【同济高数】第九章多元函数微分法及其应用单元测试题
第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案
C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2
z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y
第9章多元函数微分法及其应用近年试题
0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设)ln(xy z =，则其全微分dz = ． 11dx dy x y+ 3、函数xy x y u 2222-+=的所有间断点是 .2{(,)|2,,}x y y x x R y R =∈∈二、选择题（每小题3分，共15分）1、22),(y x xyy x f +=，则极限=→→),(lim 00y x f y x （ Ａ ）（A ）不存在 （B ）1 （C ）2 （D ）0A当点(,)P x y 沿曲线y kx =趋向(0,0)时，222200lim (,)lim x x y kxk x f x y x k x →→==+21kk =+显然，当k 取值不同是，极限也不相同。
所以22(,)(0,0)limx y xyx y →+不存在．2、在曲线32,,t z t y t x =-==所有切线中，与平面433=++z y x 平行的切线（ Ａ ）（A ）只有一条； （B ） 只有两条； （C ）至少有3条； （D ） 不存在曲线的切向量2((),(),())=(12,3)T t t t t t ϕψω'''=-，,平面的法向量(1,3,3)n = 22(12,3)(1,3,3)1690t t t t -⋅=-+=，,2(31)0t -=,1.3t =得所以只有一条切线满足条件.3、点()0,0是函数xy z =的（ Ｂ ）（A ）极值点；（B ）.驻点但不是极值点；（C ）是极值点但不是驻点；（D ）以上都不对 分析: 令0,0x y z y z x ====,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是xy z =的鞍点,不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、设, , ,sin y x v xy u v e z u+===求xz∂∂和y z ∂∂ 解z f f u f vx x u x v x∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂e sin e cos e [sin()cos()]u u x y v y v y x y x y =⋅+=⋅+++e sin e cos u u zf f u f v v x v y y u y v y∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅=⋅+∂∂∂∂∂∂e [sin()cos()]x y x x y x y =⋅+++ 五、解答题（每小题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为,,,z y x 则问题就是在条件(,,)0x y z xyz a ϕ=-=下求函数 22S xy xz yz =++ )0,0,0(>>>z y x的最小值. 作拉格朗日函数(,,)22(),L x y z xy xz yz xyz a λ=++++-求其对,,,x y z λ的偏导数，并使之为零，得到 20,20,2()0,0.y z yz x z xz x y xy xyz a λλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪-=⎩因为z y x ,,都不等于零， 得 11,22z x y ==代入0xyz a -=,得x y z ===这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.时, 最小表面积S =0910B一、填空题（每小题2分，共10分）2、设函数),(y x f z =是由方程z z y x 4222=++给出，则全微分=dz ．2d 224x x ydy zdz dz ++=,2xdx ydydz z+=-.3、曲面14222=++z y x 在点)3,2,1(P 处的切平面方程为 .切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2,2,2)n x y z =(2,4,6),=切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.x y z x y z --+-=++-=或 二、选择题（每小题2分，共10分）1、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处可微是两个偏导数),(',),('0000y x f y x f y x 都存在的 （ Ａ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题10分，共40分） 1、设v u z ln 2=，而y x u =、y x v 23-=，求:xz∂∂、y z ∂∂． 解：()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223223ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂1011B一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(|dz .(1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1))|()|1x y x y x y x dz e xe y dx xe dy y++++=++++++ (1,0)d 2ed (e 2)d zx y ∴=++(2) 旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的法线方程是 . 法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)s x y =-(4,2,1),=-法线方程是214421x y z ---==-. