2014年高考一轮复习数学教案：2.5 反函数

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反函数教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法.授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：我们知道，物体作匀速运动的位移和时间的函数关系，即s = vt与t = J (其V中速度V是常量)在S =W中，位移S是时间f的函数。

在f = E中，时间f是位移S V 的函数。

在这种情况下，我们说函数f =-是函数S = vt的反函数。

V在函数y = 2x+6 ( x e R)中，x是自变量，y是勺函数。

从函数y = 2x+6 中解出x ,就可以得到式子x= y - 3(y e 7?) o这样，对于y在R中任何一个值，通过式子x = -^ y - 3, x都有唯一的值和它对应。

这就说明了，可以把y作为自变量，x 作为y的函数。

这时，我们就说x = ?)- 3 (y c R)是函数y = 2x +6 (xeR)的反函数。

由此，我们可给出反函数的定义。

二、讲解新课：1.反函数定义：一般的，函数y = y(x)(x e A)中，设它的值域为C。

我们根据这个函数中的关系，用y把x表示出来，得到x = 9(y)。

如果对于y在C 中的任何一个值，通过x =(p(y) , x在A中都有唯一的值和它对应，那么x = 9(y) 就表示y 是自变量，x是自变量y的函数。

这样的函数x =(p{y\y eC)叫做函数y = /(x)(x e A)的反函数，记作x = f\y)习惯上，我们把它改写成尸厂⑴.说明：(1 )对于任意一个函数y = /(x),它的反函数不一定存在；(2 )函数是特殊的映射，只有当函数为----- 映射时，该函数才具有反函数；(3)记号尸表示f的逆对应，当然f也是尸的逆对应，即f与厂是互逆的.注意：f(-v)2.反函数与函数的关系(1 )反函数与函数是相对的。

如果函数y = f(x)有反函数y = fT(x)，那么函数丫=广'(X)的反函数就是y = f(x)，即y = f(x)与)=广|(对互为反函数。

2014高考数学复习教案大串讲第13课时反函数

课题：反函数教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．（一）主要知识：1.设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ϕ=.如果对于C 中每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ϕ=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈） 2.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；3.反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数，函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ，则1[()]()f fx x x B -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈；4.互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称．5.一些结论：()1定义域上的单调函数必有反函数；()2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；()3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数.()4周期函数在整个定义域内不存在反函数.（二）主要方法：1.求反函数的一般步骤：()1求原函数的值域；()2反解，由()y f x =解出1()x f y -=；()3写出反函数的解析式（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 注：析分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成.2.若函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，且()b a ,在()y f x =的图像上，则()a b ,在1()y f x -=图像上。

