2020-2021学年高三数学(理科)第一次质量调研测试及答案解析

2018学年高三年级第一次质量调研数学试卷（理）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=+-+∞→221lim22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-+=R x x x xB ,011，则=B A I __________． 3．若函数xa x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________． 4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________． 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________． 7．已知31cos 75sin sin 75cos =︒-︒αα，则=+︒)230cos(α_________．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后 输出的S 值是_____________．9．过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值 为___________．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是__________． 11．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ．2=AD ，1=BC ，P 是腰AB上的动点，则||PD PC +的最小值为__________．12．已知*N ∈n ，若4022221123221=+++++---n n n n n n n C C C C Λ，则=n ________．13．对一切实数x ，令][x 为不大于x 的最大整数，则函数][)(x x f =称为取整函数．若⎪⎭⎫⎝⎛=10n f a n ，*N ∈n ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则=20102009S __________．14．对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ，使得)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数||1)(x kxx f +=（0≠k ）在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是______________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”是“2πϕ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面； ④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外． 其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．已知圆M 过定点)0,2(，圆心M 在抛物线x y 42=上运动，若y 轴截圆M 所得的弦为AB ，则||AB 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．118．已知数列}{n a 的通项公式为113294--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a ，则数列}{n a （ ）A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少； （2）现需要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，能实现要求吗？请说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m +=ρ，)cos sin ,sin 3(x x x n -=ρ，记函数n m x f ρρ⋅=)(．（1）求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，求△ABC 的面积S 的最大值． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数xxa a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．（1）求常数k 的值； （2）若38)1(=f ，且函数)(2)(22x mf a a xg xx -+=-在区间),1[∞+上的最小值为2-，求实数m 的值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线4-=x 的距离之比为21． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20<<m ）的距离的最小值为1，求m 的值．（3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于43-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由．α① ②23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设复数n n n y i x z ⋅+=，其中n x R ∈n y ，*N ∈n ，i 为虚数单位，n n z i z ⋅+=+)1(1，i z 431+=，复数n z 在复平面上对应的点为n Z ．（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列}{n n y x ⋅的前102项之和．数学试卷（理）参考答案及评分标准一．填空题（每题4分，满分56分）1．21 2．},01{R ∈<≤-x x x （或)0,1[-） 3．314．2 5．510arccos 6．π33 7．97 8．201620159．43 10．4111．312．4 13．100 14．),1()1,(∞+--∞Y二．选择题（每题5分，满分20分）15．B 16．C 17．A 18．C三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，此时α最大． …………………………………………………………………（2分）α ︒60 BC D B CD ③ ④E F解法一：此时，梯形ABED 的面积等于400202=（2cm ）， ………………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 2030-=DE ，AD AB DE S ABED ⋅+=)(21， 即40020)tan 2060(21=⋅-⋅α，解得1tan =α，︒=45α． ………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． ……………（6分） 解法二：此时，△BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积， 即200=∆BEC S （2cm ）， ……………………………………………………（3分）因为α=∠CBE ，所以αtan 21212⋅⋅=⋅⋅=∆BC CE BC S BEC ，即200tan 200=α，解得1tan =α，︒=45α． …………………………………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． …………（6分）（2）如图④，当︒=60α时，设上液面为BF ，因为︒<=∠6023arctan CBD ，所以点F 在线段AD 上， ………………………………………………………（1分） 此时︒=∠30ABF ，31030tan =︒⋅=AB AF ，=∆ABF S 315021=⋅⋅AF AB （2cm ）， ………………………………………（3分）剩余溶液的体积为33000203150=⨯（3cm ）， …………………………（4分） 由题意，原来溶液的体积为80003cm ，因为3000330008000<-，所以倒出的溶液不满30003cm ． …………（5分） 所以，要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，不能实现要求．