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）(4) 设),(y x f z =的全微分为ydy xdx dz += 则点 )0,0( ( C ) .A 不是),(y x f 的连续点；.B 不是),(y x f 的极值点；.C 是),(y x f 的极小值点；.D 是),(y x f 的极大值点.分析:z ,x y x z y ==,得z 1,1,0xx yy xy z z ===,由210,10AC B A -=>=>,则点 )0,0(是),(y x f 的极小值点.三、求偏导数（每小题10分，共20分）（1）设),(3xyxy f x z =，其中f 具有二阶连续偏导数.求 y z ∂∂；22y z ∂∂；y x z ∂∂∂2.解:231223(())z yx f x yf f x x∂''=++-∂23123x f x yf xyf ''=+-3121(())z x xf f y x∂''=+∂ 4212x f x f ''=+ 242122()z x f x f y y ∂∂''=+∂∂421112212211(())(())x f x f x f x f x x ''''''''=⋅++⋅+ 531112222x f x x f xf ''''''=⋅++ y x z ∂∂∂22z y x ∂=∂∂4212()x f x f x∂''=+∂ 3421111222122224(())2(())y y x f x f y f xf x f y f x x ''''''=+⋅+⋅-+++- 3412112242.x f xf x yf yf ''''=++- (2)设),(y x z z =是方程)arc tan(z y x xyz ++=在)1,1,0(-点确定的隐函数，求xz∂∂及)1,1,0(-∂∂yz解:令)arctan(),,(z y x xyz z y x F ++-= …1分则 2)(11z y x xy F z +++-= 2)(11z y x yz F x +++-=2)(11z y x xz F y+++-= …6分 1])(1[1])(1[22-+++-+++-=-=∂∂z y x xy z y x yz F F x z z x ； …8分 11])(1[1])(1[22)1,1,0(-=-+++-+++-=-=∂∂-z y x xy z y x xz F F yz z y…10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为y x ,，则 222l y x =+，周长 l y x C ++= …2分 设拉格朗日函数 )(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ …4分令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=0021021222l y x F y F x F y x λλλ …6分解方程组得l y x 22==为唯一驻点，且最大周长一定存在 …8分 故当l y x 22==时，最大周长为l C )21(+= …10分1112B一、填空题（每小题2分，共10分）1. y x z 2=在点)1,1(处的._______________=dz22,dz xydx x dy =+112.x y dzdx dy ===+2. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则常数_____=a .211(1,1)(4)0x x y f x a y ==--=++=,11(1,1)220y x y f xy ==--=+=,所以 5.a =-例36 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩，因此有410a ++=，即5a =-． 因为22(1,1)4f A x-∂==∂，2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂， 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂，2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>，40A =>，所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．二、选择题（每小题2分，共10分）3. 在点P 处函数),(y x f 的全微分df 存在的充分条件为 （ Ｃ ） (A) y x f f ,均存在 (B) f 连续(C) f 的全部一阶偏导数均连续 (D) f 连续且y x f f ,均存在三、计算题（每小题8分，共40分）1. 设),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++所确定的隐函数，计算22,x z x z ∂∂∂∂的值. 解:设 222(,,)2F x y z x y z z =++-，则2x F x =，2y F y = ，22,z F z '=-2,221z x x x z z ∂=-=∂--22()1z xx x z∂∂=∂∂-21(1)x z xz z -+=-22231(1)1(1)(1)xz xz x z z z -+-+-==-- 4. 求函数zx yz xy u ++=在点)3,1,2(沿着从该点到点)15,5,5(的方向导数.解 方向(3,4,12)l = 03412{,,}.13133l =1312cos ,134cos ,133cos ===γβα3)3,1,2(,5)3,1,2(,4)3,1,2(===z y x u u u ,1368cos cos cos =++=∂∂γβαz y x u u u l z . 五、证明题（每小题7分，共7分）证明(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在)0,0(点偏导数存在，但不可微.证: (,0)0,(0,)0f x f y ==,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.x x x f x f f x∆→→+∆-===∆ 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.y y y f y f f y∆→∆→+∆-===∆ (,)(0,0)f x y 所以函数在处可导....................3分2202200lim ),(lim )0,0()0,0(limy x y x yx y x f y f x f z y x ∆∆∆∆∆∆∆∆ρ∆∆∆ρρρ+=+=--→→→当点(,)P x y ∆∆沿曲线y kx =趋向(0,0)时，22222222000()lim lim lim ()()()()x x y k xx y x y k x x y x y x k x ρ→∆→→∆=∆∆∆∆∆∆==∆+∆∆+∆∆+∆21kk =+. 显然，当k 取值不同是，极限也不相同。
