2020届安徽六校高三数学(理科)第一次素质测试试题答案
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.已知复数z=2+i2018(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是()A. 2013年以来，每年参观总人次逐年递增B. 2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C. 2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D. 2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万4.若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a5.在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是()A. 32B. 39C. 46D. 786.执行如图的程序框图，如果输入的x为3，那么输出的结果是()A. 8B. 6C. 1D. −17.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f(0)=1；；．其中正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①④⑤D. ②③⑤9.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线和圆x2+y2−4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为()A. 2√33B. 43C. √2D. 210.某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a⋅0.5x+b.现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为()A. 1.75万件B. 1.7万件C. 2万件D. 1.8万件11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为AD,AA1的中点，则以下说法错误的是()A. 平面EFC截正方体所的截面周长为2√5+3√2B. 存在BB1上一点P使得C1P⊥平面EFCC. 三棱锥B−EFC和D−FB1C体积相等D. 存在BB1上一点P使得AP//平面EFC12.若函数f(x)={ln (x+1)−x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，若a⃗//b⃗ ，则k等于______ ．14.已知直线y=x−1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则弦AB的长为__________．15.有个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有个空座位相邻的不同坐法有_________种.(用数字作答)三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知命题1：设x i，a i=(i=1,2)均为正实数，若x1+x2=1，则a1x1+a2x2≤(√a1+√a2)2；命题2：x i，a i(i=1,2，3)均为正实数，若x1+x2+x3=1，则a1x1+a2x2+a3x3≤(√a1+√a2+√a3)2；由上述两个命题可知，设x i，a i(i=1,2，3，…，n)均为正实数，若(1)，则(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+√3bc，acosB=bcosA(1)求角A，B，C的大小；(2)若BC边上的中线AM的长为√7，求△ABC的面积．18.已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球，一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出3个球，将3个球对应的分值相加后记为该局得分，计算完得分后将球放回袋中，当出现第n局得n分(n∈N∗)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．(1)求在一局游戏中得3分的概率；(2)求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E(X)．19.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．(1)求AB的长，并证明：AD1⊥B1D；(2)求平面AA1B1与平面ACD1所成角的余弦值．20.已知F1、F2分别是椭圆C：x2+y2=1的左、右焦点．4(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−54，求点P 的坐标；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，交椭圆C 于A 、B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ？21. 设函数f(x)=lnx −ax 2+ax ，a 为正实数．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：f(1a )≤0；(3)若函数f(x)有且只有1个零点，求a 的值．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：{x =2sinφy =2(1+cosφ)(φ为参数)． (1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C2：θ=π3(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．23.若a>0，b>0，且12a+b +1b+1=1，求a+2b的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2+i 20181+i =2+(i4)504⋅i21+i=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，∴z=12+12i．∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：(12,12)，位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D 中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D 错误．故选：C ．由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 4.答案：C解析：a >1，0<b <1，c >1，又a c =log 23log 46=log 2312log 26=2log 63=log 69>1，∴b <c <a ．5.答案：B解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 11=6，∴其前13项的和：S 13=132(a 1+a 13)=132×6=39．故选：B ．由等差数列前n 项和公式及通项公式得S 13=132(a 3+a 11)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.答案：D解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行即可求解．解：由程序框图知：程序第一次运行x =3−2=1；第二次运行x =1−2=−1，满足x <0，∴执行y =(−1)3=−1．∴输出−1．故选：D ．7.答案：B解析：解：当x=0时，f(0)=2−11+2=13，当x=1时，f(1)=0，故排除A，由于f(x)≥0恒成立，故排除C，当x→+∞时，f(x)→1，故排除D，故选：B．利用函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数值的变化趋势，考查计算能力．8.答案：C解析：解：由图可得：函数函数y=Asin(ωx+ϕ)的最小值−|A|=−2，令A>0，则A=2，又∵T4=7π12−π3，ω>0∴T=π，ω=2，∴y=2sin(2x+ϕ)将(7π12,−2)代入y=2sin(2x+ϕ)得sin(7π6+ϕ)=−1即7π6+ϕ=3π2+2kπ，k∈Z即ϕ=π3+2kπ，k∈Z∴f(x)=2sin(2x+π3 ).∴f(0)=2sinπ3=√3，f(x+π6)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3).f(π4)=2sin(π2+π3)=1.