微积分——多元函数及二重积分知识点
双积分知识点总结
双积分知识点总结双积分，即重积分，是微积分中的重要概念之一，是对多元函数在某一区域上求积分的运算。
通过双积分，我们可以求解曲面的面积、体积、质心等问题，对于计算物理学、工程学等领域都具有广泛的应用。
在双积分的学习过程中，我们首先需要了解双积分的定义、性质和计算方法，然后应用相关知识解决实际问题。
双积分的定义在了解双积分的定义之前，我们首先来回顾一下定积分的概念。
对于函数y=f(x)，在区间[a, b]上的定积分定义为：\[\int_{a}^{b} f(x) dx\]这个定积分表示函数y=f(x)在区间[a, b]上的曲线下面积。
而对于多元函数，我们可以将区域D分割成n个小区域，然后在每个小区域上选择一个点(xi, yi)，并计算函数f(xi, yi)与这个小区域的面积的乘积，再将所有小区域的面积之和做为极限而得到定积分的定义。
有了这样的认识，我们就可以得到多元函数的双积分的定义了。
设函数f(x, y)在闭区域D上有界，如果对于每个有限分割\[D=\bigcup_{i=1}^{n} R_i\]以及任意选取一个Ri的中心点(xi, yi)，使得下式极限存在\[\lim_{\delta \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i\]其中，ΔAi表示第i个小区域的面积，则称这个极限为函数f(x, y)在区域D上的双重积分，记作\[\iint_{D} f(x, y) dA\]这就是双积分的定义。
从这个定义可以看出，双积分是对函数在闭区域D上的积分，表示为对函数在一定区域上的总体积、质量、质心等问题进行求解。
双积分的性质双积分具有一些重要的性质，这些性质对于双积分的计算和应用具有重要的意义。
下面我们来介绍双积分的一些性质：1. 线性性质：设函数f(x, y)和g(x, y)在闭区域D上连续，k1和k2是常数，则有\[\iint_{D} (k_1 f(x, y) + k_2 g(x, y)) dA = k_1 \iint_{D} f(x, y) dA + k_2 \iint_{D} g(x, y) dA\]这说明双积分具有线性性质，这对于利用双积分进行计算以及推导数学结论都具有重要的作用。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
多元微积分知识点总结30788
一、多元函数的微分学二元函数的定义设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中,任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应,那末变量z称为变量x与y的二元函数。
记作：z=f（x,y）. 其中x与y称为自变量,函数z也叫做因变量,自变量x与y的变域D称为函数的定义域.关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面。
这样的部分在平面称为区域。
围成区域的曲线称为区域的边界,边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域,不包括边界在内的区域称为开域。
如果一个区域D（开域或闭域）中任意两点之间的距离都不超过某一常数M,则称D为有界区域;否则称D为无界区域。
常见的区域有矩形域和圆形域.如下图所示:例题：求的定义域.解答:该函数的定义域为:x≥，y≥0。
二元函数的几何表示把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x，y）的定义域D;再过D域中得任一点M(x，y）作垂直于xOy平面的有向线段MP，使其值为与(x，y）对应的函数值z；当M点在D中变动时,对应的P点的轨迹就是函数z=f（x，y）的几何图形.它通常是一张曲面,其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。
二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。
对于二元函数z=f（x，y）我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态.在平面xOy上，（x，y）趋向(ξ，η）的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。
如果当点（x,y）以任意方式趋向点(ξ，η)时，f（x，y)总是趋向于一个确定的常数A，那末就称A是二元函数f（x,y）当（x，y）→(ξ,η）时的极限。
这种极限通常称为二重极限。
下面我们用ε—δ语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义如果定义于（ξ，η）的某一去心邻域的一个二元函数f(x，y）跟一个确定的常数A有如下关系:对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足的一切(x，y）都使不等式成立，那末常数A称为函数f（x，y）当（x,y）→(ξ，η）时的二重极限.正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：二重极限的运算法则如果当（x,y）→（ξ，η）时,f（x,y)→A,g（x，y）→B。
大学微积分期末复习重点
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
高三数学知识点：多元函数和多元微积分
高三数学知识点：多元函数和多元微积分1. 多元函数1.1 定义多元函数是指含有两个或两个上面所述变量的函数。
通常表示为f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是变量，称为自变量。
1.2 多元函数的图形多元函数的图形是多元函数的图像。
在平面上，我们可以画出二元函数的图像。
对于二元函数f(x, y)，我们可以固定一个变量的值，然后画出另一个变量的值随该变量变化的曲线。
这些曲线称为等值线。
1.3 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对一个变量的导数，而将其他变量视为常数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数可以表示为：•∂f/∂x1：表示对x1的偏导数。
•∂f/∂x2：表示对x2的偏导数。
•∂f/∂xn：表示对xn的偏导数。
1.4 多元函数的极值多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的情况。
通过求偏导数并解方程组，可以找到多元函数的极值。
2. 多元微积分2.1 多元积分多元积分是指对多元函数进行积分。
根据积分变量的不同，可以分为二重积分、三重积分和四重积分等。
2.1.1 二重积分二重积分是指对二元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫_D f(x, y) dA其中，D表示积分区域，f(x, y)是被积函数，dA是面积元素。
2.1.2 三重积分三重积分是指对三元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫_D f(x, y, z) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z)是被积函数，dV是体积元素。