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
高等数学题库第09章(多元函数积分学)
第9章 多元函数积分学习题一一、填空题1. 当函数),(y x f 在有界闭区域D 上_________时，),(y x f 在D 上的二重积分必存在；2. D 为圆形闭区域422≤+y x ，则⎰⎰=Dd _;__________σ3. 改变积分次序 （1）_______,____________________),(202=⎰⎰xx dy y x f dx （2）_______,____________________),(401232=⎰⎰xx dy y x f dx（3）+⎰⎰12),(x dy y x f dx ___;____________________),(2120=⎰⎰-xdy y x f dx二、利用二重积分的性质估计二重积分⎰⎰++=Dd y x I σ)1(的值，其中D 是矩形闭区域：20,10≤≤≤≤y x 。
三、计算下列积分的值1.⎰⎰+Dd y x σ)23(，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
2. 已知⎰⎰-+=Dd x y x I σ)(22，先写出该二重积分的两个二次积分，然后求其值，其中D 是由直线x y y ==,2及x y 2=所围成的闭区域。
3.}.1),{(,≤+=⎰⎰+y x y x D d e Dyx σ 4.*D d y y D,sin ⎰⎰σ由ππ====y y x x y ,2,0,围成。
四*、利用极坐标计算下列各题1.;1:,sin 2222≤++⎰⎰y x D d y x Dσ 2. ;,0,41:,arctan22x y y y x D d xyD≤≥≤+≤⎰⎰σ 3. }.3),{(,22222≤+=-+⎰⎰y x y x D dxdy y x D。
习题二1. 把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可以得到一个式子()()ini iDf y x f σ∆ηξσσ∆∑⎰⎰=→=1i,lim d ,，你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试.答：在式()ini if σ∆ηξσ∆∑=→1i,lim中，i σ∆表示将平面区域D 任意分割成n 份后所得第i 个小区域的面积, ),(i i ηξ是取自于第i 个小区域内的任何一点的坐标, ),(i i f ηξ是二元函数),(y x f z =在点),(i i ηξ处的函数值,σ∆表示所有n 个小区域的直径中的最大值.上式即表示, 当函数),(y x f z =在平面区域D 内有定义时, 可将平面区域D 任意分割成n 个小区域, 记i σ∆为第i 个小区域的面积, 然后在第i 个小区域中任取一点),(i i ηξ, 作乘积),(i i f ηξi σ∆的和()ini if σ∆ηξ∑=1i,, 若此和式的极限()ini if σ∆ηξσ∆∑=→1i,lim存在,则称二元函数),(y x f z =在区域D 上可积, 并称上述极限值为二元函数),(y x f z =在区域D 上的二重积分.2. 试述二重积分的几何意义.答：当()y x f ,在区域D 上满足()0,≥y x f 时，()σd ,⎰⎰Dy x f 代表以xOy 面内的区域D为底，以曲面()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积. 若()0,<y x f , 则表示体积的负值.3. 直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？答：主要步骤包括：①画出积分区域D 的图形, ②选择积分次序并确定积分限，③计算累次积分求得结果. 其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限.4. 在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？答：主要步骤包括：①画出积分区域D 的图形，并用极坐标描述D, ②确定积分限, ③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域D .5. 就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分.答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分.6. 当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分方便.答：当被积函数中含有22y x +的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形，一般选择直角坐标系下计算二重积分.7． 计算()σd 100⎰⎰++Dy x , 其中(){}11,10,≤≤-≤≤=y x y x D .解：如图，先对x 后对y 积分，则()()x y x y y x Dd 100d d 1001011++=++⎰⎰⎰⎰-σ =()12112100d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰-x x y y =⎰-+11)d 2201(y y =()2012010112201d 11=+=+⨯+⎰-y y .8．计算⎰⎰+Dyx σd e 6，其中D 由xOy 面上的直线2,1==y y 及2,1=-=x x 所围成.解：如图, D ：⎩⎨⎧≤≤-≤≤,21,21x y 先对x 后对y 积分，得 ⎰⎰+Dyx σd e6=⎰⎰-21216d e d e x y xy=)6e )(e (21621-xy=)e e e e (61541314--+--.9。
多元函数微分法及其应用同步测试
练习一 多元函数微分法及其应用同步测试测试1一、填空题（3分×4=12分）1、设22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则=),(y x f 。
2、=+→222)0,0(),(sin lim y x yx y x 。
3、设xyze z y xf =),,(，则=∂∂∂∂zy x f 3 。
