高数多元函数微分法及其应用
高数第九章习题答案
则
∂z ∂z ∂z ∂z , 仍旧是复合函数，即 = f u′ ( u, v ), = f v′( u, v ), 而u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ), ∂u ∂v ∂u ∂v
x ). y
（ 2） z = f ( x ,
x (记(1))
z = f (或f ′ )
x (记( 2)) y
x→0 y = x→0
x2 y2 = 1. x 2 y 2 + ( x − y)2
若动点P ( x , y )沿y = 2 x趋于(0,0)，则： lim
x2 y2 不存在. x 2 y 2 + ( x − y)2
x→0 y = 2 x→0
4x4 x2 y2 = lim = 0. x 2 y 2 + ( x − y ) 2 x→0 4 x 4 + x 2
证法 1：利用复合函数、隐函数的求导公式。
由F ( x , y , t ) = 0可知，t是x , y的函数：t = t ( x , y ).
∂z ∂ y ln( 1+ xy ) x xy = e [ln(1 + xy ) + y ⋅ ] = (1 + xy ) y [ln(1 + xy ) + ]. ∂y ∂y 1 + xy 1 + xy
（8） u = arctan( x − y )
z
解:
∂u z ( x − y ) z −1 ∂u − z ( x − y ) z −1 ∂u ( x − y ) z ln( x − y ) ; ; ; = = = ∂x 1 + ( x − y ) 2 z ∂y 1 + ( x − y ) 2 z ∂z 1 + ( x − y)2z
《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用
∆ z = A∆ x + B∆ y + o( ρ ) 总成立 ,
上式仍成立， 当 ∆ y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ = | ∆ x | ,
f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆ x + o(| ∆ x |) ,
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
y yz 例2 计算函数 u = x + sin + e 的全微分 . 2
y ∂u 1 ∂u ∂u yz yz 解 = ye , =1, = cos + ze , ∂y 2 2 ∂z ∂x
所求全微分
1 y yz yz du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz . 2 2
例4 试证函数
1 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0) , xy sin 2 2 x +y f ( x , y) = 0, ( x , y ) = ( 0 , 0) .
在点 (0 , 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点 (0 , 0) , 0) 可微 . 不连续， (证明略) 证明略)
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
例1 计算函数 z = e x y在点 ( 2 , 1) 处的全微分 . 解
∂z = ye xy , ∂x
∂z = e2 , ∂x ( 2 , 1 )
∂z = xe xy , ∂y
∂z = 2e 2 , ∂y ( 2 , 1 )
∆ z ≈ dz = f x ( x , y )∆ x + f y ( x , y )∆ y .
高数7-3(全微分及其应用)
全微分
xy
f
(
x,
y
)
x2 y2
x2 y2 0 .
在点(0,0)处有
0
x2 y2 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点 P(x,y) 沿直线 y x趋近于(0,0),
x y
则
(x)2 (y)2
4
全微分
dz Ax By z Ax By o( )
注 全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比 高阶无穷小.
可微与偏导数存在，连续有何关系呢？ 微分系数 A=? B=?
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
5
全微分
由下面的定理来回答：
x0
(x)2
sin x
1 (x)2
同样, f y (0,0) 0
z Ax By o( ),
其中A、B仅与x 、y有关, 而不依赖于x、y,
(x)2 (y)2 , 则称函数 z f ( x, y)在点
( x, y)处 可微分,Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)处的 全微分.记作 dz, 即
dz Ax By.
函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 这函数在D内的 可微函数.