2.1.3 四重积分四重积分是指对四元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫∫_D f(x, y, z, w) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z, w)是被积函数，dV是体积元素。
2.2 向量微积分向量微积分包括向量的导数和向量的积分。
2.2.1 向量的导数向量的导数是指对向量场的导数。
对于向量场F(x, y, z)，其导数可以表示为：∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z2.2.2 向量的积分向量的积分是指对向量场进行积分。
重积分知识点的总结
重积分知识点的总结一、重积分的基本概念1. 多元函数在多元函数中，自变量不再是一个，而是两个或两个以上。
例如，z=f(x,y)就是一个的二元函数。
无论是一元函数，还是二元函数，其基本概念都是“输入-处理-输出”。
其中输入就是参数，也就是变量，处理就是函数规定的运算。
这一基本概念在重积分中也是适用的。
2. 多元函数的极限多元函数的极限，与一元函数的极限类似，只是在多个自变量的情况下，我们需要考察所有自变量分别趋于一定值时的极限情况。
其中一定需要掌握的是多元函数极限的存在性问题。
3. 多元函数的连续性对于多元函数的连续性，我们同样需要关注多个自变量的变化趋势。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但要求更加严格。
在重积分中，对于多元函数的连续性是一个比较重要的概念。
4. 重积分的意义重积分的最基本的意义，就是对于多变量函数在多维空间上进行积分。
而在物理学上，重积分的意义就更加明显了。
在空间当中，一定有一个虚拟的某一点，作为观察点。
而对整个空间进行积分，就是将所有的观察点都进行积分，求得整个空间的某一个物理量。
二、重积分的性质1. 线性性质重积分的线性性质是最基本的性质之一。
它影响到重积分的很多性质，例如加减性、齐次性等都是与线性性质相关的。
2. 保号性和保序性对于多元函数来说，保号性和保序性是非常重要的性质。
在重积分中，保号性和保序性也是一个非常重要的概念，它们影响到多元函数的积分值的大小。
3. 对称性对称性在重积分中同样起到了非常重要的作用。
对称性不仅在理论证明中起到了重要作用，而且在实际应用中，对称性也常常起到了非常重要的作用。
4. 交换积分次序对于多元函数的重积分来说，交换积分次序是一个很基本的性质。
但是在实际应用中，交换积分次序同样是需要一些技巧的，有时候并不是直接可行的，需要一些特殊的条件。
5. 分部积分法分部积分法在一元函数的积分中是非常重要的一种积分方法。
而对于多元函数的重积分来说，分部积分法同样是非常重要的。
大学数学微积分第九、十章 多元函数积分学二重积分知识点总结
第九、十章 多元函数积分学§9.1 二重积分一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题 X型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y a x b x y x φφ=≤≤≤≤其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在 D 上连续，则21()()(,)(,)(,)x bDDax f x y d f x y dxdy dx f x y dy φφσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰Y 型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y c y d y x y φφ=≤≤≤≤其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据X 型区域或Y 型区域I ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合X 型区域中关于D 的要求，又不符合Y 型区域中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合X 型区域或Y 型区域中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。
模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。
微积分复习
o
D
r = ϕ (θ )
β
α
图2
A
∫∫
D
f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
β ϕ (θ )
= ∫ dθ ∫
α
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
（3）区域如图 ）区域如图3
r = ϕ (θ )
π 0 ≤ θ ≤ 2π,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
D
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图3
= ∫ dθ ∫
0
2π
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
微积分口诀
——无穷级数
10：无穷级数不神秘，部分和后求极限。 ：无穷级数不神秘，部分和后求极限。 11：正项级数判别法，比较比值和根值。 ：正项级数判别法，比较比值和根值。
α ≤θ ≤ β,
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
r = ϕ1 (θ)
D
α
β
o
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图1
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
（2）区域如图 ）区域如图2
α ≤θ ≤ β,
级数（1） un , 级数（2） vn敛散性判别法 ∑ ∑
n =1 n =1
∞
∞
级数的收敛性 名 称 条 件 收 敛 Ι 比较判别法 ΙΙ 发 散 若级数(2)收敛， 若级数(1)发散，则级 则级数(1) 数(2)发散 收敛 当0<A<+ 时， 当A=+ 时，若级数 若级数(2)收敛， (2)发散，则级数 则级数(1)收敛 (1)发散 当0≤r<1时 当r>1时
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|b |
即Prjba ab°
乜,而OP (a b0)b0.
|b|
这个公式对我们在后面求点到直线上距离，点到平面距离，两异面直线公垂线的长都有帮助。
、考题类型、解题策略及典型例题
类型求矢量的模
解题策略1.Ja a，2.a {ai,a2,a3}，| a |斗'a「a/ a/-
例 已知a,b,c互相垂直，且a 1,|b | 2,|c | 3，求s a b c的模。
i j k
d a2a3
bib2b3
(azbsa3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ?)i
(aib3asbjj bja?)k
由行列式的性质可知
a.
a b的几何意义:
b表示以
a,b为邻边的平行四边形
的面积，即
|a b |
| a ||b |sin
| a | h s.
a
图
容易知道以
a，b为邻边的三角形面积为
sj|a
2
b|.
