高三高考数学一轮复习(理)大纲

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高三数学一轮复习 9.43 平面的基本性质及空间的两条直线课件 理 大纲人教版

高三数学一轮复习 9.43 平面的基本性质及空间的两条直线课件 理 大纲人教版

1.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( ) A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 答案:C
2.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中 点.那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案:C
4.下列各图是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,过四 个点共面的图形是________.(写出符合要求序号)
解析:在④选项中,可证Q点所在棱与PRS平行,因此,P、Q、R、S四 点不共面.可证①中PQRS为梯形;③中可证PQRS为平行四边形;②中 如图取A1A与BC的中点分别为M、N,可证明PMQNRS为平面图形,且 PMQNRS为正六边形. 答案:①②③
2.利用公理2可证明点共线,线共点等问题.
3.求异面直线所成的角,是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角, 可通过余弦定理解三角形,而作辅助线主要是作已知直线的平行线, 具体可利用平行四边形对边平行,三角形或梯形的中位线与底边平行等,而 对两条异面直线的判定可根据“连结平面外一点和平面内一点的直线与平面 内不经过此点的直线是异面直线”. 这个结论是对异面直线直接判定的重要依据,也是求异面直线成角作辅助线 的 重要依据之一,也可利用向量的夹角求异面直线所成的角.
解法二:以D为空间坐标原点,如图,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),
F(1,0,0),O(1,1,0),E(0,2,1),∴FD1=(-1,0,2),OE=(-1,1,1),∴FD1·OE
=3,∴cos θ=

即两条异面直线D1F与OE所成角的余弦值为
.

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案对数与对数函数1

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案对数与对数函数1

第六节 对数与对数函数对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图象通过的特殊点. (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数(a >0,且a ≠1). 知识点一 对数及对数运算 1.对数的定义一般地,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫作以a 为底N 的对数,记作x =log a _N ,其中a 叫作对数的底数,N 叫作真数.2.对数的性质 (1)log a 1=0,log a a =1. (2)a log a N =N ,log a a N =N . (3)负数和零没有对数. 3.对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么 (1)log a (MN )=log a M +log a N . (2)log aMN=log a M -log a N . (3)log a M n =n log a M (n ∈R ).(4)换底公式log a b =log m blog m a (a >0且a ≠1,b >0,m >0,且m ≠1).必记结论1.指数式与对数式互化:a x =N ⇔x =log a N . 2.对数运算的一些结论:①log am b n =nm log a b .②log a b ·log b a =1.③log a b ·log b c ·log c d =log a d .易误提醒 在运算性质log a M n =n log a M 中,易忽视M >0.[自测练习]1.(2015·临川一中模拟)计算⎝⎛⎭⎫lg 1125-lg 82÷4-12=________. 解析:本题考查指数和对数的运算性质.由题意知原式=(lg 5-3-lg 23)2÷2-1=(-3lg 5-3lg 2)2×2=9×2=18.答案:18 2.lg427-lg 823+lg 75=________. 解析:原式=lg 4+12lg 2-lg 7-23lg 8+lg 7+12lg 5=2lg 2+12(lg 2+lg 5)-2lg 2=12.答案:12知识点二 对数函数定义、图象与性质定义函数y =log a x (a >0,且a ≠1)叫作对数函数图 象a >10<a <1性 质定义域:(0,+∞)值域:R当x =1时,y =0,即过定点(1,0)当0<x <1时, y ∈(-∞,0); 当x >1时, y ∈(0,+∞) 当0<x <1时, y ∈(0,+∞); 当x >1时, y ∈(-∞,0) 在(0,+∞)上为增函数在(0,+∞)上为减函数易误提醒 解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域. (2)对数底数的取值范围. 必记结论1.底数的大小决定了图象相对位置的高低;不论是a >1还是0<a <1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.2.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝⎛⎭⎫1a ,-1,函数图象只在第一、四象限.[自测练习]3.已知a >0,a ≠1,函数y =a x 与y =log a (-x )的图象可能是( )解析:函数y =log a (-x )的图象与y =log a x 的图象关于y 轴对称,符合条件的只有B. 答案:B4.函数y =log a x (a >0,且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a 的值为________.解析:(1)当a >1时,函数y =log a x 在[2,4]上是增函数,所以log a 4-log a 2=1,即log a 42=1,所以a =2. (2)当0<a <1时,函数y =log a x 在[2,4]上是减函数,所以log a 2-log a 4=1,即log a 24=1,所以a =12.由(1)(2)知a =2或a =12.答案:2或12考点一 对数式的化简与求值|1.(2015·内江三模)lg51 000-823=( )A.235 B .-175 C .-185 D .4 解析:lg 51 000-823=lg 1035-(23)23=35-4=-175.答案:B2.(log 23)2-4log 23+4+log 2 13=( )A .2B .2-2log 2 3C .-2D .2log 2 3-2解析:(log 23)2-4log 23+4=(log 23-2)2=2-log 23,又log 213=-log 23,两者相加即为B.答案:B3.(2015·高考浙江卷)若a =log 43,则2a +2-a =________. 解析:原式=2log 4 3+2-log 4 3=3+13=433.答案:433对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.考点二 对数函数图象及应用|(1)(2016·福州模拟)函数y =lg |x -1|的图象是( )[解析] 因为y =lg |x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧lg (x -1),x >1,lg (1-x ),x <1.当x =1时,函数无意义,故排除B 、D. 又当x =2或0时,y =0,所以A 项符合题意. [答案] A(2)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0,22 B.⎝⎛⎭⎫22,1C .(1,2)D .(2,2)[解析] 法一:构造函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,当a >1时不满足条件,当0<a <1时,画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0,12上的图象,可知,f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12,即2<log a 12,则a >22,所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22,1.法二:∵0<x ≤12,∴1<4x ≤2,∴log a x >4x >1,∴0<a <1,排除选项C ,D ;取a =12,x =12,则有412=2,log 12 12=1,显然4x <log a x 不成立,排除选项A.[答案] B应用对数型函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |,0<x ≤10,-12x +6,x >10,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则abc 的取值范围是( )A .(1,10)B .(5,6)C .(10,12)D .(20,24)解析:作出f (x )的大致图象,不妨设a <b <c ,因为a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),由函数的图象可知10<c <12,且|lg a |=|lg b |,因为a ≠b ,所以lg a =-lg b ,可得ab =1,所以abc =c ∈(10,12).答案:C考点三 对数函数性质及应用|已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a >1时,求使f (x )>0的x 的解集. [解] (1)要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0,解得-1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为(-1,1).(2)由(1)知f (x )的定义域为(-1,1), 且f (-x )=log a (-x +1)-log a (1+x ) =-[log a (x +1)-log a (1-x )]=-f (x ), 故f (x )为奇函数.(3)因为当a >1时,f (x )在定义域(-1,1)内是增函数, 所以f (x )>0⇔x +11-x >1,解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1).利用对数函数的性质研究对数型函数性质,要注意以下四点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是如果需将函数解析式变形,一定确保其等价性;四是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.2.已知函数f (x )=log a (8-ax )(a >0,a ≠1),若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,求实数a 的取值范围.解:当a >1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数, 由f (x )>1恒成立, 则f (x )min =log a (8-2a )>1, 解之得1<a <83.若0<a <1时,f (x )在x ∈[1,2]上是增函数, 由f (x )>1恒成立, 则f (x )min =log a (8-a )>1, 且8-2a >0,∴a >4,且a <4,故不存在.综上可知,实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1,83. 5.插值法比较幂、对数大小【典例】 (1)设a =0.50.5,b =0.30.5,c =log 0.3 0.2,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c <b <aB .a <b <cC .b <a <cD .a <c <b(2)已知a =5log 23.4,b =5log 43.6,c =⎝⎛⎭⎫15log 30.3,则( ) A .a >b >c B .b >a >c C .a >c >bD .c >a >b(3)已知函数y =f (x )的图象关于y 轴对称,且当x ∈(-∞,0)时,f (x )+xf ′(x )<0成立,a =(20.2)·f (20.2),b =(log π3)·f (log π3),c =(log 39)·f (log 39),则a ,b ,c 的大小关系是( )A .b >a >cB .c >a >bC .c >b >aD .a >c >b[思路点拨] (1)利用幂函数y =x 0.5和对数函数y =log 0.3x 的单调性,结合中间值比较a ,b ,c 的大小;(2)化成同底的指数式,只需比较log 23.4、log 43.6、-log 3 0.3=log 3 103的大小即可,可以利用中间值或数形结合进行比较;(3)先判断函数φ(x )=xf (x )的单调性,再根据20.2,log π3,log 39的大小关系求解. [解析] (1)根据幂函数y =x 0.5的单调性, 可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b <a <1; 根据对数函数y =log 0.3x 的单调性, 可得log 0.30.2>log 0.30.3=1,即c >1. 