些特殊的函数，可以通过一些特殊的方法进行积分。
定积分是求解函数在某一区间上的面积的过程，也被称为积分。
定积分可以表示弧长、质量、体积等物理量。
计算定积分的方法包括：1. 定积分的定义：定积分可以通过分割区间，计算分割点上函数值与区间长度的乘积之和来进行计算。
2. 积分的性质：定积分具有一些性质，例如积分的线性性质、积分的区间可加性等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式给出了定积分与不定积分之间的关系。
三、常微分方程常微分方程是研究函数的导数与自变量之间关系的方程。
它是高等数学中一个重要的分支，应用广泛。
常微分方程的求解方法包括：1. 可分离变量法：对于可分离变量的常微分方程，可以通过分离变量并积分的方法进行求解。
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设 u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、w w ( x , y ) 都 在 点 ( x , y ) 具 有 对 x
y 的 偏 导 数 ， z f (u,v,w ) 在 对 应 点 (u,v,w ) 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则
合 函 数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两 个 偏
z 2eu2v
v
z
dv e x
dx
u
x
v
d dx z u zd du x vzd dx veu2v(cox s2ex)
es ixn2ex(co xs2ex)
例2 求 d xsinx ( x 0) dx
这CH是8多幂元指函数函微分学 数的求导
可利用对数求导,可不可以用链式法则?
解 令 ux,vsixn ,zuv
z x
z u
u x
z v
v x
，
z y
z u
u y
z v
v y
仍为u、v的二元函数
观点要 明确！
即:
z u
fu
f1
u v
vzfv f2
u v
从而也x、 是 y的函.数
复合二阶偏导：
CH8多元函数微分学
z z u z v
x u x v x
f1
u x
f
2
v x
2z x 2
z x x
x
个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
链式法则如图示
CH8多元函数微分学
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
CH8多元函数微分学
类似地再推广：
f
(x)f
x u x v x u
v
ux
2z(x)ff
xy
yu yv
vte u sit n co t s
e tcto e tsti n ctos
et(cto ssit)n co t. s
z 是 u ,v ,t的函 d z zd 数 u zd ， v zdt dt u dt vdt tdt
CH8多元函数微分学
二、中间变量为多元函数-----链式法则
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而
解： 令 uxy, vxy
u 则由复合函数求偏导数的链式法则可得
x
zf uf v z
x ux vx
v
y
f 1 (x y ,x ) y y f2 (x y ,x )y
z f uf v y uy v y
f1 xf2
复合高阶偏导数
CH8多元函数微分学
复合一 z阶 f(u,v偏 ) u导 u(x,y)： v ,v(x,y)
5
CH8多元函数微分学
一、中间变量为一元函数-----链式法则
定理 1 如果函数u (t )及v (t)都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应点t 可导，
且其导数可用下列公式计算：．
dz z du z dv dt u dt v dt
CH8多元函数微分学
第八章 多元函数微分学
复习 １、多元函数全微分的概念；
CH8多元函数微分学
２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
CH8多元函数微分学
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
CH8多元函数微分学
练习
z
u vt
CH8多元函数微分学
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 d zzd uzd vzdw dtudtvdtwdt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
CH8多元函数微分学
例1
设z eu2v , u sin x, v e x 求
dz dx
解:
z u
eu2v
du cos x dx
e x y y sx i n y cx o y s
z y
z u
u y
z v
v y
e u sv ix n e u cv o 1s
eu(xs ivncov)s
e x x y sx i n y cx o y s
CH8多元函数微分学
例5 设 zf(u,v) 可微，求 zf(xy,x)y 的偏导数。
是多元函数的情况： z f [( x, y), ( x, y)].
定 理 2 如 果 u ( x, y)及 v ( x, y)都 在 点( x, y) 具 有 对 x 和 y 的 偏 导 数 ， 且 函 数 z f (u,v)在 对 应 点 (u,v)具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两
数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z v
z
w
,
x u x v x w x
z y
z u
u y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z v
v y
z w
w y
.
ux zv
wy
CH8多元函数微分学
例4设zeusivn， 而 uxy， vxy，
求z和 z.
u
x
解
x y
z
z x
z u
u x
z v
v x
v
y
eusivn yeuco v1 s
eu(ys ivncov)s
求:zxln(x2y)的偏导数和全微分
zlnx(2y)x 1
x
x2y
z x 2 y x2y
d z(lx n2 (y)x 1 )d x 2 dy x2y x2y
CH8多元函数微分学
第四节 多元复合函数的求导法则
主要内容
一、复合函数的中间变量为一元函数； 二、复合函数的中间变量为多元函数； 三、复合函数的中间变量为特殊情况。
dzz duz dv z
u
vx
dx udx vdx
vv u 1(uvln u)coxs
xs ix n(c o xsl nxsi n x) x
CH8多元函数微分学
例 3设 zu vsitn， 而 uet， vcot， s
求 全 导 数 d.z dt
z
解 d zzd uzd vz dtudtvdtt
u vt
f1
u x
f
2
v x
f1 x
u x
f1
2u x 2
f2 x
v x
f
2
2v x 2
2z、2z 、2z 同理； y2 xy yx
例6 设z f(x)y,(y)x, f具有连C续 H8多的 元函数二 微分,阶 学
,可导，2求 z
xy
解：
u
x
记 u(x)y,v(y)x，则 z
v
y
z f u f v