4、曲线⎪⎩⎪⎨⎧==zx x y 22在点)1,1,1(0P 处的切线方程为 。
二、选择题（4分×3=12分）1、设有二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(242y x y x y x yx y x f 则 [ ]。
A 、),(lim)0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； C 、),(lim)0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处连续； D 、),(lim)0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处连续。
2、函数),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在的[ ]。
A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充要条件；D 、既非必要也非充分条件。
3、点)0,0(O 的函数xyz=的[ ]。
A 、极小值点；B 、驻点但非极值点；C 、极大值点；D 、最大值点。
三、计算题（6分×5=30分）1、设⎩⎨⎧=+≠++=.00,0),ln(),(222222y x y x y x x y x f 求),(y x f 各一阶偏导数。
2、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。
3、设),(y x f z =由方程0=-++++yx z e y x z 所确定，求dz 。
第九章--多元微分学--单元自测答案(1)
第九章单元练习题答案 一、填空1.22{(,)0,1}x y y x y x ->+≤;2. 1 ;3.32; 4. ()()()0162812=-++--z y x ; 5. 4π; 6. 12二、计算题1.解：221()()()11()(()())()()()(()())z yf xy f xy yf x y x x x z f xy f xy xyf xy f x y yf x y x y x xf x y y f xy f x y ∂''=-+++∂∂'''''''=-++++++∂∂'''''=++++2.解：利用隐函数的求导公式 令 (,,)(,)z zG x y z F x y y x=++ 那么 3.解：两边分别对x 求偏导有：xzf x z z∂∂+=∂∂'212, 故 '221f z x z -=∂∂ 同理由：y z f f y z z ∂∂++=∂∂'2'112，得： '2'121f z f y z -+=∂∂ 对方程'221f z x z -=∂∂两边同时求y 的偏导有：()2'2''22''21222f z y z f f y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∂∂-=∂∂∂将'2'121f z f y z -+=∂∂代入上式有： 4.解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得解得,yy x'=-()1sin()x e x z z x z -'=--因此[]123d ()1d sin()x u y e x z f f f x x x z -'''=-+--5.解: 由题设(1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1f ==[3=1(,(,))f x f x x '()212(,(,))(,)(,)f x f x x f x x f x x '''++]1x ==3[2+3(2+3)]=516.提示：平法球法切向＝ηηη→→→⨯,切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程：024916=--+z y x7.解：函数z 在闭区域1≤+y x 上连续，故存在最大值，最小值令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0202''x y z y x z y x ⇒ 0==y x 此时 0=z 显然()0.0是函数在区域内的唯一驻点，且所以函数在驻点()0.0取得最小值，而函数的最大值只可能在区域的边界上取得 设()y x f z ,=，显然()()y x f y x f ,,=--，故只需讨论以下边界的函数值 1〕1=+y x 10≤≤x 10≤≤y 2〕1=-y x 10≤≤x 01≤≤-y 对于情形1〕()()4121311222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 z 取最大值 1max =z对于情形2〕()()432111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 1max =z综上()00,0min ==z z ()()()()10,11,00,11,0max =====--z z z z z 三、证明题 1.证: 1)因sin xy xy ≤,所以00lim (,)0x y f x y →→=(0,0)f =故函数在点 (0,0) 连续 ; 2)(,0)0,f x ≡(0,0)0;x f ∴= 同理(0,0)0.y f =3)(,)(0,0),x y ≠当时(,)x f x y y=2极限不存在 ,(,)x f x y ∴ 在点(0,0)不连续 ; 同理 ,(,)y f x y 在点(0,0)也不连续.4) 下面证明(,)(0,0)f x y 点可微.在令ρ=那么(0,0)(0,0)x y f f x f yρ∆-∆-∆1sinx yρρ∆⋅∆=x≤∆0ρ→−−−→,(,)(0,0).f x y ∴点在可微2.证：曲面上任一点的法向量(n =1,F '12()(),F m F n ''⋅-+⋅-2)F ' 取定直线的方向向量为(,1,)l m n =为定向量，那么0,l n ⋅=故结论成立 .。
【同济高数】第九章多元函数微分法及其应用单元测试题