对称轴为直线x=kπ2+π12，一个对称中心是(5π6,0)，故②③不正确；根据f(x)=2sin(2x+π3)的图象可知，④f(12π11)<f(14π13)正确；由于f(x)=2sin(2x+π3)的图象关于点(5π6,0)中心对称，故⑤f(x)=−f(5π3−x)正确．综上所述，其中正确的是①④⑤．故选C．9.答案：D解析：本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．根据圆方程，得到圆心坐标C(2,0)，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=2a，即可得出该双曲线的离心率．解：圆x2+y2−4x+3=0可化为(x−2)2+y2=1∴圆心坐标C(2,0)∵双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为ax±by=0，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，∴C到渐近线的距离为|2a|√a2+b2=1，即c=2a因此该双曲线的离心率为e=ca=2故选：D10.答案：A解析：本题主要考查了函数模型的应用，属于基础题．将x=1，2分别带入y=a⋅0.5x+b，联立解出a，b的值，再将x=3代入方程即可求出三月份的产量．解析：解：由题意可得{1=0.5a+b1.5=0.25a+b，解得a=−2，b=2，所以y=−2×0.5x+2，将x=3代入y=−2×0.5x+2得，y=1.75，故选A．11.答案：B解析：本题考查了线面的位置关系的判断，考查了体积的运算，属于中档题．由面面垂直的判定定理结合正方体ABCD−A1B1C1D1的结构可得答案．解：若存在BB1上一点P使得平面EFC，由C1P⊂面BB1C1C，故可得平面EFC⊥面BB1C1C，然而面BB1C1C⊥面ABCD，面BB1C1C⊥面AA1B1B，面BB1C1C⊥面A1B1C1D1，面BB1C1C⊥面DCC1D1，故平面EFC不可能和面BB1C1C垂直，故可知不存在BB1上一点P使得平面EFC，故选B12.答案：C解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．解：根据函数可做出如下图像：−1，当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：−12解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，a⃗//b⃗ ，∴2k+1=0，．解得k=−12故答案为：−12根据向量平行列方程解出k．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：8解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．解：将直线l：x−y−1=0过(1,0)即抛物线方程y2=4x的焦点坐标，联立直线与抛物线方程，消元y，可得x2−6x+1=0∴x1+x2=6，∴弦AB的长为x1+x2+p=6+2=8．故答案为8．15.答案：480解析：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，有A44=24种情况，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有A52=20种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有24×20=480种；故答案为480．16.答案：x1+x2+x3+⋯+x n=1a1 x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2解析：本题考查归纳推理的应用，属于基础题目．解：由命题①②可归纳为若x1+x2+x3+⋯+x n=1，则a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．故答案为x1+x2+x3+⋯+x n=1；a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．17.答案：解：(1)在△ABC中，∵b2+c2=a2+√3bc，∴b2+c2−a2=√3bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =√32，又A∈(0,π)，∴A=π6．∵acosB=bcosA，∴sinAcosB −sinBcosA =0， 即sin(A −B)=0， ∴A −B =0， ∴B =A =π6． ∴C =π−A −B =2π3．(2)∵A =B ， ∴BC =AC ，设CM =x ，则AC =2x ， 又AM =√7， 在△ACM 中，由余弦定理得：AM 2=CM 2+AC 2−2CM ⋅AC ⋅cos 2π3，∴7=x 2+4x 2−4x 2⋅(−12)，解得x =1． ∴AC =BC =2x =2，∴S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sin 2π3=12×2×2×√32=√3．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．(1)根据余弦定理求出A ，利用正弦定理将边化角得出A ，B 的关系求出B ，利用内角和求出C ； (2)设CM =x ，在△ACM 中，利用余弦定理列方程解出CM ，得出AC ，BC ，代入面积公式计算面积．18.答案：解：(1)设“在一局游戏中得3分”为事件A ，则P(A)=C 21C 21C 11C 53=25．(2)X 的所有可能取值为1，2，3，4，在一局游戏中得2分的概率为C 21C 22+C 22C 11C 53=310，P(X =1)=C 22C 21C 53=15，P(X =2)=45×310=625，P(X =3)=45×(1−310)×25=28125， P(X =4)=45×(1−310)×35=42125， ∴X 的分布列为X 12 3 4P156252812542125∴E(X)=1×15+2×625+3×28125+4×42125=337125．解析：本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题． (1)根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值;(2)由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．19.答案：解：(1)由题意得AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =t ，则A(0,0，0)，B(t,0，0)，B 1(t,0，3)，C(t,1，0)，C 1(t,1，3)，D(0,3，0)，D 1(0,3，3)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,3，0)， ∵AC ⊥BD ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2+3+0=0， 解得t =√3或t =−√3(舍去)，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,−3)， ∵AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD 1⊥B 1D . (2)由(1)得AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面ACD 1的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y +3z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,−√3,√3)， 平面AA 1B 1的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√31×√7=√217． ∴平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值为√217．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出AB 的长，并证明AD 1⊥B 1D .(2)求出平面ACD 1的一个法向量和平面AA 1B 1的法向量，利用向量法能求出平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)由椭圆方程为x 24+y 2=1，可知：a =2，b =1，c =√3，∴F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解得：{x =1y =√32,∴P(1,√32)． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=14−1516=−1116≠0，此时OA ⊥OB 不成立．