所以b <a <c .(2)c =⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3=5-log 3 0.3=5log 3 103. 法一:在同一坐标系中分别作出函数y =log 2 x ,y =log 3x ,y =log 4x 的图象,如图所示. 由图象知: log 2 3.4>log 3 103>log 43.6. 法二:∵log 3 103>log 33=1,且103<3.4, ∴log 3103<log 3 3.4<log 2 3.4. ∵log 4 3.6<log 4 4=1,log 3103>1,∴log 4 3.6<log 3 103. ∴log 2 3.4>log 3103>log 4 3.6. 由于y =5x 为增函数,∴5log 2 3.4>5log 3103>5log 4 3.6. 即5log 2 3.4>⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3>5log 4 3.6,故a >c >b . (3)因为函数y =f (x )关于y 轴对称, 所以函数y =xf (x )为奇函数.因为[xf (x )]′=f (x )+xf ′(x ),且当x ∈(-∞,0)时, [xf (x )]′=f (x )+xf ′(x )<0,则函数y =xf (x )在(-∞,0)上单调递减; 因为y =xf (x )为奇函数,所以当x ∈(0,+∞)时,函数y =xf (x )单调递减. 因为1<20.2<2,0<log π3<1,log 39=2,所以0<log π 3<20.2<log 3 9,所以b >a >c ,选A. [答案] (1)C (2)C (3)A[方法点评] (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.[跟踪练习] 设a >b >0,a +b =1且x =⎝⎛⎭⎫1a b,y =log ⎝⎛⎭⎫1a +1b ab ,z =log 1b a ,则x ,y ,z 的大小关系是( )A .y <x <zB .z <y <xC .y <z <xD .x <y <z解析:用中间量比较大小.由a >b >0,a +b =1,可得0<b <12<a <1,所以1b >2>1a >1,所以x =⎝⎛⎭⎫1a b>1,y =log ⎝⎛⎭⎫1a +1b ab =log ⎝⎛⎭⎫1ab ab =-1,0>z =log 1b a >log 1bb =-1,则y<z <x ,故选C.答案:CA 组 考点能力演练1.函数f (x )=log a |x |+1(0<a <1)的图象大致为( )解析:由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y 轴对称.设g (x )=log a |x |,先画出x >0时,g (x )的图象,然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象,最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象,结合图象知选A.答案:A2.设a =30.5,b =0.53,c =log 0.5 3,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b <c <a B .b <a <c C .c <b <aD .c <a <b解析:因为a =30.5>30=1,0<b =0.53<0.50=1,c =log 0.5 3<log 0.5 1=0,所以c <0<b <1<a ,故选C.答案:C3.(2015·郑州二检)若正数a ,b 满足2+log 2a =3+log 3b =log 6 (a +b ),则1a +1b 的值为( )A .36B .72C .108D.172解析:设2+log 2a =3+log 3b =log 6(a +b )=k ,可得a =2k -2,b =3k -3,a +b =6k ,所以1a +1b =a +b ab =6k 2k -23k -3=108.所以选C. 答案:C4.(2015·长春质检)已知函数f (x )=log a |x |在(0,+∞)上单调递增,则( ) A .f (3)<f (-2)<f (1) B .f (1)<f (-2)<f (3) C .f (-2)<f (1)<f (3) D .f (3)<f (1)<f (-2)解析:因为f (x )=log a |x |在(0,+∞)上单调递增,所以a >1,f (1)<f (2)<f (3). 又函数f (x )=log a |x |为偶函数,所以f (2)=f (-2),所以f (1)<f (-2)<f (3). 答案:B5.已知函数f (x )=log 2 ⎝⎛⎭⎫21-x +t 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A .(-1,0)B .(0,1)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(1,+∞)解析:由f (-x )=-f (x )得log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21+x +t =-log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21-x +t ,所以21+x +t =121-x +t,整理得1-x 2=(2+t )2-t 2x 2,可得t 2=1且(t +2)2=1,所以t =-1,则f (x )=log 21+x1-x<0,即⎩⎪⎨⎪⎧1+x1-x>01+x 1-x <1,解得-1<x <0.答案:A6.(2015·深圳一模)lg 2+lg 5+20+⎝⎛⎭⎫5132×35=________. 解析:lg 2+lg 5+20+⎝⎛⎭⎫5132×35=lg 10+1+523×513=32+5=132. 答案:1327.若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则实数a 的取值范围是________. 解析:∵a 2+1>1,log a ()a 2+1<0,∴0<a <1. 又log a 2a <0,∴2a >1,∴a >12.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12,1.答案:⎝⎛⎭⎫12,18.(2015·成都摸底)关于函数f (x )=lg x 2+1x,有下列结论: ①函数f (x )的定义域是(0,+∞);②函数f (x )是奇函数;③函数f (x )的最小值为lg 2;④当x >0时,函数f (x )是增函数.其中正确结论的序号是________(写出所有你认为正确的结论的序号).解析:函数f (x )=lg x 2+1x的定义域为(0,+∞),其为非奇非偶函数,即得①正确,②不正确;由f (x )=lg x 2+1x =lg ⎝⎛⎭⎫x +1x ≥lg ⎝⎛⎭⎫2 x ×1x =lg 2,得③正确;函数u =x +1x 在x ∈(0,1)时为减函数,在x ∈(1,+∞)时为增函数,函数y =lg u 为增函数,所以函数f (x )在x ∈(0,1)时为减函数,在x ∈(1,+∞)时为增函数,即得命题④不正确.故应填①③.答案:①③9.设f (x )=log a (1+x )+log a (3-x )(a >0,a ≠1),且f (1)=2.(1)求a 的值及f (x )的定义域;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,32上的最大值. 解:(1)∵f (1)=2,∴log a 4=2(a >0,a ≠1),∴a =2.由⎩⎪⎨⎪⎧1+x >0,3-x >0,得x ∈(-1,3), ∴函数f (x )的定义域为(-1,3).(2)f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x )=log 2(1+x )(3-x )=log 2[-(x -1)2+4],∴当x ∈(-1,1]时,f (x )是增函数;当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数,∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,32上的最大值是f (1)=log 24=2. 10.已知f (x )=log a x (a >0且a ≠1),如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13,2都有|f (x )|≤1成立,求a的取值范围.解:由已知f (x )=log a x ,当0<a <1时,⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13-|f (2)|=log a 13+log a 2=log a 23>0, 当a >1时,⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13-|f (2)|=-log a 13-log a 2=-log a 23>0,故⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13>|f (2)|总成立.则y =|f (x )|的图象如图. 要使x ∈⎣⎡⎦⎤13,2时恒有|f (x )|≤1,只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1,即-1≤log a 13≤1,即log a a -1≤log a 13≤log a a , 当a >1时,得a -1≤13≤a ,即a ≥3; 当0<a <1时,得a -1≥13≥a ,得0<a ≤13. 综上所述,a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,13∪[3,+∞). B 组 高考题型专练1.(2014·高考福建卷)若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )解析:由y =log a x 的图象可知log a 3=1,所以a =3.对于选项A :y =3-x =⎝⎛⎭⎫13x 为减函数,A 错误;对于选项B :y =x 3,显然满足条件;对于选项C :y =(-x )3=-x 3在R 上为减函数,C 错误;对于选项D :y =log 3(-x ),当x =-3时,y =1,D 错误.故选B.答案:B2.(2014·高考山东卷)已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A .a >1,c >1B .a >1,0<c <1C .0<a <1,c >1D .0<a <1,0<c <1解析:由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a <1.又当x =0时,y >0,即log a c >0,所以0<c <1.答案:D3.(2015·高考北京卷)如图,函数f (x )的图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2 (x +1)的解集是( )A .{x |-1<x ≤0}B .{x |-1≤x ≤1}C .{x |-1<x ≤1}D .{x |-1<x ≤2}解析:在平面直角坐标系中作出函数y =log 2(x +1)的图象如图所示.所以f (x )≥log 2 (x +1)的解集是{x |-1<x ≤1},所以选C.答案:C4.(2015·高考浙江卷)log 2 22=________,2log 2 3+log 4 3=________. 解析:log 222=log 22-12=-12,2log 2 3+log 4 3=232log 2 3=2log 2 332=27=3 3. 答案:-12 3 3 5.(2015·高考北京卷)2-3,312,log 25三个数中最大的数是________. 解析:因为2-3=123=18,312=3≈1.732,而log 24<log 25,即log 25>2,所以三个数中最大的数是log 25.答案:log 25。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案随机事件的概率1

