初三数学重要知识点精讲教案及模拟试题--二次根式2
中考数学《二次根式》复习教案
二次根式复习复习目标：1.了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2.会根据公式2)(a=a(a≥0)∣a∣进行计算。
3.熟练进行二次根式的乘除法运算。
4.了解最简二次根式的定义，能运用相关性质化简二次根式。
复习重点：二次根式有意义的条件和性质，二次根式的计算和化简。
复习难点：正确依据二次根式相关性质计算和化简。
复习过程：一．知识结构：三个概念：二次根式最简二次根式同类二次根式三个性质：二次根式的双重非负性2(a=a(a≥∣a∣)四种运算：加.减.乘.除二．复习过程1.二次根式的概念（１）．二次根式的定义：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式２．二次根式的识别：（１）．被开方数a ≥0 （２）．根指数是２例．下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？为什么？①②③④⑤⑥⑦⑧３．二次根式的性质（1）.双重非负性：a ≥0(a ≥0) （2）．2)(a =a (a ≥0)（3）∣a ∣题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 （1）.当X_____时，x -3有意义。
（2）.求下列二次根式中字母的取值范围x 315x --+ 说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组） 题型2．求下列各式的值（１）2（３）2（４）4.二次根式的乘除 （1）.二次根式的乘法法则)0,0(≥≥=⋅b a ab b a例1.化简8116)1(⨯ 2000)2( 例2.计算 721)1(⋅ 15253)2(⋅)521(154)3(-⋅-xyx 11010)4(-⋅（2）.二次根式的除法法则)0,0(>≥=b a b aba例3、计算4540)1(245653)2(n m n m ÷5.最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明理由。
621)6())(()5(75.0)4()3()2(50)1(2222b a b a y x bc a -++6.化简二次根式的方法：（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。
3.1二次根式(2)
3.1 二次根式(2)--- ( 教案)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的基本性质：a a =22、能利用上述性质对二次根式进行化简.【重点难点】：重点：二次根式的性质a a =2． 难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。
【知识回顾】1、什么是二次根式，它有哪些性质？2、下列各式要在实数范围内有意义，说出x 的取值范围（1）4-x （2）5-x 2 （3）x 31- （4）2x 2+3、在实数范围内因式分解：x 2-6= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)【自主归纳】计算：=24 =22.0 =2)54( =220=-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20(=20综上得：2a = =【典型例题】例1、计算：（1）4；（2）2.51）（-； （3）21-x ）（（x 》1）例2、下列等式中，字母a 应分别符合什么条件？（1）2a =2a ）（ （2）2a =-a【课堂练习】1、判断正误：（1）22=2 ( )（2）22）（-=-2 ( ) (3)243）（+=3+4 ( ) (4)2243+=3+4 ( )2、计算：（1）26； （2）25）（-； （3）21a ）（+； （4）22x ）（-（x 》2）3、计算（1）25； （2）94； （3）27）（-； （4）4x 4x 2+-（x 》2）；【知识梳理】二次根式的性质：1、当a 》0时，2a ）（=a2、⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2 a a【课后练习】1、填空：（1）、2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________.（2）、2)4(-π=2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x3、化简下列各式：______=______=_______= _____a 0=（<）4、错在哪里？因为221）（=221）（-，所以2225）（-=2252）（-， 2225）（-=252）（-， 25-2=2-25， 21=21-5、 边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为3a的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．。
人教新课标版初中九上21.1二次根式(2)教案
21．1二次根式（2）教学内容本节课主要学习二次根式的性质a（a≥0）是一个非负数与（a）2=a及其运用教学目标一、知识技能理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．二、数学思考乘方与开方互为逆运算在推导结论（a）2=a（a≥0）中的应用.三、解决问题利用二次根式的非负性和（a）2=a（a≥0）解题.四、情感态度通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（a）2=a（a≥0）,使学生感受到数学知识的内在联系.重难点、关键重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．难点：理解二次根式a（a≥0）是一个非负数与（a）2=a。