②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ， 则由已知可得√k 2+1=12，即k 2+1=4m 2．由{y =kx +m x 2+4y 2=4，可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1⋅x 2=4(m 2−1)4k 2+1．要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0， 即5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2．∴k 2+1=0，此方程无实解，此时OA ⊥OB 不成立． 综上，不存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解出即可得出．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，此时OA ⊥OB 不成立． ②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，则由已知可得√k 2+1=12.直线方程与椭圆方程联立可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0，把根与系数的关系代入可得5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2.解出即可判断出结论．21.答案：(1)解：当a =2时，f(x)=lnx −2x 2+2x ，f′(x)=1x −4x +2，∴f′(1)=−1， ∵f(1)=0，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y =−x +1； (2)证明：f(1a )=−lna −1a +1(a >0)， 令g(x)=−lnx −1x +1(x >0)，则g′(x)=1−x x 2，∴0<x <1时，g′(x)>0，函数单调递增；x >1时，g′(x)<0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g(x)≤g(1)=0，∴f(1a)≤0；(3)解：由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为1，则f′(1)=0，即1−2a+a=0∴a=1．解析：(1)求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；(2)构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；(3)由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为(1,0)，则f′(1)=0，即可得出结论．本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)直线l的一般方程为√3x−2y+24=0，直线l的极坐标方程为，曲线C1的标准方程为x2+(y−2)2=4，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)将θ=π3分别代入和ρ=4sinθ得ρA=16√3，ρB=2√3，所以|AB|=|ρA−ρB|=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l和曲线C1的极坐标方程，求出A，B的极径，得|AB|=|ρA−ρB|= |16√3−2√3|=14√3．23.答案：解：设a+2b=t，则a=t−2b，因为a>0，b>0，12a+b +1b+1=1，所以12(t−2b)+b +1b+1=1，即12t−3b +1b+1=1，所以12t−3b =1−1b+1=bb+1.从而2t−3b=b+1b =1+1b，即2t=3b+1b +1⩾2√3b×1b+1=2√3+1，当且仅当b=√33时取等号，所以t⩾2√3+12.故a+2b的最小值为2√3+12．解析：本题主要考查了利用基本不等式求最值，为中档题．设a+2b=t，则a=t−2b，代入12a+b +1b+1=1，得到2t=3b+1b+1，利用基本不等式进行求解即可．。
合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案
合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) (考试时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则( ). A. B. C. D.2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则( ). A. B. C. D. 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自xx年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是xx-xx年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ).A.这五年，xx年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，xx年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是( ). A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于( ). A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数的图象大致为( ). 8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是( ). A.的图象关于对称 B.在上有2个零点 C.在区间上单调递减 D.在上的值域为 9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于( ). A. B.2 C. D. 10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001) A. B. C. D. 11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ). A.①④B.②③C. ①②④D. ①②③④ 12.已知函数，则函数的零点个数为( ) (是自然对数的底数). A.6 B.5 C.4 D.3 第Ⅱ卷 (90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于 . 14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传 ___新时代 ___社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种. 16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于，球的表面积等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 在中，内角所对的边分别为，若，. (1)求；(2)若边的中线长为，求的面积. 18.(本小题满分12分) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱中，平面平面，，. (1)证明：；(2)设，，求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分) 设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 21.(本小题满分12分) 已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；(2)设方程()有两个实数根，，求证：. 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. (1)求曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()，不等式的解集为. (1)求的值；(2)若，，，且，求的最大值. 合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在中，，且，∴，∴，又∵，∴. ∵是三角形的内角，∴. ………………………………5分 (2)在中，，由余弦定理得，∴，∵，∴. 在中，，，，∴的面积. ………………………………12分 18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：. ………………………………5分 (2)可能取值为0，1，2，3. 则，，，，∴的分布列为 0 1 2 3 ∴. ……………………………12分或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分19.