(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

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第9章多元函数微分法及其应用(题库)答案

C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2

z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y

大学高数下册试题及答案,第7章(共7页)

大学高数下册试题及答案,第7章第七章多元函数微分学作业1多元函数 1．填空题已知函数，则；的定义域是；的定义域是；函数的连续范围是全平面；函数在处间断. 2．求下列极限；解：. 解：由于。

故 3．讨论极限是否存在. 解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在4．证明在点分别对于每个自变量或都连续，但作为二元函数在点却不连续. 解：由于从而可知在点分别对于每个自变量或都连续，但沿着曲线,有因而异，从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续.作业2偏导数 1．填空题设，则；设，则；设，则；曲线在点处的切线与轴正向的倾角是. 2．设。

证明. 证:因为所以3. 设，求，. 解从而4．设，证明.解：因为所以 5．设函数. 试求的偏导函数；解：当，当，考察偏导函数在点处是否连续. ，故在点处连续，不存在，从而在点处不连续作业3全微分及其应用 1．填空题在点处偏导数存在是在该点可微的必要条件；函数在点处，当时有全增量，全微分；设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是；在点处的； ,则； ,则； ,则. 2．证明：在点处连续，与存在，但在处不可微. 证：由于从而但是不存在，从而在处不可微.3．设函数试证：函数在点处是可微的；证：因为又所以函数在点处是可微的函数在点处不连续. 证：当不存在，故在点处不连续作业4 多元复合函数的求导法则 1．填空题设，则；设，则；设，则；设，则. 2．求下列函数的偏导数设其中具有一阶连续偏导数，求和；解：设，其中均可微，求和. 解：因为从而所以 3．验证下列各式设，其中可微，则；证：因为所以设，其中可微，则. 证：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，求. 解：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：. 证：因为从而左边作业5隐函数求导法 1．填空题已知，则；已知，则；已知，则；已知，则；已知，其中具有一阶连续偏导数，则 . 2．设其中具有二阶连续偏导数，求．解：3．求由方程组所确定的及的导数及. 解：由已知4．设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且. 试证：. 证：因为。

高数下册各章总复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是()y ,x f 在该点可微分的必要条件。

（2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必要条件；)y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存的充分条件。

（3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充分条件。

（4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的充分条件。

8.02求函数()()222yx 1ln y x 4y ,x f ---=的定义域，并求()y ,x f lim 0y 21x →→。

解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x4y 1y x 01y x 10y x 10y x 422222222，定义域：(){}x 4y ,1y x 0y ,x D 222≤<+<=2)由初等函数的连续性知：43ln 20211ln 0214)0,21(f )y ,x (f lim 2220y 21x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯==→→+8.03 证明极限422y 0x y x xy lim+→→不存在。

证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有222220x 4220x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的，故：极限422y 0x y x xy lim+→→+不存在。

(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

多元函数微分法和应用期末复习题高等数学(下册)(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y =+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 BA.-1B.0C.1D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD. 18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =，()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）. (A)14(B) 14- (C) 12(D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy yx 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2- （C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin xy ； )B ( e e sin xxy +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy - 34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）；)A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。

解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在。

(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。

多元函数微分学复习习题及答案

欢迎阅读第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限=（ B ）lim x y x yx y →→+00242(A)等于0；(B)不存在； (C)等于；(D)存在且不等于0或121223 0x y →→4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）z f x y =(,)(,)x y 00(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设，则= （ B ）u y x =arctan∂∂ux(A)； (B) ； (C)；(D)x x y 22+-+yx y 22yx y 22+-+x x y 226、设，则（ A ）f x y yx(,)arcsin=f x '(,)21=（A ）；（B ）；（C ）；（D ）-1414-12127、若，则（　C ）)ln(y x z -==∂∂+∂∂yz y x z x 8、设9、若1011（（12f （A ）点是函数的极大值点；（B ）点是函数的极小值点；P 0z P 0z （C ）点非函数的极值点；（D ）条件不够，无法判定。

