高考理科数学第一轮复习辅导讲义

选修4经典回顾
主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师
开篇语
选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力
开心自测
题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________．
题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD =
，30OAP ∠=︒，则CP ＝_________．
考点梳理
选修4—1几何证明选讲部分：
1．垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
D
2．圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角．
4．圆内接四边形的判定定理：
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
5．切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
7．相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
8．切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
选修4—4中的坐标系与参数方程部分：
1. 极坐标与直角坐标的关系
设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ，
则
cos,
sin.
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
或
222,
tan(0).
x y
y
x
x
ρ
θ
⎧=+
⎪
⎨
=≠
⎪⎩
2．过极点的直线的极坐标方程：
0θθ=（0θ为直线与极轴所成的角，允许ρ取负值）；
或0θθπ=+（0θ为直线与极轴所成的角）．
3. 圆的极坐标方程
（1）圆心在极点的圆的方程：r ρ=（r 为圆的半径）．
（2）圆心在极轴上，半径为a 且过极点的圆的方程：2cos a ρθ=．
（3）圆心在(a ，)2π
，且过极点的圆的方程：2sin a ρθ=． 4．直线的参数方程
直线过定点000(,)M x y ，倾斜角为α，直线的参数方程为00cos ,sin .x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，其几何意义是：设直线上点(M x ，)y ，满足0M M t =u u u u u u r ）．
5．圆的参数方程
（1）圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）；
(2) 圆心在(a ，)b ，半径为r 的圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨
=+⎩
（θ为参数）．
6．圆锥曲线的参数方程 椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 选修4—5中的不等式选讲部分：
1．绝对值不等式的解法：
|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-；
2．证明不等式的常用方法：
比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
新题赏析
题一：如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为_________．
题二：在极坐标系中，曲线2sin ρθ=（02θπ≤＜）与cos 1ρθ=-（02θπ≤＜）的交点的极坐标为______________．
题三：已知函数()||f x x a =-．
（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
名师寄语
要点小结与建议：以上我们对选修系列4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题的主要内容作了相应的梳理，在此基础上，列举了几个典型的问题，进
行了分析和求解．高考中涉及这三个专题内容的试题大多是中等题，个别的有一定的难度．因此，建议同学们深刻理解相关概念，精选较为典型的问题进行求解训练，在解题过程中，落实这三个专题的核心知识，训练解决问题的基本技能，逐步培养和提高推理论证能力和运算求解能力．
开心自测
题一：{11}x x -≤≤ 题二：98
a 金题精讲 题一：7
2CE = 题二：3(2,)4
π 题三：（Ⅰ）2a
=．（Ⅱ）m 的取值范围是(,5]-∞。