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案随机事件的概率1

第四节 随机事件的概率事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意 义,了解频率与概率的区别. 了解两个互斥事件的概率加法公式. 知识点一 概率与频率1.在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A 发生的频率具有稳定性.我们把这个常数叫作随机事件A 的概率,记作P (A ).2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而概率是一个确定的值,因此,人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率:P (A )=1. (3)不可能事件的概率:P (A )=0.易误提醒 易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数.[自测练习]1.给出下列三个命题,其中正确命题有________个.①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是37;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.解析:①错,不一定是10件次品;②错,37是频率而非概率;③错,频率不等于概率,这是两个不同的概念.答案:02.某城市2015年的空气质量状况如下表所示:污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130100<T ≤150时,空气质量为轻微污染,则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________.解析:由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P =110+16+13=35.答案:35知识点二 互斥事件和对立事件 事件定义性质互斥事件在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件P (A +B )=P (A )+P (B ),(事件A ,B是互斥事件);P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n )(事件A 1,A 2,…,A n 任意两个互斥)对立事件在一个随机试验中,两个试验不会同时发生,并且一定有一个发生的事件A 和A 称为对立事件P (A )=1-P (A )易误提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.[自测练习]3.装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )“①两球都不是白球;②两球恰有一个白球;③两球至少有一个白球”. A .①② B .①③ C .②③D .①②③解析:从口袋内一次取出2个球,这个试验的基本事件空间Ω={(白,白),(红,红),(黑,黑),(红,白),(红,黑),(黑,白)},包含6个基本事件,当事件A “两球都为白球”发生时,①②不可能发生,且A 不发生时,①不一定发生,②不一定发生,故非对立事件,而A 发生时,③可以发生,故不是互斥事件.答案:A4.运动会火炬传递活动中,有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B.58C.710D.25解析:从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种,其中选出的火炬手的编号相连的事件有:(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),∴选出的火炬手的编号相连的概率为P =310.答案:A考点一 事件的关系|1.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A 表示向上的一面出现奇数点,事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4,则( )A .A 与B 是互斥而非对立事件 B .A 与B 是对立事件C .B 与C 是互斥而非对立事件D .B 与C 是对立事件解析:根据互斥事件与对立事件的意义作答,A ∩B ={出现点数1或3},事件A ,B 不互斥也不对立;B ∩C =∅,B ∪C =Ω,故事件B ,C 是对立事件.答案:D2.设条件甲:“事件A 与事件B 是对立事件”,结论乙:“概率满足P (A )+P (B )=1”,则甲是乙的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:若事件A 与事件B 是对立事件,则A ∪B 为必然事件,再由概率的加法公式得P (A )+P (B )=1.设掷一枚硬币3次,事件A :“至少出现一次正面”,事件B :“3次出现正面”,则P (A )=78,P (B )=18,满足P (A )+P (B )=1,但A ,B 不是对立事件.答案:A3.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率是710的事件是( )A .至多有一张移动卡B .恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析:至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A.答案:A集合法判断互斥事件与对立事件的方法1.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.2.事件A的对立事件A所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.考点二随机事件的概率|(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:日123456789101112131415 期天晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴气日161718192021222324252627282930 期天晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨气...(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天..开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨...的概率.[解](1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78.1.某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩,指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数,试题满分120分),并且绘制了条形统计图(如图所示),则该中学参加本次数学竞赛的人数为________,如果90分以上(含90分)获奖,那么获奖的概率大约是________.解析:由题图可知,参加本次竞赛的人数为4+6+8+7+5+2=32;90分以上的人数为7+5+2=14,所以获奖的频率为1432=0.437 5,即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案:32 0.437 5考点三 互斥事件与对立事件的概率|某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ,B ,C .求:(1)P (A ),P (B ),P (C ); (2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. [解] (1)P (A )=11 000,P (B )=101 000=1100, P (C )=501 000=120.(2)因为事件A ,B ,C 两两互斥,所以P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=11 000+1100+120=611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)P (A ∪B )=1-P (A +B )=1-⎝⎛⎭⎫11 000+1100=9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接求法:先求此事件的对立事件,再用公式P (A )=1-P (A )求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就会较简便.2.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率; (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.解:记A 表示事件:该车主购买甲种保险;B 表示事件:该车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C 表示事件:该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种;D 表示事件:该车主甲、乙两种保险都不购买.(1)由题意得P (A )=0.5,P (B )=0.3,又C =A ∪B , 所以P (C )=P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.5+0.3=0.8.(2)因为D 与C 是对立事件,所以P (D )=1-P (C )=1-0.8=0.2. 31.正难则反思想求互斥事件的概率【典例】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)11.522.53(1)确定x ,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过...2分钟的概率.(将频率视为概率)[思路点拨] 若某一事件包含的基本事件多,而它的对立事件包含的基本事件少,则可用“正难则反”思想求解.[解] (1)由已知得25+y +10=55,x +30=45, 所以x =15,y =20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10100=1.9(分钟).(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A 1,A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率得P (A 1)=20100=15,P (A 2)=10100=110.P (A )=1-P (A 1)-P (A 2)=1-15-110=710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[思想点评] (1)要准确理解题意,善于从图表信息中提炼数据关系,明确数字特征含义. (2)正确判定事件间的关系,善于将A 转化为互斥事件的和或对立事件,切忌盲目代入概率加法公式.(3)需准确理解题意,特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义.[跟踪练习] 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A .0.95B .0.97C .0.92D .0.08解析:记抽检的产品是甲级品为事件A ,是乙级品为事件B ,是丙级品为事件C ,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P (A )=1-P (B )-P (C )=1-5%-3%=92%=0.92.答案:CA 组 考点能力演练1.甲:A 1、A 2是互斥事件;乙:A 1、A 2是对立事件,那么( )A .甲是乙的充分不必要条件B .甲是乙的必要不充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件解析:根据对立事件与互斥事件的关系知,甲是乙的必要但不充分条件. 答案:B2.某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A .0.5B .0.3C .0.6D .0.9解析:依题设知,此射手在一次射击中不超过8环的概率为1-(0.2+0.3)=0.5. 答案:A3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A .“至少有一个黑球”与“都是黑球”B .“至少有一个黑球”与“都是红球”C .“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D .“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析:A 中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B 中的两个事件是对立事件;C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D 中的两个事件是互斥而不对立的关系.故选D.答案:D4.(2016·云南一检)在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34 B.58 C.12D.14解析:分析题意可知,共有(0,1,2),(0,2,5),(1,2,5),(0,1,5)4种取法,符合题意的取法有2种,故所求概率P =12.答案:C5.(2015·孝感二模)某天下课以后,教室里还剩下2位男同学和2位女同学.如果他们依次走出教室,则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析:已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男),所以第2位走出的是男同学的概率P =36=12.答案:A6.(2016·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________.解析:根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为29.答案:297.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,摸出黄球或白球的概率是0.6,那么摸出白球的概率是________.解析:设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A 、B 、C ,由条件知P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.65,P (B ∪C )=P (B )+P (C )=0.6, 又P (A ∪B )=1-P (C ),∴P (C )=0.35, ∴P (B )=0.25. 答案:0.258.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.答案:19289.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=400400+100+100=23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ,则事件A 表示生活垃圾投放正确.事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P (A )约为400+240+601 000=0.7,所以P (A )约为1-0.7=0.3.10.经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:求:(2)至少3人排队等候的概率是多少?解:记“无人排队等候”为事件A ,“1人排队等候”为事件B ,“2人排队等候”为事件C ,“3人排队等候”为事件D ,“4人排队等候”为事件E ,“5人及5人以上排队等候”为事件F ,则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G ,则 G =A ∪B ∪C ,所以P (G )=P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)法一:记“至少3人排队等候”为事件H ,则H =D ∪E ∪F ,所以P (H )=P (D ∪E ∪F )=P (D )+P (E )+P (F )=0.3+0.1+0.04=0.44.法二:记“至少3人排队等候”为事件H ,则其对立事件为事件G ,所以P (H )=1-P (G )=0.44.B 组 高考题型专练1.(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(1)(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.解:(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”,B 表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P (A )=1501 000=0.15,P (B )=1201 000=0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以其概率为P (A )+P (B )=0.15+0.12=0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100=0.24,由频率估计概率得P (C )=0.24.2.(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001 000=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001 000=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案变量间的相关关系、统计案例1