令f x ( x 1x, y y) f x ( x, y) 1 其中1 0(x 0, y 0)
12
全微分
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时,2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用第一讲 多元函数的基本概念授课题目：§8.1多元函数的基本概念教学目的与要求：1、理解多元函数的概念．2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质．教学重点与难点：重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容：一、平面点集 n 维空间1、平面点集平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即R 2=R ⨯R={(x , y )：x , y ∈R }坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }.例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )：x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P ：|OP |<r }.回顾数轴上点的邻域。
邻域：设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体，称为点P 0的δ邻域，记为U (P 0, δ)，即}||{),(00δδ<=PP P P U ：或 })()(),{(),(20200 y y x x y x P U δδ<-+-=：. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ，即 }||0{),(00δδ<<=P P P P U ：.如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U．.点与点集之间的关系：任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种：（1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点．（2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点．（3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点．E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E ．E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ．（4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点．由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ．例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.，则满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点；满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点；它们都不属于E ；满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点；它们都属于E ；点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点．开集：如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集．闭集：如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是开集；E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是闭集； 集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集．连通性：如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集．区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域． 例如，E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}．有界集：对于平面点集E , 如果存在某一正数r ，使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集．例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域；集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域；集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.．2．n 维空间设n 为取定的一个自然数，我们用表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合记为R n ，即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )：x i ∈R ，i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间．R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与点y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )之间的距离，记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ．R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中，通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x ． 采用这一记号，结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x ．二、多元函数概念回顾一元函数的概念。
高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
5
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
从几何上看，这时如果曲面 z f ( x, y) 在点
21
例6
求椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的内接长方体,
使长方体的体积为最大.
解 设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为
(x, y, z),则内接长方体的体积为8x构yz造, 函数
F
( x,
y,
z)
8 xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1),
得方程组
8
yz
2x a2
0,
8 xz
2y b2
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
8
例1 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
解 先解方程组
f x ( x, y) 3x2 6x 9 0,
x y 1 3，z 2 3 和 2
x y 1 3，z 2 3 2
dmax 9 5 3, dmin 9 5 3.
25
例8. 求函数f(x, y)=xy在闭区域x2 y2 1上的
最大值与最小值
解 由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)得=x到=0函, 数在区域内 的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)下=0面.考虑函数在区域 的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
高数二多元函数微分学课件
条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数
高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节 全微分
dz f x (1,2)dx f y (1,2)dy 2 0.04 0 0.02 0.08
(1.04)2.02 1.08
V 2rhr r 2h
其余部分是 (r)2 (h)2的高阶无穷小，所以
V 2rhr r 2h o( (r)2 (h)2 )
2020/2/13
线性主部
无穷小量
3
二 全微分的定义
(Definition of total differential)
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在 点 (0 ,0 )处 f x (0 ,0 ) f y (0 ,0 ) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y , (x)2 (y)2
2020/2/13
14
记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
2020/2/13
20
证 令 x cos , y sin ,
则 lim xy sin 1
( x , y )(0,0)
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1
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z ,
x x பைடு நூலகம்0
f ,
x x x0
zx
, x x0
y y0
或
f x (x0 , y0 )
y y0
y y0
9
同理可定义函数 z = f (x, y)在点 ( x0 , y0 )处对 y 的
偏导数: z ,
y x x0
f ,
y x x0
zy
, x x0
y y0
或
f y (x0 , y0 )
y y0
y y0
0
.与点
P的 0
距离小于 的点 P( x, y) 的全体, 称为点 P0 的 邻
域, 记为U(P0 , ), 即 U (P0 , ) {P | PP0 | }
{(x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 }
（2）区域 连通的开集称为区域或开区域.
3
（3）聚点
设 E 是平面上的一个点集, P 是平面上的一个点, 如果点 P 的任何一个去心的邻域内总有无限多个 点属于点集 E, 则称 P 为 E 的聚点.
16
11、隐函数的求导法则
(1) F( x, y) 0 (2) F( x, y, z) 0
dy Fx dx Fy z Fx , x F
z
z Fy y F
z
(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
直接求导法
17
12、多元函数的极值
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有 定义, 对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y), 若满 足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 则称函数在( x0 , y0 ) 有极大值; 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 则称 函数在( x0 , y0 )有极小值;
一阶偏导数同时为零的点, 均称为多元函数的驻点.