3.若函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，若()b a f =，则()a b f =-1.4.求证一个函数()y f x =的图象关于y x =成轴对称图形，只须证明1()()f x f x -=.（三）典例分析：问题1．求下列函数的反函数：()1(04全国)1y =+（x ≥1）；()2(05上海春) 2()f x x =-((],2x ∈-∞-)()3（96上海）2y x -=（0x <）；()4246y x x =-+（[]1,1x ∈-）()5()12log 11y x =-+（1x <）； ()632927y x x x =-+（x ≤0）；()7（06安徽）()()2200x x y x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥.问题2．()1（06北京文）已知函数()43x f x a a =-+的反函数的图象经过点()1,2-，则a()2已知2()12x x f x =+()x R ∈，求11()3f -的值问题3．()1（06辽宁）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线方程为 .A ln(1y =+.B ln(1y =-.C ln(1y =-+ .D ln(1y =--()2函数22x x y -=-的反函数.A 是奇函数，且在()0,+∞是减函数.B 是偶函数，且在()0,+∞是减函数.C 是奇函数，且在()0,+∞是增函数.D 是偶函数，且在()0,+∞是增函数()3（94全国）设函数()1f x =-(1-≤x ≤0)，则函数1()y f x -=的图像是问题4．()1函数11(,)1ax y x x R axa-=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值．()2设函数xx x f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g ．问题5．()1已知21()()21x x a f x a R ⋅-=∈+，是R 上的奇函数．()1求a 的值，()2求()f x 的反函数，()3对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log xf x k-+>．（四）巩固练习：1.要使24y x x =+（x ≥a ）有反函数，则a 的最小值为2.设1()42x x f x +=-，则1(0)f -=3.（02新课程）函数()()+∞-∈+=,112x xxy 图象与其反函数图象的交点坐标为4.若函数()f x 的图象经过点()0,1-，则函数()4f x +的反函数图象必经过.A ()1,4--.B ()0,1- .C ()4,1-- .D ()1,4-5.（04全国Ⅰ）已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g（五）课后作业：1.设21(01)(){2(10)x x x f x x +≤≤=-≤<，则15()4f -=2.设0,1a a >≠，函数log a y x =的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C y x =轴对称 .D 原点对称3.已知函数1()()12x f x =+，则1()f x --的图象只可能是.A .B .C .D4.若6y ax =-与13y x b =+的图象关于直线y x =对称，且点(,)b a 在指数函数()f x 的图象上，则()f x =5.设函数)1,0(,log )(≠>=a a x x f a 满足(9)2f =，则19(log 2)f -=6.己知：函数33(),()232x f x x x -=≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是____________7.若(2,1)既在()f x =的图象上，又在它反函数图象上，求,m n 的值．8.（04湖南文）设1()f x -是函数()f x =的反函数，则下面不等式中恒成立的是.A 1()f x -≤21x -.B 1()f x -≤21x +.C 1()f x -≥21x - .D 1()f x -≥21x +9.已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，求函数(21)1y f x =-+的反函数.10.已知()1()222xx f x -=-的反函数为1()f x -，则不等式1()1f x ->的解集为11.已知函数11()221x f x a ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（0a >，且1a ≠）()1求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；()2判定1()f x -的单调性；()3解不等式1()1f x ->（六）走向高考：1.(高考)函数2x xe e y --=的反函数 .A 是奇函数,在()0,+∞上是减函数 .B 是偶函数,在()0,+∞上是减函数 .C 是奇函数,在()0,+∞上是增函数 .D 是偶函数,在()0,+∞上是增函数2.（07安徽）下列函数中，反函数是其自身的函数为 .A 2()[0)f x x x =∈+∞，，.B 3()()f x x x =∈-∞+∞，，.C ()e ()x f x x =∈-∞+∞，，.D 1()(0)f x x x=∈+∞，，3.（05山东）函数()10xy xx-=≠的反函数图像大致是4.（07陕西文）设函数()21()x f x x R =+∈的反函数为1()f x -，则函数1()y f x -=的图象是.A .B .C .D5.（07湖北）已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b =6.（07湖北文）函数21(0)21x x y x +=<-的反函数是（）.A 21log (1)1x y x x +=<-- .B 21log (1)1x y x x +=>-.C 21log (1)1x y x x -=<-+.D 21log (1)1x y x x -=>+7.