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案变量间的相关关系、统计案例1

第四节 变量间的相关关系、统计案例变量间的相关关系、统计案例 1.变量间的相关关系(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用数点图认识变量间的相关关系. (2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 2.统计案例了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题. (1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用. (2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 知识点一 回归分析 1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是相关关系;与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为正相关,点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关.2.两个变量的线性相关(1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线.(2)回归方程为y ^=b ^x +a ^,其中b ^=∑ni =1x i y i -n x y∑ni =1x 2i -n x 2,a ^=y -b ^x . (3)通过求Q =∑ni =1(y i -bx i -a )2的最小值而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫作最小二乘法.(4)相关系数:当r >0时,表明两个变量正相关; 当r <0时,表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.易误提醒1.易混淆相关关系与函数关系,两者的区别是函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定的关系,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.2.回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过(x ,y )点,可能所有的样本数据点都不在直线上 .3.利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为准确值,而实质上是预测值(期望值).[自测练习]1.已知x ,y 的取值如下表,从散点图可以看出y 与x 线性相关,且回归方程为y ^=0.95x +a ^,则a ^=( )x 0 1 3 4 y2.24.3 4.86.7A.3.25 B .2.6 C .2.2D .0解析:∵回归直线必过样本点的中心(x ,y ),又x =2,y =4.5,代入回归方程,得a ^=2.6.答案:B2.(2016·镇江模拟)如图所示,有A ,B ,C ,D ,E 5组(x ,y )数据,去掉________组数据后,剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.解析:由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系,故去掉D . 答案:D知识点二 独立性检验 独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ,它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:y1y2总计x1 a b a+bx2 c d c+d总计a+c b+d a+b+c+dK2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)(其中n=a+b+c+d为样本容量).易误提醒(1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断,而不是对其是否有关系的判断.(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完全肯定一个结论,因此才出现了临界值表.在分析问题时一定要注意这点,不可对某个问题下确定性结论,否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释.[自测练习]3.下面是2×2列联表:y1y2总计x1 a 2173x2222547总计 b 46120则表中a,b的值分别为()A.94,72B.52,50C.52,74 D.74,52解析:∵a+21=73,∴a=52,又a+22=b,∴b=74.答案:C考点一相关关系的判断|1.对四组数据进行统计,获得如图所示的散点图,关于其相关系数的比较,正确的是()A.r2<r4<0<r3<r1B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1D.r2<r4<0<r1<r3解析:易知题中图(1)与图(3)是正相关,图(2)与图(4)是负相关,且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近,则r2<r4<0<r3<r1.答案:A2.(2015·高考湖北卷)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关解析:因为y=-0.1x+1,x的系数为负,故x与y负相关;而y与z正相关,故x与z 负相关.答案:C相关关系的判断的两种方法(1)散点图法.(2)相关系数法:利用相关系数判定,当|r|越趋近于1相关性越强.考点二回归分析|(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑8i =1(x i -x)2∑8i =1(w i -w)2∑8i =1(x i -x )(y i-y )∑8i =1(w i -w )(y i -y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469108.8表中w i =x i ,w =18∑i =1w i.(1)根据散点图判断,y =a +bx 与y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z =0.2y -x .根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑ni =1 (u i -u )(v i -v )∑ni =1(u i -u )2,α^=v -β^ u . [解] (1)由散点图可以判断,y =c +d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2)令w =x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于 d ^=∑8i =1(w i -w )(y i -y )∑8i =1 (w i -w )2=108.81.6=68, c ^=y -d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68x .(3)①由(2)知,当x =49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+6849=576.6, 年利润z 的预报值 z ^=576.6×0.2-49=66.32.②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值 z ^=0.2(100.6+68x )-x =-x +13.6x +20.12. 所以当x =13.62=6.8,即x =46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.回归直线方程的求法(1)利用公式,求出回归系数b ^,a ^.(2)待定系数法:利用回归直线过样本点中心求系数.1.(2016·银川一中模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^. (2)已知该厂技改前,100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)解:(1)由对照数据,计算得∑4i =1x 1y 1=66.5,∑4i =1x 21=32+42+52+62=86,x =4.5,y =3.5,b ^=66.5-4×4.5×3.586-4×4.52=66.5-6386-81=0.7,a ^=y -b ^x =3.5-0.7×4.5=0.35,所求的回归方程为y ^=0.7x +0.35.(2)x =100,y ^=100×0.7+0.35=70.35,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90-70.35=19.65(吨标准煤).考点三 独立性检验|(2016·邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表.平均每天喝500 mL 以上为常喝,体重超过50 kg 为肥胖.常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计30已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整.(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由.(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生,现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少?参考数据:K 2≥k 0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式:K 2=n (ad -bc )(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ),其中n =a +b +c +d .[解] (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人,x +230=415,解得x =6.常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不肥胖 4 18 22 合计102030(2)由已知数据可求得K 2=30×(6×18-2×4)210×20×8×22≈8.523>7.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A ,B ,C ,D ,女生为E ,F ,任取两人的取法有AB ,AC ,AD ,AE ,AF ,BC ,BD ,BE ,BF ,CD ,CE ,CF ,DE ,DF ,EF ,共15种.其中一男一女的取法有AE ,AF ,BE ,BF ,CE ,CF ,DE ,DF ,共8种.故抽出一男一女的概率是P =815.解独立性检验的应用问题的关注点(1)两个明确: ①明确两类主体; ②明确研究的两个问题. (2)两个关键:①准确画出2×2列联表; ②准确理解K 2.提醒:准确计算K 2的值是正确判断的前提.2.通过随机询问110名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的列联表:男 女 总计 走天桥 40 20 60 走斑马线 20 30 50 总计6050110K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ),n =a +b +c +d .附表:P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828A .有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B .有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关” 解析:K 2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.8.P (K 2≥6.635)=0.01=1-99%,∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”,故选A.答案:A12.独立性检验与概率交汇综合问题的答题模板【典例】(12分)(2016·保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,得到数据如下表:(1)判断是否有(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选2人,求恰有1个男生和1个女生的概率.下面的临界值表供参考:(参考公式:K2=n(ad-bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d)[规范解答](1)由公式K2=55×(20×20-10×5)230×25×25×30≈11.978>7.879,(3分) 所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关.(6分)(2)设所抽样本中有m个男生,则630=m20,得m=4,所以样本中有4个男生,2个女生,分别记作B1,B2,B3,B4,G1,G2.从中任选2人的基本事件有(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,G1),(B2,G2),(B3,B4),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),(B4,G2),(G1,G2),共15个,(9分)其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),(B4,G2),共8个.(11分)所以恰有1个男生和1个女生的概率为815.(12分)[模板形成]分析2×2列联表数据↓利用K 2公式计算K 2值↓对分类变量的相关性作出判断↓求相应事件的概率↓反思解题过程,注意规范化[跟踪练习] 某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查,统计数据见下表所示:(1)加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少?(2)运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系?并说明理由.附:K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d );其中n =a +b +c +d .解:(1)随机从该班抽查一名学生,抽到参加社团活动的学生的概率是2250=1125;抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是2050=25.(2)因为K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )=50×(17×20-5×8)225×25×22×28≈11.688>10.828,所以大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系.A 组 考点能力演练1.根据如下样本数据得到的回归方程为y ^=b ^x +a ^,则( )A.a ^>0,b ^>0 B.a >0,b <0 C.a ^<0,b ^>0D.a ^<0,b ^<0解析:把样本数据中的x ,y 分别当作点的横、纵坐标,在平面直角坐标系xOy 中作出散点图(图略),由图可知b ^<0,a ^>0.故选B.答案:B2.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x =3,y =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A.y ^=0.4x +2.3 B.y ^=2x -2.4 C.y ^=-2x +9.5D.y^=-0.3x +4.4解析:依题意知,相应的回归直线的斜率应为正,排除C ,D.且直线必过点(3,3.5),代入A ,B 得A 正确.答案:A3.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:附表及公式K 2=n (ad -bc )(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ),其中n =a +b +c +d .则下面的正确结论是( )A .有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B .在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C .在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D .有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”解析:由2×2列联表得到a =45,b =10,c =30,d =15,则a +b =55,c +d =45,a +c =75,b +d =25,ad =675,bc =300,n =100,计算得K 2的观测值k 0=100×(675-300)255×45×75×25≈3.030.因为2.706<3.030<3.841,所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”,故选A.答案:A4.根据如下样本数据:得到的回归方程为y =b x +a .若样本点的中心为(5,0.9),则当x 每增加1个单位时,y 就( )A .增加1.4个单位B .减少1.4个单位C .增加7.9个单位D .减少7.9个单位解析:依题意得,a +b -25=0.9,故a ^+b ^=6.5①;又样本点的中心为(5,0.9),故0.9=5b ^+a ^②,联立①②,解得b ^=-1.4,a ^=7.9,则y ^=-1.4x +7.9,可知当x 每增加1个单位时,y 就减少1.4个单位,故选B.答案:B5.已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y =b x +a ,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y =b ′x +a ′,则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′,a ^>a ′ B.b ^>b ′,a ^<a ′ C.b ^<b ′,a ^>a ′D.b ^<b ′,a ^<a ′解析:由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y =2x -2,b ′=2,a ′=-2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据,可求得b ^=∑6i =1x i y i -6x ·y ∑6i =1x 2i -6x2=58-6×72×13691-6×⎝⎛⎭⎫722=57,a ^=y -b ^x =136-57×72=-13,所以b ^<b ′,a ^>a ′.答案:C6.(2016·忻州联考)已知x ,y 的取值如下表:从散点图分析,y 与x 线性相关,且回归方程为y =1.46x +a ,则实数a ^的值为________. 解析:x =2+3+4+54=3.5,y =2.2+3.8+5.5+6.54=4.5,回归方程必过样本的中心点(x ,y ).把(3.5,4.5)代入回归方程,计算得a ^=-0.61.答案:-0.617.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班50名学生进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表:(请用百分数表示).解析:K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )=50×(20×15-5×10)225×25×30×20≈8.333>7.879.答案:0.5%8.已知下表所示数据的回归直线方程为y ^=4x +242,则实数a =________.解析:回归直线y ^=4x +242必过样本点的中心点(x ,y ),而x =2+3+4+5+65=4,y =251+254+257+a +2665=1 028+a 5,∴1 028+a 5=4×4+242,解得a =262.答案:2629.(2015·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表:主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 50岁以上 合计(2)能否有99% 解:(1)2×2列联表如下:主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计201030(2)因为K 2=30×(8-128)212×18×20×10=10>6.635,所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.10.(2015·高考重庆卷)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t12345(1)求y 关于t 的回归方程y =b t +a ;(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t =6)的人民币储蓄存款. 附:回归方程y ^=b ^t +a ^中, b ^=∑ni =1t i y i -n t y ∑ni =1t 2i -n t2,a ^=y -b ^t .解:(1)列表计算如下这里n =5,t =1n ∑n i =1t i =155=3,y =1n ∑n i =1y i =365=7.2. 又l tt =∑ni =1t 2i -n t2=55-5×32=10,l ty =∑ni =1t i y i-n t y =120-5×3×7.2=12,从而b ^=l ty l tt =1210=1.2,a ^=y -b ^t =7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为y ^=1.2t +3.6.(2)将t =6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).B 组 高考题型专练1.(2015·高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线方程y =b x +a ,其中b =0.76,a =y -b x .据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A .11.4万元B .11.8万元C.12.0万元D.12.2万元^=0.76,∴a^=8-0.76×10=0.4,∴回归方程为y^=0.76x 解析:∵x=10.0,y=8.0,b+0.4,把x=15代入上式得,y^=0.76×15+0.4=11.8(万元),故选B.答案:B2.(2015·高考北京卷)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,(1)在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________;(2)在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是________.解析:(1)由题图分析乙的语文成绩名次略比甲的语文成绩名次靠前,但总成绩名次靠后,所以甲、乙两人中语文成绩名次比总成绩靠前的是乙;(2)丙同学的数学成绩名次位于中间稍微靠后,而总成绩名次相对靠后,所以丙同学的语文成绩名次比较靠后,所以丙同学的成绩名次靠前的科目是数学.答案:乙数学。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案正弦定理和余弦定理的应用1