题号-一--二二三四五六七八九总分得分阅卷人7.二元函数在z f x, y 在点P o (x o ,y o )处的两个偏导数存在是该函数在点F 0(x o ,y o )处可：A. dx dy B.6.函数z In(x 3y 3)在点(1，1)处的全微分dz =(). A. yx y 1dx x y ln xdy B . yx y 1dx x ydy C . x ydx x ylnxdy D . yx y 1dx x yln ydy5.设函数z x y，则dz =().! A.连续 B .可微 C ■不可微 D.以上都不对k 若丄x(x o , y o )o ,o 则在点(x o , y o )处函数f (x, y)是(y(x o , y o ))D.若 f x (x o , y o ) = o , f y (x o , y o )不存在，则 f (x, y)在(x °, y o )达到极C.若 f x (X o , y o ) = o ， f y (x o ,yo )= o ，则 f (x, y)在(X o , y o )达到极值.i B.可微函数f (x, y)在(x o , y o )达到极值，则必有 f x (x o , y o ) = o ， f y (X o ,y °) = o.i A .函数 f(x,y)在(x o , y o )达到极值，则必有 f x (X o ,y o ) = o ， f y (X o , y o ) = o. [A .连续 B .极限不存在 C .极限不存在，但不连续D .无定义3.以下结论正确的是( ).2. f(x,y)i A . o1B.—2C . gD . 1\1xym oH X y一 •填空题(每空2分，共20分)sin xy 小------ 2 y oy(1 x ) ，则函数在(o,o)点( ).o y o32(dx dy) C. 3(dx dy) D. 2(dx dy)C. B. 0 2分，共14分） A.1•填空题（每小题 D. a.函数 2, 2方向的.设u（5, 1 , 2）处的方向导数的最大值为.函数U xyz 在点 Psi nxy / 、/ c 、 .lim ---- =( ) (a 0) x 0x y a .f(x,y,z)、.3 x 2 y 2 z 2在（1, - 1, 2）处的梯度是（ )1y)siX2 1u In x - y 2 z 2在点A 1, 0, 1处沿点A 指向点B 3,)A • (1,1)B • ( 1,1)C • (1, 1)D • ( 1,1) A.充分条件； B •必要条件； C •充要条件； D •既非充分也非必要条件.求解下列冋题（每小题 6分，共36分）(1,2,1)设函数u （xy ）z，则du 2 2.函数z 3x 4y 在点0,0处有极_ __值.z 2 x 22y 的极大值点（沧，）是------------------------------------------------.2 2•函数f (x, y) 2(x y) x y 的驻点为( )• A • (1, 1,2) 3 3 3 B • 2(1, 1,2) 3 3 3 D • 2(1 , 1,2)9 9 92y … uxy 一，贝U ----- = .x x yxe 2y 在点P 1,0沿着从点P 1,0到点Q 2, 1的方向的方向导数.xy 2z 在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。
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第九章 多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续 ，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的 必要 条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的 充分 条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的 隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （ ） xy cos(xy 2（ ） 22) ; （ ） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（ ） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （ ） 1 ; （C ） 12 ; （ ） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（ ） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。
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22.求函数 在点 处沿点 指向点 方向的方向导数.
23.设函数
四．综合题（共30分）
24．求函数 的极值．（8分）
25．求对角线长度为 米而体积最大的长方体的体积．（8分）
26.要造一个容积等于定数 的无盖长方体水箱，应如何选择水箱的尺寸，方可使它的表面积最小．（7分）
27.将周长为 的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？（7分）
13.设 ，则 =.
14.函数 在点 处沿点 指向点 方向的方向导数为.
15.函数 在点 处有极_ __值.
16.设函数 ，则 .
17.二元函数 的极大值点 是.
三．求解下列问题（每小题6分，共36分）
18.设 , .求 和
19.设 ，而 ，求 ．
20.求函数 在点 沿着从点 到点 的方向的方向导数．
A．充分条件； B．必要条件； C．充要条件； D．既非充分也非必要条件
8.函数 的驻点为（）．
A． B． C．D．
9. 在（1，－1，2）处的梯度是（）.
A． B．2 C． D．2
10. ＝（）（a 0）
A.1B.0C. D.a
二．填空题（每小题2分，共14分）
11.
12.函数 在点P（5，1，2）处的方向导数的最大值为．
C.若 = 0， = 0，则 在 达到极值.
D.若 = 0， 不存在，则 在 达到极值.
4.若 ， 则在点 处函数 是（）.
A．连续B．可微C．不可微D．以上都不对
5.设函数 ，则 =（ ）．
A． B． C． D．
6.函数 在点（1，1）处的全微分 =（ ).
A. B. C. D.
7.二元函数在 在点 处的两个偏导数存在是该函数在点 处可微分的（ ）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
总分
得分
阅卷人
一.填空题（每空2分，共20分）
1. ＝（）．
A．0B． C．∞D．1
2. ,则函数在(0,0)点().
A．连续B．极限不存在C．极限不存在，但不连续D．无定义
3.以下结论正确的是（ ）．
A.函数 在 达到极值，则必有 = 0， = 0.
B.可微函数 在 达到极值，则必有 = 0， = 0.