(本小题满分12分) (1)连结. ∵，四边形为菱形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. 又∵，∴平面，∴. ∵，∴平面，而平面，∴. …………………………5分 (2)取的中点为，连结. ∵，四边形为菱形，，∴，. 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，，，，∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，). 由(1)知，平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，∴. ∵，，∴. 令，得，即 . ∴，∴二面角的余弦值为. ……………………………12分 20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，. 设圆的半径为，则，∴，解得，∴，∴椭圆的方程为. ……………………………5分 (2)∵关于原点对称，，∴. 设，. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由直线和椭圆方程联立得，即，∴. ∵，，∴，∴，，∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切. 当直线的斜率不存在时，依题意得，. 由得，∴，结合得，∴直线到原点O的距离都是，∴直线与圆也相切. 同理可得，直线与圆也相切. ∴直线、与圆相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分) (1)由，得，∴函数的零点. ，，. 曲线在处的切线方程为. ，，∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 (2). 当时，；当时，. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 由(1)知，当或时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 易知，在上单调递增，而，∴对恒成立，∴当时，. 由得.记. 不妨设，则，∴. 要证，只要证，即证. 又∵，∴只要证，即. ∵，即证. 令. 当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数. ∴，∴，∴. (12)分 22.(本小题满分10分) (1)曲线的方程，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分 (2)把直线代入曲线得，得，. ∵，设为方程的两个实数根，则，，∴为异号，又∵点(3，1)在直线上，∴. …………………………10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)∵，∴的解集为，∴，解得，即. …………………………5分 (2)∵，∴. 又∵，，，∴，当且仅当，结合解得，，时，等号成立，∴的最大值为32. …………………………10分模板,内容仅供参考。
安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测(一模)数学(理)试题 Word版含答案
黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无．．．．．．．．．．．．效．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．. 4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数z 满足i z i -=⋅+3)1(,则=|z | A. 5B. 3C. 5D. 32. 设U ＝R ，A ＝}|{042<-x x x ，B ＝}|{1≤x x ，则()U A C B I ＝ A ．{}40≤<x xB ．{}41<≤x xC ．{}40<<x xD ．{}41<<x xC x yO xyO xyO xyO 3. 已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则 A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4. 函数cos sin 2xxy =的大致图象为5. 裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列｝｛n a 满足：121==a a ，12+++=n n n a a a ，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是A.41B. 31C. 21D. 326．将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75°得到OB uuu r ，则OB uuu r＝A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622,C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622, 7. 已知数列{}n a 满足2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈，数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S =A ．20202019B ．20191 C ．20201 D ．201920188. 已知函数()f x 在R 上满足()()x x x f x f 52242+-=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是 A ．y x =-B ．4y x =-C ．38y x =-D ．512y x =-9. 函数()06sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx y 在⎪⎭⎫⎝⎛-22ππ,内单调递增，且图象关于直线π-=x 对称，则ω的值为A.14B. 35C. 32D. 3110.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值 为 A ．2B ．4C ．6D ．811.已知函数3()ln 2f x x a x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是 A ．()20e ,B ．()2e,∞-C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛210e ,D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21e 12.如图，1(,0)F c -,2(,0)F c 分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为A. 5B.2655C. 2623D. 263第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1A13. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⎪⎭⎫⎝⎛=,ln2,1212xxxxxfx则()()=-1ff .14. 已知实数yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-14yyxyx，则yxz+-=22的最大值为 . 15. 函数112+-=xy与函数)2(-=xky的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是 .16. 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D-中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若1//B P平面1A BM，则1C P长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请．在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．.）17.（本小题满分12分）已知在ABC∆中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cabABAC+=--sinsinsinsin, （1）求角C的大小;（2）若3=c,求ba+的取值范围.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。
2020年安徽合肥市高三理科数学上册一模理数试题卷及答案
又∵sin B 0 ，∴cos B 2. 2源自∵B是三角形的内角，
∴B
3 4
.
