高中数学精讲优练课型第一章集合与函数的概念 1.2.1 函数的概念第2课时习题课——函数概

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2016高中数学精讲优练课型第一章集合与函数的概念1(精)

若f x f x ，则函数为奇函数； (ⅱ)对称若f x f x ，则函数为偶函数；若f x 与f x 无上述关系，则函数为非奇非偶函数.
(2)图象法: 画出函数的图象,直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性.
【拓展延伸】性质法判断函数的奇偶性 (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数. (2)奇函数的和、差仍为奇函数. (3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数. (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
2.(变换条件)若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,则结果又是什么?
【解析】由于f(x)为偶函数,y轴右侧图象已知,结合偶函数图象关于y 轴对称,作出y轴左侧图象,如图所示,
由图象知,当x∈(-5,-2)时,f(x)<0;当x∈(2,5)时,f(x)<0,所以使 f(x)<0的x的取值集合为(-5,-2)∪(2,5).
可求解.
【变式训练】(2015·广州高一检测)已知函数f(x)= 是R上的奇函数.
xa 1 x2
(1)求a的值.
(2)用定义证明该函数在[1,+∞)上的单调性.
【解题指南】(1)利用函数是奇函数,由f(0)=0即可得到a的值.
(2)利用函数单调性的定义进行判断即可得到结论 .
【解析】(1)因为f(x)= x a 是R上的奇函数,所以f(0)=0,解得a=0, 此时f(x)=
1 . 2 1 x
1 b 4 f( ) ， 1 2 1 5 4
【方法技巧】利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.

高中数学精讲优练课型第一章集合与函数的概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人

时,f(a)<f(b),所以函数a f(xb )是R上的增函数.
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【延伸探究】(改变条件(tiáojiàn))本f题a若将f “b
“(a-b)[f(a)-f(b)]<0”,则函数f(x)的增减a 性b 如何?
【解析】当a>b时,f(a)<f(b);当a<b时,f(a)>f(b),
=因所(为以x1(f-y(xxīn21))w+-fè(xi4)22x)x<<21xx=01x2(,x即<1x＋11xf-x2(4xx1,所21))以x<2fx(1xx-24x2)2x. 1<xx102x,2x14x. 2>4,x1x2-4>0,
所以函数f(x)=x+ 在(2,+∞)上是增函数.
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【解析( jiě xī)】y=|x2-2x-3|的图象如图所示,
由图象可得其单调递增区间是[-1,1],[3,+∞);递减区间是 (-∞,-1],[1,3].
第二十一页，共48页。
【方法技巧】求函数单调区间(qū jiān)的两种方法 (1)图象法: ①作出函数的图象; ②把函数图象向x轴作正投影; ③上升图象对应增区间(qū jiān),下降图象对应减区间(qū jiān).
第五页，共48页。
2.函数(hánshù)y=-x2的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,0]
B.(0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.不存在
【解析】选B.画出函数(hánshù)y=-x2的图象,由图象
可知函数(hánshù)y=-x2的单调递减区间为(0,+∞).
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高中数学第一章集合与函数的概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 第一课时函数的概念新人教A

所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.………………9 分
(4)y= x 12 - 1 x .
x 1
规范解答:(4)要使函数有意义,
自变量
x
的取值必须满足
x 1 1 x
0, 0,
………………10
分
解得 x≤1 且 x≠-1,……………………………… 11 分
即函数定义域为{x|x≤1 且 x≠-1}.………………12 分
③M={三角形},N={x|x>0},对应关系f:“对M中的三角形求面积与N中元素对
应.”
是集合M到集合N上的函数的有( A )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)0个
2.(函数判断)下列表示的是y关于x的函数的是( A) (A)y=x2 (B)y2=x
(C)|y|=x (D)|y|=|x|
3.(定义域)函数y=
方法技巧判断某一对应关系是否为函数的步骤: (1)A,B为非空数集. (2)A中任一元素在B中有元素与之对应. (3)B中与A中元素对应的元素唯一. (4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.
即时训练1-1:已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:
①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数是( )
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念第一课时函数的概念
课标要求:1.通过实例理解函数的概念,能用集合语言描述具体的函数.2.体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.会求一些简单函数的定义域.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】导入一初中是用运动变化的观点对函数进行定义的,虽然这种定义较为直观,但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y=1(x∈R)是不是函数,如果用运动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应的观点来解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认识,就很有必要.