容易验证
|a
b|
| a | . a12a22a32.若a 0,记a0—。知a0是单位矢量且与a的方向一致，且a|a|a0。
|a|
因此，告诉我们求矢量a的一种方法，即只要求出a的大小|a|和与a方向一致的单位矢量a0，则
0.若a
{a1, a?a3}，知
其中
a
22'2
a2a3a1
a?
2 2
a?a3
a3
} {cos , cos , cos
第四章 矢量代数与空间解析几何
微积分二大纲要求
了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念， 常用二次曲面的方程及其图
形，空间曲线的参数方程和一般方程•空间曲线在坐标平面上的投影•
会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、
垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的
由公式|A B |2(A B)2| A|2| B |2,得62(2k 4)28(k24) k24k 5 0
(k 5)(k 1) 0,解得k 1或k 5-
例已知a,b, c都是单位矢量且a b c 0，求a b b c ca.
(a b c) (a b c) 0
|c |22(a b b c c a) 0,又| a |2| b |2| c |21，故
方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程
理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式
掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） ，用坐标表达式进行向量运算的方法，
平面方程和直线方程及其求法•
第一节矢量代数
一、内容精要
（一） 基本概念
1.矢量的概念
定义 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可
例 设A 2a b,B ka b,其中|a | 1,|b | 2,且a b，若以A, B为邻边的平行四边行
的面积为6,求常数k。
解|A| .(2a b) (2a b) 4|a|2|b |2、4 4 2 2,
| B | . (ka b) (ka b) k21 a |2| b |2. k24
| A B | | (2a b) (ka b) | | 2k | a |2|b |2| | 2k 4 |
h |b|sin
图
a b 2 | a |2| b |2.
(a b) c
ai
bi
a2
b2
a3
b3
C2
(a b) c的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。
(a b) c的几何意义
|(a b) c|表示以a,b,c为邻边的平行六面体的体积，即
|(a b) c| |a b| |c|cos
分析利用a b a b 0与a，下一题类似.
2 2 2解 由a, b, c两两垂直，知a b 0, a c 0,b c 0, a a | a | , b b | b | ,c c | c |，
知| s | s s (a b c) (a b c)一|a|2|b |2| c |2.. 122232.. 14.
4.设三个矢量e1,e2,03不共面，则对空间任一矢量a，总存在唯一的三个常，mn,使
a lq me2n e3.
5.设b 0，a在b上的投影指的是
把a的起点平移到b的起点0,过a的终点作b的 垂线交b上一点P, OP称为a在b的投影，记作P a.
rj b
Prjba OP | a | cos |a||b°|cos
a,b确定平面的法矢量，这对于求直线方程
与平面方程显得非常重要。
3.矢量间的关系
1.a b a b
0
a〔b2a?b2a3bg
0.
2.a || b a b
0
a,b的分量对应成比例
若b
0，总存在唯一的常数，使
以上是我们在实际中判断两矢量垂直与平行的常用方法，请记住
3.a,b,c共面(a b) c0若b,c不共线总存在唯一的两个实数mn,使a mb nc.
222
.a1a2a3
},
是a分别与Ox轴，Oy轴,
Oz轴正向的夹角，而
COS
ai
2 2
a2
3,cosa3
a：
2 2
aia2
—2 , cos
a3
.ai2
a3
2
a2
2
a3
2 2 2
且cos2cos2cos2
1.
2.矢量间的运算
{ai,a?,&3},b
{C1,C2，C3}.
| a || b |cos
(0
),cos
任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。
定义两个矢量a与b，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作a b.换句
话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改
变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。
a （aj a21j a3k称为按照i , j ,k的坐标分解式，a{a「a?, 83}称为坐标式。
a b
(|a| |a||b|
0,|b| 0).
aibj a?b?
a3b3,
cos
a2pa3b3
b22
b32
a acosO
■-a a
的确定（
)|a
b|
|a ||b |sin ,(2)a
a,b
定的平面
(a b,若a ||b,知| a b |
0,即a
0，方向可任意确定）垂直，
a,b,a b构成右手系若
a,b, c用坐标式给出，则
|
容易知道以a,b,c为邻边的四面
1
体的体积为V—|(a b)c|■
6
a b的应用特别重要，既若直线
图
L既垂直矢量a，也垂直矢量b且a ,b不平行，则L与a, b确
定的平面垂直，又a b也与a,b确定的平面垂直，由两直线与同一平面垂面，则两直线平行.知L
与a b平行，换句话说
a
b是直线L的方向向量，是