（06福建文）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是 .A (1)1x y x x =≠+ .B (1)1xy x x =≠-.C 1(0)x y x x -=≠ .D 1(0)x y x x-=≠8.（05全国Ⅱ) 函数 )0(12≤-=x x y 反函数是.A 1+=x y )1(-≥x .B y =-1+x )1(-≥x .C y =1+x )0(≥x .D y =-1+x )0(≥x9.（05辽宁）函数1ln(2++=x x y ）的反函数是.A 2x x e e y -+=.B 2x x e e y -+-= .C 2xx e e y --= .D 2xx e e y ---=10.（05全国Ⅱ）函数1(0)y x =≤的反函数是.A 1)y x =≥- .B 1)y x =≥-.C 0)y x =≥ .D 0)y x =≥11.（04天津）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是.A )31(log 13≥+=x x y.B )31(log 13≥+-=x x y.C )131(log 13≤<+=x x y.D )131(log 13≤<+-=x x y12.（04广州模拟）已知函数()f x =（50,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），则其反函数1()f x -为.A 50,2x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ .B []()0,5x ∈.C 50,2x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ .D[]()0,5x ∈13.（07天津）函数2log 2)(0)y x =>的反函数是 .A 142(2)x x y x +=-> .B 142(1)x x y x +=-> .C 242(2)x x y x +=->.D 242(1)x x y x +=->14.(07天津文)函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是.A 24(2)x y x =+>.B 24(0)x y x =+> .C 24(2)x y x =->.D 24(0)x y x =->15.（06安徽文）函数1()x y e x R +=∈的反函数是.A 1ln (0)y x x =+> .B 1ln (0)y x x =->.C 1ln (0)y x x =--> .D 1ln (0)y x x =-+>16.（06江西）设3()log (6)f x x =+的反函数为1()f x -，若11()6()627f m f n --⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦，则()f m n +=17.（07江西文）已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，，则函数1()y fx -=的图象必经过点18.（06重庆）设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且(21)y f x =-的图象过点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1()y fx -=的图象必过点 .A 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ()1,0 .D ()0,119.（06陕西理）设函数()()log a f x x b =+()0,1a a >≠的图象过点()2,1,其反函数的图象过点()2,8,则a b +等于 .A 6 .B 5 .C 4 .D 320.（04江西模拟）已知23()1x f x x +=-，函数()y g x =的图象与1(1)y f x -=+的图象关于直线y x =对称，则(11)g = .A 52 .B 32 .C 72 .D 21821.（06天津）已知函数()y f x =的图象与函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =对称，记[]()()()(2)1g x f x f x f =+-.若()y g x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是 .A [)2,+∞.B ()()0,11,2 .C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ .D 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦22.（上海高考）在()1,1P ，()1,2Q ，()2,3M 和11,24N ⎛⎫ ⎪⎝⎭四点中，函数x y a =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是.A P.B Q .C M .D N23.（07重庆文）设P (31)，为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数1()y f x -=的图象的一个交点，则.A 1522a b ==， .B 1522a b ==， .C 1522a b =-=， .D 1522a b =-=-，24.（05天津）设)(1x f -是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f成立的x 的取值范围为 .A ),21(2+∞-a a .B )21,(2aa --∞ .C ),21(2a aa - .D ),[+∞a25.（04北京）函数f x x ax ()=--223在区间[]1,2上存在反函数的充分必要条件是.A a ∈-∞(,]1 .B a ∈+∞[,)2 .C a ∈[,]12 .D (,1][2,)a ∈-∞+∞26.（04湖南）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b f a f ,则()f a b +的值为.A 1 .B 2 .C 3 .D 2log 327.（04全国Ⅰ）已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g.A 1 .B 2 .C 3 .D 3log 2。

