多元函数微分法word版

§5.3 多元函数微分法

一、复合函数微分法――链式法则

模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=，

z z u z z z u z x u x x y u y y

νννν∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ，

x z y z u

z

f f x

x

u z f f y

y

∂∂⎧''=+⎪∂∂⎪⎨

∂∂⎪''=+∂∂⎪⎩ 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z

()()x y z du

f f y x f z x dx

'''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，，

u v u v u v w u v

f f x x x w

u v f f y

y y w u v

f f z

z z ⎧∂∂∂''=+⎪∂∂∂⎪

∂∂∂⎪''=+⎨

∂∂∂⎪⎪∂∂∂''=+⎪∂∂∂⎩ 还有其他模型可以类似处理。

【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由

下列两式确定2xy

e xy -=和0sin x z

x

t e dt t -=

⎰，求du

dx

。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx

'''=++

由2xy

e xy -=两边对x 求导，得0xy

dy dy e y x

y x dx dx ⎡⎤⎛⎫

+-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

解出 dy y

dx x

=-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0

sin x z

x

t

e dt t -=

⎰

两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭

解出 ()()

1sin x e x z dz

dx x z -=-

- 所以 ()()1sin x

e x z du

f y f f

dx x x y x z z

⎡⎤-∂∂∂=-+-⎢⎥

∂∂-∂⎣⎦ 【98】设1

()()z f xy y x y x

ϕ=++，f ，ϕ具有二阶连续导数，则

2________z x y ∂=∂∂。 答案：()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''++++

注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和ϕ均为一元函数。

【05】设函数(,)()()()d x y

x y

u x y x y x y t t ϕϕψ+-=++-+⎰

，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ

具有一阶导数，则必有（ ）

（A ）2222u u x y ∂∂=-∂∂；（B ）2222u u x y ∂∂=∂∂；（C ）222u u x y y ∂∂=∂∂∂；（D ）222

u u

x y x ∂∂=∂∂∂ 答案：B

全微分形式不变性

例：利用全微分形式不变性求sin u

z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。

【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式

2222

0z z x y ∂∂+=∂∂

（1）验证()

()0f u f u u

'''+=；

（2）若(1)0f =，(1)1f '=，求函数()f u 的表达式。 二、隐函数微分法

隐函数存在定理1：设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，且

00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯

一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有

d d x y

F y

x F =-。 隐函数存在定理2：设函数(,,)F x y x 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续偏导数，且

000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)P x y z 的某一邻

域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(,)z f x y =，它满足条件

000(,)z f x y =，并有

x z F z x F ∂=-∂，y z

F z y F ∂=-∂。 隐函数存在定理3：方程组的情形

1. 设()0F x y z ，，＝确定()z z x y =，，则y x z z F F z

z x F y F ''∂∂=-=-''

∂∂；

2. 确定()x x y z =，，则

y z x x F F x

x y F z F ''∂∂=-=-''

∂∂； 3. 确定()y y z x =，，则

x z y y F F y

y z F x F ''∂∂=-=-''

∂∂； 【05】设有三元方程ln 1xz

xy z y e -+=，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻

域，在此邻域内该方程（ ）