新课标高中数学必修1精讲

第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉. ¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}-. （2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ；－5 A ； 17 B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合. 解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩.（2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-.（3）2{|}{|0}x y x x x ==≠. 点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：分析：Δ=b 平方-4ac=1-4*1*[-(a+2)]得a=-9/4 aacb x 24-b -2.12±=212-b==a x ⑴方程有等根且不是2±：由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合． ⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另一解12x =-，合． ⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合．综上可知，9{,2,2}4A =--．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第1练 §1.1.1 集合的含义与表示※基础达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是（ B ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形 2．方程组{23211x y x y -=+=的解集是（ C ）.解得x=5,y=1.应先x 后yA . {}51， B. {}15， C.(){}51， D. (){}15， 3．给出下列关系：①12R ∈； ②2Q ∈；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是（ C ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是（ C ）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对5．下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是（ D ）.A. {}M π=, {3.14159}N =B. {2,3}M =, {(2,3)}N =C. {|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =D. {1,3,}M π=, {,1,|3|}N π=- 6．已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 . a B ∈ 7．已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . 0,1,3x ≠- ※能力提高8．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合. 答案：（1）{|2}y y ≥；（2）{|2}x x ≠±9．已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合A . 答案：{1,2,4,5,7} 提示：分31,2,4x -=±±±等情况.※探究创新10．给出下列集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠-3}； ②{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭且 ③{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭或； ④{(x ，y )|[(x -1)2+(y -1)2]·[(x -2)2+(y +3)2]≠0}．其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点（1，1），（2，-3）之外的所有点的集合”的序号有 . 答案：④ 提示：集合①与②是等价的，它们均表示除去了四条直线外的所有的点；集合③表示整个坐标平面；集合④不能表示点（1，1）、（2，-3），集合④能表示所指定的集合．A BB A A B A B A ． B ．C ．D ．第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A = ，则A B ⊆；若A B A = ，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}；∅ {0}； N {0}. 解：（1），；（2）=， ∈，，.【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-.（i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0.因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第2练 §1.1.2 集合间的基本关系※基础达标1．已知集合{}{}3,,6,A x x k k Z B x x k k Z ==∈==∈, 则A 与B 之间最适合的关系是（ D ）. A.A B ⊆ B.A B ⊇ C. A ≠⊂B D. A ≠⊃B2．设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是（ D ）. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．2k ≥ 3．若2{,0,1}{,,0}a a b -=，则20072007a b +的值为（ A ）. A. 0 B. 1 C. 1- D. 24．已知集合M ={x |x =2k +14,k ∈Z }, N ={x |x =4k +12, k ∈Z }. 若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是（ A ）. A. x 0∈N B. x 0∉N C. x 0∈N 或x 0∉N D.不能确定5．已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是（ D ）.A. 1B. －1C. 1或－1D. 0，1或－1 6．已知集合{},,,A a b c =，则集合A 的真子集的个数是 . 7个7．当2{1,,}{0,,}ba a ab a=+时，a =_________，b =_________.－1，0※能力提高8．已知A ={2,3}，M ={2,5,235a a -+}，N ={1,3, 2610a a -+}，A ⊆M ，且A ⊆N ，求实数a 的值. 答案：2a =. 提示：联合2352a a -+=及26102a a -+=求解9．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：3m ≤（注意区间端点及B =φ）※探究创新10．集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x -1∉A 且x +1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.解：依题意可知，“孤立元素x ”是没有与x 相邻的，非“孤立元素x ”是指在集合中有与x 相邻的元素．因此所求问题的集合可分成如下两类：（1）4个元素连续的，有3个：{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}；（2）4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个：{0，1，3，4}，{1，2，4，5}，{0，1，4，5}．第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（union set ）由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的交集（intersection set ）对于集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）记号A B （读作“A 并B ”） A B （读作“A 交B ”） U A ð（读作“A 的补集”）符号 {|,}A B x x A x B =∈∈ 或 {|,}A B x x A x B =∈∈ 且{|,}U A x x U x A =∈∉且ð图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求ð. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ，(){|1,9}U C A B x x x =<-≥ 或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ；（2）()A A B C ð. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------ . ∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A = ，求实数m 的取值范围. 解：由A B A = ，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B = ，则(){6,7,9}U C A B = . 由{5,8}A B = ，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B = 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，UA-2 4 m x B A A BB A-1359x则()(){6,7,9}U U C A C B = ，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B = .由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B = ，()()()U U U C A C B C A B = .另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B = 与()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第3练 §1.1.3 集合的基本运算（一）※基础达标1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，则=A C U （ C ）.A. ∅B. {}2,4,6C. {}1,3,6,7D. {}1,3,5,7 2．