反函数数学教案

Don't worry about the result, first ask yourself if you are qualified enough, and the effort must be worthy of the result. When the time is in place, the result will naturally come out.勤学乐施积极进取（页眉可删）反函数数学教案反函数数学教案1教学目标1.使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.2.通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.3.通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.教学重点,难点重点是反函数概念的形成与认识.难点是掌握求反函数的方法.教学用具投影仪教学方法自主学习与启发结合法教学过程一. 揭示课题今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.1.4. 反函数(板书)(一)反函数的概念(板书)二.讲解新课教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则都有唯一的与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”)学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反函数,而且把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?由学生回答出应为 .教师再提出它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和是同一函数吗?由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做的反函数.继而再提出: 有反函数吗？是哪个函数?学生很快会意识到是的反函数,教师可再引申为与是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量, 当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个 (可画图辅助说明,当时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数.通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.1. 反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义)为了帮助学生理解,还可以把定义中的换成某个具体简单的函数如解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究.2.对概念得理解(板书)教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以与为例来说)学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把与的位置换位了,教师再追问它们的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论: 的定义域和值域分别由的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.(1)“三定”(板书)然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中与的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是与的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.(2)“三反”(板书)此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的.反函数.例1. 求的反函数.(板书)(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)解:由得 , 所求反函数为 .(板书)例2. 求 , 的反函数.(板书)解:由得 ,又得 ,故所求反函数为 .(板书)求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为 , .教师可先明知故问 ,与 , 有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是和 ,所以它们是不同的函数.再追问从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.解: 由得 ,又得 ,又的值域是 ,故所求反函数为 , .(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整)最后让学生一起概括求反函数的步骤.3.求反函数的步骤(板书)(1) 反解:(2) 互换(3) 改写:对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.三.巩固练习练习:求下列函数的反函数.(1) (2) .(由两名学生上黑板写)解答过程略.教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用)四.小结1. 对反函数概念的认识:2. 求反函数的基本步骤:五.作业课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.六.板书设计2.4反函数例1. 练习.一. 反函数的概念 (1) (2)1. 定义2. 对概念的理解例2.(1) 三定(2)三反3. 求反函数的步骤(1)反解(2)互换(3)改写反函数数学教案2教学目标1.使学生了解反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。

数学教案-反函数

数学教案－反函数教案：反函数目标：学生能够理解反函数的概念、性质和应用，能够求解简单的反函数。

一、引入1. 引导学生回顾什么是函数，回顾函数的定义和性质。

2. 引出反函数的概念，提问学生是否知道什么是反函数，对于一个函数，如何求它的反函数。

二、概念和性质的讲解1. 定义：对于函数f，如果对于任意的y，都有x=f(y)，则称g为f的反函数。

记作g=f^(-1)。

2. 性质：a. 函数f有反函数的充要条件是f是一一对应的函数。

b. f的反函数的定义域是f的值域，值域是f的定义域。

c. 如果f(x)=y，则f^(-1)(y)=x，即函数f和它的反函数是互逆的。

d. 垂线检测法：函数f和它的反函数在y=x上对应的点。

三、求反函数的方法1. 把函数方程y=f(x)看作x=g(y)，解该方程即可得到反函数。

2. 求反函数的步骤：a. 交换x和y，即将函数方程改写为x=f(y)。

b. 解出y，得到y=f^(-1)(x)。

c. 判断反函数的定义域和值域。

d. 将交换后的方程改写为y=f(x)，将x和y互换，验证函数和反函数的互逆性。

四、示例演练1. 案例1：已知函数f(x)=2x+3，求它的反函数。

步骤：a. 交换x和y，得到x=2y+3。

b. 解出y，得到y=(x-3)/2。

c. 判断反函数的定义域和值域：由于原函数f(x)的定义域是R，值域也是R，所以反函数的定义域是R，值域也是R。

d. 将交换后的方程改写为y=f(x)，即y=f^(-1)(x)=(x-3)/2，验证函数和反函数的互逆性。

2. 案例2：已知函数f(x)=3x^2，求它的反函数。

步骤：a. 交换x和y，得到x=3y^2。

b. 解出y，得到y=sqrt(x/3)或y=-sqrt(x/3)。

c. 判断反函数的定义域和值域：由于原函数f(x)的定义域是R，值域是[0, +∞)，所以反函数的定义域是[0, +∞)，值域是R。

d. 将交换后的方程改写为y=f(x)，即y=f^(-1)(x)=sqrt(x/3)或y=f^(-1)(x)=-sqrt(x/3)，验证函数和反函数的互逆性。

反函数的教案设计

反函数的教案设计一、教学目标1.了解反函数的概念、性质及其与原函数之间的关系。

2.能够掌握反函数的求法及其应用。

3.能够灵活运用反函数的相关知识，解决实际问题。

二、知识导入1.通过示例，介绍什么是函数的反函数。

2.通过一定的问题和分析，引导学生研究反函数的性质和应用。

三、教学过程1.理解反函数的概念基本概念：定义域上的函数 f 和值域上的函数 g，若对于所有x∈D（f）都有 f (x) =y，则对于所有y∈R,f 中恰好存在一个唯一的 x 满足 f (x) =y.则称 g(x)=y 为 f(x)=y 的反函数，记作 g=f^-1。