………………………………5 分
(2) 在ABM 中， BM 1, AM
5,
B
3 4
,
AB
c
，
由余弦定理得 AM 2 c2 BM 2 2c BM cos B ，∴c2 2c 4 0
P
C32
2 5
2
1 5
C32
1 5
2
2 5
18 125
.
……………………………5 分
(2) X 可能取值为 0，1，2，3.
则PX
0
C30
3 3 5
27 125
，PX
1
C31
2 3 2 5 5
6 5
.
……………………………12 分
或解：
数学试题(理科) 第 1 页（共 4 页）
∵随机变量 X 服从 X ∼
B
3 ，52
，
∴ EX
np
3
2 5
6 5
.
……………………………12 分
19.(本小题满分 12 分)
(1)连结 AC1 .
∵ AA1 AC ，四边形 AA1C1C 为菱形，∴ A1C AC1 .
设平面 ABB1 的法向量为n x
，y
，z
，则n AB，n
安徽省马鞍山市2020届高三数学第一次教学质量检测试题理新人教A版
2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教课质量检测理科数学试题( 答案在后边)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第2 页，第Ⅱ卷第 3 至第4 页．全卷满分150 分，考试时间120 分钟．考生注意事项：1 ．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并仔细查对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与自己姓名、座位号能否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号（四位数字）．2 ．答第Ⅰ卷时，每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．3 ．答第Ⅱ卷时，一定使用0．5 毫米的黑色墨水署名笔在答题．卡．上．．书写，要求字体工整、字迹清楚．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的地点绘出，确认后再用0．5 毫米的黑色墨水署名笔描清楚．一定在题号所指示的答题地区作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．答．题．无．效．．4 ．考试结束，务势必试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题，共50 分）一、选择题：本大题共10 个小题，每题 5 分，共50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请在答题卡相应地点将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．1．设a, b 为实数，若复数1+2i 1 ia bi（此中i 为虚数单位）, 则( ▲)A． a 3,b 1 B．3 1a ,b C．2 21 3a ,b D ． a 1,b 32 22．已知12S x| y log (8 2x x ) ,T x | 02x 3，则S I T = ( ▲)A．x | x 2 B．x | x 3C．x | 3 x 4 D．x |-2 x 33．设a,b 是两条直线，, 是两个平面，则 a b 的一个充足条件是( ▲) A． a ,b / / , B． a ,b , / /C． a ,b , / / D． a ,b/ / ,34．某几何体的三视图及部分数据如下图，3则此几何体的体积是( ▲)3A．B 3．2C．2 D ．3 1正（主）视图俯视图侧（左）视图第4 题图5．若曲线 f (x) x sin x 1在x处的切线与直线ax＋2y＋1＝0 相互垂2直，则实数 a 等于( ▲)A．－2 B ．－1C．1 D ．26．已知 a 0,b 0 ，且知足 2 a 2b 4 ．那么 2 2a b 的取值范围是( ▲)A．(4,16)5 5 B．(4 ,16)5C．(1,16) D ． 16 ( ,4) 57．公比不为 1 的等比数列{a } 的前n 项和为S n ，且3a1, a2 , a3 成等差数列．若a1 1，则nS =( ▲)4A．20 B ．0C．7 D ．408．已知F1 (c,0) ，F2 (c,0) 分别是双曲线 C ：12 2x y2 2 1a b(a 0,b 0) 的两个焦点，双曲线C 和1圆C：22 2 2x y c 的一个交点为P ，且2PF F PF F ，那么双曲线C1 的离心率为1 2 2 1( ▲)A． 52B ． 3C． 2 D ． 3 1u u u r u u u ru u u r9．如图，AB 是圆O 的直径，点C、D 在圆O 上，CBA 60o ，ABD 45o ，CD xOA yBC，D则x y 的值为( ▲)A． 33 B ．13A BOC．23 D ． 3C第9 题图10．用数字0，1，2，3 构成数字能够重复的四位数，此中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( ▲)A．54 B ．72C．90 D ．108第Ⅱ卷（非选择题，共100 分）二、填空题：本大题共 5 个小题，每题 5 分，共25 分．请在答题卡上答题．11．抛物线y2 12 x 上到焦点的距离等于9 的点的横坐标是▲．12．将函数sin(2 )y x 的图象先向左平移3 6个单位，而后将所得图象上全部点的横坐标变成本来的 2 倍（纵坐标不变），则所获得的图象对应的函数分析式为▲．