注意 驻点
极值点
19
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续, 有 一阶及二阶连续偏导数, f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0 令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时有极值, A 0时有极大值, A 0
7
5、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数, 在D上至少取 得它的最大值和最小值各一次. （2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果在D上取 得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值 之间的任何值至少一次.
8
6、偏导数概念
定义 设函数 z=f (x, y) 在( x0 , y0 )的某邻域内有定
义, 当 y 固定在 y0 而 x 在x0处有增量 x 时, 相应地
函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) , 如果
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在, 则称此极限为
x0
x
函数 z=f (x, y) 在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为
第9章 多元函数微分法及其应用
平面点集 和区域
极限运算
多元函数概念
多元函数 的极限
多元连续函数 的性质
多元函数 连续的概念
1
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
偏导数 概念
多元函数 的极值
高阶偏导数 隐函数
求导法则
2
1、区域
（1）邻域
P0
设 P0 ( x0 ,
y0 )
是平面上的一个点,
2、多元函数概念
定义 设 D 是坐标平面上的一个点集, 如果对于每 个点 P( x, y) D , 变量 z 按照一定的法则总有确定 的值和它对应, 则称 z 是变量 x, y 的二元函数, 记为
z = f (x, y) 或 z = f (P) , P D.
4
3、多元函数的极限
定义: 设函数 f (P) = f (x, y) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 )
y
x
z z u ，
x u x
y
z z u z dv
y u y v dy
x z f u f ,
x u x x
y z f u f .
y u y y
15
10、全微分形式不变性
无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v
的函数, 它的全微分形式是一样的.
dz z du z dv . u v
如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内任一点 (x, y) 处对
x (或y)的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是 x, y
的函数, 称为函数 z = f (x, y) 对自变量 x (或y)的偏
导函数, 记作
z ,
x
f , x
fx (x, y)
z ,
y
f , y
f y (x, y)
10
7、高阶偏导数
z f ( x x, y y) f ( x, y) 可以表示为 z Ax By o( ), 其中 A, B 不依赖于 x, y
而仅与 x, y 有关, (x)2 (y)2 , 则称函数在 点 (x, y) 可微分, Ax By 称为函数在点 (x, y) 的
全微分, 记作 dz, 即 dz Ax By.
时有极小值;
(2) AC B2 0时没有极值; (3) AC B2 0时可能有极值.
20
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值A、B、C .
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y),
纯偏导
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
11
8、全微分概念
如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的全增量
lim f ( x, y) A 或 lim f (P) A
( x, y)( x0 , y0 )
P P0
5
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
6
4、多元函数的连续性
x, x,
y) y)
x y
( (
x, x,
y) y)
0, 0,
解出
x,
y,
，
( x, y) 0.
其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
22
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
21
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法: 要找函数z f ( x, y)在条件
( x, y) 0下的可能极值点, 先构造函数
F ( x, y) f ( x, y) ( x, y), 为某一常数, 可由
f f
x y
( (
12
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
13
9、复合函数求导法则
z
u v
t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
z v
x z z u z v ,
x u x v x
y z z u z v .
y u y v y
14
u z
v
u zx
是其聚点. 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 ,
o
总存在正数 , 使得当点 P( x, y) D U(P0 , ) 时,
都有 | f (P) A || f ( x, y) A | 成立, 则称 A 为函
数 f (x, y)当 ( x, y) ( x0 , y0 ) 时的极限, 记为
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
18
多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )具有偏导数,在点 ( x0 , y0 )处有极值, 则它在该点的偏导数必然为 零: f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
定义: 设二元函数 f (P) = f (x, y) 的定义域为 D,
P0 ( x0 , y0 ) 为 D 的聚点.
如果
P0
D且
lim
P P0
f
(
P
)
f (P0 )
,则称函数 f (x, y)
在点 P0 连续.
如果函数 f (x, y) 在 P0 不连续, 则称 P0 为函数 f (x, y)的间断点.