2.反函数的求法（1）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递增函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，最后再把dy换成dx即可。

（2）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递减函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，然后把dx取相反数即可得到反函数的导数。

3.反函数的性质（1）反函数与原函数的图像关于一条直线相互对称。

（2）反函数的导数等于原函数导数的倒数。

（3）反函数与原函数之间的对应关系是一一对应的。

4.反函数的应用（1）求解反函数使得它们可以互相转化；（2）使用反函数的定义特性进行不等式求解；（3）应用反函数解决函数复合问题；（4）使用反函数解决实际问题四、教学方法1.课堂讲解法2.启发式探究法3.案例教学法五、教学重点和难点1.教学重点反函数与原函数的关系，反函数的求法及应用。

2.教学难点反函数的理解及应用。

六、教学反思1.课时的安排比较紧张；2.应用案例多讲练习。

3.加强学生的实际应用能力。

4.帮助学生提高数学素养、掌握思维方法。

七、教学评估1.小测验2.课后作业3.学生参与度4.课程效果参考文献1.李瑞兰.数学分析(修订版) [M].北京: 中国科学技术大学出版社,2001.2.程志之.高等数学(第五版) [M].北京:科学出版社,2010.3.张慕智.数学分析 [M].上海: 华东师范大学出版社,2003.。

高三第一轮复习数学---反函数

高三第一轮复习数学---反函数一、教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x f y -=的性质解决一些问题．二、教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．三、教学过程：（一）主要知识：1、反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，由y=f(x)求出()y x ϕ=，若对于C 中的每一个值y ，在A 中都有唯一的一个值和它对应，那么()y x ϕ=叫以y 为自变量的函数，这个函数()y x ϕ=叫函数y=f(x)的反函数，记作()y f x 1-=，通常情况下，一般用x 表示自变量，所以记作()x fy 1-=。

注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。

（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤（1）解关于x 的方程y=f(x)，达到以y 表示x 的目的；（2）把第一步得到的式子中的x 换成y ，y 换成x ；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。

3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称；（2）y=f(x)和y=f -1(x)具有相同的单调性；（3）y=f(x)和x=f -1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知y=f(x)，求f -1(a)，可利用f(x)=a ，从中求出x ，即是f -1(a)；（5）f -1[f(x)]=x; （6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f -1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上；（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；（二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=，（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=，（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域．（三）例题分析：例1．求下列函数的反函数：（1）()1)f x x =≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<；（3）32331y x x x =-++．解：（1）由1)y x x =≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴10)2x y +=≥，∴所求函数的反函数为10)2y x =-≥．（2）当01x ≤≤时，得10)x y =-≤≤，当10x -≤<时，得1)x y =<≤，∴所求函数的反函数为10)1)x y x -≤≤=<≤．（3）由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+，∴1)x y R =∈，∴所求反函数为1()1)f x x R -=∈．例2．函数11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值．解：由11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+，∴11()(1)(1)xf x x a x --=≠-+，由题知：1()()f x f x -=，11(1)1x axa x ax--=++，∴1a =．例3．若(2,1)既在()f x =,m n 的值．解：∵(2,1)既在()f x∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴21==，∴37m n =-⎧⎨=⎩．例4．设函数xxx f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值．解法一：由121x y x -=+得12y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+， ∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23xx -=+，得(2)2g =-．解法二：由1(1)y f x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．例5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．例6．已知21()()21x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值，（2）求()f x 的反函数，（3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x f x k-+>．解：（1）由题知(0)f =，得1a =，此时21212112()()021212112x x x xx x x xf x f x ------+-=+=+=++++，即()f x 为奇函数．（2）∵21212121x x xy -==-++，得12(11)1x yy y+=-<<-，∴121()l o g(11)1xf x x x-+=-<<-．（3）∵121()log x f x k -+>，∴11111x xx k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩， ①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<， ②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．（四）巩固练习：１、①若函数)(x f 是函数()10222≤≤--=x x y 的反函数，则)(x f 的图象为（）A B C D②已知函数)(x f 的图象过点（0，1），则函数)4(-x f 的反函数的图象必过定点（）A 、（1，－4）B 、（1，4）C 、（1，0）D 、（4，1）③ 若函数f （x ）的图象与xy )21(=的图象关于直线y=x 对称，则函数)2(2x x f -的单调减区间是（） A 、（1，+∞） B 、（-∞，1] C 、（0，1] D 、[1，2）２、①函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=)01()10(122x xx x y 的反函数是②、已知R x x f xx∈+=,212)(，则=-)31(1f ___ . ③、已知函数x x f 3)(=的反函数是)(1x f-,且2)18(1+=-a f ,则函数])1,0[(3∈=x y ax 的值域为______________.3、已知函数132)(-+=x x x f ，若函数y=g （x ）与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称，求g （3）的值．４、给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数)1(11ax R x ax x y ≠∈--=且，证明这个函数的图象关于直线y=x 对称。