若{|02},{|12}A x x B x x =<<=≤<，则A B = （ D ）.A. {|2}x x <B. {|1}x x ≥C. {|12}x x ≤<D. {|02}x x << 3．右图中阴影部分表示的集合是（ A ）.A. B C A UB. A C B UC.()B A C U D. ()B A C U4．若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B = （ C ）. A. {}1,2 B. {}0,1 C. {}0,3 D. {}35．设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M N φ≠ ，则k 的取值范围是（ B ）. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k -> D ．12k -<≤6．设全集*{|8}U x N x =∈<，{1,3,5,7}A =，{2,4,5}B =,则()U C A B = . {6}7．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N = . {(3,1)}- ※能力提高8．设全集*{|010,}U x x x N =<<∈，若{3}A B = ，{}7,5,1=B C A U ，()(){}9=B C A C U U ，求集合A 、B . 答案：A ={1，3，5，7}，B ={2，3，4，6，8}. 提示：由Venn 图可知.9．设U R =，{|24}A x x =-≤<，{|8237}B x x x =-≥-，求()B A C U、()()B C A C U U .答案：{|4}x x ≥, {|4}x x ≥※探究创新10．设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=.（1）求A B ，A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的值；（3）若5a =，则A B 的真子集共有个, 集合P 满足条件()A B ≠⊂P ≠⊂()A B ，写出所有可能的集合P . 解：（1）{1,4}B =.当4a =时，{4}A =，则{1,4}A B = ，{4}A B = ；当1a =时，{1,4}A =，则{1,4}A B = ，{1,4}A B = ；当1a ≠且4a ≠时，{4,}A a =，则{1,4,}A B a = ，{4}A B = .（2）若A B ⊆，由上易知4a =或1a =.（3）当5a =时，{1,5}A =，{1,4,5}A B = ，其真子集有7个. {4}A B = ，则满足{4}{1,4,5}P 刎的集合P 有：{1,4},{4,5}.第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B = ,()()()U U U C A B C A C B = .2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+- .3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B = ，求实数a 的值. 解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B = ，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去；当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意. 所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B = ，A B =∅ ；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B = ，{1}A B = ；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B = ，{4}A B = ；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a = ，A B =∅ .点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉ 且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B =由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则 {1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B .第4练 §1.1.3 集合的基本运算（二）※基础达标1．已知集合A = {}1,2,4, B ={}8x x 是的正约数, 则A 与B 的关系是（ B ）.A. A = BB. A ≠⊂B C. A ≠⊃B D. A ∪B =∅2．已知,,a b c 为非零实数, 代数式||||||||a b c abc a b c abc +++的值所组成的集合为M , 则下列判断正确的是（ D ）. A. 0M ∉ B. 4M -∉ C. 2M ∈ D. 4M ∈3．（08年湖南卷.文1）已知{}2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5,7M =，{}2,4,5,6N =，则（ B ）.A ．{}4,6M N = B.M N U = C ．()u C N M U = D. ()u C M N N =4．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ B ）.A ．9 B. 14 C. 18 D. 215．设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（ A ）.A. {}|21x x -≤<B. {}|22x x -≤≤C. {}|12x x <≤D. {}|2x x <6．已知集合{11}A x x =-≤≤，{}B x x a =>，且满足A B φ= ，则实数a 的取值范围是 . 1a ≥7．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 . 80 提示：结合文氏图，易知()()()()n A B n A n B n A B =+- ，则65352080+-=※能力提高8．已知集合2{|0}A x x px q =++=， 2{|20}B x x px q =--=，且{1}A B =- ，求A B ．答案：{2,1,4}A B =--9．已知集合U =2{2,3,23}a a +-，A ={|a +1|，2}，U C A ={a +3}，求实数a 的值. 答案：2a = 提示：由集合元素的特征列方程组而解.※探究创新10．（1）给定集合A 、B ，定义A ※B ={x |x =m -n ，m ∈A ，n ∈B }．若A ={4，5，6}，B ={1，2，3}，则集合A ※B 中的所有元素之和为（）A ．15B ．14C ．29D ．-14（2）设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 、B 的运算：A *B ={x |x ∈A ，或x ∈B ,且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于（）A ．AB ．BC ．()U A B ð∩D ．()U A B ð∪（3）已知集合A ={x |2x n ≠且3x n ≠，n ∈N ，x ∈N *，x ≤100}，试求出集合A 的元素之和. 答案：（1）A ※B ={3，4，5，2，1}，3+4+5+2+1=15．答案选A ．（2）先将A *B 化简即得 A *B ={x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }=()A B A B ð∪∩．∴(A *B )*A ={x |x ∈(A *B )∪A ，且x ∉(A *B )∩A }={x |x ∈A ∪B ，且x ∉()A A B ð∩}=B ．（3）S ＝(1＋2＋3＋…＋100)－(6＋12＋18＋…＋96)＝5050－816＝4234第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. ¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121y x =+-；（2）3312x y x -=--.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞ .（2）由330120x x -≥⎧⎪⎨--≠⎪⎩，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞ .【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-；（2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第5练 §1.2.1 函数的概念※基础达标1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. A. 1,xy y x==B. 211,1y x x y x =-+=-C. 33,y x y x ==D. 2||,()y x y x == 2．函数21232xy x x -=--的定义域为（ D ）.A. (,1]-∞B. (,2]-∞C. 11(,)(,1]22-∞--D. 11(,)(,1]22-∞--3．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）.4．下列四个图象中，不是函数图象的是（ B ）.5．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ C ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)-6．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则(2)f ＝______；f ［(2)f ］＝______．3＋2, 57 7．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . －1 ※能力提高8．（1）求函数21x y x -=-的定义域；（2）求函数2113x y x+=-的定义域与值域. 答案：（1）(,1)(1,2]-∞ ；（2）定义域1{|}3x x ≠，值域2{|}3y y ≠-.9．已知2()f x ax bx c =++，(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，试求()f x 的表达式.答案：211()22f x x x =+x y 0-2 2x y 0 -2 22 xy 0 -2 22 xy 0 -2 2 2A. B. C . D.x Oy x x xy y yOO OA. B. C. D.11※探究创新10．已知函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，(1)1f =，求(0),(1),(2)g g g的值.解：令x y =得22()()(0)f x g y g +=. 再令0x =，即得(0)0,1g =. 