P 0z 二、填空题1、极限= ??????? 。

答：limsin()x y xy x→→0ππ2、极限=??????? 。

答：limln()x y x y e x y→→++01222ln 23、函数的定义域为 ??????? 。

答：z x y =+ln()x y +≥14、函数的定义域为 ??????? 。

答：，z xy=arcsin -≤≤11x y ≠05、设函数，则= ??????? 。

答：f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22f kx ky (,)k f x y 2⋅(,)678，x xy =ln 91解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.z =2210x y --≥221x y +≤故所求函数的定义域为,图形为图3.122{(,)|1}D x y x y =+≤(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，ln()z x y =+0x y +>{}(,)|0D x y x y =+>图形为图3.2(3)要使函数有意义，必须有，即且.1ln()z x y =+ln()0x y +≠0x y +>1x y +≠欢迎阅读故该函数的定义域为，图形为图3.3{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，(4)要使函数有意义，必须有.故该函数的定义域为，ln(1)z xy =-10xy ->{(,)|1}D x y xy =>图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42解：x y 34、设解：z 1单y 解：L 利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=，)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x 令，解得唯一驻点（120，80）.⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx又因，得06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A .0105.332>⨯=--B ACe n d欢迎阅读得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与320)80,120(=L 80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设? 求证? )11(y x e z +-=z yz y x z x 222=∂∂+∂∂2? 3?? ? ? x y F y x -=∂∂y z F z -=∂∂zx F x z -=∂∂所以 ?1)()((-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂∂∂zx y z x y F F F F F F x z z yy x。

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

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第八章偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y =+在全平面内连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 BA.-1B.0C.1D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD. 18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =，()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）. (A)14(B) 14- (C) 12(D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy yx 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2- （C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin x y ； )B ( e e sin xxy +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）；)A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

39. ),(y x f 在点),(y x 处的偏导数),(y x f x 和),(y x f y 连续是),(y x f 可微分的（ B ） A.充分必要条件； B.充分非必要条件； C.必要非充分条件； D.非充分又非必要条件。

40. 抛物面 22y x z +=上点P 处的切平面平行于平面 032=++-z y x ，则点P 的坐标是（ C ） A. )0,21,1(； B. )0,21,1(-； C. )45,21,1(-； D. )45,21,1( 41. 设 2yx ez xy+= ，则yz∂∂︱=)2,1(（ B ） A. 1+e ； B. 12+e ； C. 12+e ； D. 12-e 。