13．某程序框图如下图，则程序运转后输出的S值为▲．14．设10 2 11( x 2)(2 x 3) a a ( x 2) a (x 2) L a ( x 2) ，0 1 2 11则a1 +a3 +a5 +a7 +a9 +a11 = ▲．开始15．已知函数 f ( x) 是定义在R上的奇函数，i＝1，S＝ 0x当x 0 时，( ) ( 1)f x e x ，给出以下命题：i＝i＋1x①当x 0 时，( ) (1 )f x e x ；2S＝S＋ i2S＝S－ i否是②函数 f (x) 有2 个零点；i是奇数?③ f (x) 0 的解集为( 1,0) U (1, ) ；i<5?是否④x1 , x2 R，都有|f (x ) f ( x ) | 2 ．1 2 输出S此中全部正确的命题序号是▲．第13 题图结束三、解答题：本大题共 6 个小题，满分75 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．16．( 此题满分12 分)已知函数 f ( x) 2 3 sin x cos x 3sin 2 x cos2 x 2．（Ⅰ）求 f (x)的最大值；（Ⅱ）若ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b, c ，且知足 b 3a ，sin(2 A C)sin A2 2cos( A C) ，求 f (B) 的值．17．（本小题满分12 分）已知甲盒内有大小同样的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小同样的 2 个红球和 4 个黑球。
安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试题
2
AC AB
1
2AC AB
, CE
1
2AC AB
,
3
3
3
2
所以
AD
CE
1
2AC AB
1
2AC AB
1
2 2 AB 4AC
1 4 4 9 16 .
3
2
6
6
3
故选：C.
8．B 【分析】
作出 f (x+1)的图象，根据方程 f (x+1) =k 有唯一解，结合图象即可求解 k 的取值范围.
的值：若不存在，说明理由．
21．已知函数 f x ln x a 1 有两个零点.
x
试卷第 4 页，总 5 页
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）记
f
x 的两个零点分别为
x1 ，
x2 ，求证：
x1x2
1 e4
( e 为自然对数的底数).
x cos 2
22．在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
三、解答题
17．某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过 A､B､C 三道工序，三道工序相互独立.工
7
序 A 的加工成本为 70 元/件，合格率为 ，合格品进入工序 B；工序 B 的加工成本为 60
8
6
5
元/件，合格率为 ，合格品进入工序 C：工序 C 的加工成本为 30 元/件，合格率为 .
7
6
每道工序后产生的不合格品均为废品.
由题意可知，应纳税所得额为： 2496001 20% 52800 60000 4560 82320 元，
又 82320 36000,144000 ，所以税率为10% ，
2020届高三上学期第一次素质测试(全科试卷+答题卡+听力+答案) 理数试题
安徽六校教育研究会2020 届高三第一次素质测试理科数学试题考试时间：120分钟试卷分值：150 分第Ⅰ卷选择题（共60 分）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）1．设全集U ＝R ，M ＝{x |－1＜x ＜4}，N ＝｛x | log 2(x －2) ＜1＝，则M ∩（C U N ）＝ ( )A ．∅B ．{x | －4＜x ≤2}C ．{x |－4＜x ＜3}D ．{x |－1 ＜x ≤2}2．已知复数z 满足（2－i ）z ＝｜3＋4i ｜，则z ＝（ ）A ．－2 －iB ．2 －iC ．－2＋iD ．2＋i3．等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ，公差d 不等于零，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则（ ）4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，以F 2为圆心的圆过椭圆的中心，且与 椭圆交于点P ，若直线PF 1 恰好与圆F 2相切于点P ，则椭圆的离心率为( )5．过三点A (1，3)、B (4， 2)、C (1，－7)的圆截直线x ＋ay ＋2＝0所得弦长的最小值等于（ ）A ． 23B ． 43C ． 13D ． 2136．某罐头加工厂库存芒果m （kg ），今年又购进n （kg ）新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为f 1（kg ），最少为f 2（kg ），则下列坐标图最能准确描述f 1、f 2分别与n 的关系是（ ）7．若函数 f (x ) ＝e x (sin x ＋a )在区间(－2π，2π)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－2，＋∞)8．2019 年5 月22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）9．