高三数学一轮复习 2.5 反函数课件文大纲人教版

【例3】已知a∈R，b∈R，f(x)为奇函数，且f(2x)＝ (1)求f(x)的反函数f－1(x)及其定义域； (2)设g(x)＝求实数k的取值范围．，若x∈
.
，f－1(x)≤g(x)恒成立，
解：(1)由f(2x)＝
，得f(x)＝＝0，得a＝1. ，
.
∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝
2011届高三数学文大纲版创新设计一轮复习课件：2.5 反函数
第5讲反函数
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了解反函数的概念及互为反函数的函数图象之间的关系，会求一些简单函数的反函数，能利用互为反函数的两函数的关系解题.
反函数 1．概念：若函数y＝f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，
【例1】求下列函数的反函数． (1)y＝－ (x≥1)；(2)y＝
解：(1)∵x≥1，∴y＝－
∴x2＝1＋y2，∵x≥1，∴x＝
≤0.由y＝－
，得y2＝x2－1，
(x≤0)．
(y≤0)，∴f －1(x)＝
(2)∵x<0时，y＝x＋1，∴x＝y－1，∵x<0，∴y<1，∴f－1(x)＝x－1(x<1)，
象关于直线 y ＝x对称，求g(5)．思维点拨：可以先解出f－1(x)，再解出f－1(x＋1)，也可以利用反函数对应的意义求f－1(x＋1)．
解：解法一：∵y＝f －1(x＋1)，∴f(y)＝f [ f －1(x＋1)]函数是y＝f(x)－1，即g(x)＝f(x)－1，g(5)＝f(5)－1＝－ .
变式3：若函数f(x)＝ax－ a＋6(a>0且a≠1)的反函数f－1(x)的图象过点(5,2)，且在区间上有f－1(x)<0，求反函数f－1(x)．