若(0)0g =，令1x y ==时，得(1)0f =不合题意，故(0)1g =；(0)(11)(1)(1)(1)(1)g g g g f f =-=+，即21(1)1g =+，所以(1)g =；那么(1)(01)(0g gg g f f -=-=+=，(2)[1(1)](1)(1)(1)(1)1g g g g f f =--=-+-=-.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”. 判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32.又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26 练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.12解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第6练 §1.2.2 函数的表示法※基础达标1．函数f (x )= 2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ B ）.A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ C ）.3．已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（ B ）.A . p q + B. 2p q + C. 2p q + D. 2p q +4．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ A ）.A. f ：x →y ＝12x B. f ：x →y ＝13x C. f ：x →y ＝14x D. f ：x →y ＝16x5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由[]3.71,(04)() 1.06(0.52),(4)m f m m m <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩给出，其中[]m 是不超过m 的最大整数，如：[]3.743=，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ C ）.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D. 7.956．已知函数(),mf x x x=+且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为 .4 7．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则 0 ；若00()8,f x x ==则 4 .※能力提高8．画出下列函数的图象：（1）22||3y x x =-++；（2）2|23|y x x =-++.9．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-且()f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求()f x 的解析式答案：2()43f x x x =-+※探究创新10．（1）设集合{,,}A a b c =，{0,1}B =. 试问：从A 到B 的映射共有几个？（2）集合A 有元素m 个，集合B 有元素n 个，试问：从A 到B 的映射共有几个？解：（1）按映射定义，可以允许多对一，从而依次按三对一、二对一、一对一的情况作出映射图示，共有8种.（2）依据从A 到B 的映射定义，集合A 的每一个元素都对应着B 中的一个元素，有n 种可能，所以，共有映射m n 个.O d t O d tO d t Od t A. B. C. D.13第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性. 解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12b x x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.14【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第7练 §1.3.1 函数的单调性※基础达标1．函数26y x x =-的减区间是（ D ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（B ）.A. y =－x +1B. y =xC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3．函数()||()(2)f x x g x x x ==-和的递增区间依次是（ C ）.A. (,0],(,1]-∞-∞B. (,0],[1,)-∞+∞C. [0,),(,1]+∞-∞D. [0,),[1,)+∞+∞ 4．已知()f x 是R 上的增函数，令()(1)3F x f x =-+，则()F x 是R 上的（ B ）.A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减5．二次函数2()2f x x ax b =++在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是（ C ）. A. 2a ≥ B. 2b ≥ C. 4a ≤- D. 4b ≤-6．函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(,)a b 上是增函数（填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）7．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f (3)之间的大小关系为 . (1)(3)(1)f f f <<- ※能力提高8．指出下列函数的单调区间及单调性：（1）3()1x f x x +=-；（2）2|23|y x x =-++ 解：（1）在(,1)-∞、(1,)+∞上都是减函数.（2）先作出函数223y x x =-++的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的图象沿x 轴对折到x 轴上方，所得图象如右图所示.由图可知，函数在(,1]-∞-、[1,3]上是减函数，在[1,1]-、[3,)+∞上是增函数.9．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==. （1）求b 与c 的值；（2）试证明函数()f x 在区间(2,)+∞上是增函数. 解：（1）4,3b c =-=；（2）略.※探究创新10．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m 、n 均有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()22f =，又当12x >-时，有()0f x >. （1）求1()2f -的值；（2）求证：()f x 是单调递增函数.解：（1）令0m n ==，则(0)(0)(0)1f f f =+-，∴ (0)1f =.又 111111()[()]()()1222222f f f f -=+-=+--，∴ 1(0)2()12f f =+--，1()(0)102f f -=-=.（2）设12x x <，则210x x ->，211122x x -->-. 又12x >-时有(0)0f >，∴211()02f x x -->.又21()()f x f x -=21112111[()]()()()1()f x x x f x f x x f x f x -+-=-+--=21()1f x x --15212111()()1()022f x x f f x x =-+--=-->，∴ 21()()f x f x >，∴()f x 在R 上为增函数.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为 (8)[10010(10)]y x x =--- .即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数，所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究. 【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--. 解：（1）二次函数232yx x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-.16画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =；当32x =时，min 94y =-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第8练 §1.3.1 函数最大（小）值※基础达标 1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是（ A ）. A . 1 B. 3 C. －2 D. 52．函数221y x x =-+的最大值是（ B ）.A. 8B. 83C. 4D. 433．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ A ）.A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥4．某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h 与时间t 的函数关系式是()24.914.718h t t t =-++则炮弹在发射几秒后最高呢（ C ）.A. 1.3秒B. 1.4秒C. 1.5秒 D 1.6秒5. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ C ）.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值6．函数32y x x =--的最大值是 .67．已知3()3xf x x =-，[4,6]x ∈. 则()f x 的最大值与最小值分别为 .12;6※能力提高8．已知函数2()2f x x x =-+.（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值. 答案：（1）略；（2）max min ()0,()15f x f x ==-9．一个星级旅馆有100个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？答案：设房价为x 元，则营业额21001(8510)135202x y x x x -=-⨯=-+，当135x =元时，营业额最高.※探究创新10．已知函数2142a y x ax =-+-+在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a 的值. 解：令22211()()422442a a a af x x ax x =-+-+=--+-+.房价（元）住房率（%） 160 55140 65120 75100 85。