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为A 1、A 2、…、A 5，若P 点坐标为（0，3），则｜125...|PA PA PA +++u u u r u u u u r u u u r ＝A ．0B ．2C ．6D ．1010．如图， F 1 、 F 2 是双曲线 C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过 F 2 的直线与双曲线C 交于 A 、B 两点．若｜AB ｜：｜BF 1｜：｜AF 1｜ ＝3：4：5，则双曲线的渐近线方程为（ ）A 、 y =± 3xB ． y =± 2xC ． y 3xD ．y =± 2x11．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“EAN-13”通用代码，它是由从左到右排列的13 个数字（用a 1，a 2，…， a 13表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码，其中a 13是校验码，用来校验前12 个数字代码的正确性.图（1）是计算第位校验码的程序框图，框图中符号［m ］表示不超过m 的最大整数（例如［365.7］＝365）.现有一条形码如图（2）所示（97 a 37107202551），其中第3 个数被污损，那么这个被污损数字a 3是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．612．如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB＝1，E，F 分别是AD，BC 中点。
安徽六校教育研究会2020届高三第一次素质测试数学(理)试题含答案
2．已知复数 z 满足 2 i z 3 4i ,则 z （ ）
A． 2 i
B． 2 i
C． 2 i
D． 2 i
【详解】由
(2
i)z
|
3
4i
|
5
，得
z
5 2
i
5(2 i) (2 i)(2
i)
2
i
．故选：
D
．
3．等差数列 的前 项和是 ，公差 不等于零，若
图最能准确描述 f1 、 f2 分别与 n 的关系是（ ）
【详解】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当 m n m,n 2m 时 3
2n (n 1) nan
(n
N *)
，求数列
bn
的前 n 项和 Tn .
高三数学试题（理）第 3 页 共 4 页
18．（本小题满分 12 分）在 ABC 中 ， a, b, c 分 别 为 角 A, B, C 的 对 边 ， 且 有 cos2 A cos Acos(C B) sin B sin C . （Ⅰ）求角 A ； （Ⅱ）若 ABC 的内切圆面积为 ，当 AB AC 的值最小时，求 ABC 的面积.
数学答案（理科）
命题单位：安徽师范大学附属中学
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设全集U R ，M {x | 1 x 4} ，N x | log2(x 2) 1 ，则 M CU N ( )
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A． 3 1
B． 3 1 2
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2．已知复数 z 满足 2 i z 3 4i ,则 z （ ）
A． 2 i
B． 2 i
C． 2 i
D． 2 i
【详解】由
(2
i)z
|
3
4i
|
5
，得
z
5 2
i
5(2 i) (2 i)(2
i)
2
i
．故选：
D
．
3．等差数列 的前 项和是 ，公差 不等于零，若
城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有
4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游, 假设每名同学
均从这四个地方中任意选取一个去旅游, 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
27
A.
64
9
B.
16
81
C.
256
7
D.
16
【详解】所有情况为 44 ，恰有一个地方未被选中的情况有 C41C42 A33 ，由古典概型可知
T 表示的结果为前 12 项中所有奇数项之和，则：
S=7+7+0+2+2+5=23，T=9+a3+1+7+0+5=22+a3，
M=3×23+22+a3=91+a3，检验知， a13 1 ，可知 N 9 ，
结合选项进行检验： a3 8 ，故选：B.
12．如图，已知四面体 ABCD 为正四面体，
P
C41C42 A33 44
9 ，故选：B. 16
9．将函数
f
(x)
4
cos
2
x
和直线
g(x)
x
1的所有交点从左到右依次记为
A1 ，A2 ，…，
A5 ，若 P 点坐标为 (0, 3) ，则 PA1 PA2 ... PA5 （ ）
分别是 AD, BC 中点.若用一个
与直线 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面
体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.
1
A．
4
B． 2 4
C． 3 4
D．1
第 4 页 共 11 页
【详解】补成正方体，如图.