关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入【提出问题】1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，a表示什么？当a<0时，a有意义吗？【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识回答问题．【设计意图】复习二次根式的概念及算术平方根的基本形式.为二次根式的性质引入作好铺垫．二、探索新知【问题】a(a≥0）有没有可能小于零？为什么？【活动方略】教师提出问题学生总结出二次根式的性质1：a（a≥0）是一个非负数．【设计意图】使学生归纳出二次根式的性质1：a （a ≥0）是一个非负数。
【探究】根据算术平方根的意义填空： （4）2=_______；（2）2=_______；（13）2=______；（0）2=_______． 【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生口答结果后总结有何规律.老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（13）2=13，（0）2=0，所以 （a ）2=a （a ≥0） 【设计意图】归纳出二次根式的性质2：（a ）2=a （a ≥0）三、 范例点击例1 已知3+x +5-y =0，求xy 的值是多少？ 解：∵3+x +5-y =0，∴3+x ≥0且5-y ≥0， ∴3+x =0且5-y =0； 即x +3=0且y -5=0解得x =-3,y =5∴xy =-15.【设计意图】使学生掌握二次根式的性质1，理解非负式的应用.例2 计算:（1）（7.1）2；（2）（25）2；（3）（12+a ）2.【设计意图】使学生掌握二次根式的性质2：（a ）2=a （a ≥0），并有较深刻的理解.【活动方略】教师活动：操作投影，分别将例1、例2显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
九年级下二次根式复习课教案(20200602074834)
二次根式复习课教学目标1•理解和掌握二次根式的有关概念以及二次根式的意义。
2.巩固二次根式的性质。
3•熟练掌握含有二次根式的运算。
过程与方法1•师生一起回顾归纳二次根式的有关知识点。
（学生口述，教师板书）2.根据考点给出典例精析。
（先请学生上台演示，后请其他学生讲评。
）3.通过练习进一步巩固二次根式的有关知识点。
4.课后5分钟小测。
教学重点和难点重点：1 .二次根式的意义2 .含二次根式的式子的混合运算.难点：1•对a （a>0）是一个非负数的理解；对等式（一a ）2= a （a>0）及、.a2 = a的理解及应用.2 •综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1.请同学回忆二次根式的有关概念，以及二次根式的意义。
2.二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式.3.二次根式的加减、乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式二、典例精析例1 : x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义:考点：二次根式的意义分析：（1）题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义;⑵题中，式子的分母不能为零，即器不能职使1^=0的值,(3)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式， 分母是含x 的单项式，因此x 的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零.fS ⑴要使J3-掘有意义*必须?即要便4% - 2有意义，必须盘-2》山即呂〉2・所以使式子73-x 有意义的澹为2=辰3・(和因为i- 4^ =・［签|,当耳=±1^? 叮原式没有意义$所叹当话±1时F⑶因为使压有意义的趁值为使厲有意义的諏值为曲山所以便辰⑷因为使JW2有意义的蛊取值为髯+ 2>0『即冗而分母3s#0F 即只弄①所以使式子 ―_2有意义的x 的取值为x > -2且x丰0.3x考点：最简二次根式，分母有理化。
有关初三数学知识点大全之二次根式讲解
有关初三数学知识点大全之二次根式讲解第1篇：有关初三数学知识点大全之二次根式讲解1.二次根式：一般地，式子叫做二次根式.注意：(1)若这个条件不成立，则不是二次根式;(2)是一个重要的非负数，即;0.2.重要公式：(1),(2)3.积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;4.二次根式的乘法法则：.5.二次根式比较大小的方法：(1)利用近似值比大小;(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;(3)分别平方，然后比大小.6.商的算术平方根：，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7.二次根式的除法法则：(1);(2);(3)分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8.最简二次根式：(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式;(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母;(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数未完，继续阅读 >第2篇：初三数学二次根式的乘除法知识点二次根式的乘除法运算：1.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