高中数学精讲优练课型第一章集合与函数的概念1.1.1集合的含义与表示第2课时集合的表示课件新人教版必

第十一页，共48页。
2.用列举法表示集合的注意点 (1)元素间用分隔号“,”. (2)元素不重复. (3)元素无顺序. (4)元素不能遗漏. (5)用列举法表示有特殊规律的元素个数无限的集合时,必须把元素间的规律表示清楚(qīng chu)后才能用省略号,如正整数集可表示为{1,2,3,4,…}.
第三十三页，共48页。
【解析】(1)绝对值不大于2的整数(zhěngshù)为-2,-1,0,1,2,可用列举法表示为{-2,-1,0,1,2}. (2)因为x=|x|,所以x≥0,又因为x∈Z且x<5, 所以x=0或1或2或3或4. 所以集合可以用列举法表示为{0,1,2,3,4}. (3)-3,-1,1,3,5每相邻的两个数相差2,可用描述法表示为{x|x=2k-1,1≤k≤3,k∈Z}.
1 {(x,y)|-1≤2 x≤2,- ≤y≤1,且xy≥0}.
1 2
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【方法(fāngfǎ)技巧】描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征. (2)给出其满足的性质. (3)根据描述法的形式写出其满足的集合.
第三十二页，共48页。
【补偿训练】用另一种方法表示下列集合(jíhé). (1){x|x是绝对值不大于2的整数}. (2){x|x=|x|,x<5且x∈Z}. (3){-3,-1,1,3,5}.
2.描述法表示集合(jíhé) 共同(gòngtóng)
(1)定义:用集合(jíhé)所含元素的_________表示集合(jíhé)的方法. 特征
(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合(jíhé)元素的_________及 _________________,再画一条竖线,在竖线后写出这个一集般合(y(ījbíhāné))符中号元素所取具值有(的或_变_化__)_范__围__.

高中数学精讲优练课型第一章集合与函数的概念1.1.2集合间的基本关系课件新人教版必修1

第十九页，共47页。
【解题探究】1.典例1中集合M中的元素(yuán sù)是什么? 提示:集合M中的元素(yuán sù)是-1,1. 2.典例2判断两个集合关系的关键是什么? 提示:判断两个集合关系的关键是找到两个集合间元素(yuán sù)之间的关系.
第二十页，共47页。
【解析】1.选A.M={-1,1},T={-1,0,1},所以M T. 2.(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含(bāohán)关系. (2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A B.
第十五页，共47页。
【总结提升】 1.子集与真子集的区别 (1)从定义上:集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和A与B相等两种情况(qíngkuàng),真子集是子集的特殊形式. (2)从性质上:空集是任何集合的子集,但不是任何集合的真子集; 空集是任何非空集合的真子集. (3)从符号上:A⊆B指A B或A=B都有可能.A=A,A⊆A,∅⊆A都是正确的符号表示,A A,∅ A是不正确的符号表示.
所B 以 {A，0B，1. ，1，3，1，}， 424
方法二：集合A的元素为x=
(k∈Z)，集合B的元素为x=
(k∈Z)，而2k＋1为奇数k＋，1k＋ 22k为整1 数，所以A B.
答案：A B
24 4
k＋1 k 2
42 4
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类型二关于子集、真子集的个数问题(wèntí)
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(3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A B. (4)方法一:两个集合( jíhé)都表示正奇数组成的集合( jíhé),但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合( jíhé)N不含元素“1”,故N M. 方法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N M.

高中数学精讲优练课型第一章集合与函数的概念 1.2.