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第八节 正弦定理和余弦定理的应用解三角形及其应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知识点 实际应用中的常用术语 术语名称 术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角.方位角的范围是(0°,360°)正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)××度例:(1)北偏东m °: (2)南偏西n °:坡角 坡面与水平面的夹角设坡角为α,坡度为i ,则i =hl=tan_α坡度 坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比易误提醒 易混淆方位角与方向角概念:方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角,而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.[自测练习]1.若点A 在点C 的北偏东30°,点B 在点C 的南偏东60°,且AC =BC ,则点A 在点B 的( )A .北偏东15°B .北偏西15°C .北偏东10°D .北偏西10°解析:如图所示,∠ACB =90°, 又AC =BC ,∴∠CBA =45°, 而β=30°,∴α=90°-45°-30°=15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案:B2.江岸边有一炮台高30 m ,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.解析:如图,OM =AO tan 45°=30(m), ON =AO tan 30°=33×30=103(m), 在△MON 中,由余弦定理得, MN =900+300-2×30×103×32=300=103(m). 答案:10 33.如图,一艘船上午9:30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B 处,此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向,且与它相距82n mile.此船的航速是________n mile/h.解析:设航速为v n mile/h ,在△ABS 中AB =12v ,BS =82,∠BSA =45°,由正弦定理得82sin 30°=12v sin 45°,则v =32.答案:32考点一 测量距离问题|(2014·济南调研)如图所示,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?[解] 由题意知AB =5(3+3)海里,∠DBA =90°-60°=30°,∠DAB =90°-45°=45°, ∴∠ADB =180°-(45°+30°)=105°, 在△DAB 中,由正弦定理, 得DB sin ∠DAB =ABsin ∠ADB,∴DB =AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB =5(3+3)·sin 45°sin 105°=5(3+3)·sin 45°sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°=53(3+1)3+12 =103(海里),又∠DBC =∠DBA +∠ABC =60°,BC =203(海里). 在△DBC 中,由余弦定理得 CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos ∠DBC =300+1 200-2×103×203×12=900.∴CD =30(海里).则需要的时间t =3030=1(小时).求距离问题的两个注意点(1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.1.如图,A 、C 两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A 岛出发,以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B 处.然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C 岛.(1)求A 、C 两岛之间的距离; (2)求∠BAC 的正弦值. 解:(1)在△ABC 中,由已知,得AB =10×5=50(海里),BC =10×3=30(海里), ∠ABC =180°-75°+15°=120°,由余弦定理,得AC 2=502+302-2×50×30cos 120°=4 900, 所以AC =70(海里).故A 、C 两岛之间的距离是70海里. (2)在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin ∠BAC =ACsin ∠ABC,所以sin ∠BAC =BC ·sin ∠ABC AC =30sin 120°70=3314.故∠BAC 的正弦值是3314.考点二 测量高度问题|如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°,C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°;从C 点测得∠MCA =60°,已知山高BC =100 m ,则山高MN =________________m.[解析] 在Rt △ABC 中,AC =100 2 m , 在△MAC 中,由正弦定理得MA sin 60°=ACsin 45°, 解得MA =100 3 m ,在Rt △MNA 中,MN =MA ·sin 60°=150 m. 即山高MN 为150 m.[答案]150求解高度问题应注意(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角.(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图.(3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用.2.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为()A.10 2 m B.20 mC.20 3 m D.40 m解析:设电视塔的高度为x m,则BC=x,BD=3x.在△BCD中,根据余弦定理得3x2=x2+402-2×40x×cos 120°,即x2-20x-800=0,解得x=-20(舍去)或x=40.故电视塔的高度为40 m.答案:D考点三测量角度问题|在海岸A处,发现北偏东45°方向、距离A处(3-1)海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.同时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?[解]如图,设缉私船t小时后在D处追上走私船,则有CD=103t,BD=10t.在△ABC中,AB=3-1,AC=2,∠BAC=120°.利用余弦定理可得BC= 6.由正弦定理,得sin ∠ABC =AC BC sin ∠BAC =26×32=22, ∴∠ABC =45°,因此BC 与正北方向垂直. 于是∠CBD =120°.在△BCD 中,由正弦定理,得sin ∠BCD =BD sin ∠CBD CD =10t ·sin 120°103t =12,得∠BCD =30°, 又CD sin 120°=BC sin 30°,即103t 3=6,得t =610.所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船,最少要花610小时. 解决测量角度问题的三个注意点(1)明确方位角的含义.(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用.3.如图,位于A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援,求cos θ的值.解:在△ABC 中,AB =40,AC =20,∠BAC =120°,由余弦定理得,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos 120°=2 800⇒BC =207.由正弦定理,得AB sin ∠ACB =BC sin ∠BAC⇒sin ∠ACB =AB BC ·sin ∠BAC =217.由∠BAC =120°,知∠ACB 为锐角,则cos ∠ACB =277.由θ=∠ACB +30°,得cos θ=cos(∠ACB +30°)=cos ∠ACB cos 30°-sin ∠ACB sin 30°=2114. 12.函数思想在解三角形中的应用【典例】 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.[思路点拨] (1)利用三角形中的余弦定理,将航行距离表示为时间t 的函数,将原题转化为函数最值问题.(2)注意t 的取值范围.[规范解答] (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里,则 S =900t 2+400-2·30t ·20·cos (90°-30°) =900t 2-600t +400=900⎝⎛⎭⎫t -132+300. 故当t =13时,S min =103,v =10313=30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)如图,设小艇与轮船在B 处相遇. 则v 2t 2=400+900t 2-2·20·30t ·cos(90°-30°), 故v 2=900-600t +400t 2.∵0<v ≤30,∴900-600t +400t 2≤900,即2t 2-3t ≤0,解得t ≥23.又t =23时,v =30,故v =30时,t 取得最小值,且最小值等于23.此时,在△OAB 中,有OA =OB =AB =20. 故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时.[思想点评] (1)三角形中的最值问题,可利用正、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型),转化为函数最值问题.(2)求最值时要注意自变量的范围,要考虑问题的实际意义.A 组 考点能力演练1.如图,设A ,B 两点在河的两岸,一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50 m ,∠ACB =45°,∠CAB =105°后,就可以计算出A ,B 两点的距离为( )A .50 2 mB .50 3 mC .25 2 mD.2522m解析:本题考查正弦定理.依题意与正弦定理得AC sin B =AB sin C ,AB =AC ·sin Csin B=50×sin 45°sin (180°-45°-105°)=50 2 m ,故选A.答案:A 2.在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔,塔底与这条公路在同一水平平面上.为测量该塔的高度,测量人员在公路上选择了A ,B 两个观测点,在A 处测得该塔底部C 在西偏北α的方向上;在B 处测得该塔底部C 在西偏北β的方向上,并测得塔顶D 的仰角为γ.已知AB =a,0<γ<β<α<π2,则此塔的高CD 为( )A.a sin (α-β)sin αtan γB.a sin αsin (α-β)tan γC.a sin (α-β)sin βsin αtan γD.a sin αsin βsin (α-β)tan γ 解析:本题考查正弦定理.依题意得,在△ABC 中,∠CAB =π-α,∠ACB =α-β,由正弦定理得AB sin (α-β)=BC sin (π-α),BC =a sin αsin (α-β);在△BCD 中,∠CBD =γ,CD =BC tan γ=a sin αsin (α-β)tan γ,故选B.答案:B3.如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m ,则河流的宽度BC 等于( )A .240(3-1) mB .180(2-1) mC .120(3-1) mD .30(3+1) m解析:∵tan 15°=tan(60°-45°)=tan 60°-tan 45°1+tan 60°tan 45°=2-3,∴BC =60tan 60°-60tan 15°=120(3-1)(m),故选C.答案:C4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d =0.6 km ,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB =1 km ,水的流速为2 km/h ,若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ,则客船在静水中的速度为( )A .8 km/hB .6 2 km/hC .234 km /hD .10 km/h 解析:设AB 与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为v km/h ,由题意知,sin θ=0.61=35,从而cos θ=45,所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2=⎝⎛⎭⎫110×22+12-2×110×2×1×45,解得v =6 2.选B.答案:B5.(2015·南昌模拟)如图所示,当甲船位于A 处时获悉,在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船,乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B 处营救,sin θ的值为( )A.217 B.22C.32D.5714解析:连接BC .在△ABC 中,AC =10,AB =20,∠BAC =120°,由余弦定理,得BC 2=AC 2+AB 2-2AB ·AC ·cos 120°=700,∴BC =107,再由正弦定理,得BC sin ∠BAC =AB sin θ,∴sin θ=217. 答案:A6.(2016·潍坊调研)为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ,测得∠BDC =45°,则塔AB 的高是________米.解析:在△BCD 中,由正弦定理,得BC sin ∠BDC =CD sin ∠DBC ,解得BC =102米,∴在Rt △ABC中,塔AB 的高是106米.答案:10 67.如图,位于东海某岛的雷达观测站A ,发现其北偏东45°,与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处,且cos θ=45.已知A ,C 两处的距离为10海里,则该货船的船速为________海里/小时.解析:本题考查解三角形知识在实际问题中的应用.利用余弦定理求解.在△ABC 中,AB =202,AC =10,∠BAC =45°-θ,又cos(45°-θ)=22×45+22×35=7210,由余弦定理可得BC 2=(202)2+102-2×202×10×7210=340,所以BC =285.又行驶时间是12小时,所以该货船的速度为28512=485海里/小时.答案:4858.如图,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从点C 可以观察到点A 、B ;找到一个点D ,从点D 可以观察到点A 、C ;找到一个点E ,从点E 可以观察到点B 、C .并测量得到一些数据:CD =2,CE =23,∠D =45°,∠ACD =105°,∠ACB =48.19°,∠BCE =75°,∠E =60°,则A 、B 两点之间的距离为________.⎝⎛⎭⎫其中cos 48.19°取近似值23解析:依题意知,在△ACD 中,∠A =30°,由正弦定理得AC =CD sin 45°sin 30°=2 2.在△BCE 中,∠CBE =45°,由正弦定理得BC =CE sin 60°sin 45°=3 2. 在△ABC 中,由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC cos ∠ACB =10,所以AB =10. 答案:109.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A ,B ,C 三地位于同一水平面上,在C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点A ,B 两地相距100米,∠BAC =60°,在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒.在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音在空气中的传播速度为340米/秒)解:由题意,设AC =x ,则BC =x -217×340=x -40, 在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC ,即(x -40)2=10 000+x 2-100x ,解得x =420.在△ACH 中,AC =420,∠CAH =30°,∠ACH =90°,所以CH =AC ·tan ∠CAH =1403(米).故该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米.10.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下方法:在岸边设置两个观察点A ,B ,且AB 长为80米,当航模在C 处时,测得∠ABC =105°和∠BAC =30°,经过20秒后,航模直线航行到D 处,测得∠BAD =90°和∠ABD =45°.请你根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)解:在△ABD 中,∵∠BAD =90°,∠ABD =45°,∴∠ADB =45°,∴AD =AB =80,∴BD =80 2.在△ABC 中,BC sin 30°=AB sin 45°, ∴BC =AB sin 30°sin 45°=80×1222=40 2. 在△DBC 中,DC 2=DB 2+BC 2-2DB ·BC cos 60°=(802)2+(402)2-2×802×402×12=9 600. ∴DC =406,航模的速度v =40620=26米/秒. B 组 高考题型专练1.(2015·高考福建卷)如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC ,sin ∠BAC =223,AB =32,AD =3,则BD 的长为________. 解析:因为sin ∠BAC =223,且AD ⊥AC , 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2+∠BAD =223,所以cos ∠BAD =223,在△BAD 中,由余弦定理得, BD =AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD =(32)2+32-2×32×3×223= 3. 答案: 32.(2014·高考重庆卷)在△ABC 中,B =120°,AB =2,A 的角平分线AD =3,则AC =________.解析:如图,在△ABD 中,由正弦定理,得sin ∠ADB =AB sin ∠B AD =2×323=22.由题意知0°<∠ADB <60°,所以∠ADB =45°,则∠BAD =180°-∠B -∠ADB =15°,所以∠BAC =2∠BAD =30°,所以∠C =180°-∠BAC -∠B =30°,所以BC =AB =2,于是由余弦定理,得AC =AB 2+BC 2-2AB ×BC cos 120° =(2)2+(2)2-22×2×⎝⎛⎭⎫-12= 6. 答案: 63.(2015·高考湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD =________________m.解析:依题意,∠BAC =30°,∠ABC =105°.在△ABC 中,由∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°,所以∠ACB =45°,因为AB =600 m .由正弦定理可得600sin 45°=BC sin 30°,即BC =300 2 m .在Rt △BCD 中,因为∠CBD =30°,BC =300 2 m ,所以tan 30°=CD BC =CD 3002,所以CD =100 6 m.答案:100 64.(2015·高考四川卷)如图,A ,B ,C ,D 为平面四边形ABCD 的四个内角.(1)证明:tan A 2=1-cos A sin A; (2)若A +C =180°,AB =6,BC =3,CD =4,AD =5,求tan A 2+tan B 2+tan C 2+tan D 2的值. 解:(1)证明:tan A 2=sinA 2cos A 2=2sin 2A 22sin A 2cos A 2=1-cos A sin A . (2)由A +C =180°,得C =180°-A ,D =180°-B .由(1),有tan A 2+tan B 2+tan C 2+tan D 2=1-cos A sin A +1-cos B sin B +1-cos (180°-A )sin (180°-A )+1-cos (180°-B )sin (180°-B )=2sin A +2sin B . 连接BD (图略).在△ABD 中,有BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos A , 在△BCD 中,有BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos C , 所以AB 2+AD 2-2AB ·AD cos A =BC 2+CD 2+2BC ·CD cos A .则cos A =AB 2+AD 2-BC 2-CD 22(AB ·AD +BC ·CD )=62+52-32-422(6×5+3×4)=37. 于是sin A =1-cos 2A = 1-⎝⎛⎭⎫372=2107. 连接AC .同理可得cos B =AB 2+BC 2-AD 2-CD 22(AB ·BC +AD ·CD )=62+32-52-422(6×3+5×4)=119, 于是sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫1192=61019. 所以tan A 2+tan B 2+tan C 2+tan D 2=2sin A +2sin B =2×7210+2×19610=4103.。