……（6分）20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=⋅=ρρ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx ． ………………………………………………………（3分）当)(x f 取最小值时，162sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，2262πππ-=-k x ，Z ∈k ，……（6分）所以，所求x 的取值集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ． …………………（7分） （2）由2)(=C f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πC ， …………………………（1分） 因为π<<C 0，所以611626πππ<-<-C ，所以262ππ=-C ，3π=C ． ……………………………………（3分）在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=， ………………（4分）得ab ab b a ≥-+=223，即3≤ab ， …………………………（5分）所以△ABC 的面积43323321sin 21=⨯⨯≤=C ab S ， ……………（6分）因此△ABC 的面积S 的最大值为433． ……………………（7分） 21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分． （1）解法一：函数xxa a k x f --⋅=)(的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数，所以01)0(=-=k f ，1=k ． …………………………………………………………（3分）当1=k 时，xxaa x f --=)(，)()(x f a ax f x x-=-=--，)(x f 是奇函数．所以，所求k 的值为1． ………………………………………………………（6分） 解法二：函数xx aa k x f --⋅=)(的定义域为R ，由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， ……………………………………（2分） 即x x x x a k a a a k ⋅-=-⋅--，0))(1(=+--xxa a k ， …………………………（4分） 因为0>+-x x a a ，所以，1=k ． ………………………………………………（6分）（2）由38)1(=f ，得381=-a a ，解得3=a 或31-=a （舍）． …………（2分） 所以)33(233)(22xx x x m x g -----=，令x x t --=33，则t 是关于x 的增函数，38313=-≥t ，2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，……………（2分）当38<m 时，则当38=t 时，2238238)(2min -=+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛=m x g ，解得1225=m ； ………………………………………………………………（5分）当38≥m 时，则当m t =时，22)(2min -=-=m x g ，2±=m （舍去）．……（8分）综上，1225=m ．（本行不写不扣分，每讨论一种情况正确得3分）22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．（1）设),(y x P ，由题意，21|4|)1(22=+++x y x ， ……………………………（2分） 化简得124322=+y x ， ………………（3分）所以，动点P 的轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………（4分） （2）设),(y x N ，则3241413)()(||2222222++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=m mx x x m x y m x MN )1(3)4(4122m m x -+-=，22≤≤-x ． ………………………………（2分） ①当240≤<m ，即210≤<m 时，当m x 4=时，2||MN 取最小值1)1(32=-m ，解得322=m ，36=m ，此时2364>=x ，故舍去． …………………（4分） ②当24>m ，即221<<m 时，当2=x 时，2||MN 取最小值1442=+-m m ，解得1=m ，或3=m （舍）． …………………………………………………（6分）综上，1=m ．（3）解法一：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ，（1分）221221)()(||y y x x AB -+-=，因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）①当21x x =时，则四边形11B ABA 为矩形，12y y -=，则432121=x y ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=413432121x x ，解得221=x ，2321=y ， ||||4||||111y x B A AB S =⋅=34=． ……………………………………（3分）②当21x x ≠时，直线AB 的方向向量为),(1212y y x x d --=ρ，直线AB 的方程为0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点O 到直线AB 的距离为2122121221)()(||y y x x y x y x d -+--=所以，△AOB 的面积||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆，根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积AOB S S ∆=4||21221y x y x -=，……（4分）所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分）解法二：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B --， 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分）因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）直线OA 的方程为011=-y x x y ，点B 到直线OA 的距离21211221||y x y x y x d +-=，△1ABA 的面积||||21122111y x y x d AA S ABA -=⋅⋅=∆， ……………………（3分）根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分）所以， )2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ………………………………（6分） 解法三：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B -- 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分）因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）△1ABA 的面积111211112111y x y x y x S ABA --=∆||1221y x y x -=， ……………………（3分）根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以，所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分）23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）i i i z 71)43)(1(2+-=++=，i z 683+-=，i z 2144--=．…………（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）（2）若n OZ ∥1OZ ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=u u u u r u u u u r，故1z z n ⋅=λ， 即),(),(11y x y x n n λ=， ……………………（3分）又n n z i z )1(1+=+，故11)1(z i z n n -+=，即λ=+-1)1(n i 为实数， ………………（5分）故1-n 为4的倍数，即k n 41=-，14+=k n ，N ∈k ． ……………………（6分）（3）因为n n n z z i z 4)1(44-=+=+，故n n x x 44-=+，n n y y 44-=+， …………（2分）所以n n n n y x y x 1644=++， ……………………………………………………………（3分） 又1211=y x ，722-=y x ，4833-=y x ，2844=y x ，)()(8877665544332211100100332211y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +++++++=++++Λ)(100100999998989797y x y x y x y x +++++Λ1002521161161)2848712(-=--⋅+--=， …………………………………………（6分）而100112510110121216⨯==y x y x ，10022251021022716⨯-==y x y x ， ………………（7分）所以数列}{n n y x 的前102项之和为102100100100212721221+=⨯-⨯+-．………（8分）。