初三复习教案(二次根式)
初三复习教案课 题：二次根式 教案设计教学目标：使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简.教学重点：二次根式的化简与计算.教学难点：二次根式的化简与计算.教学过程：一、知识要点：1．平方根：若x 2=a(a>0)，则x 叫a 做的平方根，记为a ±.注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；2．算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；3．立方根：若x 3=a(a>0)，则x 叫a 做的立方根，记为3a .4．同类二次根式： 化简后被开方数相同的二次根式.5．二次根式的性质： ①)0(≥a a 是一个非负数； ②)0()(2≥=a a a ③⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||)(2a a a a a a a ④)0,0(>≥=b a ba b a ⑤)0,0(≥≥⋅=b a b a ab6．二次根式的运算：（1）加、减；（2）乘、除二、例题分析：例1．下列二次根式27，121，211，12，其中与3是同类二次根式的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4例2．若最简二次根式2431212-+-a a 与是同类二次根式，求a 的值。
例3．化简： (1)2)23(-； (2)当a≤|12|441,212-++-a a a 化简时（3）已知a 为实数,化简a a a 13---, (4)化简二次根式a 21aa +-, 例4．（1）若633-=a ，求36122+-x x 的值。
(2)已知：x=53-，求962++x x 的值。
（3） 已知:a=321+,求01222)1()211(12a a a a a a a a ++----+-- 例4：把根号外的因式移到根号内： (1)aa 1； (2)11)1(---x x ； (3)x x 1-； (4) 21)2(--x x 例5．观察下列各式及其验证过程 232232+=.验证:2322122)12(2122)22(3222233+=-+-=-+-= 3833133)13(3133)33(83833:..8338322233+=-+-=-+-==+=验证 (1) 根据上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4154的变形结果并进行验证.(2) 针对上述各式反映的规律,写出用n(n 为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明.例6．计算： ①（)5.043()4483181--- ②2392393322-++++++xx x x x x （0<x<3） ③)23(6)13()26(+÷--⋅+④)2131(15+÷ ⑤y x xyy x y x xyx --+-++2三、小 结：师生共同归纳解题思路与方法四、同步练习：1． 已知．a<0，化简22)1(4)1(4aa a a -+-+-= 2．化简二次根式22a a a +-的结果是（ ） A ．2--a B.2---a C.2-a D.2--a 32，则a 的取值范围是( )A ．a ≥4B ．a ≤2C ．2≤a ≤4D ．a ＝2或a ＝44.化简并求值：22111a a a a a ----+，其中a = 5. 已知01132=--++b b a ，求a 3+b 3和a 2-ab+b 2的值.6.已知x=23+,求（23212+---x x x x ）÷211x -的值. 7.已知:x>0,y>0,且x-xy -2y=0,求y xy x yxy x --++值. 8.若a=4+3,b=4-3,求ab a a--ab a b+的值.9. 已知x 、y 为实数，若规定x *y=4xy,(1)求2*4; (2)若x *x+2*x-2*4=0,求x 的值；(3)若不论x 是什么实数，总有a *x=x,求a 的值.10.已知：571-=x ，571+=y 求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值。
初三数学二次根式知识点学习讲解
初三数学二次根式一、学习目标1.二次根式的定义、最简二次根式、同类二次根式；2.二次根式的运算。
二、知识点讲解二次根式定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
注意被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
二次根式的判断方法根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零；3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是±i。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示。
6. 当a≥0时，（）22；（）2与2中a取值范围是整个复平面。
7. （）2=a任何一个数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
有理化因式注意①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。
分母有理化在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程最简二次根式①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