课时提升作业(九)分段函数及映射(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·南阳高一检测)设集合A={2,4,6,8,10},B={1,9,25,49,81,100},下面的对应关系f能构成A到B 的映射的是( )A.f:x→(x-1)2B.f:x→(2x-3)2C.f:x→-2x-1D.f:x→2x-3【解析】选A.观察集合A与B中的元素,可知集合A中元素减1后的平方对应集合B中的元素.故选项A构成从A到B的映射.2.(2015·天津高一检测)集合A的元素按对应关系“先乘再减1”和集合B中的元素对应,在这种对应所成的映射f:A→B,若集合B={1,2,3,4,5},那么集合A不可能是( )A.{4,6,8}B.{4,6}C.{2,4,6,8}D.{10}【解析】选C.设x∈A,则f(x)=x-1,由f(x)=1得x=4,由f(x)=2,得x=6.由f(x)=3得x=8;由f(x)=4得x=10;由f(x)=5得x=12,据此可知,x≠2,故应选C.3.已知A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},映射f:A→B(其中x∈A,y∈B)的对应关系可以是( )①f:x→y=x-2;②f:x→y=x;③f:x→y=;④f:x→y=|x-2|.A.①②B.①③C.①②③④D.②③④【解析】选D.按照①给出的对应关系,A中元素0在B中没有元素与之对应,按照②,③,④给出的对应关系,A 中任何一个元素在B中都有元素与之对应且唯一.4.(2015·西安高一检测)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则f(f)= ( )A.-B.C.-D.【解析】选B.由图象知,f(x)=所以f=-1=-,所以f(f)=f=-+1=.5.(2014·济宁高一检测)已知f(x)=则f+f等于( )A.-2B.4C.2D.-4【解析】选B.f=2×=,f=f=f=f=f=,故f+f=4.【补偿训练】设f(x)=则f(5)的值是( )A.24B.21C.18D.16【解析】选A.f(5)=f(f(10)),f(10)=f(f(15))=f(18)=21,f(5)=f(21)=24.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=则函数的值域是.【解析】因为f(x)=所以函数的值域是{2,4,5}.答案:{2,4,5}7.设A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1对应.当y=2时,则x= . 【解析】由x2+1=2,得x=±1.答案:±18.设集合A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是.【解题指南】要求x0的取值范围,应先构造关于x0的不等式,然后解不等式得结论.【解析】x0∈A时,f(x0)∈,所以f(f(x0))=2=2∈A,解得<x0<.答案:<x0<三、解答题(每小题10分,共20分)9.下列对应关系中,哪些是从集合A到集合B的映射?(1)A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=(2)设A={矩形},B={实数},对应关系f:矩形的面积.【解析】(1)对于集合A中任意一个非负数都唯一对应元素1,对于集合A中任意一个负数都唯一对应元素0,所以f是从集合A到集合B的映射.(2)对于每一个矩形,它的面积是唯一确定的,所以f是从集合A到集合B的映射.10.已知f(x)=(1)画出f(x)的图象.(2)求函数f(x)的定义域和值域.【解析】(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知函数f(x)=若f(f(x))=2,则x的取值范围是( )A.∅B.[-1,1]C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.{2}∪[-1,1]【解析】选 D.若x∈[-1,1],则有f(x)=2∉[-1,1],所以f(2)=2;若x∉[-1,1],则f(x)=x∉[-1,1],所以f(f(x))=x,此时若f(f(x))=2,则有x=2.【误区警示】本题易将x∉[-1,1]的情况漏掉而错选B.2.(2015·济南高一检测)某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3km(含3km),以后每1km为1.6元(不足1km,按1km计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为( )【解析】选C.由题意,当0<x≤3时,y=10;当3<x≤4时,y=11.6;当4<x≤5时,y=13.2;…;当n-1<x≤n(n≥3且n为整数)时,y=10+(n-3)×1.6(n≥3且n为整数)二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·宝鸡高一检测)已知集合A={a,b},B={c,d},则从A到B的不同映射有个.【解析】a→c,b→c;a→d,b→d;a→c,b→d;a→d,b→c,共4个.答案:4【拓展延伸】从集合A到集合B映射个数规律从集合A到集合B的映射可采用列举法一一列举出来.一般有如下规律:若集合A中有m个元素,集合B 中有n个元素,那么从集合A到集合B的映射有n m个.4.若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是.【解析】由题意得f(x)=根据函数f(x)的图象得值域是(-∞,1].答案:(-∞,1]三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B是从A到B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中元素在B中的对应元素和B中元素在A中的对应元素.【解析】将x=代入对应关系,可求出其在B中的对应元素为(+1,3).由得x=.所以在B中的对应元素为(+1,3),在A中的对应元素为.6.如图是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数解析式.(2)求f(-3),f(1)的值.(3)若f(x)=16,求x的值.【解题指南】弄清流程图的含义是解答本题的关键.【解析】(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.综上,可得x=2或x=-.。