42. 设二元函数 2332339z x y x x y =-++- 的极小值点是（ A ）A.（1，0）；B.（1，2）；C.（-3，0）；D.（-3，2）43. 设()=∂∂=x uxy u 1,1 ,则（ B ）（A ）0 （B ）21（C ）-1 （D ）144. 设()y x f z ,=是由方程)sin(xyz xyz =决定的隐函数，则=∂∂x z （ D ）（A ）z x （B ）yz yz sin （C ）yz yz cos （D ）x z-45. 设()=∂∂+=y zx y e z xy 2,12 ,则( B )（A ）1+e （B ）12+e （C ）12+e （D ）12-e二、填空题 1.=++∞→→y y x y x)1(lim 22e2. 函数u=ln (222z y x ++)在点M(1, 2, -2)的梯度gradu= 92{1, 2, -2}3. =→→yxy y x )sin(lim 02 2 4. 已知)(xy f z =是可微函数，则=dz dy xy xf dx xy yf )()(''+ 5.24lim)0,0(),(-+→xy xyy x = 46．设r =，则2gradr ＝ 222xi y j zk ++r r r7．曲线1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩处的切线与Y 轴的正向夹角是 3π8．设222ln()r x y z =++，则gradr = 222222222222x y zi j k x y z x y z x y z++++++++r r r 9．函数33x yz x y+=+的间断点是 0x y += 10．函数u xyz =在点(1,1,1)沿方向(2,1,3)-的方向导数是 011. 函数()ln u xyz =的定义域是{}(,,)0,0,00,0,00,0,00,0,0x y z x y z x y z x y z x y z >>>><<<><<<>或或或12.二元函数221arcsin z x y=+的定义域是 2214x y ≤+≤ 13．函数223246u x y y x z =-++在原点沿方向{2,3,1}=l 的方向导数为14.函数ln(ln )z x y =⋅的定义域是{(,)|0,10,01}x y x y x y >><<<或 15.曲面3xe xy z ++=在点(0,1,2)处的法线方程为12201x y z --==16．极限00x y →→= 14-17．若(,)32f x y x y =+，则[,(,)]f xy f x y = 643x y xy ++ 18．设有函数(,,)yu x y z x z =，则(1,2,2)|du = 4dx dz + 19.函数221z x y =--的极大值点是 (0,0)20．设函数23,{u x l y z ==r 则方向导数()1,1,1u l∂=∂21．设函数()22,,zz f xy y x y∂=-=∂可微则122y xf f - 22．曲面222z y x =+上一点（1，-1，3）处的切平面方程为 4230x y z ---= 23. 224y x z +=-在点P （0,1,3）处的切平面方程 2y+z=5 ，法线方程13021x y z --==-- 24、设xyx ez 22+=，则全微分dz= ()[]xdy dx y x e xyx++⋅+22225、设z=y x z y x n ∂∂∂+222),(121则= 222)(2y x xy +- 26、已知=∂∂+∂∂+=-yy x f x y x f y x y x xy f ),(),(,),(2222x y +27. xy xy y x 42lim0+-→→= 14-28. 已知z x y z =ln，则=∂∂x z x z z x z +=∂∂29. 已知xy z sin =,则=dz xydy x xydx y dz cos cos += 三、计算与证明1. 设z=f (x+y, xy)的二阶偏导数连续, 求yx z∂∂∂2解：xz ∂∂=y f f ⋅+'2'1 yx z ∂∂∂2='2''22''12''11)(f xyf y x f f ++++2.求平面11043=++z y x 和柱面122=+y x 的交线上与xoy 平面距离最短的点解：设(x, y, z)是交线上任一点，由已知，距离函数f (x, y, z)=z又设)1()11043(),,,,(22-++-+++=y x zy x z z y x L μλμλ 令：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+==-++==+==+==+=)5(01)4(011043)3(0102)2(024)1(02322y x L zy x L z Ly L x L z y x μλλμλμλ(1) 与(2)相比，得：x y 43=，代入(5), 得：54±=x ；相应的有：53±=y 从而得交线上的两点：)635,53,54(， )685,53,54(--其中：点)635,53,54(到xoy 平面的距离是635点)685,53,54(--到xoy 平面的距离是685比较得：所求点是)635,53,54(3.证明极限4220lim y x xy y x +→→不存在证明：当(x, y)沿着曲线2y =x 趋于(0, 0)时，4220lim y x xy y x +→→＝21lim 4440=+→y y y y 当(x, y)沿着曲线22y =x 趋于(0, 0)时，4220lim y x xy y x +→→＝5242lim 4440=+→y y y y 所以，极限4220lim y x xy y x +→→不存在4.设z=xf (xy, ye ), 求yx z∂∂∂2解：xz ∂∂=xy f f ⋅+'1 yx z ∂∂∂2=''12''112'2'12f xye yf x f e xf y y +++5. 求曲线x= t-sint, y=1-cost, z=42sint , 在点M(12-π, 1, 22)处的切线及法平面方程解：因为't x =1-cost, 't y =sint, 't z =2cos 2t而点M(12-π, 1, 22)所对应的参数为t=2π点M 的切向量T ρ={1, 1, 2}故点M 处的切线方程为22211121-=-=-+z y x π点M 处法平面方程为: x+y+2z=42+π6. 求曲面3=+-xy z e z 在点(2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程解：令F(x, y, z)= 3-+-xy z e z则1,,'''-===xz y x e F x F y F故0)0,1,2(,2)0,1,2(,1)0,1,2('''===z y x F F F 因此:点(2, 1, 0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0点(2, 1, 0)处的法线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x7. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz 及梯度gradz 解：)cos(y x y xz+=∂∂， )cos()sin(y x y y x y z +++=∂∂ 故：dz=[ycos(x+y)]dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dyg radz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y))8. 设直线⎩⎨⎧=--+=++030:z ay x b y x l 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点M(1, -2, 5), 求a,b 之值解：点M 处曲面的法向量n={2x, 2y, -1}M ={2,-4,-1} 点M 处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即: 2x-4y-z-5=0, 此即平面π之方程由直线l 可得y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 代入π得: (5+a)x+4b+ab-2=0解得: a=-5, b=-29.设函数z=f (u, v), 则u, v 具有二阶连续偏导数，其中u=3x+2y, v=y x ，求yx z∂∂∂2解：xz ∂∂='2'113f y f +y x z ∂∂∂2='22''122''223''111)32(6f y f y x y f y x f --+-10.66245(,)(0,0)lim ()x y x y x y →+是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理由。