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2023年高考数学复习提纲及大纲(最新最全)复提纲1. 函数- 函数的概念及分类- 函数的性质及其图像- 常见函数及其性质2. 数列- 数列的概念及其分类- 数列的通项公式及前n项和公式- 常见数列及其性质3. 三角函数- 三角函数的概念及其关系式- 常见三角函数的性质- 解三角函数的基本方程4. 平面向量- 向量的概念及其运算- 向量的线性运算及应用- 向量共线、垂直及夹角的判定5. 解析几何- 二维平面直角坐标系、极坐标系及其应用- 空间直角坐标系及其应用- 点、直线、圆、锥面、曲面及其方程大纲1. 函数与导数1.1 函数的概念与性质1.2 常见函数及其变换1.3 导数概念及其计算法1.4 函数的极值与最值1.5 函数的单调性及曲线的凹凸性2. 不等式组与线性规划2.1 一元一次不等式及其解法2.2 多元一次不等式组及其解法2.3 线性规划基本概念及其解法3. 数列与数学归纳法3.1 数列的概念及性质3.2 等差数列、等比数列及其应用3.3 数学归纳法的原理及应用4. 三角函数4.1 角度及弧度制与三角函数关系4.2 常见三角函数及其性质4.3 三角函数的图像及其变换4.4 解三角形的基本原理及解法5. 平面向量5.1 向量的概念及其运算5.2 向量的线性运算及应用5.3 向量的共线、垂直、平行及夹角的判定6. 解析几何6.1 二维平面直角坐标系、极坐标系及其应用6.2 空间直角坐标系及其应用6.3 几何图形的基本性质及其坐标表示7. 概率论基础7.1 随机事件与概率的概念7.2 基本概型及其计算7.3 条件概率及乘法公式7.4 全概率公式及贝叶斯公式8. 统计与统计图8.1 样本与总体的概念及其统计量8.2 常见统计图及其应用8.3 正态分布及其应用。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义.(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识点一简单的逻辑联结词1.用联结词“且”联结命题p和命题q,记作p∧q,读作“p且q”.2.用联结词“或”联结命题p和命题q,记作p∨q,读作“p或q”.3.对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”.4.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断:p∧q中p,q有一假为假,p∨q有一真为真,p与非p必定是一真一假.必备方法逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.[自测练习]1.(2015·枣庄模拟)如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题,则()A.命题q一定是真命题B.命题p不一定是假命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q真假相同解析:由綈p是真命题,则p为假命题.又p∨q是真命题,故q一定为真命题.答案:A知识点二全称量词与存在量词1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫作全称命题.(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.2.存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫作特称命题.(3)特称命题“存在M 中的一个x 0,使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ,P (x 0),读作“存在M 中的元素x 0,使p (x 0)成立”.3.含有一个量词的命题的否定命 题 命题的否定 ∀x ∈M ,p (x ) ∃x 0∈M ,綈p (x 0) ∃x 0∈M ,p (x 0)∀x ∈M ,綈p (x )易误提醒(1)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定,否则易出错.(2)p 或q 的否定易误写成“綈p 或綈q ”;p 且q 的否定易误写成“綈p 且綈q ”. 必备方法 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.[自测练习]2.(2015·郑州预测)已知命题p :∀x >2,x 3-8>0,那么綈p 是( ) A .∀x ≤2,x 3-8≤0 B .∃x >2,x 3-8≤0 C .∀x >2,x 3-8≤0D .∃x ≤2,x 3-8≤0解析:本题考查全称命题的否定.依题意,綈p 是“∃x >2,x 3-8≤0”,故选B. 答案:B3.下列命题为真命题的是( ) A .∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B .∃x 0∈Z,5x 0+1=0 C .∀x ∈R ,x 2-1=0 D .∀x ∈R ,x 2+x +2>0解析:1<4x 0<3,14<x 0<34,这样的整数x 0不存在,故A 为假命题;5x 0+1=0,x 0=-15∉Z ,故B 为假命题;x 2-1=0,x =±1,故C 为假命题;对任意实数x ,都有x 2+x +2=⎝⎛⎭⎫x +122+74>0,故D 为真命题.答案:D考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断|1.(2016·石家庄一模)命题p :若sin x >sin y ,则x >y ;命题q :x 2+y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A .p 或qB .p 且qC .qD .綈p解析:取x =π3,y =5π6,可知命题p 不正确;由(x -y )2≥0恒成立,可知命题q 正确,故綈p 为真命题,p 或q 是真命题,p 且q 是假命题,故选B.答案:B2.给定下列三个命题:p 1:函数y =a x +x (a >0,且a ≠1)在R 上为增函数; p 2:∃a ,b ∈R ,a 2-ab +b 2<0;p 3:cos α=cos β成立的一个充分不必要条件是α=2k π+β(k ∈Z ). 则下列命题中的真命题为( ) A .p 1∨p 2 B .p 2∧p 3 C .p 1∨綈p 3D .綈p 2∧p 3解析:对于p 1:令y =f (x ),当a =12时,f (0)=⎝⎛⎭⎫120+0=1,f (-1)=⎝⎛⎭⎫12-1-1=1,所以p 1为假命题;对于p 2:a 2-ab +b 2=⎝⎛⎭⎫a -12b 2+34b 2≥0,所以p 2为假命题;对于p 3:由cos α=cos β,可得α=2k π±β(k ∈Z ),所以p 3是真命题,所以綈p 2∧p 3为真命题,故选D.答案:D判断一个含有逻辑联结词的命题的真假的三个步骤(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假;(3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法,作出判断即可.考点二 全称命题与特称命题真假判断|1.下列命题中,真命题是( )A .存在x 0∈R ,sin 2x 02+cos 2x 02=12B .任意x ∈(0,π),sin x >cos xC .任意x ∈(0,+∞),x 2+1>xD .存在x 0∈R ,x 20+x 0=-1解析:对于A 选项:∀x ∈R ,sin 2x 2+cos 2x2=1,故A 为假命题;对于B 选项:存在x=π6,sin x =12,cos x =32,sin x <cos x ,故B 为假命题;对于C 选项:x 2+1-x =⎝⎛⎭⎫x -122+34>0恒成立,C 为真命题;对于D 选项:x 2+x +1=⎝⎛⎭⎫x +122+34>0恒成立,不存在x 0∈R ,使x 20+x 0=-1成立,故D 为假命题.答案:C2.下列命题中,真命题是( )A .∃m 0∈R ,使函数f (x )=x 2+m 0x (x ∈R )是偶函数B .∃m 0∈R ,使函数f (x )=x 2+m 0x (x ∈R )是奇函数C .∀m ∈R ,函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )都是偶函数D .∀m ∈R ,函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )都是奇函数解析:由于当m =0时,函数f (x )=x 2+mx =x 2为偶函数,故“∃m 0∈R ,使函数f (x )=x 2+m 0x (x ∈R )为偶函数”是真命题.答案:A全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假存在一个对象使命题假否定为真考点三 利用命题的真假求参数范围|(2015·高考山东卷)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0,π4,tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为________.[解析] 由已知可得m ≥tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0,π4恒成立.设f (x )=tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0,π4,显然该函数为增函数,故f (x )的最大值为tan π4=1,由不等式恒成立可得m ≥1,即实数m 的最小值为1.[答案] 1根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.已知命题p :∃m ∈R ,m +1≤0,命题q :∀x ∈R ,x 2+mx +1>0恒成立,若p ∧q 为假命题.则实数m 的取值范围为________.解析:易知命题p 为真命题, 若命题q 为真命题,则Δ=m 2-4<0, 即-2<m <2.当p ∧q 为真时,有⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤0,-2<m <2.∴-2<m ≤-1, ∴p ∧q 为假时,m 的取值范围为{m |m ≤-2,或m >-1}. 答案:(-∞,-2]∪(-1,+∞) 2.全称命题的否定不当致误【典例】 设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题p :∀x ∈A,2x ∈B ,则( )A .綈p :∀x ∈A,2x ∉B B .綈p :∀x ∉A,2x ∉BC .綈p :∃x ∉A,2x ∈BD .綈p :∃x ∈A,2x ∉B[解析] “∀x ∈A ”的否定为“∃x ∈A ”,“2x ∈B ”的否定为“2x ∉B ”,故原命题的否定为“∃x ∈A,2x ∉B ”,故选D.[答案] D[易误点评] 此类题目常易犯下列三种错误:(1)否定了结论,并没有否定量词. (2)否定了条件与结论,没有否定量词. (3)否定了条件,没有否定结论.[防范措施] (1)弄清楚是全称命题还是特称命题,尤其是省略了量词的命题.(2)全(特)称命题的否定应从两个方面着手:一是量词变化,“∀”与“∃”互换;二是否定命题的结论,但不是否定命题的条件.[跟踪练习] (2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p :∃n ∈N ,n 2>2n ,则綈p 为( ) A .∀n ∈N ,n 2>2n B .∃n ∈N ,n 2≤2n C .∀n ∈N ,n 2≤2nD .∃n ∈N ,n 2=2n解析:命题p 是一个特称命题,其否定是全称命题,故选C. 答案:CA 组 考点能力演练1.已知命题p :∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0,则綈p 是( ) A .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0解析:綈p :∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0. 答案:C2.已知命题p :∃x ∈R ,x 2-3x +4≤0,则下列说法正确的是( ) A .綈p :∃x ∈R ,x 2-3x +4>0,且綈p 为真命题 B .綈p :∃x ∈R ,x 2-3x +4>0,且綈p 为假命题 C .綈p :∀x ∈R ,x 2-3x +4>0,且綈p 为真命题 D .綈p :∀x ∈R ,x 2-3x +4>0,且綈p 为假命题解析:因为x 2-3x +4=⎝⎛⎭⎫x -322+74≥74,所以命题p 为假命题,所以綈p :∀x ∈R ,x 2-3x +4>0,且綈p 为真命题,故选C.答案:C3.(2016·珠海一模)命题p :5的值不超过2,命题q :2是无理数,则( )A .命题“p 或q ”是假命题B .命题“p 且q ”是假命题C .命题“非p ”是假命题D .命题“非q ”是真命题解析:因为5≈2.236>2,故p 为假命题,2是无理数,故q 是真命题,由复合命题的真假判断法则可知B 正确.答案:B4.下列选项中,说法正确的是( )A .命题“∃x ∈R ,x 2-x ≤0”的否定是“∃x ∈R ,x 2-x >0”B .命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的充分不必要条件C .命题“若am 2≤bm 2,则a ≤b ”是假命题D .命题“在△ABC 中,若sin A <12,则A <π6”的逆否命题为真命题解析:A 中命题的否定是:∀x ∈R ,x 2-x >0,故A 不对;B 中当p 为假命题、q 为真命题时,p ∨q 为真,p ∧q 为假,故B 不对;C 中当m =0时,a ,b ∈R ,故C 的说法正确;D 中命题“在△ABC 中,若sin A <12,则A <π6”为假命题,所以其逆否命题为假命题.故选C.答案:C5.(2016·太原模拟)已知命题p :∃x 0∈R ,e x 0-mx 0=0,q :∀x ∈R ,x 2+mx +1≥0,若p ∨(綈q )为假命题,则实数m 的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(2,+∞)B .[0,2]C .RD .∅解析:若p ∨(綈q )为假命题,则p 假q 真.命题p 为假命题时,有0≤m <e ;命题q 为真命题时,有Δ=m 2-4≤0,即-2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时,m 的取值范围是0≤m ≤2.答案:B6.命题“存在x ∈R ,使得|x -1|-|x +1|>3”的否定是________.解析:本题考查了特称命题与全称命题.命题“存在x ∈R ,使得|x -1|-|x +1|>3”的否定是“对任意的x ∈R ,都有|x -1|-|x +1|≤3”.答案:对任意的x ∈R ,都有|x -1|-|x +1|≤37.命题p :若a ,b ∈R ,则ab =0是a =0的充分条件;命题q :函数y =x -3的定义域是[3,+∞),则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”中为真命题的是________.解析:依题意知p 假,q 真,所以p ∨q ,綈p 为真. 答案:p ∨q ,綈p8.命题:“存在实数x ,满足不等式(m +1)x 2-mx +m -1≤0”是假命题,则实数m 的取值范围是________.解析:依题意,“对任意的实数x ,都满足不等式(m +1)x 2-mx +m -1>0”是真命题,则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧m +1>0,(-m )2-4(m +1)(m -1)<0,解得m >233.答案:⎝⎛⎭⎫233,+∞ 9.已知命题p :关于x 的方程x 2-ax +4=0有实根;命题q :关于x 的函数y =2x 2+ax +4在[3,+∞)上是增函数.若p 或q 是真命题,p 且q 是假命题,求实数a 的取值范围.解:命题p 等价于Δ=a 2-16≥0,即a ≤-4或a ≥4; 命题q 等价于-a4≤3,即a ≥-12.由p 或q 是真命题,p 且q 是假命题知,命题p 和q 一真一假. 若p 真q 假,则a <-12; 若p 假q 真,则-4<a <4.故a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4). 10.设p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a >0.q :实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0.(1)若a =1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围. (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 解:由x 2-4ax +3a 2<0,a >0得a <x <3a , 即p 为真命题时,a <x <3a ,由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0,得⎩⎪⎨⎪⎧-2≤x ≤3,x >2或x <-4,即2<x ≤3,即q 为真命题时2<x ≤3.(1)a =1时,p :1<x <3.由p ∧q 为真知p ,q 均为真命题,则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3,2<x ≤3,得2<x <3, 所以实数x 的取值范围为(2,3).(2)设A ={x |a <x <3a },B ={x |2<x ≤3},由题意知p 是q 的必要不充分条件, 所以B A ,有⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2,3a >3,∴1<a ≤2, 所以实数a 的取值范围为(1,2].B 组 高考题型专练1.(2014·高考辽宁卷)设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a·b =0,b·c =0,则a·c =0;命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .p ∨(綈q )解析:对命题p 中的a 与c 可能为共线向量,故命题p 为假命题.由a ,b ,c 为非零向量,可知命题q 为真命题.故p ∨q 为真命题.故选A.答案:A2.(2014·高考安徽卷)命题“∀x ∈R ,|x |+x 2≥0”的否定是( ) A .∀x ∈R ,|x |+x 2<0 B .∀x ∈R ,|x |+x 2≤0 C .∃x 0∈R ,|x 0|+x 20<0 D .∃x 0∈R ,|x 0|+x 20≥0解析:全称命题的否定是特称命题,否定结论. 答案:C3.(2015·高考浙江卷)命题“∀n ∈N *,f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A .∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B .∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C .∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D .∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析:全称命题的否定为特称命题,因此命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0”.答案:D4.(2015·高考湖北卷)命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1解析:该命题的否定是将存在量词改为全称量词,等号改为不等号即可,故选A.答案:A。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案离散型随机变量的期望与方差、正态分布1