高中数学精讲优练课型第一章集合与函数的概念 1.1.1 集合的含义与表示第2课时集合的表示

课时提升作业(二)集合的表示(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·绵阳高一检测)集合{x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示应是( )A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}【解析】选B.{x|-3≤x≤3,x∈N}表示-3到3的所有自然数,即0,1,2,3.【补偿训练】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.集合A为列举法,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中集合B省略了代表元素和竖线.2.(2015·北京高一检测)方程组的解集是( )A.{x=1,y=1}B.{1}C.{(1,1)}D.{(x,y)|(1,1)}【解析】选C.方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D中描述形式不对,排除D,故选C.3.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A.{x2-x=0}B.{y|y2-y=0}C.{x|y=x2-x}D.{y|y=x2-x}【解析】选B.显然A中只有一个元素,B中有两个元素分别是0和1,C选项中指的是满足y=x2-x中x的取值的集合,有无数个,D中指的是满足y=x2-x中y的取值的集合,也有无数个.4.(2015·南昌高一检测)若1∈{x,x2},则x= ( )A.1B.-1C.0或1D.0或1或-1【解析】选B.因为1∈{x,x2},所以x=1或x2=1,当x=1时,x2=1与集合中元素具有互异性矛盾,故应舍去;当x2=1时,x=-1或x=1(舍去),故x=-1.5.下列集合表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}C.M={4,5},N={5,4}D.M={1,2},N={(1,2)}【解析】选C.A中M是点集,N是点集,但两个点是两个不同的点;B中M是点集,N是数集;D中M是数集,N 是点集,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知集合A={x|x2=a,x∈R},则实数a的取值范围是.【解析】因为x∈R,所以x2=a≥0,即a≥0,所以a的取值范围是a≥0.答案:a≥07.(2015·汉中高一检测)若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为. 【解析】x=1时,y=0;x=2时,y=1;x=3时,y=2;x=4时,y=3,故集合B可用列举法表示为{0,1,2,3}.答案:{0,1,2,3}8.设A={4,a},B={2,ab},若A与B相等,则a+b= .【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.所以a+b=4. 答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·重庆高一检测)用适当的方法描述下列集合,并指出所含元素的个数.(1)大于0且小于10的奇数构成的集合.(2)不等式x-3≥1的解集.(3)抛物线y=x2上的点构成的集合.【解题指南】解答本题的关键是先看元素的个数是有限还是无限,然后确定使用哪种方法.【解析】(1)用列举法表示为{1,3,5,7,9}.集合中有5个元素.(2)用描述法表示为{x|x≥4}.集合中有无数个元素.(3)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.抛物线上的点有无数个,即该集合中的元素个数有无数个.【补偿训练】用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈Z}.10.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.【解析】当a=0时,A=;当a≠0时,关于x的方程ax2-3x-4=0应有两个相等的实数根或无实数根,所以Δ=9+16a≤0,即a≤-.故所求的a的取值范围是a≤-或a=0.【延伸探究】本题中将条件“至多有一个元素”改为“有两个元素”,其他不变,则a的取值是什么?【解析】因为A中有两个元素,所以关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根,所以即a>-且a≠0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( )A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}【解析】选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B中k可取负数,多了若干元素;C中t=0时多了-3这个元素,只有D是正确的.2.(2015·德州高一检测)用描述法表示下图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x≤0或-2≤y≤0}【解析】选B.由图可知,阴影部分的点的横坐标满足-2≤x≤0,纵坐标满足-2≤y≤0,所以所表示的集合为{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和为3,则实数a的值为.【解析】解x-a=0得x=a,设x1,x2为方程x2-ax+a-1=0的两根,则x1+x2=a,由题意a+a=3,a=.答案:4.(2015·南通高一检测)A={1,2,3},B={1,2},定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则集合A+B 中元素的最大值是.【解析】①当x1=1时,若x2=1,则x1+x2=2;若x2=2,则x1+x2=3;②当x1=2时,若x2=1,则x1+x2=3;若x2=2,则x1+x2=4;③当x1=3时,若x1=1,则x1+x2=4;若x2=2,则x1+x2=5.综上可知,A+B={2,3,4,5},所以A+B中元素的最大值是5.答案:5【补偿训练】已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3}.定义P⊖Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P⊖Q的所有元素之和为.【解析】当p=4,q=1,2,3时,p-q=3,2,1;当p=5,q=1,2,3时,p-q=4,3,2;当p=6,q=1,2,3时,p-q=5,4,3.所以P⊖Q={1,2,3,4,5},其所有元素之和为1+2+3+4+5=15.答案:15三、解答题(每小题10分,共20分)5.设集合B=.(1)试判断元素1和2与集合B的关系.(2)用列举法表示集合B.【解析】(1)当x=1时,=2∈N;当x=2时,=∉N,所以1∈B,2∉B.(2)因为∈N,所以0<2+x≤6,且2+x∈N*,当x=0时,=3∈N;当x=1时,=2∈N;当x=2时,=∉N;当x=3时,=∉N;当x=4时,=1∈N.所以集合B={0,1,4}.6.(2014·福建高考改编)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).【解析】若只有①对,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合元素互异性矛盾,不符合题意;若只有②对,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③对,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④对,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).【补偿训练】(2014·福建高考改编)已知集合=,且下列三个关系:①a≠2,②b=2,③c≠0有且只有一个正确,求100a+10b+c的值.【解析】若a≠2正确,则b=2不正确,即b≠2,所以c=2.但是c≠0不正确,所以c=0,矛盾;若b=2正确,则a≠2不正确,所以a=2,与集合元素互异性矛盾,不符合题意;若c≠0正确,则a≠2不正确,故a=2.又c≠0,所以c=1.故b=0.符合题意.所以a=2,b=0,c=1.所以100a+10b+c=201.。