九年级数学二次根式教案2
九年级数学二次根式教案2教案：二次根式教学目标：1.了解二次根式的概念，能够正确读写二次根式的符号和表示方法。
2.能够将简单的算术式化成二次根式的形式。
3.能够将二次根式化简，并进行运算。
教学重点：1.理解二次根式的概念和符号表示方法。
2.能够将简单的算术式化成二次根式的形式。
教学难点：1.能够将二次根式化简，并进行运算。
2.能够应用二次根式解决实际问题。
教学准备：教师准备：教学课件，教学黑板，教学板书学生准备：教材，笔记本，文具教学过程：一、导入新课（10分钟）1.教师利用教材中的相关例题，先提问题：你们学过根式吗？它的定义是什么？2.回顾根式的概念及符号表示方法。
3.引入新知识：根式的指数为2的特殊根式称为二次根式。
二次根式的示例有哪些？4.总结：二次根式是指根式的指数为2的特殊根式，其中包括平方根和平方根的任意乘积。
二、二次根式的表示与读写（10分钟）1.教师利用教材中的相关例题，引入二次根式的表示与读写。
2.讲解二次根式的表示方法：以方形根号为例，其中的a被称为根式的被开方数，n为根式的指数。
3.操练：教师出示相关练习题，学生运用二次根式的表示方法将其写出。
三、化简二次根式（15分钟）1.教师利用教材中的相关例题，引入化简二次根式的概念。
2.讲解化简二次根式的方法：简化根号下的被开方数，将分母中所有的根式移到根号外。
3.操练：教师出示相关练习题，学生化简二次根式。
四、二次根式的运算（15分钟）1.教师利用教材中的相关例题，引入二次根式的运算。
2.讲解二次根式的加减法：同根式的相加减，只需合并同类项。
3.讲解二次根式的乘除法：利用乘方和除法的性质进行运算。
4.操练：教师出示相关练习题，学生进行二次根式的运算。
五、应用实际问题（10分钟）1.教师利用教材中的相关例题，引入应用实际问题的讨论。
2.讲解如何应用二次根式解决实际问题。
3.操练：教师出示相关练习题，学生运用二次根式解决实际问题。
六、课堂小结（5分钟）1.复习与总结：请学生总结本节课所学的内容。
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＝6×4××
＝24
＝24×3×4
＝288；
另解：－6×（－4）
＝－6×（－4）
＝－6×3×（－4）×4××
＝288 ；
（2）＝＝＝8×9＝72；
（3）＝＝＝＝13×11＝143；
（4）3c÷＝3c·＝3c·＝2c＝2c·＝a．
例3.把下列各式化成最简二次根式．
（1）；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2）；（3）；（4）－．
分析：600＝6×102，1000＝10×102，27＝3×32，a3＝a·a2等，先把这些数分解，然后把能开尽方的开方后移到根号前面，最后化去根号下的分母．
解：（1）＝＝10；
（2）＝＝＝；
（3）＝＝3ab；
（4）－＝－＝－×＝－＝－．
例1.计算：
（1）×；（2）××．
分析：（1）直接应用·＝（a≥0，b≥0）计算，结果中将被开方数能开尽方的因式（数）开方后移到根号外面．
（2）应用 计算。
解：（1）×＝＝＝3．
（2）××＝
＝＝3×5×7＝105．
评析：三个或三个以上的二次根式相乘，同样是被开方数相乘作为被开方数；在被开方数相乘时，要考虑到化简时因数分解，如×直接得再来分解就麻烦了；说明无理数相乘的结果可能是无理数，也可能是有理数．
评析：有关二次根式的运算结果都要化简为最简二次根式（或有理式），化简的主要方法有；（1）将被开方数中能开尽方的因式开方后写在根号外；（2）被开方数有分母的用性质＝（a≥0，b＞0）转化后，化去分母的根号．
例4.用简便方法计算．
（1）－6×（－4）；
（2）；
（3）；
（4）3c÷．
分析：（1）先确定符号，用乘法交换律、结合律将两系数与两根式分别相乘；（2）中被开方数是两个负数之积，化成64×81；（3）应用平方差公式较方便；（4）宜将除法转化为乘法（颠倒相乘）．
①如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以将二次根式的除法转化为商的算术平方根的形式进行计算．也可以先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再利用＝＝（a≥0，b＞0）化简．
②如果被开方数不含分母，可以先将它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．
二、金典题型：
2.一般地，对二次根式的除法规定：
＝（a≥0，b＞0）．
把＝反过来，就得到＝（a≥0，b＞0），利用它可以进行二次根式的化简．
3.最简二次根式
（1）定义：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（2）将一个二次根式化简实际上就是将它化成最简二次根式．有以下两种情况：
初三数学：二次根式2
一、重点知识点：
1.一般地，对二次根式的乘法规定：
·＝（a≥0，b≥0）．
把·＝反过来，就得到＝·，利用它可以进行二次根式的化简．
化简时应注意：
（1）一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来．
（2）在计算的过程中既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质进行化简．
例2.利用二次根式的性质＝（a≥0，b＞0）进行化简．
（1）；（2）；（3）．
分析：（1）题中的带分数化成假分数；（2）题直接应用性质化简；（3）题先将分母化简，再化去分母中的根号．
解：（1）＝＝；
（2）＝＝＝＝；
（3）＝＝＝＝．
评析：（1）按课本约定，题中字母a、b、c、x、y均为正数，可以直接应用二次根式的性质＝a（a≥0）；（2）化去分母中的根号时，一般先把分子、分母中的根式化简，再约分，最后分子、分母同乘一个适当的式子（如（3）题中的）化去根号；（3）题还可以这样做＝＝＝＝ ＝．