多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

,. 习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(vufz在点),(

00

vu

处偏导数连续，二元函数),(),,(yxvvyxuu在点

),(00yx处偏导数连续, 并且),(),,(000000yxvvyxuu, 则复合函数

)),(),,((yxvyxufz 在点),(00y

x

处可微，且

xyxvvvufxyxuuvufxzyx00000000),(,,,,

00

yyxvvvufyyxuuvufyzyx00000000),(,,,,

00

多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(yxvvyxuuvufz，均为连续可微，

则将z看成yx,的函数，有

dyyzdxxzdz

计算yvvfyuufyzxvvfxuufxz

,，代人，

dvvfduufdyyvdxxvvfdyyudxxuufdyyvvfyuufdxxvvfxuufdyyzdxxzdz















我们将dvvfduufdyyzdxxzdz



叫做微分形式不变性。

例1 设xyxyfxz,3，求yzxz

,。 ,. 解：







xydfxydfxfdxxdfxdxxfdz213232)(33



22132(3xydxxdyfydxxdyfxfdxx

dyfxfxdxxyfyfxfx





221421323

由微分形式不变性， dyfxfxdxxyfyfxfxdyyzdxxzdz



221421323

故 22142132,3fxfxyzxyfyfxfxxz。

例2 已知 )1(1xyx，求dydx. 解 考虑二元函数 vuy, uxvx11,，应用推论得

.dxdvvydxduuydx

dy



).ln1(11)(ln112221xxxuuxvuxvv





(2)隐函数 若函数xyy, 由方程0,yxF确定，求导之函数？ 按隐函数定义有恒等式：0,xyxF0,xyxFdxd，

0,,xyxyxFxyxF

yx





xyxFxyxFxyyx,

,

。

从这是可见：函数xyy可导有一个必要条件是，0,yxFy.

例3 已知函数yfx()由方程 , , 22bayxfbyax

是常数，求导函数。

解：方程

22yxfbyax

两边对x求导，



dxdyyxyxfdxdyba22)(22

)(2)(22222yxfybayxfxdxdy

一般来说，若函数xyy, 由方程0,yxF确定，求导之函数？ ,. 将y看作是nxx,...,1的函数),...,(1nxxyxyy,对于方程 0)),...,(,,...,(11nnxxyxxF

两端分别关于ix求偏导数得到，并解ixf,可得到公式 :yxFyxFxyyxii,,

例4 设函数y(z)yzxx ),(由方程组01201222222zyxzyx 确定， 求 dzdydzdx ,.

解 121222222zyxzyxzdydzydxdzxzdydzydxdzx242222解方程得：





dzdydzdx

=xzyzxyzzxxyyxy8124122222441

由此得到 yzdzdyxzdz

dx2,3

.

例5 已知函数yxzz,由参数方程:uvzvuyvuxsincos,给定，试求yzx

z



,.

解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. yx,是自变量,vu,是中间变量(vu,是yx,的函数), 先由 zuv 得到

xvuxuvxvvzxuuzxz



yvuyuvyvvzyuuzyz



uv, 是由方程),(),(yxvvyxuu的xy,的隐函数，在这两个等式两端分别关于xy,求偏导数，得







xvvuxuvxvvuxuvcossin0

sincos1， yvvuyuvyvvuyuvcossin1sincos0

得到 uvxvvyuuuxvvxucos,sin,sin,cos 将这个结果代入前面的式子, 得到 vvvxvuxuvxzsincos

 ,. 与 vvvyvuyuvyzcossin

(3) 隐函数函数),(yxuu由方程0),(0),,(),,,(tzhtzygtzyxfu确定，求yuxu

,

解： 函数关系分析: 5 (变量)  3 (方程)=2(自变量); 一函 (u), 二自( x, y ), 二中( z, t )

xfxu, yttfyzzfyfyu





0),(),(1tg

zgzhtgt

h

tzhg

yty

z

, zhtgthzgygthzfzhtfyfyu.

二阶偏导数：一阶导函数的偏导数

例6 ),(yxzz由2222azyx决定，求yxz2． 解：022x

z

zx，022yzzy

zyyzzxxz,

xzzyyx

z

22

3z

xy

例7 设22,,xxxfxg，其中函数f于的二阶偏导数连续，求22dxxgd 例8 设zfxyxy(,)，f二阶连续可微，求22xz. 解 记 y

xvxyu,; vffuff21,,

22222211,vffuff,uvffvuff221212, ,. 则 211fyfyxvvfxuufxz,

xfyxfyxzxxz21

2

21

因为 vffuff21,都是以uv,为中间变量，以yx,为自变量的函数，所以 xvfxufxf



12111



12111

fyfy

xvfxufxf



22212



22211

fyfy

将以上两式代入前式得: fyffyxz 222121122212.

例9 设),(yxzz二阶连续可微，并且满足方程 0222222yzCyxzBxzA



若令,yxvyxu 试确定,为何值时能变原方程为 02vuz. 解 将yx,看成自变量，vu,看成中间变量，利用链式法则得 zvuvzuzxvvzxuuzxz



zvuvzuzyvvzyuuzyz



zvuvzvuzuzvzuzxxz222222222



2222222222vzvuzuzvzuzyyz

zvu2

2222

22

vzvuzuzvzuzxyxz



=zvuvu





由此可得, 2222

220yzCyxzBxzA=

=

vu

zCBAuzCBA2222222222vzCBA

=0

只要选取,使得 020222CBACBA, 可得 02vuz. 问题成为方程022tCtBA有两不同实根，即要求： 02CAB

.

令ACBB2

,ACBB2,即可。