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案离散型随机变量的期望与方差、正态分布1

第九节 离散型随机变量的期望与方差、正态分布1.均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单 离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. 2.正态分布利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的 意义. 知识点一 均值1.一般地,若离散型随机变量X 的分布列为:X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.若Y =aX +b ,其中a ,b 为常数,则Y 也是随机变量,且E (aX +b )=aE (X )+b . 3.(1)若X 服从两点分布,则E (X )=p . (2)若X ~B (n ,p ),则E (X )=np .易误提醒 理解均值E (X )易失误,均值E (X )是一个实数,由X 的分布列唯一确定,即X 作为随机变量是可变的,而E (X )是不变的,它描述X 值的取值平均状态.[自测练习]1.已知X 的分布列为X -1 0 1 P121316设Y =2X +3,则E (Y )A.73 B .4 C .-1D .1 解析:E (X )=-12+16=-13,E (Y )=E (2X +3)=2E (X )+3=-23+3=73.答案:A知识点二 方差1.设离散型随机变量X 的分布列为:X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E (X ))2描述了x i (i =1,2,…,n )相对于均值E (X )的偏离程度,而D (X )=∑ni =1(x i -E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度.称D (X )为随机变量X 的方差,其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差.2.D (aX +b )=a 2D (X ).3.若X 服从两点分布,则D (X )=p (1-p ). 4.若X ~B (n ,p ),则D (X )=np (1-p ).易误提醒 (1)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度.D (ξ)越大,表明平均偏离程度越大,说明ξ的取值越分散.反之D (ξ)越小,ξ的取值越集中在E (ξ)附近.统计中常用标准差D (ξ) 来描述ξ的分散程度.(2)D (ξ)与E (ξ)一样也是一个实数,由ξ的分布列唯一确定.(3)D (ξ)的单位与随机变量ξ的单位不同,而E (ξ)、D (ξ) 与ξ的单位相同. (4)注意E (aX +b )=aE (X )+b ,D (aX +b )=a 2D (X ).[自测练习]2.已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=13,k =1,2,3,则D (3ξ+5)=( )A .6B .9C .3D .4解析:由E (ξ)=13(1+2+3)=2,得D (ξ)=23,D (3ξ+5)=32×D (ξ)=6. 答案:A3.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X 表示取到次品的次数,则D (X )=________.解析:∵X ~B ⎝⎛⎭⎫3,14,∴D (X )=3×14×34=916. 答案:916知识点三 正态分布 1.正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称. (3)曲线在x =μ处达到峰值1σ2π.(4)曲线与x 轴之间的面积为1.(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移.(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.2.正态分布的三个常用数据 (1)P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682_6. (2)P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954_4. (3)P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997_4.易误提醒 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.[自测练习]4.若随机变量ξ~N (2,1),且P (ξ>3)=0.158 7,则P (ξ>1)=________.解析:由ξ~N (2,1),得μ=2,因为P (ξ>3)=0.158 7,所以P (ξ<1)=0.158 7,所以P (ξ>1)=1-0.158 7=0.841 3.答案:0.841 3考点一 离散型随机变量的均值|(2015·高考安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,P (A )=A 12A 13A 25=310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X =200)=A 22A 25=110,P (X =300)=A 33+C 12C 13A 22A 35=310,P (X =400)=1-P (X =200)-P (X =300)=1-110-310=610.故X 的分布列为X 200 300 400 P110310610E (X )=200×110+300×310+400×610=350.求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义,写出X 可能取得的全部值. (2)求X 的每个值的概率. (3)写出X 的分布列. (4)由均值定义求出E (X ).1.(2016·合肥模拟)某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动,活动要求:参加者物理、化学实验操作都必须参加,有50名学生参加这次活动,评委老师对这50名学生实验操作进行评分,每项操作评分均按等级采用5分制(只打整数分),评分结果统计如表:学生数物理得分y化学得分x1分2分3分4分5分1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 1 0 9 3 4分 1 2 6 0 1 5分1133分”的学生被抽取的概率;(2)从这50名参赛学生中任取1名,其物理实验与化学实验得分之和为ξ,求ξ的数学期望.解:(1)从表中可以看出,“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生有6名,所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率为650=325.(2)ξ所有可能的取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10,则ξ的分布列为:ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P1504503509508501650450250350∴E (ξ)=2×150+3×450+4×350+5×950+6×850+7×1650+8×450+9×250+10×350=31150.考点二 方差问题|设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a =3,b =2,c =1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量X 为取出此2球所得分数之和,求X 的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量Y 为取出此球所得分数.若E (Y )=53,D (Y )=59,求a ∶b ∶c .[解] (1)由题意得X =2,3,4,5,6. 故P (X =2)=3×36×6=14,P (X =3)=2×3×26×6=13,P (X =4)=2×3×1+2×26×6=518,P (X =5)=2×2×16×6=19,P (X =6)=1×16×6=136.所以X 的分布列为X 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知Y 的分布列为Y 1 2 3 Paa +b +cba +b +cca +b +c所以E (Y )=a a +b +c +2b a +b +c +3c a +b +c =53,D (Y )=⎝⎛⎭⎫1-532·a a +b +c +⎝⎛⎭⎫2-532·b a +b +c +⎝⎛⎭⎫3-532·c a +b +c =59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a -b -4c =0,a +4b -11c =0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3c ,b =2c .故a ∶b ∶c =3∶2∶1.利用均值、方差进行决策的两个方略(1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,可对问题作出判断.(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策.2.有甲、乙两种棉花,从中各抽取等量的样品进行质量检验,结果如下:X 甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 X 乙 28 29 30 31 32 P0.130.170.40.170.13其中X 表示纤维长度(单位:mm),根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量. 解:由题意,得E (X 甲)=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30, E (X 乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30.又D (X 甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=1.1,D (X 乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+(32-30)2×0.13=1.38,所以E (X 甲)=E (X 乙),D (X 甲)<D (X 乙),故甲种棉花的质量较好.考点三 正态分布|1.(2015·高考湖北卷)设X ~N (μ1,σ21),Y ~N (μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A .P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B .P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C .对任意正数t ,P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D .对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t )解析:由正态分布密度曲线的性质可知,X ~N (μ1,σ21),Y ~N (μ2,σ22)的密度曲线分别关于直线x =μ1,x =μ2对称,因此结合题中所给图象可得,μ1<μ2,所以P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1),故A 错误.又X ~N (μ1,σ21)的密度曲线较Y ~N (μ2,σ22)的密度曲线“瘦高”,所以σ1<σ2,所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1),B 错误.对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t ),P (X ≥t )<P (Y ≥t ),C 错误,D 正确.答案:D2.(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A .4.56%B .13.59%C .27.18%D .31.74%解析:由已知μ=0,σ=3.所以P (3<ξ<6)=12[P (-6<ξ<6)-P (-3<ξ<3)]=12(95.44%-68.26%)=12×27.18%=13.59%.故选B.答案:B正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ-σ<X ≤μ+σ),P (μ-2σ<X ≤μ+2σ),P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x =μ对称,从而在关于x =μ对称的区间上概率相等. ②P (X <a )=1-P (X ≥a ),P (X <μ-a )=P (X ≥μ+a ).10.离散型随机变量的均值的综合问题的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX .[思路点拨] (1)根据题意明确“三位递增数”的定义,从而得到个位数字是5的“三位递增数”.(2)首先根据题意确定随机变量X 的所有可能取值,然后求出每个取值对应事件的概率,列出分布列,从而求得数学期望.[规范解答] (1)个位数是5的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345.(4分)(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C 39=84, 随机变量X 的取值为:0,-1,1,因此 P (X =0)=C 38C 39=23,P (X =-1)=C 24C 39=114,P (X =1)=1-114-23=1142.(8分)所以X 的分布列为则EX =0×23+(-1)×114+1×1142=421.(12分)[模板形成]理解题意求相应事件的概率↓由条件写出随机变量的取值↓求出每个取值对应事件的概率↓列出分布列并求均值↓反思解题过程注意规范化[跟踪练习] 据《中国新闻网》报道,全国很多省、市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3 600人就是否应该“取消英语听力”的问题进行调查,调查统计的结果如下表:(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,则应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望E (ξ).解:(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05, ∴120+x3 600=0.05,解得x =60. ∴持“无所谓”态度的人数为3 600-2 100-120-600-60=720. ∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×3603 600=72(人).(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人,∴在所抽取的6人中,在校学生有120180×6=4(人),社会人士有60180×6=2(人),于是第一组的在校学生人数ξ的所有可能取值为1,2,3.P (ξ=1)=C 14C 22C 36=15,P (ξ=2)=C 24C 12C 36=35,P (ξ=3)=C 34C 02C 36=15,即ξ的分布列为∴E (ξ)=1×15+2×35+3×15=2.A 组 考点能力演练1.若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )=( ) A .2 B .2或12C.12D .1 解析:因为分布列中概率和为1,所以a 2+a 22=1,即a 2+a -2=0,解得a =-2(舍去)或a =1,所以E (X )=12.故选C.答案:C2.(2016·长春质量监测)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),若P (ξ>2)=0.15,则P (0≤ξ≤1)=( )A .0.85B .0.70C .0.35D .0.15解析:P (0≤ξ≤1)=P (1≤ξ≤2)=0.5-P (ξ>2)=0.35.故选C. 答案:C3.(2016·九江一模)已知随机变量X 服从正态分布N (5,4),且P (X >k )=P (X <k -4),则k 的值为( )A .6B .7C .8D .9解析:∵(k -4)+k 2=5,∴k =7,故选B.答案:B4.在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布N (100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则ξ在(0,80)内的概率为( )A .0.05B .0.1C .0.15D .0.2解析:根据正态曲线的对称性可知,ξ在(80,100)内的概率为0.4,因为ξ在(0,100)内的概率为0.5,所以ξ在(0,80)内的概率为0.1,故选B.答案:B5.设随机变量X ~B (8,p ),且D (X )=1.28,则概率p 的值是( ) A .0.2 B .0.8 C .0.2或0.8D .0.16解析:由D (X )=8p (1-p )=1.28,∴p =0.2或p =0.8. 答案:C6.一枚质地均匀的正六面体骰子,六个面上分别刻着1点到6点,一次游戏中,甲、乙二人各掷骰子一次,若甲掷得的向上的点数比乙大,则甲掷得的向上的点数的数学期望是________.解析:共有36种可能,其中,甲、乙掷得的向上的点数相等的有6种,甲掷得的向上的点数比乙大的有15种,所以所求期望为6×5+5×4+4×3+3×2+215=143.答案:1437.(2016·贵州七校联考)在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩ξ~N (90,σ2)(σ>0),统计结果显示P (60≤ξ≤120)=0.8,假设我校参加此次考试有780人,那么试估计此次考试中,我校成绩高于120分的有________人.解析:因为成绩ξ~N (90,σ2),所以其正态曲线关于直线x =90对称.又P (60≤ξ≤120)=0.8,由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1-0.8)=0.1,所以估计成绩高于120分的有0.1×780=78(人).答案:788.设随机变量ξ服从正态分布N (3,4),若P (ξ<2a -3)=P (ξ>a +2),则a 的值为________. 解析:因为随机变量ξ服从正态分布N (3,4),P (ξ<2a -3)=P (ξ>a +2),所以2a -3+a +2=6,解得a =73.答案:739.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(1)求直方图中x 的值;(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1 200名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(3)从学校的高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ,求X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)解:(1)由直方图可得20x +0.025×20+0.006 5×20+0.003×2×20=1,所以x =0.012 5.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20=0.12,因为1 200×0.12=144,所以估计1 200名新生中有144名学生可以申请住宿. (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14,P (X =0)=⎝⎛⎭⎫344=81256,P (X =1)=C 14×14×⎝⎛⎭⎫343=2764,P (X =2)=C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342=27128,P (X =3)=C 34×⎝⎛⎭⎫143×34=364,P (X =4)=⎝⎛⎭⎫144=1256.所以X 的分布列为E (X )=0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1(或E (X )=4×14=1).所以X 的数学期望为1.10.(2016·郑州模拟)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时,该商场的营业时间也恰好为10小时),并开始以每件300元的价格出售,若前6小时内所购进的商品没有售完,则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验,4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再购进A 商品).该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量,制成如下表格(注:视频率为概率).(其中x +y =70)前6小时内的销售量t (单位:件)4 5 6 频数30xy(1)若某天该商场共购入6件该商品,在前6个小时中售出4件.若这些商品被6名不同的顾客购买,现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访,则恰好一个是以300元价格购买的顾客,另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少?(2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大,求x 的取值范围. 解:(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客,另一个是以100元价格购买的顾客”为事件A ,则P (A )=C 14C 12C 26=815.(2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位:元),依题意,视频率为概率,为追求更多的利润,则商场每天购进的A 商品的件数取值可能为4件,5件,6件. 当购进A 商品4件时,E (ξ)=150×4=600,当购进A 商品5件时,E (ξ)=(150×4-50)×0.3+150×5×0.7=690, 当购进A 商品6件时,E (ξ)=(150×4-2×50)×0.3+(150×5-50)×x100+150×6×70-x100=780-2x ,由题意780-2x ≤690,解得x ≥45,又知x ≤100-30=70,所以x 的取值范围为[45,70],x ∈N *.B 组 高考题型专练1.(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A .2 386 B .2 718 C .3 413D.4 772附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4.解析:由题意可得,P(0<x≤1)=12P(-1<x≤1)=0.341 3,设落入阴影部分的点的个数为n,则P=S阴影S正方形=0.341 31=n10 000,则n=3 413,选C.答案:C2.(2015·高考福建卷)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=56×45×34=12.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=3)=56×45×1=23.所以X的分布列为所以E(X)=1×16+2×16+3×23=52.3.(2015·高考陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得从而ET=25×0.2+30(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立.且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.法二:P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1-P(A)=0.91.。