∴截面为平行四边形 MNKL ,可得
，
又
且 AD BC,KN KL
2
sin
x
4
，当
2
x
2
时， 4
x
4
3 4
，
第 2 页 共 11 页
则
2 2
sin
x
4
sin
x
4
1，
a
1，
因此，实数 a 的取值范围是 1, ，故选：C.
8．2019 年 5 月 22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角
又 CC1 平面 ABCD ，则当 CP DN 时， C1P 取得最小值，
.
第 5 页 共 11 页
16．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展 开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，
得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1, ，记作数列an ，若数列an 的
前 n 项和为 Sn ，则 S67 =___ .
【详解】使得每行的序数与该行的项数相等，则第 k 行最后项在数列an 中的项数为
k
k 1
2
，设
a67
位于第
k
k N
行，则
，解得 k 12 ，
且第 11 行最后一项在数列 an
中的项数为
1112 2
66
，所以
a67
位于杨辉三角数阵的第
【详解】因为 f(x)为偶函数，所以 f (2 a2 ) f ( 2) ，且 f(x)在（0，+ ）单调递增，故
2 a2
2
，所以
a
(,
3 2
)
(
5 2
,)
.
15．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M 是 AD
的中点，动点 P 在底面 ABCD 内（不包括边界），若 B1P 平面
成等比数列，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】由
成等比数列．可得
，
可得（
）（
）（ t ），
即
，∵公差 不等于零， ＜ ，
．
（
）
＞ ． 故选：C．
4．椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左右焦点分别是 F1、F2 ，以 F2 为圆心的圆过椭圆的中心，
且与椭圆交于点 P ，若直线 PF1 恰好与圆 F2 相切于点 P ，则椭圆的离心率为( )
所以 PA1 PA2 ... PA5 10. 故选：D.
10．如图， F1、F2
是双曲线
C
:
x a
2 2
y2 b2
1a
0,
b 0 的左、右焦点，过 F2 的直线与双
曲线 C 交于 A、B 两点．若 AB : BF1 : AF1 3 : 4 : 5 ．则双曲线的渐近线方程为（ ）
可得 S四边形MNK L NK KL
当且仅当 NK KL 时取等号，故选：A.
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．向量 a (1,1) 在 b (3, 4) 方向上的投影为______．
【详解】由题意，向量 a (1,1),b (3, 4) ，则 a b 1 3 1 4 1, b
【详解】
，
x
2
,
2
，
f
x
e
x
sin
x
cos
x
a
，
由于函数
f
x
ex
sin
x
a
在区间
2
, 2
上单调递增，
则
x
2
,
2
，
f
x
0 ，sin
x
cos
x
a
0，
得 a sin x cos x
A． B．{x | 4 x 2}
C．{x | 4<x<3} D．{x | 1 x 2}
【详解】由 log2 ( x 2) 1 得 x 2 0 且 x 2 2 ，所以 2 x 4 ，
所以 CU N x x 2或x 4 ，则 M CU N {x | 1 x 2} ，故选： D ．
所以向量
a
(1,1)
在向量 b
(3,
4)
方向上的投影为
a b b
1 5
．
32 42 5 ，
14．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- ，0）上单调递减，若实数 a 满足 f (2 a2 ) f ( 2) ，则 a 的取值范围是______.
图最能准确描述 f1 、 f2 分别与 n 的关系是（ ）
【详解】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当 m n m,n 2m 时 3
此时
f2
0
，当 n
2m 时，
f2
nm 3
m
n 2m 3
，对照图象舍去
B,D;
要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当 m n n,n m 时
25x2
9x2
2
5x
3x
(
3) 5
52 x 2
，可得 |
F1F2
|
2
13x ，
所以渐近线为 y 2 3x . 故选：A.
11．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通
常见的条形码是“ 뮀ु ”通用代码，它是由从左到右排列的 个数字（用
表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制
A. y 2 3x B． y 2 2x
C． y 3x D． y 2x
【详解】设 AF2 t , AB 3x ，则 BF1 4x , AF1 5x ， 根据双曲线的定义得： AF1 AF2 BF2 BF1 2a ，
第 3 页 共 11 页
即 5x t 3x t 4x 2a ，解得： t 3x, a x ，
3
2
f1
m 3
n
，当
m 3
n
n,n
m 2
时
f1
n