高三数学一轮复习精品教案1：2.5对数与对数函数教学设计

2.5对数与对数函数1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)：①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式基本公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质4．反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围．『试一试』1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．『解析』当M ，N 为负数时，不能得到log 2M >log 2N ，而根据函数y ＝log 2x 的单调性可知，当log 2M >log 2N 时，可得M >N . 『答案』必要不充分2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________．『解析』因为4－x 2∈(0,4』，所以log 2(4－x 2)∈(－∞，2』，故原函数的值域为(－∞，2』．『答案』(－∞，2』1．对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点 (1)当a >1时，对数函数的图像“上升”；当0<a <1时，对数函数的图像“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限．『练一练』1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________．『答案』(1,0)2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________．『解析』易知log 23>1，log 32，log 52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3 x 与y ＝log 5 x 的图像，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式即得log 32>log 5 2.『答案』c >a >b计算下列各题： (1)lg 37＋lg 70－lg 3－lg 32－lg 9＋1；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 『解析』(1)原式＝lg 37×703－lg 32－2lg 3＋1＝lg 10－lg 3－12＝1－|lg 3－1|＝lg3.(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 ＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. 『备课札记』『类题通法』对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．『典例』 (1)(2014·南通期末)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________． (2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．『解析』 (1)由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图像上，从而由2＝log 22x 得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎫22x上，从而y C ＝14，于是点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. (2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图像，可知，f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.『答案』 (1)⎝⎛⎭⎫12，14 (2)⎝⎛⎭⎫22，1 『备课札记』『解析』设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 图像的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的图像下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，又即log a 2≥1.所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2』．『答案』(1,2』『类题通法』应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．『针对训练』已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， 0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．『解析』令－12x ＋6＝0，得x ＝12.因为a ，b ，c 互不相等，令a <b <c ，作出f (x )的图像，如图所示．令f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ，则根据图像可得1<a <10，b ＋c ＝2×12＝24，故a ＋b ＋c ∈(25,34)．『答案』(25,34)『典例』已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．『解析』 (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.『备课札记』『类题通法』求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．『针对训练』已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．『解析』(1)由a x －1>0得a x >1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，故0<ax 1－1<ax 2－1， ∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)． ∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．『课堂练通考点』1．(2014·深圳第一次调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.『解析』由题意得，f (－2)＝－f (2)＝－log 3(1＋2)＝－1. 『答案』－12．(2013·广东高考改编)函数y ＝lg x ＋1x －1的定义域是________．『解析』由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，『答案』(－1,1)∪(1，＋∞)3．(2013·苏北四市二调)已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋2，若f ⎝⎛⎭⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为________．『解析』令g (x )＝f (x )－2＝a log 2x －b log 3x ，可得g (x )满足g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－g (x )．所以由g ⎝⎛⎭⎫12 014＝f ⎝⎛⎭⎫12 014－2＝2，得g (2 014)＝－2，所以f (2 014)＝0. 『答案』04．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．『解析』f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，⇔0≤x ≤1或x >1.『答案』『0，＋∞)5．(2014·南京模拟)若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是________．『解析』当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a>1. ∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a .∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 『答案』⎝⎛⎭⎫12，16．(2013·北京高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．『解析』当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x <2，故值域为(0,2)∪(－∞，0』＝(－∞，2)．『答案』(－∞，2)。