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第1讲集合与简易逻辑(一)
1.1 集合的基本概念
1.2 集合的基本概念考点总结
1.3 命题及充要条件基本概念
1.4 命题及充要条件的考点
第2讲集合与简易逻辑(二)
2.1 逻辑连接词的基本概念
2.2 逻辑连接词的考点
2.3 习题课
第3讲函数基础(一)
3.1 函数的概念及表示法
3.2 函数概念考点总结
3.3 函数的单调性与最值基本概念3.4 函数的单调性与最值考点总结
第4讲函数基础(二)
4.1 函数的奇偶性和单调性
4.2 函数性质的考点总结
4.3 习题课
第5讲初等函数(一)
5.1 二次函数与幂函数基本概念5.2 二次函数与幂函数考点总结5.3 指数与指数函数基本概念
5.4 指数和指数函数考点总结
第6讲初等函数(二)
6.1 对数和对数函数基本概念
6.2 对数和对数函数考点总结
6.3 习题课
第7讲函数的应用(一)
7.1 函数的图像的基本概念
7.2 函数的图像考点总结
7.3 函数的零点与方程的基本概念
7.4 函数的零点与方程考点总结第8讲函数的应用(二)
8.1 函数模型的基本概念
8.2 函数模型考点总结
8.3 习题课
第9讲导数的性质
9.1 导数的基本概念
9.2 导数性质的考点总结
9.3 极值与导数
9.4 极值与导数考点总结
第10讲导数的应用
10.1 导数的应用
10.2 导数应用考点总结
10.3 习题课
第11讲导数的计算
11.1 微积分的基本概念(理)11.2 微积分考点总结(理)11.3 例题精讲(一)
11.4 例题精讲(二)
第12讲导数分析
12.1 例题精讲(一)
12.2 例题精讲(二)
12.3 导数大题精讲(一)12.4 导数大题精讲(二)
第13讲导数大题精讲
13.1 导数大题常见题型(一)13.2 导数大题常见题型(二)13.3 导数与不等式
第14讲三角函数
14.1 三角函数基本概念
14.2 同角三角函数基本概念
14.3 同角三角函数考点总结
第15讲三角函数习题精讲
15.1 三角函数的图像性质
15.2 三角函数图像性质考点总结15.3 三角函数例题精讲
第16讲三角函数化简
16.1 三角函数图像及模型的基本概念16.2 三角函数图像及模型考点总结16.3 诱导公式的基本概念
16.4 诱导公式考点总结
第17讲解三角形
17.1 正弦定理和余弦定理的基本概念17.2 正弦定理和余弦定理考点总结17.3 解三角形应用举例
17.4 解三角形考点总结
第18讲解三角形习题课
18.1 解三角形基础练习
18.2 三角函数模拟题(理)18.3 解三角形综讲(理)
第19讲平面向量的概念
19.1 平面向量的概念
19.2 平面向量的考点总结
第20讲平面向量的定理
20.1 平面向量的定理
20.2 平面向量考点总结
第21讲平面向量的应用
21.1 平面向量的数量积
21.2 平面向量数量积考点总结
第22讲复数
22.1 复数的概念
22.2 复数的考点总结
第23讲数列的基本概念
23.1 数列的基本概念和通项公式23.2 数列基本概念的考点总结
第24讲等差数列
24.1 等差数列的性质和求和24.2 等差数列的考点总结
第25讲等比数列
25.1 等比数列的性质和求和25.2 等比数列的考点总结
第26讲数列求和
26.1 数列求和概念
26.2 数列求和的考点总结
第27讲数列的综合运用
27.1 数列的综合运用
第28讲数列的习题课
28.1 等差数列的练习
28.2 等比数列的练习
28.3 数列求和的练习
第29讲数列的判断、通项
29.1 数列的概念和等差数列的概念29.2 等差数列的性质
29.3 等比数列的概念
第30讲数列的大题(一)(理科)30.1 数列的大题(一)
30.2 数列的大题(二)
30.3 数列的大题(三)
第31讲数列的大题(二)(理科)
31.1 数列的大题(四)
31.2 数列的大题(五)
31.3 数列的大题(六)
31.4 数列的大题(七)
第32讲数列的小题和大题(文科)
32.1 数列的小题
32.2 数列的大题(一)
32.3 数列的大题(二)
32.4 数列的大题(三)
第33讲不等式
33.1 实数的大小比较和不等式的性质33.2 比较两个数的大小
33.3 不等式性质的简单应用
33.4 利用不等式求范围
第34讲一元二次不等式
34.1 一元二次不等式的解法
34.2 含参数的一元二次不等式的解法
34.3 一元二次不等式恒成立问题
34.4 一元二次不等式的实际应用
第35讲二元一次不等式和线性规划
35.1 线性规划(一)
35.2 线性规划(二)
35.3 二元一次不等式表示的平面区域(一)35.4 二元一次不等式表示的平面区域(二)
第36讲均值不等式和不等式的练习
36.1 均值不等式(一)
36.2 均值不等式(二)
36.3 不等式的习题课(一)
36.4 不等式的习题课(二)
36.5 不等式的习题课(三)36.6 不等式的习题课(四)
第37讲推理与证明
37.1 推理(一)
37.2 推理(二)
37.3 推理(三)
37.4 证明(一)
37.5 证明(二)
37.6 证明(三)
第38讲数学归纳法
38.1 数学归纳法(一)38.2 数学归纳法(二)38.3 数学归纳法(三)38.4 习题课(一)
38.5 习题课(二)
38.6 习题课(三)
第39讲直线专题
39.1 直线的基础知识(一)
39.2 直线的基础知识(二)
39.3 直线的基础知识(三)
39.4 直线和直线的位置关系(一)39.5 直线和直线的位置关系(二)39.6 直线和直线的位置关系(三)
第40讲圆的专题
40.1 圆的基础知识(一)
40.2 圆的基础知识(二)
40.3 直线与圆的位置关系(一)40.4 直线与圆的位置关系(二)40.5 习题课(一)
40.6 习题课(二)
第41讲直线和圆的习题专题
41.1 直线和圆的高考题(一)41.2 直线和圆的高考题(二)41.3 直线和圆的高考题(三)
41.4 直线和圆的高考题(四)41.5 直线和圆的总结练习课(一)41.6 直线和圆的总结练习课(二)
第42讲圆锥曲线的专题
42.1 椭圆
42.2 双曲线
42.3 抛物线。

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