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y y
1 3
1,
(4)设u= x(x≥0),则x=u2(u≥0),
y=u2+u=
(u＋
1
)2
(1u≥0).
因为由u≥0,可2 知 4
所以y≥0.
(u＋1)2 1 ,
所以函数y=x+ 的值域2 为[40,+∞).
x
【延伸探究】 1.(变换条件)典例(1)中将函数定义域改为{1,2,3,4,5},则其值域是什么? 【解析】因为x∈{1,2,3,4,5}, 所以y∈{3,5,7,9,11}. 所以所求函数的值域为{3,5,7,9,11}.
第2课时习题课——函数概念的综合应用
【知识提炼】
相等函数
两个函数相等的条件:
①定义域_____;②对应关系_________.
相同
完全一致
【即时小测】 1.思考:定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗? 提示:不一定.判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应关系是否相同,定义域和值域都相同,但对应关系不同,两个函数也不是同一个函数.
提示:可以利用分离常数的办法进行变形,变形方法如下:
3x14
y
3
4
.
x1 x1
4.典例(4)能否转化为用二次函数求值域问题? 提示:可以通过换元法将问题转化为二次函数求值域问题.
【解析】(1)因为x∈R,所以2x+1∈R, 即函数的值域为R. (2)配方:y=x2-4x+6=(x-2)2+2, 因为x∈[1,5),由图所示. 所以所求函数的值域为[2,11).
提示:x0化简后的结果为1,但隐含x≠0这一要求; 化简后
2x 12
为|2x+1|.
2.典例2中两个函数的定义域是多少?
提示:由题意可求函数y=
的定义域为{x|x≥1},函数
x1 x1
y=
的定义域为{x|x≥1或x≤-1}.
x1x1
【解析】1.①中f(x)=x+1,x∈R,而y=x+x0中x≠0,它们的定义域不相
x
x
x
4.函数y= -1的值域是
.
x
【解析】利用我们熟知的的取值范围求.
x
因为 ≥0,所以 -1≥-1.
所以函x 数y= -1的x值域为[-1,+∞).
答案:[-1,+∞)x
【知识探究】知识点相等函数观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:判断两个函数是相等关系的关键是什么? 问题2:两个函数相等与表示自变量的字母有关吗?
2.不相等.对于函数y= x1 ,x1
由 x 1 解0 得, x≥1,故定义域为{x|x≥1}.
对于 x函数1 y0=
,由(x+1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1,故定
义域为{x|x≥1或xx1≤-x1}1.显然两个函数定义域不同,故不是相等函数.
【方法技巧】判断相等函数的流程
【变式训练】判断下列函数是否是相等函数. (1)f(x)=2x+1(x∈R),g(x)=2x+1(x∈N+); (2)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2; (3)f(x)=x2,g(x)=x .
【总结提升】对函数相等的两点说明 (1)函数值域是由函数的定义域和对应关系决定的,因此判断两个函数相等,关键是看定义域和对应关系即可. (2)因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用不同的字母表示自变量是无关紧要的.
【题型探究】
类型一相等函数
【典例】1.下列各对函数中,是相等函数的序号是
值域.
(2)常用方法:
2.(变换条件)典例(4)中将函数改为:y=x+
【解析】令u= ,则u≥0,x= u,2 1
2x 1
2
所以 y1u2＋ u1(u＋ 1)21.
所以函数的2值域为 2
2
[ 1 ，＋ )． 2
,则其值域是什么?
2x 1
【方法技巧】求函数值域的原则及常用方法
(1)原则:①确定相应的定义域;②根据函数的具体形式及运算确定其
.
①f(x)=x+1与g(x)=x+x0;
②f(x)=
与g(x)=|2x+1|;
③f(n)=2n+21x(n1∈2 Z)与g(n)=2n-1(n∈Z);
④f(x)=3x+2与g(t)=3t+2.
2.试判断函数y= x1 x1与函数y= x1x1是否相等,
并说明理由.
【解题探究】1.典例1中x0及 2x 12 化简后各等于什么?
(3)方法一:借助反比例函数的特征求.
y3x143 4，
显然 x4 可1取0以外x的一1切实数, 即所求x 函 1 数的值域为{y|y≠3}.
方法二:把y= 看成关于x的方程,
变形得(y-3)x3+x (y1+1)=0,该方程在原函数定义域{x|x≠-1
即所求函 y数的3 值0 ,域为{y|y≠3}.
(4)y=x3+x 1 .. x 1 x
【解题探究】1.典例(1)的定义域是什么? 提示:定义域为R. 2.典例(2)中如何求二次函数有关的值域? 提示:将二次函数式配方找对称轴,结合图象求解.
3.典例(3)中函数y= 3 x 1 的分子和分母都含有自变量x,是否可以将 x 1
其变形为只有分母含有自变量x的形式?
同,所以不是相等函数.
②中两个函数的定义域都是R,并且f(x)=
=|2x+1|,所以它
们是相等函数.
2x 12
③中f(n)=2n+1(n∈Z)与g(n)=2n-1(n∈Z)的定义域都是Z,值域也相
同(都是奇数集),但对应关系不同,所以不是相等函数.
④中f(x)=3x+2与g(t)=3t+2的定义域都是R,尽管它们表示自变量的字母不同,但是,对应关系都是“乘3加2”,是相同的对应关系,所以是相等函数. 答案:②④
x2
【解析】(1)对应关系相同,但定义域不同,因而不是相等函数. (2)定义域、值域均相同,但对应关系不同,因而不是相等函数. (3)定义域相同,但对应关系不同,因而不是相等函数.
类型二求函数值域问题【典例】求下列函数的值域: (1)y=2x+1. (2)y=x2-4x+6,x∈[1,5). (3)y=
2.与y=|x|相等的函数是 ( )
2
A.y x
B.y x2
【C.y解析x】,xx,选xB0,.0对A,定义域不D.y同;3对x3C,定义域不同;对D,值域不同.
3.写出与函数y=1(x≠0)相等的一个函数为
.(写出一个即可)
【解析】与该函数相等的函数有很多,如函数y= x .
答案:y= (不唯一)