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2.5 反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）.在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是A.y =－x1－1（x ≠0）B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y1⇒x =－1－y1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数B.在［－21，+∞）上为减函数C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换，∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）.答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=xx -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x =31，解得x =1.∴f －1（31）=1.答案：1评述：显然解法二更简便. ●典例剖析【例1】设函数f （x ）是函数g （x ）=x21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞）B.（－∞，0］C.［0，2）D.（－2，0］解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.答案：C深化拓展1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）. ∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】已知函数f （x ）是函数y =1102+x－1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x 的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）.（1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y =1102+x－1（x ∈R ），得10x =yy +-11，x =lgyy +-11.∴f （x ）=lgxx +-11（－1＜x ＜1）.设P （x ，y ）是g （x ）图象上的任意一点，则P 关于直线y =x －1的对称点P ′的坐标为（1+y ，x －1）.由题设知点P ′（1+y ，x －1）在函数y =134--x x 的图象上，∴x －1=11)1(34-++-y y .∴y =21+x ，即g （x ）=21+x （x ≠－2）.∴F （x ）=f （x ）+g （x ）=lg xx +-11+21+x ，其定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）∵f （x ）=lgxx +-11=lg （－1+x+12）（－1＜x ＜1）是减函数，g （x ）=21+x （－1＜x ＜1）也是减函数，∴F （x ）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练夯实基础1.（2004年全国Ⅱ）函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 A.y =x 2－2x +2（x ＜1） B.y =x 2－2x +2（x ≥1） C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）解析：y =1-x +1（x ≥1）⇒y ≥1，反解x ⇒x =（y －1）2+1⇒x =y 2－2y +2（y ≥1），x 、y 互换⇒y =x 2－2x +2（x ≥1）.答案：B 2.（文）（2004年全国Ⅲ，文3）记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1解析：g （10）的值即为10=1+3－x 中x 的值⇒3－x =32，∴x =－2. 答案：B（理）（2004年全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0） B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0）D.y =21ln （2x ）（x ＞0）解析：y =e 2x ⇒2x =ln y ⇒x =21ln y ，x 、y 互换⇒y =21ln x （x ＞0）.答案：C3.（2004年北京，5）函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是A.a ∈（－∞，1］B.a ∈［2，+∞）C.a ∈［1，2］D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2. 答案：D4.（2004年福建，7）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是BC D解析：y =log 2x ⇔x =2y ⇒f －1（x ）=2x ⇒f －1（1－x ）=21－x . 答案：C 5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.解析：∵点（2，41）在函数y ＝2ax ＋b 的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（41，2）在函数y ＝2ax ＋b 的图象上.把点（2，41）与（41，2）分别代入函数y ＝2ax ＋b 可得.答案：－7127106.（2004年全国Ⅲ，15）已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，设f （x ）的反函数是y =g （x ），则g （－8）=______________.解析：当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=3－x －1.又∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ），即－f （x ）=3－x－1.∴f （x ）=1－3－x.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---xx3113 ⎩⎨⎧<≥.0,0x x∴f －1（x ）=⎩⎨⎧<--≥+.0)1(log ,0)1(log 33x x x x∴f －1（－8）=g （－8）=－log 3（1+8）=－log 332=－2. 答案：－2 培养能力7.已知函数f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，求实数m .解：∵f （x ）的图象关于直线y =x 对称，又点（5，0）在f （x ）的图象上，∴点（0，5）也在f （x ）的图象上，即－m5=5，得m =－1.8.已知函数f （x ）=a +bx －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.解：∵函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），∴a +b 0=3，a =3－b 0= 3－1=2.又函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），∴f －1（4+a ）=2. ∴f （2）=4+a =4+2=6，即2+b 2－1=6.∴b =4.故f （x ）=2+4x －1.再求其反函数即得 f －1（x ）=log 4（x －2）+1（x ＞2）. 9.已知函数f （x ）=2（21－11+xa）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1. 解：（1）化简，得f （x ）=11+-xx aa .设y =11+-xx aa ，则a x =yy -+11.∴x =log ayy -+11.∴所求反函数为 y =f －1（x ）=log axx -+11（－1＜x ＜1）.（2）∵f －1（－x ）=log a xx +-11=log a （xx -+11）－1=－log axx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数. （3）log ax x -+11＞1.当a ＞1时，原不等式⇒xx -+11＞a ⇒11)1(--++x ax a ＜0.∴11+-a a ＜x ＜1.当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a x x解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11.综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）；当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）.探究创新10.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）.（1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11.又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1.∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0. ∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立.显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］.则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立.由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称.3.求y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域. （3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】（2004年上海，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于 A.10－x －1B.10x －1C.1－10－xD.1－10x解析：所求函数与y =lg （x +1）的反函数的图象关于y 轴对称. 答案：A【例2】若函数y ＝axax +-11（x ≠－a1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值.解法一：由y ＝axax +-11，解得x ＝aay y +-1.故函数y ＝axax +-11的反函数为y ＝aax x +-1.∵函数y ＝axax +-11的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数y ＝axax +-11与它的反函数y ＝aax x +-1相同.由axax +-11＝aax x +-1恒成立，得a ＝1.解法二：∵点（0，1）在函数y ＝axax +-11的图象上，且图象关于直线y =x 对称，∴点（0，1）关于直线y ＝x 的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a ＝1. 【例3】函数y =xx +12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.答案：（0，0），（1，1）。